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重难点培优04 复合函数、嵌套函数的零点问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 y=f[f(x)]型函数的零点问题 ………………………………………………………02
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
题型02 y=f[g(x)]型函数的零点问题 ………………………………………………………09
题型03 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题 ……………………………………………16
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ……………………………………………………………………………………………23
创新提升 ……………………………………………………………………………………………30
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1嵌套函数的概念
嵌套函数，又称复合函数，是指一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成如f(g(x))或f(f(x))的结构。其中，g(x)为内层函数，f(x)为外层函数。这类函数在数学分析与实际建模中广泛应用，其零点问题（即方程f(g(x))=0的解）常需借助特殊策略求解。
知识点2嵌套函数零点问题的处理策略
处理嵌套函数零点的核心思想是“换元转化、分层讨论”。首先，令 ，将原方程转化为 ，先求解外层函数的零点 。然后，将每个 代回，解方程 ，从而得到原函数的零点。此过程体现了“由外到内”的分解逻辑。
在实际操作中，常结合图像法辅助分析。例如，若 有两个解 和 ，则原函数零点个数即为方程 与 的实数解个数之和。通过绘制 的图像，并观察其与水平线 、 的交点个数，可直观判断零点数量。
此外，需注意内层函数的值域对外层函数定义域的限制，避免增解或漏解。对于含参问题，可通过分析交点个数随参数变化的情况，确定参数范围。
总之，嵌套函数零点问题的关键在于换元降维、分层求解，并辅以数形结合，提升解题效率与准确性。
题型深研·通法变式提能力
题型1 y=f[f(x)]型函数的零点问题
角度1 零点个数的判断
【典例1-1】（多选）（2026高三·一轮·专题复习）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　）
A．在内一定有零点 B．在内一定有零点
C．当时，有个零点 D．当时，有个零点
【答案】CD
【分析】分及并画出相应图象进行讨论即可得.
【详解】当时，，图象如图（1），
此时即，
若，则，
若，则，
又有2个零点，也有2个零点，
故有4个零点，故C正确；
当时，，图象如图（2），
此时即，只有一种情况，
此时仅有1个零点，
所以当时，有1个零点，故D正确；
由图象可得A、B错误.
角度2 根据零点个数求参数范围
【典例1-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【分析】利用换元法，将多层复合方程拆解为外层和内层方程，通过分析外层方程根的分布，反推参数的取值范围.
【详解】已知，其值域为，
令，则原方程可化为，即：，
设该方程的两根为（），要使有4个不同实根，需满足：
有两个不同的实根，这两个根均大于.
即有两个不同实根，则
设，要使的两根均大于，需满足：
其中.
同时，当时，，
若，则是方程的一个根，此时仅有1个根，
有2个根，总根个数为3，不符合题意.
当时，（二重根），此时有2个不同实根，总根个数为2，不符合题意.
综上，的取值范围为.
【变式1-1】已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
【答案】D
【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得.
【详解】令，则.当时，则，得或.
当时，则，得或.
再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根：
——①，——②，——③，——④.
再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，图象如下：
对方程①，因为，
所以时，，得或，解得或；
当时，，得或（舍去）.
所以方程共有3个根.
对方程——②，因为.
所以时，，得或，解得或；
当时，，得或（舍去）.
所以方程共有3个根.
对于方程——③，
所以时，，得或，解得或；
当时，，得或.
所以方程共有4个根.
对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根.
综上所述，方程的根共有个根.
故选：D.
【变式1-2】（25-26高一下·重庆·期中）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解．
【详解】当时，，对称轴为.
当时，函数在单调递增，函数图象如下：
令，则由，
结合图象可得或，即或.
结合图象可知，有2个解，有1个解，
此时函数有3个零点，不符合题意.
当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下：
令，则由，结合图象可得或或，
即或或.
由图可知，有2个解，有3个解，
又函数有8个零点，则需有3个解.
需使，解得.
综上，实数的取值范围为.
【变式1-3】（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________．
【答案】13
【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.
【详解】令，
由得或，所以或，
当时，或，
当时，则或，解得，
所以函数的所有零点之和为．
【变式1-4】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________．
【答案】
【分析】本题需要先分析函数的奇偶性，利用导数研究函数的单调性和极值，得到函数的图象，然后再通过换元法，把零点问题转换成两个函数图象的交点问题.
【详解】函数的定义域为，由，得，
所以函数是偶函数，
当时，，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，上单调递减，
又为偶函数，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又时，，所以的值域为．
令，则，由，得，
因为，所以，画出与的图象如图所示，
所以在区间有唯一零点，
令，,函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4．
【变式1-5】（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先分析的图像及性质，依题意可知方程有三个不同的实根，结合图象可看出方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，结合等价于的等式可得到，最后即可推出的最小值．
【详解】解：，
在和单调递增，其简要图形如下：
设，即方程有三个不同的实数解，
又当时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解，
所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解，
且，，解得，
时，即，
不妨设，
则，
即，解得
，
又在上单调递增，
时，．
题型2 y=f[g(x)]型函数的零点问题
角度1 零点个数的判断
【典例2-1】已知函数和在的图象如下所示:
给出下列四个命题：
(1)方程有且仅有6个根(2)方程有且仅有3个根
(3)方程有且仅有5个根(4)方程有且仅有4个根其中正确的命题是________.
将所有正确的命题序号填在横线上)
【答案】(1)(3)(4).
【解析】(1)或0或1,共有6个解.(1)正确.
(2)或,其中为的两根,有一个根,有三个根,共有四个根.(2)不正确
(3)有三个根,或0或有三个根,有一个根,有一个根,共有五个根,(3)正确(4)有二个根,或有二个根,有二个根,
共有四个根,(4)正确.
【变式2-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设函数，若函数与都没有零点，则函数与（ ）
A．恰有一个零点 B．至少有一个没有零点
C．至少有一个有零点 D．无法确定
【答案】B
【分析】通过定义、的值域，结合已知的无零点条件，分值域的包含（或相等）关系讨论，推导与的零点情况.
【详解】设二次函数的值域为集合，
指数函数的值域为集合.
由“无零点”，得方程在时无实根；
由“无零点”，得方程在时无实根.
分三种情况讨论与的关系：
①若： 的自变量，
结合“在无实根”，得无零点；
②若： 的自变量，
结合“在无实根”，得无零点；
③若： 的自变量，
的自变量，故两者均无零点.
综上，函数与至少有一个没有零点.
故选：B
【变式2-2】已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
【答案】 4
【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围；对于方程，设，作出函数的图象，数形结合可得出函数与直线的交点横坐标、、的取值范围，再结合图形得出方程、、的根的个数即可.
【详解】如图，作出函数的图象，
由题意，直线与函数的图象有两个不同的交点.
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
故实数m的取值范围为；
对于方程，设，则有，
依题意，即是求解函数与直线的交点个数问题.
作出函数的图象如下图所示：
因为，函数与有个交点，
即有三个根、、，其中、、，
再结合的图象可知，方程有个不同的根，方程有个根，方程有个根，
综上所述，方程有个不同的解.
故答案为：；.
角度2 已知零点个数求参数
【典例2-2】（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图象，问题转化为必须有两个小于2的不同根，数形结合得解.
【详解】令，则，如图，
由图像可知，和均最多有2个不同的根，
所以要使得有四个不同的解，则必须有两个小于2的不同根，由的图像可得实数的取值范围是.
故选：B
【变式2-3】已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】法一：结合函数图象，换元法结合有个不相等的解列式计算求参；法二：方程的5个不相等的解等价于有两根，其中一根，另一根，进而列式计算求解.
【详解】法一：当时，（时等号成立），
当时，在单调递减且，的图象如图所示，
令，，即，
由有个不等解等价于有两根，
其中一根，另一根，
根据韦达定理，，，则，，
，由，所以．
法二：可知由有个不等解等价于有两根，其中一根，另一根，
所以，
由①得，则，
将④代入②得：⑤
又由③得⑥，
由⑤⑥可知，所以.
故答案为：．
【变式2-4】已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案.
【详解】令，则，
根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根，
且有两个整数根，有三个整数根，
结合图象，当与相切时满足要求，
在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，故，
又，，其在定义域内单调递减，令，解得，
故时，有两个整数根，分别为2和，
由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求，
此时，故，令，解得另一个根为4，
又，解得，
故五个整数根分别为，，1，2，4，
所以最大整数解和最小整数解之积为．
故选：A．
【变式2-5】已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据一个零点对应最多4个解，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.
【详解】
由题可得函数图象，
当或时，有两个解；
当时，有4个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解；
因为最多有两个解.
因此，要使有6个零点，则有两个解，
设为，则存在下列几种情况：
有2个解，有4个解，即或，显然，
则此时应满足，即，解得，
有3个解，有3个解，设即，
则应满足，无解，舍去，
综上所述，的取值范围为.
题型3 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题
角度1 函数零点个数的判断
【典例3-1】（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】求导后转化为方程根的问题，再结合题意求出方程的不同实根个数.
【详解】，且，是极值点，
则，故
令，则方程即为 ，解得或，
因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4．
【变式3-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数，则方程的解的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案.
【详解】有，得，解得或5，
当时，单调递减，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
令，解得或5，
所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
作出，和的图象，如下图所示：
由图象可得直线与的图象有4个交点，
直线与的图象有2个交点，共有6个交点，
所以方程解的个数为6.
故选：B
【变式3-2】．（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先对求导，利用导求出的单调区间和极值，画出的大致图象，然后令，则，可得方程有两个不相等的实根，设为，将问题转化为与，交点个数，利用图象求解即可.
【详解】的定义域为，
由，得，
由，得，由，得或，
所以在上递增，在和上递减，
所以的极大值为，极小值为，
当时，，则的大致图象如图所示，
令，则，
所以方程有两个不相等的实根，，，
所以由图可知，的图象与有2 个不同的交点，的图象与有1 个不同的交点，
所以原方程有3个不同的根.
故选：B
【变式3-3】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（ ）
A． B．0 C．7 D．6
【答案】A
【分析】先设，求出方程的解，利用函数的奇偶性作出函数在时的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】解：设，则关于的方程，
等价，
解得或，
当时，，此时不满足方程．
若，则，即，
若，则，即，
作出当时，的图象如图：

当时，对应3个交点．即，
∵函数是奇函数，
∴当时，由，
可得当时，，此时函数图象对应4个交点，
即
方程的7个实根和为．
故选：A．
角度2 已知零点个数求参数
【典例3-2】（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】借助导数确定函数的性质并作出图象，再由函数零点的意义变形，将问题转化为直线与函数图象有4个交点求解.
【详解】当时，在上单调递减，函数值域为，
在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
当时，，求导得，由，得；
由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，
当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图：
由，得，则或，
显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解，
即直线与函数的图象有4个交点，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
【变式3-4】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围．
【详解】根据解析式知的图象如图所示：
由题意，有4个不相等的实数根，
设，结合图象可知有两个不等实根，
设此关于方程的解为、，其中均不为零且．
由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，，
故不能都大于2，不能都小于等于1，
故（舍）或或（舍）．
令，其开口向上，
需满足，即，解得.
【变式3-5】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值.
【详解】由因式分解得：
即或.
是定义在上的奇函数，则；
由题意知当 时， ，
当 时，，则，
当 时，，则，
以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示：
结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根；
当时，和的图象有2个交点，即有2个根，
结合图象可知其他选项不合题意，
所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根.
【变式3-6】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围．
【详解】当时，，开口向下，对称轴为，
；
当时，，，函数在单调递减，在单调递增；
作出的大致图象如下，
设，则关于的方程有2个不同的根和，
且关于的方程分别有4个不同的根．
不妨设，则关于的方程需满足：，
①若，则，故，
且，即，
解得；
②若，则，此时，符合题意，故．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数则方程的解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案.
【详解】函数的图象如图所示：
设，则方程即，由图象可知，与有三个交点，
横坐标分别为，其中，，，
方程解的个数转化为方程，，解的个数之和，
由图象可知，与有一个交点，与有三个交点，
与没有交点，
所以方程解的个数为.
故选：B.
2．若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令，可得或，分，求导判断的单调性及极值，进而可得，的解的个数，进而可得的零点个数.
【详解】令，则，所以，
解得，解得或，
当时，，求导得，
令，则，解得，
若时，，若，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
当时，在上单调递增，且，
所以有3个解，有2个解，
所以的零点个数为5个.
故选：D.
3．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】令，由可得，，，分类讨论结合函数图象分析求解即可.
【详解】求函数的零点个数，即求方程的不同实数根的个数，
如图，作出函数的大致图象，
令，则，解得，，．
当时，，则，此时方程无解；
当时，，则，此时方程有3个不同实数根；
当时，，则，此时方程有2个不同实数根．
综上可知，函数的零点个数为5．
故选：A．
4．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解.
【详解】当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，函数图象如下：
令，，解得或，
即或，根据图象有2个解，有1个解，
所以此时有3个零点，不符合题意；
当，时，，对称轴为，
所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下：
令，，解得或或，
根据图象有2个解，有3个解，
又有6个零点，所以要有1个解，
即，解得，
故选：D.
5．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先换元将原方程转化为关于的二次方程，求出的解，再结合的单调性、极值分析的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定的取值范围.
【详解】因为，所以，
当时，，则函数在上单调递增，且，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
，所以在处取到极大值，
且当时，，则的大致图象为：
由此可得大致图象为：
令，由题意可得则方程可化为，
即，解得或，
原方程有且仅有4个不同的实根，
等价于和对应方程的根的总数为4个，
因为，所以，结合图象，
要使和有且仅有4个根，
则需要满足：且，解得，此时有1个实根，有3个实根，满足题意.
6．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数，的零点个数为，为实数，则下列正确的有（ ）
A．当时， B．当时，
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【答案】AD
【分析】作出函数的图象，数形结合可判断AB选项；利用复合函数的单调性可判断CD选项.
【详解】因为函数，函数的图象如下图所示：
当时，由可得，
当时，由可得；当时，由，可得.
综上所述，当时，，A对；
对于B选项，当时，令，则有两解、，且，，
方程有两解，方程有两解，故当时，，B错；
令，则，
当时，，
函数在上单调递增，函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，C错；
当时，，
函数在上单调递减，函数在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，D对.
故选：AD.
7．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，关于的方程的解的个数可能是________.
【答案】
【分析】令，方程转化为，再根据判别式分析二次方程根的个数，再结合分段函数得出方程的解的个数情况.
【详解】函数的图像如下：

令，则，则，
当时，即，或，方程无解，
即无解；
当时，，由图可知与的图象有两个交点，即方程解的个数为2个，
当时，即，，，则，
故，，
当时，则有两解，
当时，若，则有三解，若，则有两解，
故方程解的个数为4或5个，
综上方程解的个数可能为个.
故答案为：.
创新提升
1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】作函数图象，数形结合求解.
【详解】令，解得，
因为，所以，
作出函数，直线的图象，如图，
由图象可知，直线与函数图象有3个交点，
所以的根有3个，即满足条件的实数a的值的个数为3个.
2．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．8
【答案】D
【分析】利用换元法结合题意求解零点个数，再利用偶函数性质排除掉其他区间的零点即可.
【详解】令，由题意得欲求的零点个数，
则求的零点个数，即求的零点个数，
故求与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，

由图象可得共4个交点，但，故，
当时，此时求的零点个数即可，
当时，令，无解，
当时，，
令，解得（负根舍去），
当时，，
令，解得，
当时，由偶函数性质可得的零点为和，
得到共有4个零点，
当时，此时求的零点个数即可，
当时，令，无解，
当时，，
令，无解，
当时，，
令，解得（负根舍去），
当时，，且，
令，解得（负根舍去），
当时，由偶函数性质可得的零点为和，
得到共有4个零点，
则当时，结合题意归纳得，无解，
由偶函数性质得当时，结合题意归纳得，无解，
则函数的零点个数为8，故D正确.
故选：D
3．（25-26高三上·山东·期中）已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出的大致图象，令，根据一元二次方程根的分布，结合图象计算即可.
【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下：
设，则有8个不同的零点，
需有两个不同零点，不妨设
同时分别对应4个零点，
若，
即，
则，且，
即，解之得.
若，则仍需，此时，不符合题意，舍去；
综上：.
故选：B
4．设函数.若函数与都没有零点，则函数与（ ）
A．都没有零点 B．都有零点
C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点
【答案】C
【分析】假设函数与都有零点，再根据反证法证明假设不成立即可得答案.
【详解】解：因为的开口向上，
所以，设最小值分别为，
假设函数与都有零点，
则存在使得，令，则；
存在使得，令，则；
所以，
下面分三种情况讨论：
假设，则函数，即函数与有零点，与函数与都没有零点矛盾，故不成立；
假设，则使得，此时，即函数存在零点，与没有零点矛盾，故不成立；
假设，则使得，此时，即函数存在零点，与没有零点矛盾，故不成立；
综上，假设函数与都有零点不成立，即函数与至少有一个没有零点.
故选：C
5．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】令可将方程变为，通过分析可确定，将问题转化为在上有解的问题，通过分离变量的方法，结合导数求得函数值域，进而得到所求范围.
【详解】与图象关于直线对称，，
，；
设，则由得：，
均在函数图象上；
假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾；
假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾；
，即在上有解，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
又，，，解得：，
即实数的取值范围为.
6．（多选）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是
【答案】BCD
【分析】作出函数的大致图象，令，由方程有且仅有5个不相等的整数解，转换成有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，即可求解.
【详解】因为当时，，当且仅当时取等号，
当时，，
因为在单调递减，而单调递增，
所以在定义域内单调递减，
结合对勾函数和对数函数的图象与性质，作出函数的大致图象，如下：
令，则，即，根据的图象可知，
要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根，
当且仅当时，有两个整数根或．
要满足有三个整数根，结合图象知必有一根大于0小于2，
显然只有符合题意，当时，，则．
即的两个不相等的根为4和5，所以，．故A错误，B正确．
解方程得或，解方程得，
此时五个整数根从小到大依次是，，，，，故C，D正确．
故选：BCD．
7．（多选）（2026·江苏扬州·三模）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．的最小值为
D．的最大值为
【答案】AB
【分析】结合图像得出方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，根据方程和求出，再逐个选项进行判断.
【详解】画出函数的图像：
设，即方程有三个不同的实根，
由于在上单调递增，且该部分值域为，在单调递增，且该部分值域为，，
令，
结合图像可知，方程有三个不同的实数根当且仅当有两个不同的实根，
即当且仅当，且，
，
再考虑方程和，注意，
或或，
因为，所以，
对于A，，
所以，A正确；
对于B，，，
令，则，当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，B正确；
对于C，，因为，所以单调递增，
因为，所以无最小值，C错误；
对于D，在上单调递增，
所以，所以的最大值为，D错误.
8．（多选）（2026·山东德州·模拟预测）已知函数，关于的方程在上恰有14个不同的实数根，则的值可能为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】BC
【分析】将关于的四次方程因式分解，转化为正弦函数取特定值的问题，再根据的区间得到相位范围，结合正弦函数图像的根的分布，建立不等式求解参数的范围.
【详解】关于的方程即为，得或.
由，得，
因为关于的方程在上恰有14个不同的实数根，
所以根据正弦函数的图象得，解得.
故答案为BC.
9．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】目标函数内外两层是不同的解析式，可以分层化归为已知函数来求解.
【详解】令，则恰有个零点，
等价于有三个不同的解，，，
且对应有个实数根，
由函数的图象，如图，
所以，，
要满足有个实数根，则需
即，解得．
故m的取值范围为．
故答案为：．
10．（2026·天津东丽·二模）设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】分别求出时的函数值域与时函数的值域即得；分、及进行讨论即得.
【详解】当时，，当时，，
当时，，故此时的值域为；
若关于x的方程恰有一个根，
当时，可得，即，则，解得，不合题意，舍去；
当时，可得，即，
令，，则恒成立，故在上单调递增，
又，，
故当时，该方程在上有一个根；
当时，可得，即，
则，解得，
令，可得，令，可得，
故当时，该方程在上有两个根，
当时，该方程在上有一个根，
当时，该方程在上无根；
综上可得：当时，该方程无根；当时，该方程恰有一个根；
当时，该方程有两个根；当时，该方程有三个根；
当时，该方程有两个根.
故的取值范围是.
11．（25-26高三上·河南·阶段检测）设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______．
【答案】 2
【分析】令，则，由得，进而得，作出的图象，利用数形结合即可求解；由题意，进而得，令，则，令，利用导数法研究单调性得，又时，，可得，即可求解.
【详解】令，则，所以，由，
因为，所以，作出的图像：
由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2；
由有，
所以，
所以，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，
所以当时，，所以，
又因为时，，所以，且当时，，
又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
所以，所以.
故答案为：.
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重难点培优04 复合函数、嵌套函数的零点问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧
题型深研·通法变式提能力
题型01 y=f[f(x)]型函数的零点问题 ………………………………………………………01
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
题型02 y=f[g(x)]型函数的零点问题 ………………………………………………………03
题型03 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题 ……………………………………………04
角度1 零点个数的判断
角度2 已知零点个数求参数
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关 ……………………………………………………………………………………………05
创新提升 ……………………………………………………………………………………………06
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1嵌套函数的概念
嵌套函数，又称复合函数，是指一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成如f(g(x))或f(f(x))的结构。其中，g(x)为内层函数，f(x)为外层函数。这类函数在数学分析与实际建模中广泛应用，其零点问题（即方程f(g(x))=0的解）常需借助特殊策略求解。
知识点2嵌套函数零点问题的处理策略
处理嵌套函数零点的核心思想是“换元转化、分层讨论”。首先，令 ，将原方程转化为 ，先求解外层函数的零点 。然后，将每个 代回，解方程 ，从而得到原函数的零点。此过程体现了“由外到内”的分解逻辑。
在实际操作中，常结合图像法辅助分析。例如，若 有两个解 和 ，则原函数零点个数即为方程 与 的实数解个数之和。通过绘制 的图像，并观察其与水平线 、 的交点个数，可直观判断零点数量。
此外，需注意内层函数的值域对外层函数定义域的限制，避免增解或漏解。对于含参问题，可通过分析交点个数随参数变化的情况，确定参数范围。
总之，嵌套函数零点问题的关键在于换元降维、分层求解，并辅以数形结合，提升解题效率与准确性。
题型深研·通法变式提能力
题型1 y=f[f(x)]型函数的零点问题
角度1 零点个数的判断
【典例1-1】（多选）（2026高三·一轮·专题复习）已知函数，下列是关于函数的零点的判断，其中正确的是（　　）
A．在内一定有零点 B．在内一定有零点
C．当时，有个零点 D．当时，有个零点
角度2 根据零点个数求参数范围
【典例1-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为_____．
【变式1-1】已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
【变式1-2】（25-26高一下·重庆·期中）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________．
【变式1-3】（25-26高二·全国·暑假作业）函数，则函数的所有零点之和为_________．
【变式1-4】（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知函数，若，则函数的零点个数是___________．
【变式1-5】（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
题型2 y=f[g(x)]型函数的零点问题
角度1 零点个数的判断
【典例2-1】已知函数和在的图象如下所示:
给出下列四个命题：
(1)方程有且仅有6个根(2)方程有且仅有3个根
(3)方程有且仅有5个根(4)方程有且仅有4个根其中正确的命题是________.
将所有正确的命题序号填在横线上)
【变式2-1】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）设函数，若函数与都没有零点，则函数与（ ）
A．恰有一个零点 B．至少有一个没有零点
C．至少有一个有零点 D．无法确定
【变式2-2】已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.
角度2 已知零点个数求参数
【典例2-2】（25-26高一上·山东·期中）已知函数，，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知函数，，若方程有且仅有个不相等的解，则的取值范围是_____．
【变式2-4】已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】已知函数，若有6个零点，则的取值范围为 .
题型3 y=af2(x)+bf(x)+c 型函数的零点问题
角度1 函数零点个数的判断
【典例3-1】（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知函数，则方程的解的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3-2】．（25-26高三上·海南海口·期中）设函数则方程的实数根的个数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3-3】（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知定义在上的奇函数，当时， ，则关于的方程的所有实数根的和是（ ）
A． B．0 C．7 D．6
角度2 已知零点个数求参数
【典例3-2】（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-5】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3-6】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（25-26高三上·福建漳州·阶段检测）已知函数则方程的解的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若函数，则的零点个数为（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数，的零点个数为，为实数，则下列正确的有（ ）
A．当时， B．当时，
C．在上单调递增 D．在上单调递增
7．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知函数，关于的方程的解的个数可能是________.
创新提升
1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知，则实数a满足，则满足条件的实数a的值的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．8
3．（25-26高三上·山东·期中）已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数.若函数与都没有零点，则函数与（ ）
A．都没有零点 B．都有零点
C．至少有一个没有零点 D．至少有一个有零点
5．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选）已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．最大的整数解是4 D．最小的整数解是
7．（多选）（2026·江苏扬州·三模）已知函数设是三个不同的实数，且满足，，则下列选项中正确的有（ ）．
A．
B．
C．的最小值为
D．的最大值为
8．（多选）（2026·山东德州·模拟预测）已知函数，关于的方程在上恰有14个不同的实数根，则的值可能为（ ）
A．4 B． C．5 D．
9．（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）已知函数，若函数恰有6个零点，则m的取值范围为______．
10．（2026·天津东丽·二模）设，函数，当时，的值域为______；若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是______．
11．（25-26高三上·河南·阶段检测）设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______．
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