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解题大招16 比较大小的9大非常规魔法
（含估算、糖水不等式、泰勒展开式、帕德近似法）
知识点01 糖水不等式及对数型糖水不等式
1.糖水不等式定理
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
2.对数型糖水不等式
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
知识点02 泰勒展开式
1．泰勒展开式
泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有
=++++ +，
其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式：
即=+++++.
以下列举一些常见函数的泰勒公式：
①;
② ;
③;
④;
⑤.
⑥.
⑦
只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤
【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹.
注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换.
2．常用不等式
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
知识点03 常见放缩不等式
两类经典超越不等式
，，，
常见不等式放缩
，，
，，
，
，
3．放缩程度综合
，
知识点04 帕德近似
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．
注：，，，
题型01 估算法
1．常见的近似值： 根式：（巧记：要死要死），（巧记：一吃三个），（巧民：二二三得六）， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， ，， 三角式：， 2．可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
【典例1-1】设，，，则的大小关系为( )
（ ）
A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b
【答案】A
【详解】我们通过区间判定 + 近似值校验的方法推导大小关系：
1．判定的区间：指数函数为单调递增函数，0<0.2<0.5，因此，即1,所以b>c;
3．>>b,
所以c【典例1-2】设，，,则的大小关系为( )
A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a
【答案】A
【详解】我们通过统一对数形式 + 交叉相乘验证的方法推导大小关系：
1.统一表达式形式：利用换底公式将c转换为自然对数形式，.
2.比较a和b：即证明，两边同乘正数12得.计算左侧，右侧，显然4.4<4.9461$，因此a3.比较b和c：即证明，两边同乘正数得.计算左侧，显然2.275<4，因此b综上可推导大小关系：a < b < c.
【跟踪训练】
1．下列大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 无法确定二者大小
【答案】A
【详解】利用对数换底公式，分别计算两个对数值：
，
显然1.585 > 1.465，因此，A选项正确.
2．已知，，，则三者大小关系为（ ）
A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a
【答案】B
【详解】分别计算三者近似值：
利用换底公式，，
，
显然0.6931 > 0.631 > 0.447，即b > a > c，B选项正确.
题型02 构造函数法（含同构法）
通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小.该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质.常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造、同构法等.
【典例2-1】（同构法）已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
【答案】C
【解析】设f(x)＝，则f′(x)＝，
当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
则当x＝e时，f(x)max＝＝，
即b＞a，b＞c；
a－c＝－＝＝＜0，则c＞a，所以b＞c＞a.
【典例2-2】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析法
假设待证法比较大小→构造函数
假设成立，即
令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）
假设成立，即
令，则等价证明：，
证明略
所以函数在单调递增，
所以，即：，所以假设不成立，即，
综上所述：，故选：C
【法二】构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
【典例2-3】已知，试比较大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别构造函数和，利用导数判断函数的单调性，根据单调性比较大小.
【详解】令
则，令，则恒成立，即在上单调递增，
∵
即
令，则
令得，即在上单调递减，
因为，所以即即，
即，所以．
故选：C
【跟踪训练】
1. 若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简，再构造函法，结合导数探讨函数的单调性比较大小即得.
【详解】显然，即，而，
设，求导得在上单调递增，
则，即当时，，因此；
设，求导得，
令，，
则函数，即在上单调递增，，
即函数在上单调递增，于是，则当时，，
从而，而，即有，
所以.
故选：A
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
题型03 数形结合法
核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧.
【典例3-1】 (多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．x＝y B．1【答案】ACD
【详解】由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y，
设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，
由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数，
画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示．
根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；
当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9.
故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)，
所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确；
当1当0当y故选ACD.
【典例3-2】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由，得，转化为函数与，与，与图象的交点问题；作出函数图象，结合图象可得各个交点的位置关系，从而进行判断.
【详解】，，,
，，；
即转化为函数与，与，与图象的交点问题.
分别画出，，，，，的图象，如图所示：

由图可知，与的图象交于两点，与的图象交于两点，与的图象交于两点；同时.
对于A，时，满足，故A正确；
对于B，，不满足，故B错误；
对于C，，满足，故C正确；
对于D，，满足，故D正确.
【跟踪训练】
1．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果．
【详解】，其图象如图所示，
由图可知，在上单调递减，在上单调递增，
要使，且成立，则有且，故必有且，
又，即为，整理得，
故选：A．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断.
【详解】令，则，
所以对应函数依次为，
根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下，
由图，随从左到右移动依次有，，，，
即，，，，不可能有.
3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】作出的函数图象，如图所示：
观察易知a，b的关系为或或．
题型04 糖水不等式法
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.
【典例4-1】设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可知,,
,
利用糖水不等式可知;
又,
又因为,
同理根据糖水不等式,,即,故选：D.
【典例4-2】(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( )
A.若，则
B.
C.若为三条边长，则
D.若为三条边长，则
【答案】BCD
【详解】A. 由糖水不等式得： 时, , 故 A 错误.
B. , 故 B 正确.
C. , 故 C 正确.
D. ,
, 故 D 正确.故选: BCD.
【跟踪训练】
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解法一：
所以.
解法二：由糖水不等式可得，即a2.(多选题)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( )
A.若，则 B.若，则
C. D.当时，
【答案】ABC
【详解】 由,则.若 , .
若,则，故.
若,则，故.
由题设, 结合不等式性质显然有.故选: ABC.
3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式”
（1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
（2）利用（1）的结论比较的大小.
【答案】
(i)，证明见详解；(ii）
【详解】因为，，
所以，，，
所以，，
故的范围为，的范围为；
（2）（i），
证明：，
因为，，所以，，
所以，即；
（ii），
所以由（i）中的结论可得，
即
题型05 对数型糖水不等式法
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
【典例5】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解法一（对数型糖水不等式）
因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 .
所以 , 即 , 选 A.
解法二（普通型糖水不等式）
由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
综上, , 选 A.
【跟踪训练】
1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数性质知，
，
，
所以，，；
由糖水不等式知：，
所以,所以.
2．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【答案】D
【详解】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，
（另：也可用对数型糖水不等式直接得到）
综上有.
3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，
令，，
，
因为，所以，
令，，在上恒成立，在上单调递增，
故，所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，即，
故选：D.
秒解：由对数糖水不等式得，即
题型06 超越不等式法
在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： (1)指数型：,常用于处理含的式子： (2)对数型：,常用于处理含的式子. 它们的变形形式也经常使用，如. 直接应用这些不等式可以快速放缩，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小或求解参数范围.
【典例6-1】 已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】，，故c【典例6-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，故选：A.
【跟踪训练】
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】构造，，
则对恒成立，则在单调递增，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
（秒解：由超越不等式直接得：,由得）
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
则，；
下面比较b和c的大小：
设，，，
设，，，
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递减，，
即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则，
综上所述，
故选：D.
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数单调性比较数的大小.
【详解】设，则，
当时，，当时，，
即当时，取得最小值，
即有，．
（秒解：为超越不等式，牢记此不等式，即可秒得a>b）
令，则，
令，易得在上单调递增，
∴当时，，，
在上单调递增，
，即，
，.
故选：B．
题型07 放缩法
不等式放缩是通过一系列已知不等式将原式放大或缩小，转化为更简单的形式，从而比较大小或证明不等式.除了经典超越不等式，还需掌握常见放缩链（如等)以及三角、幂函数等的放缩技巧.放缩要求适度，方向一致，且往往需多次尝试.
【典例7-1】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以，即
因为，
所以，即
综上所述：，故选：C
【典例7-2】 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】【法一】：不等式放缩一
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
【法二】不等式放缩二
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【跟踪训练】
1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上单调递增，所以，
（秒解：由重要不等式x>sinx(x>0),可直接秒得b>c）
，；
故只需比较与；也即比较与；
也即比较与，
而，，
所以，所以.
综上所述，.
故选：B
2．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知，
，
，
所以，，；
当时，，
所以
，
取，则，
所以
，即，
综上，.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.
3.设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，由此即可比较，进一步比较，由此即可得解.
【详解】设，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递增，
从而，即，，
所以，，
从而当时，，
，
所以.
故选：B.
题型08 泰勒展开式法
泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似.在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小.该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形. 根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数.例如，比较可用在处展开.
【典例8-1】· 新高考I，7) 设. 则
A. B. C. D. .
【答案】C
【详解】直接利用泰勒展开式比较大小.
设
，
.
则；
，
所以c【典例8-2】（2022·全国甲,12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解法1（构造函数）：因为,因为当,所以,即,所以；设，，所以在单调递增，即x>0时，
则,所以，所以,所以.故选A.
解法2（泰勒公式、估算法）:由泰勒公式可得
,
【跟踪训练】
1．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可.
【详解】，
，
，则，
因此.
故选：C.
2．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用泰勒放缩，即可比较大小.
【详解】，
，
，
∴.
故选：D.
题型9 帕德近似法
即利用帕德近似（详见知识点04）得到相应数的近似值，再比较近似值的大小.
【典例9-1】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，综上，.故选：B
【典例9-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用帕德逼近估算各值的近似值，比较大小关系.
【解析】，，
，
综上，．
故选：B
【跟踪训练】
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可.
【解析】利用帕德逼近可得，
综上，．
故选：B.
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用帕德逼近公式估算各值，比较大小关系即可.
【解析】，
，
.
综上，．
故选：A
1．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解法一：，
所以则，
，
所以，所以.
由对数型糖水不等式得：，，
所以则，所以.
2．已知，，，则三者大小关系为（ ）
A. a > b > c B. b > a > c C.a > c > b D. c > b > a
【答案】C
【详解】分别计算三者近似值：
利用换底公式，
显然，即$a > c > b$，C选项正确.
3．下列大小关系排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【详解】利用换底公式将各对数转换为常用对数计算：
显然1.161 > 1.113 > 1.086，即，A选项正确.
方法二：直接用对数型糖水不等式秒出.
4.（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，比较出，再利用中间值“2”比较的大小.
【详解】其中，，，，
设，则，
令得，令得，
故在上单调递增，
所以，即，，
，，
所以，故.
5．若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断.
【详解】令，得，
在同一直角坐标系内作出函数的图象，
则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标，
设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，，
当时，，当时，，
所以ABD是可能的，C不可能.
易知关于对称，故考虑即可，
；记，则；
在必有一解，
且在单调递减，在单调递增．
又，所以，从而．
即，．
所以的最大值为．
6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而可得，再判断与零的大小即可．
【详解】，，
则，
设，
，
令，，
在上单调递增，则时，，
即，则，
在上单调递减，
，即，
，
，，
则．
7．（2026·北京丰台·三模）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于A，分别作出函数、和的图象，易得点，关于直线对称，进而得到；对于B，联立，结合零点存在定理得到，结合图象得到，结合的单调性及放缩法证明即可；对于C，利用基本不等式证明即可；对于D，联系，结合零点存在定理得到，构造函数，结合导数与单调性证明即可.
【详解】对于A，作出函数、和的图象，
因为和互为反函数，所以它们的图象关于直线对称.
直线与垂直，即关于直线对称，
所以交点，关于直线对称，所以，，
又在直线上，所以，即，故A正确；
对于B，由，得，设，则单调递增，
因为，，所以由零点存在定理知，的零点在上，
所以，所以.
结合图象可知，，则，.
所以，故B错误.
对于C，易知，所以，故C正确；
对于D，由，得，设，，
则在上单调递增，
又，，所以.
因为，设，，则，
所以在上单调递增，所以，故D正确.
8．(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】法一：，故B正确；
因为，所以有，故A错误；
，故C正确；
，故D正确．
法二：由糖水不等式的倒数形式， , 则有 ,故B正确；
以下同解法一.
9．（25-26高三上·广西·开学考试）（多选）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，先进行指对互化，将已知条件转化为三个不同的对数函数，作出图象，进行比较即可
【详解】设，则，，.
如图，作出函数，，的图象，
a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标.
由图可知，随着的变化，可能出现，，.

故选：ABD
10．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）先写出阶帕德近似，然后求导得到，，令得，所以，求导得到求解即可；
（2）令，，求导得到判断在及上均单调递减，按照和分类讨论求解即可；
由已知令，且，所以是的极大值点，求导得到，故，，得到之后写出，然后求导判断单调性证明即可.
【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似，
则，，，
由得，所以，
则，又由得，所以，
由得，所以，
所以.
（2）①令，，
因为，
所以在及上均单调递减.
当，，即，
而，所以，即，
当，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②由得在上恒成立，
令，且，所以是的极大值点，
又，故，则，
当时，，所以，
当时，，，则，故在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
令，因为，所以在上单调递减，
所以，又因为在上，
故当时，，
综上，当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
11．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：，
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，利用待定系数法，即可求解；
（2）根据（1）的结果，即证明，利用换元，转化为证明时，再构造函数，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可证明不等式；
（3）首先由不等式确定或，由（2）的结果说明，求解不等式，再求解不等式，转化为，再构造函数，利用导数求解不等式.
【详解】（1）∵ ∴
∵，则，
由题意得：
∴解得：；
（2）由（1）知，即证
令，则且
即证时，记
则
∴在上单调递增，在和上单调递增
当时，，即，即成立，
当时，，即，即成立，
综上所述，时，
∴成立，即成立.
（3）由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
∴使得成立的的取值范围是
再考虑，该不等式等价于，
记，则，
∴当时，时，
∴在上单调递增，在上单调递减
∴，即，
∴，
当时由，可知成立；
当时由，可知不成立；
所以使得成立的的取值范围是
综上可得：不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式.
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解题大招16 比较大小的9大非常规魔法
（含估算、糖水不等式、泰勒展开式、帕德近似法）
知识点01 糖水不等式及对数型糖水不等式
1.糖水不等式定理
若 , 则一定有
通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
设 , 则有:
2.对数型糖水不等式
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
知识点02 泰勒展开式
1．泰勒展开式
泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有
=++++ +，
其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式：
即=+++++.
以下列举一些常见函数的泰勒公式：
①;
② ;
③;
④;
⑤.
⑥.
⑦
只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤
【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五.正弦对数隔一换，正弦指数有感叹.
注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换.
2．常用不等式
由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：
，，，
，，，
，，．
知识点03 常见放缩不等式
两类经典超越不等式
，，，
常见不等式放缩
，，
，，
，
，
3．放缩程度综合
，
知识点04 帕德近似
帕德近似是法国数学家帕德发明的用多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：
，
且满足：，，，…，．
注：，，，
题型01 估算法
1．常见的近似值： 根式：（巧记：要死要死），（巧记：一吃三个），（巧民：二二三得六）， 分式：， 指数式：，， 对数式：，，， ，， 三角式：， 2．可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
【典例1-1】设，，，则的大小关系为( )
（ ）
A.c < b < a B.b < c < a C. a < b < c D. a < c < b
【典例1-2】设，，,则的大小关系为( )
A. a < b < c B. b < a < c C.c < a < b D. c < b < a
【跟踪训练】
1．下列大小关系正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 无法确定二者大小
2．已知，，，则三者大小关系为（ ）
A. a > b > c B. b > a > c C. c > a > b D. b > c > a
题型02 构造函数法（含同构法）
通过构造辅助函数，将待比较的数视为函数在某点的函数值，利用函数的单调性、极值等性质比较大小.该方法的关键是构造出合适的函数，并通过导数分析其性质.常见构造方式有：作差构造作商构造取对数后构造、同构法等.
【典例2-1】（同构法）已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为(　　)
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
【典例2-2】设，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2-3】已知，试比较大小关系（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1. 若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
题型03 数形结合法
核心策略是构造相应的函数，借助函数的图象数形结合比较大小，辅助以“中间值搭桥”“作差、作商”等技巧.
【典例3-1】 (多选)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．x＝y B．1【典例3-2】（2026·福建福州·三模）已知，则的大小关系不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1．（2025高三·全国·专题练习）设，如果，且，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
观察易知a，b的关系为或或．
题型04 糖水不等式法
熟记糖水不等式定理，理解浓度增大含义.解题先识别分式大小比较题型，匹配分子分母差值结构.通过添常数、拆分式子凑出定理形式，直接快速放缩比大小.常用于分式比较、证明不等式、函数单调性判断.注意分清分子分母大小与正负，严格满足正数条件，灵活逆向使用定理，避免结构套用错误.
【典例4-1】设,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【典例4-2】(多选题) 生活经验告诉我们：克糖水中含有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，现称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是( )
A.若，则
B.
C.若为三条边长，则
D.若为三条边长，则
【跟踪训练】
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2.(多选题)在克的糖水中含有克的糖，再添加少许的糖克，全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式.若 ，则( )
A.若，则 B.若，则
C. D.当时，
3.已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式”
（1）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
（2）利用（1）的结论比较的大小.
题型05 对数型糖水不等式法
在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.
【典例5】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·重庆·模拟预测）设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
3．（2026·河南郑州·一模）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型06 超越不等式法
在比较大小或证明不等式时，两类经典的超越不等式是核心工具： (1)指数型：,常用于处理含的式子： (2)对数型：,常用于处理含的式子。 它们的变形形式也经常使用，如。 直接应用这些不等式可以快速放缩，将复杂超越式转化为简单代数式，从而比较大小或求解参数范围。
【典例6-1】 已知 , 则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
【典例6-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
题型07 放缩法
不等式放缩是通过一系列已知不等式将原式放大或缩小，转化为更简单的形式，从而比较大小或证明不等式。除了经典超越不等式，还需掌握常见放缩链（如等)以及三角、幂函数等的放缩技巧。放缩要求适度，方向一致，且往往需多次尝试.
【典例7-1】设，则（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
题型08 泰勒展开式法
泰勒不等式（泰勒公式）将函数在某点展开为多项式，通过取前几项可以在该点附近进行高精度近似.在比较数值大小时，利用常见函数（如等)的泰勒展开式，代入具体点计算近似值，从而比较大小.该方法适用于数值差异微小、直接计算困难的情形. 根据待比较数值的特点，选择展开点（通常为或和对应的函数.例如，比较可用在处展开.
【典例8-1】· 新高考I，7) 设. 则
A. B. C. D. .
【典例8-2】（2022·全国甲,12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【跟踪训练】
1．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型9 帕德近似法
即利用帕德近似（详见知识点04）得到相应数的近似值，再比较近似值的大小.
【典例9-1】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2026·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则三者大小关系为（ ）
A. a > b > c B. b > a > c C.a > c > b D. c > b > a
3．下列大小关系排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2026·天津·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·北京丰台·三模）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．(多选)已知实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（多选）（25-26高三上·广西·开学考试）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
11．帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：，
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中，
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