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解题大招21 轻松突破函数图象问题的7大题型
知识点01 描点法作函数的图象
1．函数图象的概念
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2．利用描点法作函数图象的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
(4)描点连线，画出函数的图象．
知识点02 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．
2．伸缩变换
y＝f(x)的图象
y＝f(ωx)的图象；
y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象．
3．对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象．
4．翻折变换
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象；
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象．
知识点03 同一个函数图象的对称性（自身对称）
1．对称性和周期性的区别
若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.
2．函数图象本身的对称性(自身对称)
⑴图象关于直线对称.
推论1: 的图象关于直线对称.
推论2、的图象关于直线对称.
推论3、)的图象关于直线对称.
⑵的图象关于点对称.
推论1、的图象关于点对称.
推论2、的图象关于点对称.
推论3、的图象关于点对称.
3．函数的对称性与奇偶性的关系
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
4．函数图象对称性的扩充（秒杀图象问题的必记结论）
(1)的图象关于直线对称.
(2)的图象关于直线对称的图象关于直线对称.
知识点04 两个函数图象间的对称性（相互对称）
函数与图象关于直线对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可求得对称轴方程为）
推论1:函数与图象关于直线对称.
推论2:函数与图象关于直线对称.
推论3:函数与图象关于直线对称.
2．函数与图象关于点对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可解得对称中心的横坐标为）
推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称.
推论2: 函数与图象关于点（，0）对称.
推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称.
3．其他的一些特殊的对称结论：
⑴与图象关于y轴对称.
⑵与图象关于原点对称函数.
⑶函数与图象关于x轴对称.
⑷函数与其反函数图象关于直线对称.
知识点05 函数图象双对称性和周期性的关系
1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜.
题型01 画函数的图象
函数图象的常见画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
【典例1-1】作出下列函数的图象：
(1)y＝－；
(2)y＝－1；
(3)y＝｜log2(x＋1)｜.
【详解】(1)函数y＝－＝－2－，则其图象可看作由反比例函数y＝－的图象，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图所示.
(2)设h(x)＝y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，而y＝＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝－1图象如图所示.
(3)设t(x)＝y＝｜log2(x＋1)｜，则其图象可由y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，其图象如图所示.
【典例1-2】（26-27高三一轮复习）给定函数，，．
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和详解法表示函数．
【详解】（1）同一直角坐标系中函数，的图象如下：

（2）结合的定义，可得函数的图象：

由，得，解得，或．
由图易知的解析式为.
【跟踪训练】
1．作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；
(2)y＝；
(3)y＝x2－4|x|.
【详解】(1)函数解析式可化为y＝
其图象如图①实线所示．
　　
(2)函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③所示．
(3)y＝x2－4|x|＝
作出图象如图④所示．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)；
(2)；
(3)；
【详解】（1）先作出的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象，
如下：
（2）先作出的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下：
（3）同上先作出，将图象向右平移一个单位得到的图象，
再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得，
如下：
3．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)．
【详解】（1）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示：
（2），其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位长度，
再向下平移1个单位长度得到，而，
其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
则的图象如图所示：
题型02函数图象的变换
函数图象的变换策略 1． 分清变换对象：针对 x 仅改 x，整体改全部；左加右减、上加下减。 2．伸缩优先整理：x 前系数提取，如 y=f (2x+4) 化为 y=f [2 (x+2)] 再平移。 3．多变换按顺序平移伸缩对称分步演算，特殊点跟踪验证。 4．逆向题型反向操作，反向变换符号反转，最后代点核对。
【典例2-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．向右平移1个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2个单位（横坐标不变）
【答案】A
【详解】因为，
所以要得到的图象，只需要把图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变）.
【典例2-2】（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，可得，
将向右平移1个单位长度，所得图象恰好与的图象重合，可得，
选项A：，故A错误；
选项B：，故B错误；
选项C：，故C正确；
选项D：，故D错误.
【跟踪训练】
1．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
【答案】B
【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误；
对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确；
对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误；
对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误.
2．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可得，
则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象，
由题可知函数图象恰好与函数的图象重合，
所以，即，
又且，所以.
3．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】首先根据平移变换求出图象的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出的值.
【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度，
得到函数表达式为，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，
得到图象的函数表达式为，
因为图象与重合，所以，
即，解得，.
4．(多选)（25-26高三上·河南·阶段检测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
C．向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断.
【详解】因为，
即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象；
又因为，
所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象．
故选：AC．
题型03由函数解析式选择图象
函数图象的识辨策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象．
【典例3-1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】将图象向右平移1个单位，可得图象.
将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象.
将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意.
故选：C
【典例2-2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，且定义域为R，
所以为偶函数，所以图象关于y轴对称，排除B，D项，
并且在y轴右侧，趋近于0时，，故，
故只有选项满足题意.
【跟踪训练】
1．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案.
【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项；
又由，可排除C选项，所以选项A符合题意.
2．（25-26高三下·江西鹰潭·阶段检测）函数，的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可．
【详解】由，，
可得，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故可排除选项C、D，
当时，可得，可排除选项B，
所以该函数的图象大致为选项A．
3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的单调性及相关点的函数值符号，应用排除法确定函数图象.
【详解】由，则，令，
则在，上单调递减，在，上单调递增，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，排除B、C，
由时，，排除D.
4．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设图象对应函数为，由图可得奇偶性，结合可判断选项正误.
【详解】设图象对应函数为，由图可得为奇函数，
注意到为偶函数，为奇函数.
则为偶函数，不满足题设，故BC错误；
又由图可得，，则D不满足题意，故选A
题型04 由函数图象选择解析式
由函数图象选择解析式的策略 1．辨类型：看图象形状定函数（直线→一次、抛物线→二次、双曲线→反比例、波浪→三角函数）； 2．抓特征点：取顶点、交点、零点、渐近线代入通用式； 3．判参数符号：增减性定斜率、 开口方向，极值、周期求系数； 4．验证：代图象上一点校验，排除不符解析式.
【典例4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可；
D选项，判断所给函数的定义域即可.
【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误；
B选项，取，则，令，得或，令，得，
故在和上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，所以B正确；
C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误；
D选项，，由可得，由图知，D错误.
【典例4-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解
【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数；
对于B，是偶函数，不符合，排除B；
对于C， 的定义域不含，不符合，排除C；
对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D；
所以A正确.
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A.
【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是；
对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是；
对于D，函数，，其图象过点，D不是；
对于A，函数，定义域为，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当时，；当时，，A可能是.
2．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得.
【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且，
对B：的定义域为，不符，故B错误；
对C：时，，不符，故C错误；
对D：时，，不符，故D错误；
对A：时，，定义域为，
且，
故该函数为奇函数，符合题意，故A正确.
3．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.
【详解】对于A选项，对于函数，由可得，
即函数的定义域为，与题中图象不符；
对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符；
对于C选项，函数的定义域为，
，函数为偶函数，与题中图象不符；
对于D选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，
令得，可得，
当时，，则，与题中图象相符.
4．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且，
对于A， ，故为偶函数，不合题意，
对于C， ，故为偶函数，不合题意，
对于B， ，故为奇函数，但，不合题意，
对于D， ，故为奇函数，，符合题意.
题型05 利用函数图象研究函数性质
利用函数图象研究函数性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
【典例5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解.
【详解】画出，，的图象，观察图象可知，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的最大值在时取得为，故B正确．
【典例5-2】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【详解】点关于原点的对称点为，即时，，
已知函数，
，
当时，，方程图象有两个交点；
当时，，方程图象有1个交点；
综上，图象上关于原点对称的点有3对．
【跟踪训练】
1．（2026·湖南长沙·一模）定义在R上的偶函数的部分图象如图，则下列函数在区间上与的单调性不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】利用偶函数的对称性知在上单调递减.
又在上单调递减，在上单调递减，
易知在上单调递增，
当时，在上单调递减，
综上，只有选项C的函数在上与的单调性不同.
2．（2026·辽宁·一模）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图象后可得、、的关系，再求出的范围后可用表示出，即可得的取值范围.
【详解】作出图象如下：
由，且，则，
即有，，且，则，
故，
则.
3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）由得到，故不恒成立，从而得到证明；
（2）恒成立，从而，根据得到，得到答案；
（3）写出时分段函数表达式，结合函数奇偶性画出函数图象，数形结合只需对任意的恒成立，故即可，得到答案.
【详解】（1）证明：任取正常数T，存在，即，
∵，即不恒成立，
∴不是“T同比不减函数”.
（2）∵函数是“同比不减函数”，
∴恒成立，
即恒成立，
，
故，
因为，，所以，
∴，
∴k的取值范围为.
（3）当时，，
当，，
当，，
当，
由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示：
根据图象易得：要使对任意的x恒成立，
只需，对任意的恒成立，
∴即可，
∴.
题型06 利用函数图象解决零点（根）的问题
利用函数图象解决函数零点（方程根）问题的思路 当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究函数零点或方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
【典例6-1】（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简分段函数，画出函数的图象，分析的根的个数，确定的范围.
【详解】，
将函数的图象关于轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方，即可得到的图象；
对于，最小正周期为，
故上有个周期，令，，
则可得，，
由此作出函数的图象，
如图，
当时，由图可知，当时，，
取其他值时，，故D正确.
【典例6-2】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是；
由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是；
由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是．
作出函数图象如图，可知．
【跟踪训练】
1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，令，可得或.
作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围.
【详解】设，令，得，
即，解得或.
作出函数的大致图象如图所示：
由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根，
所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是.
2．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.
【详解】由可得或，
当时，；
当时，；
当时，.
作出函数、、的图象如下图所示：
由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解，
所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则.
3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（ ）
A．①正确；②正确 B．①正确；②错误
C．①错误；②正确 D．①错误；②错误
【答案】B
【分析】通过画图由与的图象情况，分析函数取值情况进行分析.
【详解】由函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．
①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，
由当时，，无意义，此时，
即对所有的，均有，
由题意有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，
说明当，且，时，
从而在区间内包含函数的2025个周期，必有2025个严格递减区间.
从而在区间内至少存在2025个严格递减区间.命题①为真.
②由与在内有4050个交点
由定义域内任意的，的取值为或，
对任意满足条件的函数，方程都有解，
只要实数取上述交点纵坐标，则不论取值为或，
方程都有解，
故存在4050个可能的取值，命题②为错误.
4．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的周期性画出函数的图象，利用对称性判断轴两个函数图象交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围.
【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，
所以，
令，
所以函数是周期为的周期函数.
又因为与函数都是偶函数，由对称性可知
由于关于的方程至少有8个实数解，
故当时，与至少有个交点.
函数与图象如图所示.
由图可知：当时，只需，解得 ，
当时，只需，解得，
当时，显然符合题意.
综上所述：.
题型07 利用函数图象解决不等式问题
用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
【典例7-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象关于对称，可得，结合图象即可求解.
【详解】由题可得，由于图象关于对称，所以，，
得，，
所以不等式，即的解集为.
【典例7-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】采用描点法作出草图如下表：
1 2 3 4 5 6
3 6 11 20 37 70
3 8 15 24 35 48
3
函数图象如下：
令，
当时，，故A正确；
当时，，故C正确；
当时，，故B正确．
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，如图所示：
由时，则与矛盾，故A错误；
选项B，如图所示：
由时，则与矛盾，故B错误；
对于C，如图所示：
由时，，但是此时，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若时，有，则，无法确定，
如图所示：
由，则，即，
由，所以，故D正确.
2．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．函数有6个零点
【答案】C
【分析】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：根据图象得到，，进一步计算求解；对于C：通过求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数.
【详解】因为，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
作出函数的图象如下：
对于A：关于x的方程有四个不同的根，
即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误；
对于B：由图象知，所以，且，
所以，
又由，
所以，故B错误；
对于C：知，即，解得，故C正确；
对于D：对于函数，令，则，
即，因为，，，
可得，
当时，由图可得，有个根，
当时，由图可得，有个根，
当时，由图可得，有个根，
当时，由图可得，有个根，
综合得函数有个零点，故D错误.
3．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.
【答案】
【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集．
【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减，
故当，时，，当时，.
原不等式等价于或，则或.
所以不等式的解集为.
1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图象及的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象变换可得解.
【详解】由图象可知图象上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图象，
所以.
故选：A
2.（25-26高三上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.
【详解】，
函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，
则C选项符合所得函数图象.
故选：C.
3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
【答案】A
【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论.
【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为，
再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为.
故选：A.
4．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解.
【详解】从图象上看，的图象不关于轴对称，
选项A，是奇函数，对称轴为，
所以对称轴为，
，为单调递增函数，为单调递增函数，
则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确；
选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误；
选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数，
则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误；
选项D，，不满足题意，故D错误；
5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性可排除AD；根据轴右侧两零点间的距离可确定C正确.
【详解】由图象可知：为奇函数；
对于A，，为偶函数，A错误；
对于D，，为偶函数，D错误；
对于BC，不妨设，，
令，解得：；令，解得：或；
则在轴右侧接近的两个零点依次为和；在轴右侧接近的两个零点依次为和，
，，
由图象可知：B错误，C正确.
6．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　）
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】B
【详解】当时，令，即，解得或（舍去）.
当时，令，即，即.
在同一直角坐标系中作出两函数与（）的图象，如图，
由图可知两图象只有一个交点.
综上可知，函数的零点个数为.
7．（2025高一上·安徽·竞赛）函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】C
【分析】则已知可设，，则，代入原函数，转换得到，再从可确定整数的个数，再代入原函数进行验证.
【详解】解法一：令，则.
由已知可设，，则.
所以，则.
又因为，所以，解得.
又因为，所以的取值为.
当时，，则.
所以，所以是的零点；
当时，，则.
所以，所以是的零点；
当时，，则.
所以，所以2是的零点.
综上所述，的零点有3个.
解法二：作出函数的图象，其与直线的交点个数即为函数零点的个数，
观察图象有，，共3个交点，即函数有3个零点.
8．（25-26高三·全国·一轮复习）设定义域为的函数，则关于的方程，有7个不同实数根的充要条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【分析】此题为复合函数零点问题，关键是换元后，通过函数图象和数形结合思想把每个函数零点研究清楚.
【详解】令，考虑方程的根，该方程必有解，设解为，
题设方程和方程的解即为方程的解，
因为方程有7个不同的解，
根据的图象（如图所示）可得，直线与的图象有3个不同公共点，
直线与的图象有4个不同公共点，
故所以，即，故选C.
9．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值.
【详解】由因式分解得：
即或.
是定义在上的奇函数，则；
由题意知当 时， ，
当 时，，则，
当 时，，则，
以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示：
结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根；
当时，和的图象有2个交点，即有2个根，
结合图象可知其他选项不合题意，
所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根.
10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】将本题转换成两个函数交点数量的问题，利用图象法进行求解.
【详解】由，知函数的一个周期为2．
因为方程等价于．
令，又当时，，
由此作出函数与的图象，
如图所示．因为，，，
所以和的函数图象交点个数为4，故方程有4个实数根．
11．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意得与的图象有三个不同的交点，作出与的图象，根据二次函数的对称性，可得，根据图象可得k的范围，进而可得的范围，即可得答案.
【详解】因为函数有三个不同的零点，
所以，即有三个不同的根，
则与的图象有三个不同的交点，
作出与的图象，如下图所示
当时，为开口向下，对称轴为的抛物线，
则关于对称，所以，即，
由图象可得，
令，解得，令，解得，
所以，
则，
即的取值范围为.
12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式作出函数的图象，然后根据已知条件确定，最后将所求表达式构造新函数，根据函数的单调性求出范围即可.
【详解】作出函数的图象，如图所示，设，
所以，解得：，，
解得：，，
所以，，
令，则在上单调递减，则，即，
令，则在上单调递增，则，
所以，则，
所以，则.
故选：B．
13．(多选)（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据函数，与函数的图象关系，结合函数的奇偶性逐一判断即得．
【详解】由题意可知，图乙函数是偶函数，
对于A：的图象是保持在轴右侧的图象并将右侧图象沿着轴翻折，而乙图中在轴右侧的图象发生改变，故A不合题意；
对于B：的图象是保持在轴上方的图象并将下方的图象沿着轴翻折,而乙图中在
原点附近的图象均在轴下方，故B不合题意；
对于C：当时，，即乙图中在轴右侧的图象可由甲图中在轴左侧的图象翻折得到，
又为偶函数，图象应关于轴对称，故C符合题意；
对于D：可由关于轴翻折得到，根据A项分析,可知D符合题意.
14．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（ ）
A．存在旋转函数
B．旋转函数一定是旋转函数
C．若为旋转函数，则
D．若为旋转函数.则
【答案】AC
【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.
【详解】对A，如满足条件，故A正确；
对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误；
对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，
逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.
故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.
即与至多1个交点.
联立，可得.
当时，最多1个解，满足题意；
当时，的判别式，
对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确；
对D，同C，与的交点个数小于等于1，
即对任意的，使得方程至多1个解，
故为单调函数，即为非正或非负函数.
又，故，即恒成立.
即图象在上方，故，即.
当与相切时，可设切点，
对求导有，故，解得，此时，
所以.故D错误.
故选；AC
15．（多选）（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于点对称
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据题意，先判断函数与函数的图象有相同的对称中心，再依次判断各个选项即可.
【详解】选项A:函数为定义在R上的奇函数，则有，即，又，所以函数的图象关于点中心对称，无法判断是否关于点对称，所以选项A错误；
方法二：函数为定义在R上的奇函数，则函数的图象关于坐标原点对称.函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，因此函数的图象关于点对称.无法判断是否关于点对称，所以选项A错误；
选项B:函数，因此函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.因为反比例函数的图象关于坐标原点对称，所以函数的图象关于点对称，所以选项B正确；
选项C、D:函数与函数的图象都关于点对称，且函数的图象不过点，所以它们的所有交点关于点对称，不妨设，则有，，
所以，，所以C选项正确；D选项错误．
故选：BC.
16．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____.
【答案】
【详解】令，的图象如图所示，
由题知与有四个不同的交点，由图知，
所以的取值范围为.
17．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】要使分段函数的值域为，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足部分的最小值不大于部分的上界.
【详解】当时，，这部分值域为；
当时，，是增函数，这部分值域为，
要使整个函数的值域为，则，
画出和的图象，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立，
因此的取值范围是.
18．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________
【答案】
【分析】利用导数研究的单调性及极值，作出的大致图象，转化为与图象有2个交点，数形结合即可得解.
【详解】由指数函数性质知，在上单调递减，且值域为，
的定义域为，，
令，解得，令，解得，
则的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以，作出的大致图象，如图，

当只有个元素时，即直线与的图象总共有2个交点，
由图象可知，的取值范围是.
19．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
【答案】 4
【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可.
【详解】如图，作出函数的图象，
由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点.
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
故实数m的取值范围为；
对于方程，设，则有，
依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题.
作出函数的图象如下图所示：
因为，函数与有个交点，
即有三个根、、，其中、、，
再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根，
综上所述，方程有个不同的解.
故答案为：；.
20．（25-26高三上·天津河西·期中）若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为_____.
【答案】
【分析】根据题意，要使函数在内有4个零点，须使.分和两种情况讨论，将零点个数问题转化为函数图象间的交点个数问题，结合一次函数与二次函数的性质可解.
【详解】由题意得.
因为当时，最多有两个零点，
所以要使函数在内恰有4个零点，须有两个零点.
因为的对称轴是，所以.
当时，令，则，即.
即与有两个交点.
所以，解得.
当时，有两个零点.
因为的图象开口向上，对称轴为.
所以，解是.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
21．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数且点在函数的图象上．
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个实根，结合图象简单说明，求实数的取值范围．
(3)结合图象简单说明，求不等式的解集；
【分析】（1）求出，作出函数图象即可；
（2）根据图象平移动直线即可得到答案；
（3）作出直线，求出交点坐标即可得到解集.
【详解】（1）点在函数的图象上，，则，
则函数的图象如图所示．
（2）方程等价于，
与的图象交点为两个，则由图知.
（3）从图象上来看即观察该函数图象在直线以上的部分，
令和，解得和2，
则直线与函数交点分别为，，
则由图知不等式的解集为.
22．（25-26高三上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
【详解】（1）函数具有“性质”，
因为，且，
则，整理得，
可得，解得，
所以函数是否具有“性质”，此时.
（2）证明：假设函数（且）具有“性质”，
则，则，解得，
整理得，则，
取，可得，解得；
取，可得，解得；
显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立，
假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”.
(3)具有“性质”，则，可知关于点对称，
可得，即
又因为为定义域为的奇函数，则，
可得，即函数的周期为2，
令，则，
由题意可得：与在内有5个不同的交点，
注意到为奇函数，可知为与的一个交点，
由对称性可知：与在内有2个不同的交点，
作出在内的图象，
当过时，可得；
当过时，可得；
当过时，可得；
结合图象可知：实数的取值范围为.
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解题大招21 轻松突破函数图象问题的7大题型
知识点01 描点法作函数的图象
1．函数图象的概念
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2．利用描点法作函数图象的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
(4)描点连线，画出函数的图象．
知识点02 利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．
2．伸缩变换
y＝f(x)的图象
y＝f(ωx)的图象；
y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象．
3．对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象．
4．翻折变换
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象；
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象．
知识点03 同一个函数图象的对称性（自身对称）
1．对称性和周期性的区别
若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.
2．函数图象本身的对称性(自身对称)
⑴图象关于直线对称.
推论1: 的图象关于直线对称.
推论2、的图象关于直线对称.
推论3、)的图象关于直线对称.
⑵的图象关于点对称.
推论1、的图象关于点对称.
推论2、的图象关于点对称.
推论3、的图象关于点对称.
3．函数的对称性与奇偶性的关系
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
4．函数图象对称性的扩充（秒杀图象问题的必记结论）
(1)的图象关于直线对称.
(2)的图象关于直线对称的图象关于直线对称.
知识点04 两个函数图象间的对称性（相互对称）
函数与图象关于直线对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可求得对称轴方程为）
推论1:函数与图象关于直线对称.
推论2:函数与图象关于直线对称.
推论3:函数与图象关于直线对称.
2．函数与图象关于点对称.
（提示：令与中的相等，即，
从而可解得对称中心的横坐标为）
推论1: 函数与图象关于点（0，0）对称.
推论2: 函数与图象关于点（，0）对称.
推论3: 函数与图象关于点（-，0）对称.
3．其他的一些特殊的对称结论：
⑴与图象关于y轴对称.
⑵与图象关于原点对称函数.
⑶函数与图象关于x轴对称.
⑷函数与其反函数图象关于直线对称.
知识点05 函数图象双对称性和周期性的关系
1．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
2．若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为2｜b－a｜.
3．若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)(a≠b)对称，则y＝f(x)的一个周期为4｜b－a｜.
题型01 画函数的图象
函数图象的常见画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
【典例1-1】作出下列函数的图象：
(1)y＝－；
(2)y＝－1；
(3)y＝｜log2(x＋1)｜.
【典例1-2】（26-27高三一轮复习）给定函数，，．
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)，用表示，中的较大者，记为．请分别用图象法和详解法表示函数．
【跟踪训练】
1．作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；
(2)y＝；
(3)y＝x2－4|x|.
2．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)；
(2)；
(3)；
3．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)．
题型02函数图象的变换
函数图象的变换策略 1． 分清变换对象：针对 x 仅改 x，整体改全部；左加右减、上加下减。 2．伸缩优先整理：x 前系数提取，如 y=f (2x+4) 化为 y=f [2 (x+2)] 再平移。 3．多变换按顺序平移伸缩对称分步演算，特殊点跟踪验证。 4．逆向题型反向操作，反向变换符号反转，最后代点核对。
【典例2-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）为了得到函数的图象，只需要把图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．向右平移1个单位（纵坐标不变）
D．向上平移2个单位（横坐标不变）
【典例2-2】（2026·北京·三模）将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象．再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合．则可以是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·北京密云·一模）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）
2．（2026·北京平谷·一模）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．(多选)（25-26高三上·河南·阶段检测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
C．向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度
题型03由函数解析式选择图象
函数图象的识辨策略 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象．
【典例3-1】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（25-26高三下·辽宁·阶段检测）函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·天津北辰·三模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三下·江西鹰潭·阶段检测）函数，的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三·全国·一轮复习）函数在区间上的简图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
题型04 由函数图象选择解析式
由函数图象选择解析式的策略 1．辨类型：看图象形状定函数（直线→一次、抛物线→二次、双曲线→反比例、波浪→三角函数）； 2．抓特征点：取顶点、交点、零点、渐近线代入通用式； 3．判参数符号：增减性定斜率、 开口方向，极值、周期求系数； 4．验证：代图象上一点校验，排除不符解析式.
【典例4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·天津·阶段检测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·天津南开·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
题型05 利用函数图象研究函数性质
利用函数图象研究函数性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
【典例5-1】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【典例5-2】（25-26高三下·云南昭通·期中）已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【跟踪训练】
1．（2026·湖南长沙·一模）定义在R上的偶函数的部分图象如图，则下列函数在区间上与的单调性不同的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·辽宁·一模）已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·安徽合肥·期末）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
题型06 利用函数图象解决零点（根）的问题
利用函数图象解决函数零点（方程根）问题的思路 当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究函数零点或方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
【典例6-1】（25-26高三下·湖北十堰·阶段检测）已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高一下·湖南衡阳·阶段检测）已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，的取值为或．有如下两个命题：①若有且仅有2025个实数使得关于的方程只有1个解，则函数至少存在2025个严格减区间；②若对任意满足条件的函数，方程都有解，则实数存在4051个可能的取值；则（ ）
A．①正确；②正确 B．①正确；②错误
C．①错误；②正确 D．①错误；②错误
4．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型07 利用函数图象解决不等式问题
用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
【典例7-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（25-26高三下·湖南长沙·期中）定义在上的三个函数，若，则的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．函数有6个零点
3．（25-26高二下·上海浦东新·阶段检测）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________.
1．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图象及的图象，则（　　）
A． B．
C． D．
2.（25-26高三上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
4．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2026·北京东城·二模）已知函数的部分图象如图所示，若，则可以为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26高三·全国·一轮复习）函数的零点个数为（　　）
A．3 B．2
C．1 D．0
7．（2025高一上·安徽·竞赛）函数的函数值表示不小于x的最小的整数，例如，则函数的零点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
8．（25-26高三·全国·一轮复习）设定义域为的函数，则关于的方程，有7个不同实数根的充要条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
9．（江苏姜堰中学2026届高三年级5月学情调研数学试题）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则方程的实数根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．(多选)（25-26高三·全国·一轮复习）已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
14．（多选）（25-26高三上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（ ）
A．存在旋转函数
B．旋转函数一定是旋转函数
C．若为旋转函数，则
D．若为旋转函数.则
15．（多选）（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知函数为定义在R上的奇函数，又函数，且与的函数图象恰好有2026个不同的交点，，…，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于点对称
C．
D．
16．（2026高三下·江苏苏州·竞赛）已知方程恰有四个不等实根，则的取值范围为_____.
17．（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________．
18．（2026·重庆万州·三模）若直线与函数的图象的公共点构成的集合为，直线与函数的图象的公共点构成的集合为，且只有个元素，则的取值范围是_________________
19．（25-26高三上·湖北黄冈·期末）已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
20．（25-26高三上·天津河西·期中）若函数且函数在区间内恰有4个零点，则的取值范围为_____.
21．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数且点在函数的图象上．
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个实根，结合图象简单说明，求实数的取值范围．
(3)结合图象简单说明，求不等式的解集；
22．（25-26高三上·上海奉贤·期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
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