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重难点培优03 抽象函数问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 抽象函数的定义域 …………………………………………………………………04
题型02 抽象函数的值域 ……………………………………………………………………06
题型03抽象函数的解析式 ……………………………………………………………………08
题型04 抽象函数的奇偶性……………………………………………………………………12
题型05 抽象函数的单调性……………………………………………………………………15
题型06 抽象函数的对称性 …………………………………………………………………20
题型07 抽象函数的周期性……………………………………………………………………22
题型08 抽象函数的求值问题…………………………………………………………………27
题型09 抽象函数中的比较大小 ……………………………………………………………30
题型10 解抽象函数不等式 …………………………………………………………………32
题型11 抽象函数中的零点问题………………………………………………………………36
题型12 抽象函数中的导数问题……………………………………………………………41
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ……………………………………………………………………………………………39
创新提升 ……………………………………………………………………………………………43
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1抽象函数
1.抽象函数的概念
抽象函数，就是没有直接给出具体解析式，而是只通过一些关系式、性质或条件来描述的函数。抽象函数的核心不是“函数很复杂”，而是已知的是函数的性质和运算规则，而不是具体解析式。高考里主要用它来考查你对函数概念、奇偶性、单调性、周期性和图像的理解。
2.抽象函数的解题策略
策略1 赋值法
根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有的函数值时，也常将代入；另外也可以将代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性。
策略1 探究新知
根据条件可以探究函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，以便我们顺利的解决问题，下面是判断函数性质的常用结论：
1.对称性：
结论1：任意函数关于直线对称
推广：的图像关于对称；
结论2：任意函数关于直线对称
2.周期性：
结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期.
结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期.
结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期.
3.对称性与周期性的关系：
性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期；
性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期；
性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。
下面三个函数，也是常见的周期函数形式：
．
策略3 构造具体函数
抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标两个角度：
角度1：抽象问题图像化：根据题设条件画出函数图像，然后根据图像寻找解题的思路和方法；
角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果。
知识点2 抽象函数模型
（1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为
（4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 .
（5） 对于对数函数 ，
其对应的抽象函数为 或
对于对数函数 ，其抽象函数还可以是
（6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
（7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为
对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是
（8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为
题型深研·通法变式提能力
题型1 抽象函数的定义域
【典例1-1】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.
【详解】由函数的定义域为，
所以函数要有意义则：，解得：，
所以函数的定义域为：.
【典例1-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可.
【详解】因为的定义域为，所以，所以.
则的定义域为，故对于，令，解得.
故的定义域为，
故答案为：B.
【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出的定义域，根据函数有意义，结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域，可得出关于的不等式组，解不等式组即可求出答案.
【详解】由的定义域为，得的定义域为.
所以或，
综上，的定义域为.
故选：C.
【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______．
【答案】
【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可.
【详解】由题意得，则，即的定义域为.
【变式1-3】已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.
【答案】
【详解】函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数
的图象，

如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为.
题型2 抽象函数的值域
【典例2-1】已知满足，且，则的值域为_____
【答案】
【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由函数满足，且，
令，可得，因为，可得，
再令，可得，所以，
令，可得，即，
再令，可得，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以的值域为.
故答案为：.
【变式2-1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得，
因此函数的定义域为；
由函数的值域为，得函数的值域为，即，
则，故函数的值域为.
故选：C
【变式2-2】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.
【详解】由函数的值域为，得，
由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，
则，则，而函数与的值域相同，
所以函数的最大值为3.
故选：B
【变式2-3】已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在使得，则的最小正周期为
C．为偶函数
D．的值域为
【答案】AC
【分析】选项A赋值求解；选项B赋值，利用周期函数的定义推导；选项C赋值，根据偶函数的定义推导；选项D取函数验证.
【详解】选 项 A，令，则有，
又因为，所以；
选 项 B，令，则有，
因为，从而，则，
所以，
故是的一个周期，但不一定是最小正周期；
选 项 C，令，则有，
所以，故为偶函数；
选 项 D，取，满足抽象方程，
但是其值域为，不符题意.
故选：AC.
题型3 求抽象函数的解析式
【典例3-1】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导的通项后代入求值.
【详解】令，代入题设函数方程得： ，
将代入化简，得递推关系：，
当时，有，
则，，，
故
，
故，则.
【典例3-2】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
【答案】（任意满足条件的即可）
【分析】利用函数的函数方程、奇偶性、单调性三个条件，找出满足条件的具体函数.
【详解】，则在上满足指数函数性质，
又时，，则在上是增函数，可取，
因为是偶函数，所以可取．（任意满足条件的即可）
【变式3-1】已知函数满足，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解.
【详解】当时，（1）
在（1）中将替换为，则 （2）
在（1）中将替换为，则 （3）
可得：且
故选：B.
【变式3-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数在区间上为“凹函数”
D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】先通过赋值法求解抽象函数的解析式，再结合题目给出的“凹函数”定义，利用导数逐一分析各选项即可.
【详解】∵ 函数的定义域为，满足，且，
令，得，即，
∵ ，∴ .
令，得，即，
代入原式验证：左边，右边，等式成立，
故.
对选项A：∵ ，∴ A正确.
对选项B：∵ ，，故，故不是奇函数，B错误.
对选项C：，
则，设函数的导函数为
则，
当时，，，
故，即在上为减函数，不符合凹函数定义，C错误.
对选项D：，故，
则，设函数的导函数为，
若为上的凹函数，则为上的增函数，即对任意恒成立，
故恒成立，
即对任意恒成立.
令，则，
令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故，
∴ ，即，故D正确.
【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．直线是曲线的切线
【答案】ACD
【分析】通过对已知等式进行赋值，求出与的表达式，根据表达式逐一分析选项.
【详解】令，则有，
所以，故A正确；
因为，
所以对任意均成立，
当取任意值，取定值时，为常数，
当取任意值，取定值时，为常数，
所以与等于同一个常数，
设，
令，则，
解得，故B错误；
由，得，
所以在上单调递增，故C正确；
因为，所以，
令，得，
又，所以直线是曲线在处的切线，故D正确.
题型4 分段函数的奇偶性
【典例4-1】（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
【答案】C
【分析】通过赋值求得，可得，由奇偶性可得，从而即可判断函数的奇偶性．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足，(*)，
令，可得，所以，则，
代入(*)，可得，又，
则，即得，
则有，
所以为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意．
故选：C.
【典例4-2】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
【答案】C
【分析】通过赋值法确定的值，判断函数奇偶性；利用递推关系推导函数周期，结合周期计算特定点的函数值，进而判断选项.
【详解】令，，则，
即，得或.
若，令，则，
即，与矛盾，故，A错误.
令，则，即，
得，故为偶函数，B错误.
令，则，即.
由此得，
，
，故是周期为6的周期函数，C正确.
，D错误.
故选：C
【变式4-1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可.
【详解】选项A：设，
由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误.
选项B：设，
由，可知是奇函数，B正确.
选项C：设，
由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误.
选项D：设，
由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误.
【变式4-2】定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】B
【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案.
【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是，
令，
则，即为偶函数，
所以也是偶函数，即，
所以，即是偶函数，
对于函数无法判断函数的奇偶性.
故选：B
【变式4-3】已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为，
所以令，可得，
令，则，
所以，
则既不是奇函数又不是偶函数，
且，
所以是奇函数.
故选：C
题型5 抽象函数的单调性
【典例5-1】（多选）（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ）
A． B．
C．当时， D．在上单调递减
【答案】ACD
【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D.
【详解】A选项，令，得，所以，A正确；
B选项，令，得，，不恒为0，故B错误；
C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确；
D选项，设任意，，且，令，，
则有，即，
由于，故有，，，
所以，即，故在上单调递减，D正确．
【变式5-1】已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上的单调性，再利用单调性求出最大值.
【详解】任取，则，
由当时，都有，得，
任意的，都有，
即，
则，
因此函数在上单调递增，
故时，
.
故选：B
【变式5-2】已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【分析】赋值：令代入可得，令代入可得函数为奇函数，再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性.
【详解】对A，令，则，
，即，
故，所以A不正确；
对B，取代入：，
即，即在上为奇函数，
设，
所以，且，
故：
即：，故B错误；
对C，由B知函数在上单调递增，故C错误；
对D，由C结合函数为奇函数且，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：D.
【变式5-3】（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．当时，
【答案】BCD
【分析】对A：借助赋值法，令即可得；对B：借助赋值法，令，结合A中所得计算即可得；对C：任取，结合函数单调性定义可得在上是增函数，则可得在上单调递增；对D：借助赋值法，令，可得，由时，，可得，则，累乘即可得解.
【详解】对A：令，得，故A错误；
对B：令，则，即有，
故，故B正确；
对C：任取，则，依题意，，
而，则，即，
即在上是增函数，
于是对于，任取，
因，则，即，
即函数在上单调递增，故C正确；
对D：令，可得，
整理得，当时，且，
故，即，
则，故D正确.
【变式5-4】已知函数在上满足，且当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，求不等式的解集．
【答案】(1)；
(2)在R上单调递减，证明见解析；
(3).
【分析】（1）令得，再令并结合已知确定的值；
（2）由得，讨论、，并结合及已知即可证；
（3）首先求得，再依据单调性解不等式求解集.
【详解】（1）令，则，故，可得，
令，则，
当，则，即，与题设不符，
所以；
（2）在R上单调递减，证明如下：
当时，；当时，，
由（1）知，
由，
当，即，，，
所以，即在上单调递减，
当，则，，，
所以，即在上单调递减，
综上，结合，易知在R上单调递减，得证.
（3）令，则，故，即，
所以，则，
由（2）知，，即，可得或，
所以不等式解集为.
题型06 抽象函数的对称性
【典例6-1】1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，，
则，
则的图象的对称中心是
【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C．的周期 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得.
【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点，
因为函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，
所以在的图象上，即，则，
由为奇函数，得，
所以，有，即函数的图象关于点对称，
又，则，函数的图象关于对称，A正确；
对于C，，即，
则，的周期，C正确；
对于D，，则，D正确；
对于B，由以及周期为4，得，函数的图象关于对称，
若图象关于点对称，则，即，
而没有条件确保恒成立，B错误．
【变式6-2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若为奇函数，则函数的图象关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称
【答案】A
【分析】根据函数的平移变换求解即可.
【详解】因为为奇函数，则关于原点对称，
根据函数的平移变换，函数的图象是将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，
则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位，
故关于点对称.
【变式6-3】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称 D．是奇函数
【答案】A
【详解】由，得，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误；
由于周期为2，所以，，
又，得，所以是偶函数，A正确；
由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误；
令，由是偶函数且，
得，又，
所以，所以为偶函数，D错误.
【变式6-4】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性定义分析函数的对称性和周期性，根据函数性质逐项分析判断.
【详解】由为偶函数，得，即关于对称.
由为奇函数，得，令可得.
所以，，
联立得，，周期为.
选项A：仅知关于对称，无任何条件可推出，值不确定，A错误.
选项B：由为奇函数得，由对称性，未知，故不一定成立，B错误.
选项C：由，令，得，即恒成立，C正确.
选项D：在中，令，得，由，
所以，故，不一定等于，D错误.
题型7 抽象函数的周期性
【典例7-1】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A． B．
C．是周期为的周期函数 D．
【答案】CD
【分析】先根据题意推导出是周期为的周期函数，即可判断选项C，再根据题干关系式和周期性依次计算选项A，B，D即可.
【详解】由函数是定义域为的奇函数，可知且，
因为，代入
得，整理得，
即知，故是周期为的周期函数，C正确；
选项A，B，，由是周期为的周期函数可知，，
同理，故A，B都错误；
选项D，因为，，，，
所以一个周期内，
所以，故D正确.
故选：CD.
【典例7-2】已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期
C． D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.
【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确；
又因为，所以，所以，即，
所以，所以，故B正确；
在中，令，得，所以，故C错误；
因为，所以，所以，所以，，
故，故D正确．
故选：C
【变式7-1】（多选）函数满足，且，，下列说法正确的有（ ）
A．为的一个周期 B．为奇函数
C． D．
【答案】ABC
【分析】由，通过代入，可求得周期为4，进而判定A；再结合，可判断B；再通过特值代入，可判断C；联想到正切函数的两角和公式和正切函数的性质，可以想到举例从而否定D.
【详解】对于A，当有意义，且，时，
则，
则，
.
当时，(无意义)，
可得,
所以,
所以.
当时，,
可得,
综上，总有.
故为的一个周期，故A正确；
对于B，，即，函数关于点对称.
又由为的一个周期，所以，
所以，故为奇函数，故B正确；
对于C，为奇函数，但无法直接判定有意义.
但已知，可得有意义，故有意义，,
所以分母不为零，有意义，从而,即,
所以，故C正确；
对于D，.
因为，
，，
满足题设所有条件，但是不存在（），故D错误.
故选：ABC.
【变式7-2】已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【详解】因为的周期是3，
所以，令，
则，所以的周期为6，
故选：C．
【变式7-3】（2026高三下·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的一个周期 B．
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点
【答案】ABC
【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据奇函数的性质结合周期性分析判断；对于C：整理可得，结合对称性的定义分析判断；对于D：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
可知函数的一个周期为，故A正确；
对于选项B：由可得，则，
即，且，
又因为，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
可得点是图象的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：例如满足题意，但在上有无数个零点，故D错误；
故选：ABC.
题型08 抽象函数的求值问题
【典例8-1】．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ）
A．0 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，推得是以为周期的周期函数，得到，结合，即可求解.
【详解】由函数是定义在R上的奇函数，可得，且，
又由是偶函数，即函数的图象关于轴对称，
可得函数的图象关于对称，即，
因为，可得，
即，所以函数是以为周期的周期函数，
可得
因为，可得，
所以.
【变式8-1】（25-26高三上·云南·阶段检测）若的定义域为，且，，则（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据条件，赋值化简，可得的周期为6，则所求变为求的值，通过赋值法，代数计算，即可求得答案.
【详解】令，则，
则，与上式相加可得，
即，所以，
则，
所以是以周期为6的函数，
所以，
因为，，
所以令，可得，解得或4，
令，可得，所以，
令，可得，所以，
令，可得，所以.
故选：A
【变式8-2】（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得函数是周期函数，用赋值法可求得，利用周期函数的性质即可得到结果.
【详解】因为函数的定义域为,且所以，且，即.
因为函数为偶函数，所以.
所以，所以函数是周期为4的周期函数.
所以.
故
故选：C.
【变式8-3】（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断.
【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确.
故选：ACD
【变式8-4】（多选）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令代入即可得解；对于B，令化简可得，代入数值判断即可；对于C，由B可得，由A可得，代入数值判断即可；对于D，求出特殊点的值，得到周期性规律，即可得到，即可判断.
【详解】对于A：令得，，又为非常值函数，所以，则，故A正确；
对于B：令得，，
令，则，即，所以，故B错误；
对于C：由B知，，
又令得，，由A选项知，所以，即，所以，故C正确；
对于D选项：由C知，，
又，，，，
故，
因此，故D正确.
故选：ACD.
题型09 抽象函数的比较大小问题
【典例9-1】已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果.
【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数，
因为，
所以，，且函数在上为增函数，
所以，，
因为函数在上为减函数，则，
故，且，
所以，，
故选：D.
【变式9-1】已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据累加法可得即可求解.
【详解】当时，
因为，
故
由累加法可得，
故，故AB错误，
由，
所以故，所以C错误,D正确，
故选：D
【变式9-2】（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.
【详解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
显然可得.
故选：A
【变式9-3】）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由，得到对称轴为，然后求解，进而利用在上单调递减，比较大小，判断选项.
【详解】由，得到对称轴为，则，
而，又在上单调递减，
则，得.
故选：D
题型10 解抽象函数不等式
【典例10-1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可.
【详解】由题意可知， 当 时，，在上单调递减，则的解集为；
当 时，是定义在上的奇函数，则，在上单调递减，则的解集为；
所以，的解集是的解集是．
因为不等式等价于不等式组或
所以不等式的解集是．
故选：D.
【变式10-1】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以.
又函数在上单调递增，所以函数在上单调递减.
所以等价于，解得.
【变式10-2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解.
【详解】构造函数，其中，
则，所以，函数为偶函数，
对任意的对任意、，且，都有，
不妨设，则，可得，即，
所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数，
且，，
当时，由可得，可得；
当时，由可得，可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
【变式10-3】（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上的最大值是6
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】对A，令求值判断；对B，将分解赋值代入已知关系式求解；对C，判断的单调性，结合赋值求解最值；对D，将不等式转化为，利用单调性求解.
【详解】对于A：令，则，解得，A正确；
对于B：
，B正确；
对于C：，且，则，
因为，所以，所以，
所以，即，
所以在单调递减，在上最大值为，
因为，且，
所以，C错误；
对于D：由得，
因为，
所以，因为是减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为.D正确；
故选：ABD.
【变式10-4】已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】先由已知条件证明即恒成立，接着赋值求出，再由题意结合单调性的定义证明函数为R上的增函数，再接着赋值得和，从而替代题设不等式，将其转化成求得或，再利用单调性即可求解.
【详解】因为，
所以对任意实数x，，则，
假设存在使得，
则对任意实数x有，
此时为常数函数，与矛盾，故不存在使得，
所以即恒成立.
令，则，
因为，所以即.
又由可得，
任取，则，所以由题意，
所以
，
所以，所以为R上的增函数，
因为，所以，
所以，
所以等价于，
令，则有即，
所以，解得或，即或，
又为R上的增函数，，，
所以或.
所以关于x的不等式的解集为.
故答案为：.
题型11 抽象函数的零点问题
【典例11-1】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期 B．
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点
【答案】ABC
【分析】根据题意求得函数的周期为，结合函数的周期性和，逐项判定，即可求解．
【详解】由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，
所以函数的周期为，所以A正确；
由，即，所以，且，
又由，，
所以，所以B正确；
由，可得点是图象的一个对称中心，所以C正确；
由在上有，
所以函数在上至少有5个零点，所以D错误．
【变式11-1】（多选）（25-26高三上·江苏无锡·期末）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．零点个数大于1
【答案】ACD
【分析】分别令以及，即可得出；令，代入结合已知即可判断B项；令，代入已知化简即可判断C项；令，可得.依次令，求出的值.然后令，，求出的值.然后根据零点存在定理即可判断D项.
【详解】对于A项，令，由已知可得，，解得.
令，由已知可得，，
解得.故A正确；
对于B项，令，代入已知条件可得，
.
又，所以有.故B错误；
对于C项，令，代入已知条件可得，
.
因为，
所以有，
所以，是奇函数.故C正确；
对于D项，令，代入已知有.
.
令，由可得，
.
令，，由可得，
.
因为函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且，根据零点存在定理，可知在，使得.
根据函数为奇函数，可知.
所以，函数至少存在三个零点.故D正确.
故选：ACD.
【变式11-2】（多选）已知函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C．没有零点． D．
【答案】CD
【分析】利用赋值法和函数的奇偶性定义逐项判断即可.
【详解】对于A，因为，且，
令，得，所以A错；
对于B，因为，
则，两式作差得：
，即为偶函数，所以B错误；
对于C，令，则，
即，
若存在时，则，不成立，所以没有零点，C正确；
对于D，令，得，所以D正确；
故选：CD
【变式11-3】（多选）（2026·贵州毕节·三模）已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（ ）
A．的周期为6
B．在至多有两个零点
C．曲线的一条对称轴为
D．若，则曲线在处的切线方程为
【答案】AD
【分析】利用已知的递推关系推导周期；由于，将的零点转化为求的零点；利用对称轴的定义，验证是否成立；利用导数求斜率，结合切点坐标表示切线方程.
【详解】选项 A：由，可得，因此的周期为，故A正确；
选项 B：，由于恒成立，故的零点等价于的零点.
由是奇函数得，即；
令代入得，即，
令得 ，即，
因此在上至少有个零点，故B错误；
选项 C：由题意知，
令，则 ，
故 ，即 关于点 中心对称，故C错误；
选项 D：对 求导得，
代入 得 ，，
故切线方程为，故D正确.
【变式11-4】（多选）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
【答案】BC
【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C选项，再结合函数零点判断D选项.
【详解】对于A，因为函数的图象关于点中心对称，
所以，即，
也即，
当时，成立，
当时，，
又函数是定义在上的偶函数，
所以，故A错误；
对于B，，
由，所以函数的周期为6，
所以，故B正确；
对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数，
由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确；
对于D，令，则或，
此时在区间有一个零点，
因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，，
所以，
此时，
所以在区间共有个零点分别为，
此时，故D不正确.
题型12 抽象函数中的导数问题
【典例12-1】（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ）
A． B．
C．存在极值点 D．有且只有一个零点
【答案】D
【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得.
【详解】，即，故函数为奇函数，
设，则，
由题意，当时，，
在上单调递增，
又为偶函数，故为奇函数，
在上单调递增，图象连续不断且，
在上单调递增，
当时，，；同理当时，，
对于A，，，，故A错误.
对于B，当时，，则，故B错误.
对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误.
对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确.
【变式12-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，求导并利用导数结合的单调性和奇偶性分析的单调性和奇偶性，从而转化不等式为，进而求出实数的取值范围．
【详解】设，则，
又在上，，则，
函数在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，则，
，即，
函数为上的奇函数，
在上单调递减，
又，
，即，
，解得．
【变式12-2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据为奇函数，确定的图象关于中心对称，根据复合函数求导确定的图象关于轴对称，进而确定函数周期，即可求解.
【详解】是奇函数，所以，
即，
且，又，所以，
因为，即，
即，令，得，
即，
即，则关于直线对称，
可得，
可得
则，故函数是周期为4的函数，
，
所以
【变式12-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值.
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即.
两边求导，可得：，可得.
因为，所以的图象关于直线对称，则.
用代替可得.
将代入中，可得 ①.
用代替可得 ②.
由②①可得：.
所以是周期为的周期函数.
所以.
因为的图象关于直线对称，所以.
在中，令，可得，解得，
所以，即.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可．
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，
所以在上单调递减，且，
作出简图，如图所示，

当时，由得，即，
当时，由得，即，
当时，不合题意，
所以满足不等式的的取值范围是，
故选：C．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
【答案】B
【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误.
【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时.
对于A，令，则或，
若，则对，取，都有，不满足单调函数性质，
故，故A正确；
对于B，令，则或
由，则舍去，得，
因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误；
对于C，令，则或（舍），
则，取，
则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
则，故D正确.
故选：B
3．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，，进而可求得
【详解】，
则，
则，
即，所以，即
故选：B.
4．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值.
【详解】函数的定义域为，由，，
令，则，解得；
令，则，则；
因为①，
①式中，用替换，则，
故，所以为偶函数.
①式中，用替换，则，
所以，即②，
①②可得，，则③，
③式中，用替换，得④，
④式中，用替换，⑤，
由④⑤得，则为周期函数且周期为6，
所以，，
故.
故选：C.
5．（多选）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A． B．是奇函数（ ）
C．是奇函数 D．恒成立
【答案】ACD
【分析】采用赋值法逐项分析，取，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取，若存在，则，可判断D.
【详解】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确；
取，则，所以，即B错误；
因为，所以，所以，即C正确；
取，已知函数在上单调递增，则，又，
若存在，则，所以，即D正确.
故选：ACD.
6．（多选）已知，，则（ ）
A． B．恒成立
C． D．满足条件的不止一个
【答案】ABC
【分析】令即可判断A；令即可判断B；令即可判断C；令即可判断D.
【详解】A：令，得．又，所以，故A正确．
B：令，得，即，所以，
令，得，即函数，所以，故B正确，D错误；
C：令，得，代入，
可得，则，故C正确；
故选：ABC．
7．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④.
【答案】（答案不唯一）
【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解.
【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减；
条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征，
在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合；
在中，取为负偶数即可.
创新提升
1．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性的定义判断A，B；举反例判断C；根据单调性的定义判断D．
【详解】解：对于A，令，
则，
所以为偶函数，即是偶函数，故A正确；
对于B，令，
则，
所以是偶函数，即是偶函数，故B正确；
对于C，取，则在R上单调递减，
则，在R上单调递增，故C错误；
对于D，因为是单调递增函数，
任取，且，
则，
所以，
所以也是单调递增函数，故D正确.
故选：C.
2．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项.
【详解】解：令，则，
则，解得或，
因为，所以，
化简得，设，则，
当时，，令，则，
即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误；
因为，所以，结合，可得，
所以，则，因此，，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误，
此时，选项正确，
3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，任意，满足，且，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据题设条件，挖掘抽象函数的结构特征，吻合正弦平方差公式，合理联想并创新构建三角函数模型，并利用特殊函数值加以配凑对应函数的系数，借助特殊值法加以转化与应用，综合函数的基本性质加以分析与求解．
【详解】依题，吻合正弦平方差公式，
结合，构建特殊函数满足题设条件，
则知该函数是以4为周期的函数，也是一个奇函数，有，
依，可得，
则，
所以.
4．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用是偶函数可判断出函数的对称轴，再利用当时，恒成立，判断出函数的单调性，即可求解.
【详解】当时，恒成立，
当时，，即，
函数在上为增函数，
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，，
又函数在上为增函数，，
即，.
故选：B.
5．（2026·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2 B．图象关于直线对称
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.
【详解】为奇函数，得，
即，则为奇函数，故C错误；
且图象关于点中心对称，故B错误；
可知，函数周期为4，故A错误；
，又图象关于点中心对称，知，
所以，得关于点对称，
则关于点对称，所以为奇函数，故D正确.
故选：D.
6．（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意得到函数图象关于直线对称，关于中心对称，可判断B；得到周期为，可判断C；根据周期性和对称性可判断A；求出，结合周期性可判断D.
【详解】因为为偶函数，则，即，
所以函数图象关于直线对称，
又因为，由可化为，
所以函数图象关于中心对称，故B错误；
易知，又，所以，
故函数的周期为，故，故C正确；
又，故A正确；
易知，，故，
，故D正确.
故选：ACD.
7．（多选）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．在上单调递增
【答案】BC
【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解.
【详解】令，得到，则.故A错误.
令，得到，
则，
则或,
由于当时，，则此时，
故时，，故时，，所以，
而，故对任意恒成立，则关于对称.
可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位.
则的图象关于点对称，故B正确.
令，得到，
则.
令，得到
令，得到，
两式相减得，
变形，
即,
时，，两边除以，
即，故C正确.
令，则，
时，，则，
且，则，即.故D错误.
故选：BC.
【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.
8．（多选（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．一个对称中心为 B．的一个周期为2
C．的图象关于对称 D．
【答案】ACD
【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由，两边求导可得的图象关于对称，结合条件可得，由周期函数的定义得解；对C，由的图象关于对称，周期为4，可判断；对D，将代入，可得，将代入结合可得，结合函数的周期性运算得解.
【详解】对于A，由满足，则关于中心对称，故A正确；
对于B，由，两边求导可得，
即，所以的图象关于对称，
又等价于，
，所以，
，即的一个周期为4，故B错误；
对于C，因为的图象关于对称，周期为4，所以的图象关于对称，故C正确；
对于D，将代入，可得，
将代入，得，又，
所以，，
所以，
又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
9．（2026·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________．
【答案】
【分析】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解.
【详解】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
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重难点培优03 抽象函数问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 抽象函数的定义域 …………………………………………………………………04
题型02 抽象函数的值域 ……………………………………………………………………04
题型03抽象函数的解析式 ……………………………………………………………………05
题型04 抽象函数的奇偶性……………………………………………………………………06
题型05 抽象函数的单调性……………………………………………………………………07
题型06 抽象函数的对称性 …………………………………………………………………08
题型07 抽象函数的周期性……………………………………………………………………09
题型08 抽象函数的求值问题…………………………………………………………………10
题型09 抽象函数中的比较大小 ……………………………………………………………10
题型10 解抽象函数不等式 …………………………………………………………………11
题型11 抽象函数中的零点问题………………………………………………………………12
题型12 抽象函数中的导数问题………………………………………………………………13
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ……………………………………………………………………………………………14
创新提升 ……………………………………………………………………………………………15
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1抽象函数
1.抽象函数的概念
抽象函数，就是没有直接给出具体解析式，而是只通过一些关系式、性质或条件来描述的函数。抽象函数的核心不是“函数很复杂”，而是已知的是函数的性质和运算规则，而不是具体解析式。高考里主要用它来考查你对函数概念、奇偶性、单调性、周期性和图像的理解。
2.抽象函数的解题策略
策略1 赋值法
根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有的函数值时，也常将代入；另外也可以将代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性。
策略1 探究新知
根据条件可以探究函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，以便我们顺利的解决问题，下面是判断函数性质的常用结论：
1.对称性：
结论1：任意函数关于直线对称
推广：的图像关于对称；
结论2：任意函数关于直线对称
2.周期性：
结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期.
结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期.
结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期.
3.对称性与周期性的关系：
性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期；
性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期；
性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。
下面三个函数，也是常见的周期函数形式：
．
策略3 构造具体函数
抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标两个角度：
角度1：抽象问题图像化：根据题设条件画出函数图像，然后根据图像寻找解题的思路和方法；
角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果。
知识点2 抽象函数模型
（1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为
（4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 .
（5） 对于对数函数 ，
其对应的抽象函数为 或
对于对数函数 ，其抽象函数还可以是
（6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
（7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为
对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是
（8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为
题型深研·通法变式提能力
题型1 抽象函数的定义域
【典例1-1】（25-26高三下·江西宜春·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______．
【变式1-3】已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.
题型2 抽象函数的值域
【典例2-1】已知满足，且，则的值域为_____
【变式2-1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式2-2】已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【变式2-3】已知定义域为的函数满足：对任意，有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若存在使得，则的最小正周期为
C．为偶函数
D．的值域为
题型3 求抽象函数的解析式
【典例3-1】（2026·江西九江·模拟预测）已知函数满足对任意实数，都有，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2026·重庆·二模）已知是偶函数，对任意，，；当时，．则的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
【变式3-1】已知函数满足，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上的导函数为增函数，则称在区间上为“凹函数”.已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．函数在区间上为“凹函数”
D．若函数为上的“凹函数”，则的取值范围为
【变式3-3】（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）对任意，函数都满足，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．直线是曲线的切线
题型4 分段函数的奇偶性
【典例4-1】（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R上的奇函数，满足，，则（ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
【典例4-2】（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
【变式4-1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【变式4-3】已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
题型5 抽象函数的单调性
【典例5-1】（多选）（2026·陕西西安·三模）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（ ）
A． B．
C．当时， D．在上单调递减
【变式5-1】已知函数的定义域为，若对于任意的， 都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式5-2】已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
【变式5-3】（多选）（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知定义在上的函数满足，都有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递增
D．当时，
【变式5-4】已知函数在上满足，且当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)判断并证明函数的单调性；
(3)若，求不等式的解集．
题型06 抽象函数的对称性
【典例6-1】1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在上的函数，的图象分别关于点，对称，则下列点一定是函数的图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数与的定义域均为R，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C．的周期 D．
【变式6-2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若为奇函数，则函数的图象关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称
【变式6-3】（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称 D．是奇函数
【变式6-4】（2026·安徽滁州·二模）已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型7 抽象函数的周期性
【典例7-1】（多选）（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A． B．
C．是周期为的周期函数 D．
【典例7-2】已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期
C． D．
【变式7-1】（多选）函数满足，且，，下列说法正确的有（ ）
A．为的一个周期 B．为奇函数
C． D．
【变式7-2】已知函数的周期是3，则的周期为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
【变式7-3】（2026高三下·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的一个周期 B．
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点
题型08 抽象函数的求值问题
【典例8-1】．（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ）
A．0 B． C．2 D．4
【变式8-1】（25-26高三上·云南·阶段检测）若的定义域为，且，，则（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【变式8-2】（25-26高三上·浙江温州·阶段检测）已知函数的定义域为为偶函数，且，则（ ）
A．47 B． C．1 D．2
【变式8-3】（2025·青海海东·三模）定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
【变式8-4】（多选）已知非常值函数的定义域为，对任意都有，且，则（ ）
A． B．
C． D．
题型09 抽象函数的比较大小问题
【典例9-1】已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-1】已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（2026·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】）已知函数满足，且在区间上单调递减.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型10 解抽象函数不等式
【典例10-1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-1】（2026·河南·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（多选）已知连续函数满足：①，，有；②当时，；③．则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．在区间上的最大值是6
D．不等式的解集为
【变式10-4】已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为__________.
题型11 抽象函数的零点问题
【典例11-1】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）
A．函数的周期 B．
C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点
【变式11-1】（多选）（25-26高三上·江苏无锡·期末）函数在R上的图象是一条连续不断的曲线，，，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．零点个数大于1
【变式11-2】（多选）已知函数满足，且，则（ ）
A． B．为奇函数
C．没有零点． D．
【变式11-3】（多选）（2026·贵州毕节·三模）已知定义在R上的可导函数满足：①是奇函数，②.设函数，则（ ）
A．的周期为6
B．在至多有两个零点
C．曲线的一条对称轴为
D．若，则曲线在处的切线方程为
【变式11-4】（多选）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
题型12 抽象函数中的导数问题
【典例12-1】（2026·福建泉州·一模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ）
A． B．
C．存在极值点 D．有且只有一个零点
【变式12-1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-2】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】（2026·四川眉山·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．可能是单调递减函数
C．为奇函数 D．若，则
3．已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（多选）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则
A． B．是奇函数（ ）
C．是奇函数 D．恒成立
6．（多选）已知，，则（ ）
A． B．恒成立
C． D．满足条件的不止一个
7．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④.
创新提升
1．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数的定义域是，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
B．若是偶函数，为奇函数，则是偶函数
C．若是单调递减函数，则也是单调递减函数
D．若是单调递增函数，则也是单调递增函数
2．（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，任意，满足，且，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2 B．图象关于直线对称
C．为偶函数 D．为奇函数
6．（多选）已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（ ）
A． B．为奇函数
C． D．
7．（多选）定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．
D．在上单调递增
8．（多选（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数定义域为，其导函数为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．一个对称中心为 B．的一个周期为2
C．的图象关于对称 D．
9．（2026·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________．
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