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重难点培优01 分段函数问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 分段函数的求值问题…………………………………………………………………02
题型02 已知函数值求参数……………………………………………………………………04
题型03分段函数的解析式 ……………………………………………………………………05
题型04 分段函数的奇偶性……………………………………………………………………08
题型05 分段函数的单调性……………………………………………………………………10
题型06 已知分段函数的单调性求参数………………………………………………………13
题型07 分段函数的值域与最值………………………………………………………………17
题型08 已知分段函数的值域求参数…………………………………………………………20
题型09 分段函数的零点问题 ………………………………………………………………22
题型10 解分段函数不等式 …………………………………………………………………28
题型11 分段函数中恒（能）成立问题………………………………………………………31
题型12 分段函数中的新定义问题……………………………………………………………35
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ……………………………………………………………………………………………39
创新提升 ……………………………………………………………………………………………43
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1分段函数的概念
1.定义
分段函数：在定义域的不同区间上，对应法则（解析式）不相同的函数，整体仍是一个函数，不是多个函数。
简单说：一个函数，多段表达式，分段定义。
2.定义域： 把每一段自变量的取值范围合并，就是整个分段函数的定义域。
3.解析式： 按自变量 x 所在区间，选用对应一段式子计算函数值。
4.图像： 由几段不同曲线 / 直线拼接而成，分界点要注意空心点、实心点（判断该点是否有定义）
知识点2 解答分段函数问题的基本思路
分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的，否则是断开的.
2.遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
3.如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
题型深研·通法变式提能力
题型1 分段函数的求值问题
【典例1-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数则______.
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式求值即可.
【详解】因为
所以，
故答案为：2
【典例1-2】（2026·江西·二模）已知函数，则_____．
【答案】
【详解】因为，
所以
【变式1-1】已知函数，则___________．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，结合对数运算即可求解.
【详解】由题意知，，．
故答案为：
【变式1-2】已知函数，则___________．
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可.
【详解】因为，则，
且，
所以
故答案为：.
【变式1-3】（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________.
【答案】2
【分析】根据分段函数解析式代入求解即可.
【详解】由，可得，
由，可得，
由，可得，故，
因此.
题型2 已知函数值求参数
【典例2-1】（2026·河北·一模）已知函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和.
【详解】若，则，因为函数在单调递增，
且，所以方程无解；
若，，则，
得到，即，
整理得，解得（舍）或；
若，因为函数在单调递减，
且，所以方程无解；
综上，，，
所以，.
故选：B.
【典例2-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________．
【答案】0或2
【分析】根据题意结合指、对数函数性质可得，分类讨论解方程即可.
【详解】因为恒成立，若，
则，且，可得，
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述：或.
【变式2-1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或
【答案】D
【详解】当时，，解得；
当时，，解得.
综上所述，或.
【变式2-2】（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可.
【详解】当时，，即，无解；
当时，，解得，
所以.
【变式2-3】（25-26高三上·河北沧州·期末）已知函数若，，则______.
【答案】2
【分析】由题设可得，据此可得答案.
【详解】注意到，
由，得或，又，故.
故答案为：.
题型3 求分段函数的解析式
【典例3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）给定函数，，，用表示中的较小者，记为，则________．
【答案】
【分析】分别令和，解不等式，结合题意即可得结果.
【详解】令，即，整理可得，解得；
令，即，整理可得，解得或；
所以.
故答案为：.
【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．

【答案】
【详解】当时，，
当时，设，把，分别代入可得，
解得，故
即函数的解析式
【变式3-2】（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．
【答案】
【详解】当时，，所以.
展开式中，的系数为.
【变式3-3】若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意解不等式确定的大小关系，进而可得函数解析式；
（2）分和两种情况，结合一次函数和二次函数性质求值域即可.
【详解】（1）因为，
令，即，解得；
令，即，解得或；
所以．
（2）因为，且，
当时，，
因为的图象开口向上，对称轴为，
可知在上的最大值为，最小值为，
可得；
当时，可知在上单调递减，
且，可得；
综上所述：，即在上的值域为．
题型4 分段函数的奇偶性
【典例4-1】（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【详解】∵为偶函数，∴，
又，
∴.
【变式4-1】已知为奇函数，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据函数是奇函数应用定义列式计算求参.
【详解】因为为奇函数，定义域为，
则，
所以，则，
此时，
则，满足题意
故.
故选：B.
【变式4-2】（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【详解】因为是奇函数，所以当时，有，
又因为当时，有，所以，
根据恒等式可知：，，
所以．
【变式4-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．当时，在区间上单调递增
D．当时，
【答案】AB
【详解】A：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正确.
B：函数定义域为，关于原点对称，
若，则，，
若，则，，
∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确.
C：令，在上，，
当时，，不满足单调递增的定义，故C错误.
D：取，满足，
∵，
∴，
∵，
∴，
此时，故D错误.
【变式4-4】已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.
【答案】
【分析】先根据为奇函数，得，再根据解析式及偶函数性质可得所求函数值.
【详解】因为函数为上的奇函数，所以，得.
又因为为偶函数，所以，.
因为，所以.
故答案为：.
题型5 分段函数的单调性
【典例5-1】已知函数，设，则是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减，上递增
D．在上单调递增，上递减
【答案】B
【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性.
【详解】的定义域为，
因为，则，
所以为奇函数.
又，则也是奇函数.
由，可得图象如图所示：

所以函数在上单调递增.
故选：B
【变式5-1】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间.
【详解】函数，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A
【变式5-2】（2026·北京顺义·三模）设，函数则（ ）
A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的
C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的
【答案】C
【分析】分别分析各分段区间的单调性、端点函数值，结合趋向负无穷时取值趋势判断最值情况.
【详解】当时，，其中，故在上函数单调递增；
当时，，因此无最小值，直接排除A、B选项.
当时，，其中，故在上函数单调递减.
当时，，该函数在上单调递减，在处取值为；
当时，处的右极限为，
因为，所以，所以函数在上不是单调递减函数，D错误.
综上，C正确.
【变式5-3】（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
【答案】BC
【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项．
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
根据定义画出，
容易看出有最大值，无最小值，故A错误；
当时，由，得舍或，
此时的最大值为：，无最小值，故B正确；
时，由，解得：（舍去），
故F在，递增，在和递减，
故C正确，D错误，
故选：BC．
题型6 已知分段函数的单调性求参数
【典例6-1】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围．
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，
在上单调递增，最大值为；
当时，，求导得，
要使在上单调递增，需对所有恒成立，
即，则，
令，求导得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
在处取得最大值，，
，
在上单调递增，
，解得，
综上可得，．
【典例6-2】（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】B
【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减，
因为函数在上单调递减，在上单调递减，
所以，解得，
所以的最小值为2.
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值．
【详解】因为是上的严格减函数，故
当时，必须严格单调递减，故，解得；
当时，，因为，故单调递减；
分段点为，，当时，，
故，解得；
综上，实数的取值范围是．
【变式6-2】已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】将已知不等式变形后构造减函数，根据分段函数的单调性及衔接点处的单调性列方程组可求解.
【详解】因为，所以，
令函数，则是减函数.
因为，
所以，
因为是减函数，所以在上单调递减，
在上单调递减，且衔接点左侧函数值不小于右侧函数值.
当时，根据的图象可知，
在上，随着x的增大，与的差越来越大，
即在上单调递增，不符合题意，所以，
所以，解得.
【变式6-3】已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数，
故函数在上为减函数，
所以在上为减函数，则，
函数在上为减函数，则，解得，
且有，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型07 分段函数的值域与最值
【典例7-1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________．
【答案】
【分析】利用导数的性质判断该函数的单调性，结合函数的单调性和值域的定义进行求解即可.
【详解】当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
显然当时，，因此，，
所以当时，，
当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，，
显然，当时，，
当时，，当时，，
所以当时，，
所以函数的值域为，
故答案为：
【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出在上的值域以及在上的值域可得答案.
【详解】因在上单调递增，则时，，
又在上单调递增，则时，，
则的值域为，故A正确．
【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解.
【详解】画出，，的图像，观察图像可知，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的最大值在时取得为，故B正确．
【变式7-3】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数及二次函数的单调性得出值域.
【详解】当时，单调递增，，
当时，．
综上所述，的值域是．
【变式7-4】（25-26高三上·安徽·期中）若，则的最小值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】A
【分析】根据函数解析式作出函数图象，由图象求解.
【详解】由，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
作出的图象如图所示，
即在上单调递减，上单调递增，
所以当时，取最小值，即.
故选：A.
题型08 已知分段函数的值域求参数
【典例8-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解.
【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，
且当时，，当时，，
此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得；
若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；
若，则在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，
的值域不可能为，不合题意；
若，则在上单调递增，在上单调递增，
且当时，，当时，，
此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得，
综上所述，实数的取值范围为.
【典例8-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数单调递减，.
函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是.
【变式8-1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】当时，，则，故，
若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意；
若，当时，，
此时函数在上的值域为，不是，不符合题意；
若，当时，，
此时函数在上的值域为，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【变式8-2】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________．
【答案】
【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论，
当，时，的最大值为，
而在区间上为单调递增函数，则，解得，
故，
当，时，的最大值为，
而在区间上为单调递增函数，
则，即，解得，
故，
综上所述可得的取值范围为，故的最大值为．
【变式8-3】已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【答案】
【分析】根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.
【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”，
当时，，，当，即时，取最小值，
因的最小值为2，于是得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
题型09 分段函数的零点问题
【典例9-1】若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别分析出的性质，将的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可.
【详解】因为，则是周期为的周期函数，
又，所以在上的图象如图所示.
由的解析式可知，单调递增，；
在上单调递减，上单调递增，，
所以的图象如图所示.
令，将所求零点问题转化为函数交点问题，
则在上的交点个数即为所求零点个数.
如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点，
综上共有个交点，即有个零点.
故选：.
【典例9-2】已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，令，可得或.
作出函数的大致图象，结合图象和题意求解的取值范围.
【详解】设，令，得，
即，解得或.
作出函数的大致图象如图所示：
由图可知，直线与函数的图象有3个交点，又因为原方程恰有5个不同的实数根，
所以直线与函数的图象有2个交点，由图可得，所以实数的取值范围是.
【变式9-1】（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系，
有3个零点等价于与图象有3个交点，设，
由图可知，，即．
【变式9-2】（2026高三·宁夏内蒙古·专题练习）已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先借助偶函数对称性，将全定义域零点问题转化为单侧（如）分析，把变形为“参数=函数”，转化为直线与构造函数的交点问题，再求构造函数的导数，分析其单调性、极值、极限趋势，最后结合构造函数的图像走势，确定参数使单侧有对应交点数，得到范围.
【详解】因为，
可得，因此关于轴对称是偶函数，
又， 且恰有4个零点，
因此当时，恰有2个零点，
当时，恰有2个零点，
当时，，
因为时，
当且时， 即有2个解，
令且
，
则， 解得或
因此或时，单调递减，
当时，单调递增，
因此函数图象如下：
因此时，有2个交点，
即若恰有4个零点，则.
故选：B.
【变式9-3】（多选）（2026·陕西延安·三模）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【答案】BC
【分析】利用对数函数及正弦函数的性质可以画出函数图象，结合图象分析逐个选项分析即可.
【详解】对A，画出函数的图象，如图所示，因为函数有4个零点，即有4个解，
也即直线与图象有4个交点，所以，所以A错误；
对B，因为有4个零点，，，，且，
所以零点位置如图所示，因为，结合图象可知，两零点关于直线对称，所以，B正确；
对C，时，或，
解得或，
对，令，则，则由图可知，
所以，
因为函数在单调递增，所以，故C正确：
对D，，是方程的两个解，且，所以，，所以，，
令，所以，，
令，，根据对勾函数的性质，该函数在上单调递增，
所以，所以的取值范围为，所以D错误.
【变式9-4】（多选）设函数，则（ ）
A． B．有3个零点
C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1
【答案】BD
【分析】观察分段函数,当时为开口向下，对称轴为的二次函数，当时为函数值非负的对数函数，逐次分析计算各个选项即可得出正确答案.
【详解】对于A，代入可得，故A错误；
对于B，若，由，解得或，满足;
若，由，解得,满足，3个零点均满足题意，故B正确；
对于C，由，得，而二次函数的对称轴为,
当从左侧趋近于1时，函数值趋近于-3，所以当时，有2个零点，故C错误；
对于D，当时，的零点即为的零点，
当时，由，解得，满足;
当时，由，解得,满足，
所以的零点之和为，故D正确.
故选：BD.
题型10 解分段函数不等式
【典例10-1】（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可.
【详解】 分情况讨论不等式的解：
当时，，不等式，
与前提矛盾，故此时不等式无解；
当时，，对其求导得.
当时，，即在上单调递增.
又，
因此.
综上，的解为.
将代入得，解得，即.
【典例10-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式.
【详解】由已知得，当时，，
所以，当时，同理有，可知是奇函数．
又当时，，所以在上单调递增，
从而可得在上单调递增．
不等式即，
所以有，解得．
【变式10-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得或，解得，故选项D正确．
【变式10-2】设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性求解即可.
【详解】当时，，为单调递减函数，且，
当时，，也为单调递减函数，，
所以在上单调递减.
因为，所以，解得，
所以.
故该不等式的解集为.
【变式10-3】（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可．
【详解】解：由，则，
，解得，
，解得，
综上，不等式的解集是．
【变式10-4】设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对的取值范围分，，三种情况进行分类讨论，分别求解对应的不等式即可得到最终结果.
【详解】当，则，
，，
成立，
当时，，
，
，解得：.
.
当时，
，，
成立，
综上所述：.
故选：C
题型11 分段函数中恒（能）成立问题
【典例11-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数，同时满足条件：
①，或；
②，.
则的取值范围是________.
【答案】
【分析】画出的图象，得到故时，，当时，，由①可知，当时，，由二次函数图象可知，需满足，解得，由②可知存在时，使得，结合二次函数特征可知，，解得，从而得到答案.
【详解】画出的图象，如下：

故时，，当时，，
由①，或，可知，当时，，
故二次函数开口向下，所以，
其中，要想满足时，，
需满足，解得，
又，，故存在时，使得，
结合二次函数特征可知，，解得，
综上，.
故答案为：.
【变式11-1】（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围.
【详解】因为函数和均是增函数，
所以是上的增函数，只需要满足，
即，解得.
由得 ，即 恒成立.
因为，即.
所以实数的取值范围是.
【变式11-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题意化为，即，根据是R上的增函数，得对恒成立，进而利用判别式法求解即可.
【详解】由题意得，如图所示，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以原不等式化为，
由图可知是R上的增函数，所以对恒成立，
所以，则，即.
故选：D．
【变式11-3】已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，则问题变成一元二次不等式存在性问题.
【详解】①当时，等价于，即，
依题意在上有解，
开口向上，对称轴，
当时，，
，即，此时的取值范围为；
②当时，等价于，即，
依题意在上有解
，当且仅当，即时等号成立，
，解得，此时的取值范围为；
综上所述，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是，
故选：D．
【变式11-4】已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解.
【详解】因为，则定义域为，
所以的图象是取与图象位于下方的部分，
作出的图象如下所示（实线部分）：
当时，显然在上单调递减，且；
因为，使得关于的不等式成立，
所以，令，解得，
结合图象可得的解集为或，
即实数的取值范围是.
故答案为：
题型12 分段函数中的新定义问题
【典例12-1】（25-26高三上·湖北·期中）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．5
【答案】BD
【分析】根据函数的解析式作出图象，结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况.
【详解】，图象开口向下，对称轴为.
当时，由或；
由时，由，
依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界），
如图所示：，
当时，，符合题意，
，，
当，符合题意，
而，故选项BD正确.
故选：BD.
【变式12-1】设，定义符号函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解.
【详解】对于选项A，，，故，故A不正确；
对于选项B，，，故，故B不正确；
对于选项C， ，，故，故C不正确；
对于选项D，，，故，故D正确.
故选：D.
【变式12-2】）Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对于ABC，依次取，，即可逐一判断各个选项；对于D，分是无理数、有理数讨论即可判断.
【详解】若，当时，取，则，此时，A错误；
若，当时，取，则，此时，B错误；
若，当时，取，则，此时，C错误；
若，当时，，此时恒成立，即．
当时，，此时恒成立，即，故任意，均有，D正确．
故选：D.
【变式12-3】定义运算：，设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】问题化为与图象的交点个数，结合新定义写出的分段函数形式，再数形结合求参数范围.
【详解】函数的零点个数，即与图象的交点个数，
由题意知，其图象如图所示（实线），
若直线与的图象有两个交点，则，即.
故选：A
【变式12-4】对于任意实数，表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____.
【答案】11
【分析】就的取值范围分类讨论后可求函数值，从而可求中元素的和.
【详解】注意到
且
所以，
所以，故所求为.
故答案为：11.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】，
.
所以
2．（2026·四川雅安·一模）已知函数则方程的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对函数进行分段讨论即可求解.
【详解】当时，则，可得或,
由解得符合题意；
由得无实数解，舍去.
当时，则，解得符合题意，
综上，方程有个实数根.
故选：
3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数为奇函数，则的值为（ ）.
A．0 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质求解即可．
【详解】因为函数为奇函数，
当时，，则，所以，
又，则，即.
故选：C
4．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解.
【详解】由函数在上都单调递增，
得函数在上单调递增，
由函数在上单调递增，得，解得，
所以的取值范围是.
5．（多选）（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，则（ ）．
A． B．的值域为
C． D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】对于A，直接代值即可得出；对于B，求出每段函数的值域，将结果取并集即为分段函数的值域；对于C，每段函数的在各自范围内的零点即为分段函数的零点；对于D，求出每段函数的在各自范围内大于1的解集，将结果取并集即为分段函数的大于1的解集.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，当时，，当时，，所以的值域为，故B正确．
对于C，当时，由，解得，
当时，由，解得或（舍去），所以，故C错误．
对于D，当时，由，解得，即，
当时，由，解得，
所以不等式的解集为，故D正确．
故选：ABD
6．（多选）已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用方程的根与函数图象的关系，结合对数函数性质，二次函数的值域，即可作出判断.
【详解】作出函数的图象，如图所示，

设，因为，
所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点，
又设这4个交点横坐标分别为，且，
由关于直线对称，得，故A错误；
由，可得，故B正确；
由图可知，则，故C正确；
由图可知，即，得，
则，故D正确.
故选：BCD
7．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分，，，三种情况，分别求出每段的值域即可求最值.
【详解】解：①若.当时，；
当时，.
依题意需，解得（舍去）.
②若.当时，；
当时，
此时，则.
③若.当时，；当时，.
则需，解得.
当时，，当时，，则有最小值1.
综上，或.
故答案为：.
创新提升
1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令，则，故，故,
所以或,
故．
2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得.
【详解】当时，，
令，则恒成立，
故在上单调递增，则，
则在上单调递减，则，
又当时，，
则有，解得，
故满足的实数的取值范围是.
3．（2026·山东泰安·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【答案】B
【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数.
【详解】当时，，
所以当时，先减后增，
则存在实数，方程有两个不同的实数解；
当时，单调递减，
方程至多有一个实数解；
当时，，
所以当时，先减后增，
则存在实数，方程有两个不同的实数解；
当时，单调递增，
方程至多有一个实数解；
综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解，
又为正整数，所以可取，和为.
4．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围.
【详解】对于，当时，，则；
当时，，故函数的值域为；
设，则的值域为.
因对任意，存在，使得成立,即成立，
故函数的值域是函数值域的子集，
故只需，即，解得.
5．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知函数，若满足且，都有成立，则实数a的取值范围为M；若数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件判断出的单调性，由此列不等式组，求得集合M；由是递增数列列出不等式组，求解得集合N，再根据集合的包含关系判定即可.
【详解】因为对且，都有成立，
所以是上的增函数，
解得，所以.
数列满足，且是递增数列，
所以，即，解得，所以
故.
6．（多选）（25-26高三上·宁夏·期中）已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（ ）
A．时，方程有2个不同的实数根
B．方程至少有2个不同的实数根
C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】将问题转化为和的图象的交点个数问题，然后作图分析可得．
【详解】方程根的问题可以转化成直线和图象的交点问题，
如图，作出直线和函数的图象，
A，由图可知：时，方程有2个不同的实数根，正确；
B，当时，结合图象可知，方程有一个解，错误．
C，由图可知直线和的图象有3个交点时，的取值范围为，正确．
D，因为为方程，即的两个不相等实根，所以，
因为为方程的根，所以，所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，正确．
故选：ACD.
7．（多选）（2026·江苏扬州·三模）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】AB
【分析】结合图像得出方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，根据方程和求出，再逐个选项进行判断.
【详解】画出函数的图像：
设，即方程有三个不同的实根，
由于在上单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，
令，
结合图像可知，方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，
即当且仅当，且，
，
再考虑方程和，注意，
或或，
因为，所以，
对于A，，
所以，A正确；
对于B，，，
令，则，当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，B正确；
对于C，，因为，所以单调递增，
因为，所以无最小值，C错误；
对于D，在上单调递增，
所以，所以的最大值为，D错误.
8．（25-26高一上·上海闵行·期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】当时，，讨论时，取得的最小值，确定的取值范围.
【详解】当时，，无最小值，所以需时，取得最小值.
当时，，
若，则在单调递减，，
则当时，在定义域内存在最小值；
若，则在上恒为，在定义域内存在最小值；
若，则在单调递增，，无最小值，则在定义域内也不存在最小值.
综上可知，若函数存在最小值，则实数的取值范围为.
故答案为：
9．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为________
【答案】
【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案．
【详解】作出函数图像如图所示：
令，则可化为，
若有6个根，
结合图像可知方程在上有2个不相等的实根，
不妨设，，
则，解得，
故m的取值范围为.
故答案为：
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重难点培优01 分段函数问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 分段函数的求值问题…………………………………………………………………02
题型02 已知函数值求参数……………………………………………………………………03
题型03分段函数的解析式 ……………………………………………………………………03
题型04 分段函数的奇偶性……………………………………………………………………04
题型05 分段函数的单调性……………………………………………………………………04
题型06 已知分段函数的单调性求参数………………………………………………………05
题型07 分段函数的值域与最值………………………………………………………………06
题型08 已知分段函数的值域求参数…………………………………………………………07
题型09 分段函数的零点问题 ………………………………………………………………08
题型10 解分段函数不等式 …………………………………………………………………09
题型11 分段函数中恒（能）成立问题………………………………………………………10
题型12 分段函数中的新定义问题……………………………………………………………11
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ……………………………………………………………………………………………12
创新提升 ……………………………………………………………………………………………13
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1分段函数的概念
1.定义
分段函数：在定义域的不同区间上，对应法则（解析式）不相同的函数，整体仍是一个函数，不是多个函数。
简单说：一个函数，多段表达式，分段定义。
2.定义域： 把每一段自变量的取值范围合并，就是整个分段函数的定义域。
3.解析式： 按自变量 x 所在区间，选用对应一段式子计算函数值。
4.图像： 由几段不同曲线 / 直线拼接而成，分界点要注意空心点、实心点（判断该点是否有定义）
知识点2 解答分段函数问题的基本思路
分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的，否则是断开的.
2.遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
3.如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
题型深研·通法变式提能力
题型1 分段函数的求值问题
【典例1-1】（25-26高三上·北京丰台·期末）已知函数则______.
【典例1-2】（2026·江西·二模）已知函数，则_____．
【变式1-1】已知函数，则___________．
【变式1-2】已知函数，则___________．
【变式1-3】（2026·河南周口·二模）已知函数，则____________.
题型2 已知函数值求参数
【典例2-1】（2026·河北·一模）已知函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【典例2-2】（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数，若，则_________．
【变式2-1】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．1或3 B．或1 C．0或 D．1或
【变式2-2】（2026·贵州毕节·二模）设函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（25-26高三上·河北沧州·期末）已知函数若，，则______.
题型3 求分段函数的解析式
【典例3-1】（25-26高三·全国·一轮复习）给定函数，，，用表示中的较小者，记为，则________．
【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）图中的图像所表示的函数的解析式________．

【变式3-2】（2026·上海虹口·三模）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．
【变式3-3】若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
题型4 分段函数的奇偶性
【典例4-1】（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【变式4-1】已知为奇函数，则（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
【变式4-2】（2026·河南·模拟预测）已知是奇函数，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【变式4-3】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．当时，在区间上单调递增
D．当时，
【变式4-4】已知定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，则______.
题型5 分段函数的单调性
【典例5-1】已知函数，设，则是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减，上递增
D．在上单调递增，上递减
【变式5-1】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2026·北京顺义·三模）设，函数则（ ）
A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的
C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的
【变式5-3】（多选）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
题型6 已知分段函数的单调性求参数
【典例6-1】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．5
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______.
【变式6-3】已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________．
题型07 分段函数的值域与最值
【典例7-1】（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________．
【变式7-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【变式7-3】（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（25-26高三上·安徽·期中）若，则的最小值是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
题型08 已知分段函数的值域求参数
【典例8-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________．
【变式8-3】已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
题型09 分段函数的零点问题
【典例9-1】若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2026高三·宁夏内蒙古·专题练习）已知函数，若恰有4个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（多选）（2026·陕西延安·三模）已知函数，若函数有4个零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的取值范围为
【变式9-4】（多选）设函数，则（ ）
A． B．有3个零点
C．当时，仅有1个零点 D．当时，的零点之和为1
题型10 解分段函数不等式
【典例10-1】（2026·江苏南京·三模）已知，则的解是（ ）
A． B．
C． D．
【典例10-2】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（2026·天津和平·二模）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-4】设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型11 分段函数中恒（能）成立问题
【典例11-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数，同时满足条件：
①，或；
②，.
则的取值范围是________.
【变式11-1】（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式11-4】已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是__________．
题型12 分段函数中的新定义问题
【典例12-1】（25-26高三上·湖北·期中）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．6 D．5
【变式12-1】设，定义符号函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】）Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】定义运算：，设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-4】对于任意实数，表示不超过的最大整数.如，.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为_____.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，则为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2026·四川雅安·一模）已知函数则方程的实数根的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知函数为奇函数，则的值为（ ）.
A．0 B． C．2 D．1
4．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）（25-26高三上·甘肃·阶段检测）已知函数，则（ ）．
A． B．的值域为
C． D．不等式的解集为
6．（多选）已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C．的取值范围是 D．的取值范围是
7．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________.
创新提升
1．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东泰安·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
4．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知函数，若满足且，都有成立，则实数a的取值范围为M；若数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（25-26高三上·宁夏·期中）已知函数，关于的方程，则下列判断中正确的是（ ）
A．时，方程有2个不同的实数根
B．方程至少有2个不同的实数根
C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围是
7．（多选）（2026·江苏扬州·三模）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．的最小值为
D．的最大值为
8．（25-26高一上·上海闵行·期末）若函数存在最小值，则实数的取值范围为___________．
9．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知 ，关于的方程有6个根，则m的取值范围为________
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