资源简介

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第02讲导数与函数的单调性
考情·分析解读
课标要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用.
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2025 2026
函数的单调性 全国一卷T19 全国一卷T19
函数单调性的简单应用 全国一卷T7 全国二卷T6 全国乙卷（理）T16全国乙（文）卷T20
考情解读
导数与函数的单调性多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：导数符号与单调性的关系（求单调区间，含参讨论）、导数的求导运算等；易错点：忽略定义域限制，含参讨论不全面，单调区间写法错误（如误用并集符号）。
备考策略
1.理解函数的单调性与导数之间的关系
2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间
3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题
知识 归纳梳理
知识点1 导函数与原函数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
【自主检测】函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
【答案】D　
【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合.
知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【常用结论】1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.
【自主检测】（2026·江苏无锡·模拟）已知函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以函数是定义在上的偶函数，所以，
因为当时，，所以函数在上单调递增，
所以即，故选C.
重难 核心突破
题型1 函数与导函数图象之间的关系
【例1】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，所以在单调递增，
且的值在上越来越大，在上越来越小，
即：函数的图象的切线斜率先变大后减小，故B正确，其余错误．
方法技巧函数与导函数图象之间的关系
（1）看增减：原函数递增时，导函数图象在x轴上方；递减时在下方。
（2）找极值：原函数的极大 / 极小值点，对应导函数的零点（导数值由正变负或负变正）。
（3）析凹凸：导函数递增，原函数图象 “下凸”（越来越陡）；导函数递减，原函数 “上凸”（越来越平缓）。
【变式1】函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．的正负不确定
【答案】C
【解析】由图象得，当时，单调递增，所以.
【变式2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】结合图象可知，在从最大值逐渐减小到最小值，所以切线斜率从趋近于0逐渐到最小，斜率绝对值逐渐增大，因此下降越来越快，
在从最小值逐渐增加到0，所以切线斜率从最小值（负值）逐渐趋近于0，斜率绝对值逐渐减小，因此下降越来越平缓，D符合这个性质.
【变式3】定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若在上恒成立，则函数在上严格单调增，
反之，函数在上严格单调增，则有，
如函数在上严格单调增，而且，
所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件.
题型2 不含参函数的单调性
【例2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数的定义域为，则，
当时，，
当时，，
所以的单调递增区间为．
【变式1】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【解析】由题设，且，
若，则或，
所以函数的单调递增区间为，.
【变式2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．和
【答案】D
【解析】函数的定义域为，，
所以即为解得或.
结合定义域可知解集为，
所以单调增区间为和.
【变式3】已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．和
【答案】A
【解析】，，
，令，解得，
所以的单调递增区间为.
题型3 含参函数的单调性
【例3】已知，其中为实数，讨论的单调性．
【解】，
①当时，由得 ；由得，
故在上单调递减，在上单调递增；
②当时，由得；由得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，恒成立，
所以在上单调递增；
④当时，由得；由得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
方法技巧利用导数求含参函数的单调性
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
【变式1】已知，设函数，讨论函数的单调性；
【解】由题可得：，其中.
.
当时，令，，
则此时在上单调递减，在上单调递增；
当时，，则此时在上单调递增.
综上可得：时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
【变式2】已知函数，.讨论的单调性；
【解】由题意得，
当时，，在上单调递增，
当时，令.，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；在上单调递增.
【变式3】已知函数（），讨论的单调性；
【解】由题意可得：的定义域是，且，
令，则或,
①当时，若或，则，若，则，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②当时，因为，所以在上单调递增，
③当时，若或，则，若，则，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
题型4 比较大小
【例4】（2026·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设函数，则，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
而，，，
又因为，且在上单调递减，所以，
即.
方法技巧由函数的单调性比较大小的方法
（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小；
（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
【变式1】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，，，
令，有，
当时，，则在上单调递减.
因为，所以，即.
【变式2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】比较与的大小：构造函数，定义域为，
求导得，当时，，
故，在上单调递增，
因此，即，整理得；
比较与的大小：
构造函数，定义域为，求导得，
当时，，故，所以在上单调递增，
因此，即，整理得，
所以．
【变式3】（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，构造函数，求导得，
当时，，故，函数单调递增；
当时，，故，函数单调递减；
在处取得极大值，即为最大值，
，即，
，故，．
题型5 解不等式
【例5】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可得，在上单调递增，所以时，；
在上单调递减，
所以当时，；
当时，；
在上单调递增,当时，．
综上，的解集为．
方法技巧利用函数的单调性解不等式的关键
（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数；
（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性；
（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
【变式1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据函数的图像和导数的性质可知当的函数值下降时，，
故观察图像解得当时，的函数值下降，故.
【变式2】已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，或，即或.
由图可得，当或时，单调递增，
则；当时，单调递减，则；
由，解得；由，解得.
不等式的解集为.
【变式3】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式等价于两种同号情况：或，
其中对应函数单调递增，对应函数单调递减，结合图像分区间讨论：
：，单调递减，乘积为负，不满足；
：，单调递减，乘积为正，满足；
：，单调递增，乘积为负，不满足；
：，单调递增，乘积为正，满足；
：，单调递减，乘积为负，不满足；
时，，，不满足；
时，，，不满足；
因此，的解集为.
题型6 根据函数单调性求参数值或范围
【例6】函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
由题意可得在上恒成立，
所以，在上恒成立，
又因为在上单调递增，
所以，
所以的取值不大于函数在区间上的下确界，即，
所以实数的取值范围为.
方法技巧根据函数单调性求参数值或范围
（1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；
（2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；
（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【变式1】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由求导得，
当时，则，在上单调递增，不合题意；
当时，由，得，即，
由,得,即,
此时在上单调递减，在上单调递增，
由题意，函数在区间上是减函数，
所以，结合，解得，
即的取值范围是.
【变式2】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
在上单调递增，又，
所以当时，的取值范围为，
所以的取值范围为.
【变式3】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】， ，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即： ，即 ，
因为时，所以，
令，则只需（），
，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值，
且，则.
则实数的取值范围是
拔高 分层集训
基础演练
1．已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在某点处的导数即过该点处的切线的斜率，由图知，.
2．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件
【答案】A
【解析】若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足；
若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到，
比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足，
因此“在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的充分不必要条件.
3．函数的单调递增区间为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，.
令，由，，得，即.
故函数的单调递增区间为.
4．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据的图象可知在上的单调递增区间是，
所以不等式的解集为．故选：C
5.函数部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在点附近，曲线呈下降趋势，故切线斜率，
在点和点附近，曲线呈上升趋势，故切线斜率，
比较点和点的上升“势头”，显然在点处的曲线更加陡峭（倾斜程度更大），
而在点处相对平缓，因此，；故.
6.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图象可知，是奇函数，且，
选项A：，，不符合；
选项B：，导数是奇函数，且，符合；
选项C：，定义域为R，
且，
所以是偶函数， 不符合；
选项D：，在上恒大于0，不符合．
7．（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递增
【答案】ABD
【解析】，
当时，，当时，，
故在区间、上单调递增，在上单调递减，
故A、B、D正确，C错误.
8．（多选）已知函数，则（ ）
A．曲线关于对称
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线方程为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，
显然曲线关于对称，故A正确；
对于B选项，当时，，单调递减，
故B错误，C正确；
对于D选项，，，
可得曲线在处的切线方程为．即，
故D正确．
9．函数的单调递减区间是___________．
【答案】、
【解析】函数的定义域为，，
由可得或，故函数的单调递减区间为、.
10．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】函数 的定义域为，
因为是单调递增函数，故对任意恒成立，
即，分离参数得对任意恒成立，
由基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立，
因此，即的最大值为，故，即的取值范围是.
11.已知函数．讨论函数的单调性；
【解】．
当时，恒成立，故函数在单调递增；
当时，令得．
故当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在单调递增；
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
能力进阶
1．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，即，因为恒成立，所以，
解得或，数图像与轴有两个交点和。
观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A；
B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B；
D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D
选项在时单调递减，故排除D；
C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，，，
令，，则，所以当时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，所以，即，即.
3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数在上单调递增，则在上恒成立.
求导得，故对任意恒成立，
即在上恒成立.
令，，则.
求导得，令，解得（）.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，在处取得最小值，.
故，即的取值范围是.
4．函数的单调递减区间为（　　）
A．,， B．,
C．,， D．,
【答案】B
【解析】函数的定义域为，求导得，
由，即，解得，
因此函数在上单调递减，所以的单调递减区间为.
5．已知函数满足，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】已知，构造辅助函数，对求导得，
因为恒成立，且，因此，即是上的单调递增函数.
由，得.
选项A： 因为单调递增，故，即，整理得，A错误；
选项B： 因为单调递增，故，即，得，B错误；
选项C： 因为单调递增，故，即，整理得，C错误；
选项D： 因为单调递增，得，即.
因为，所以成立，故 D 正确.
6．已知函数的定义域为，且其图象是一条连续的平滑曲线，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，得
当时，，所以；
当时，，所以．
因为的图象是一条连续的平滑曲线，
所以，则．
7．（多选）已知函数，其导函数为，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题
【答案】ABD
【解析】已知函数，其导函数为，则，
对于A，由于，所以是奇函数，故A正确；
对于B，由于，所以是偶函数，故B正确；
对于C，由于，令，则，
再令，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以当时，，即；当时，，即；
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误；
对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有，
即，化简得，
显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾，
因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题，
所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确.
8．（多选）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】， ，，则恒成立，
故在，上单调递增，
故，即，故 B正确，D错误．
，即，故 C正确，A错误．
9．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】设，则.
因为，所以，即在上单调递减.
又，则，
即不等式的解集.
10．已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】．
当时，在上单调递增，符合题意．
当时，令，解得或，
所以在和上单调递增，符合题意．
当时，令，解得或，令，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意．
故的取值范围为．
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围．
【解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且，
当时，则，可知在单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
可知在单调递增，在单调递减；
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可知：当时，在单调递增，在单调递减，
则，
若关于x的不等式在有解，则0，解得，
所以实数a的取值范围为.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1.（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．故选C．
2.（2022·新高考全国Ⅰ卷T7）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以，故选：C.
3．（2021·新高考全国二卷T14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
【答案】（答案不唯一，均满足）
【解析】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
4.（2023·全国乙卷（理）T16）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
5.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
【解】因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
6.（2023·全国乙（文）卷T20节选）已知函数，若函数在单调递增，求的取值范围．
【解】由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．利用导数判断下列函数的单调性:
（1）；
（2）；
（3）.
【解】（1）因为， 所以
所以在R上单调递增.
（2）因为， 所以
所以，函数在 上单调递减.
（3）因为， ，所以
所以，函数在 和上单调递增.
2．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的值域.
【解】（1）由函数得 ，
令，解得x＜ 1或x＞4，；
令，解得 1＜x＜4，
故函数f（x）的单调递增区间为（ ∞， 1）和（4，＋∞），单调递减区间为（ 1，4）；
（2）由（1）可知，当x∈[ 3， 1）时，，f（x）单调递增，
当x∈（ 1，4）时，，f（x）单调递减，
当x∈（4，6]时，，f（x）单调递增，
所以当x＝ 1时，函数f（x）取得极大值f（ 1）＝，
当x＝4时，函数f（ x）取得极小值f（4）＝，
又，
所以当x∈[ 3，6]时，函数f（x）的值域为
3．证明函数在区间上单调递减．
【解】因为，所以，
当时，，
所以函数在区间上单调递减．
4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，.
【解】（1）函数的定义域为R，，
所以函数的递减区间为，无递增区间；
（2）函数的定义域为R，，
令，令，
所以函数的递减区间为，递增区间为；
（3）函数的定义域为，，
所以函数的递增区间为和，无递减区间；
（4）函数的定义域为，，
所以函数的递减区间为，无递增区间.
5．求函数的单调区间．
【解】函数的定义域为R，时，，
由得，由得，即在上单调递增，在上单调递减，
所以的递增区间为，递减区间为.
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第02讲导数与函数的单调性
考情·分析解读
课标要求
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
3.会利用函数的单调性判断大小，求参数范围等简单应用.
考题统计
核心考点 考情预览
2022 2023 2024 2025 2026
函数的单调性 全国一卷T19 全国一卷T19
函数单调性的简单应用 全国一卷T7 全国二卷T6 全国乙卷（理）T16全国乙（文）卷T20
考情解读
导数与函数的单调性多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：导数符号与单调性的关系（求单调区间，含参讨论）、导数的求导运算等；易错点：忽略定义域限制，含参讨论不全面，单调区间写法错误（如误用并集符号）。
备考策略
1.理解函数的单调性与导数之间的关系
2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间
3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题
知识 归纳梳理
知识点1 导函数与原函数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
【自主检测】函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
知识点2 利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【常用结论】1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.
【自主检测】（2026·江苏无锡·模拟）已知函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
重难 核心突破
题型1 函数与导函数图象之间的关系
【例1】已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
方法技巧函数与导函数图象之间的关系
（1）看增减：原函数递增时，导函数图象在x轴上方；递减时在下方。
（2）找极值：原函数的极大 / 极小值点，对应导函数的零点（导数值由正变负或负变正）。
（3）析凹凸：导函数递增，原函数图象 “下凸”（越来越陡）；导函数递减，原函数 “上凸”（越来越平缓）。
【变式1】函数的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．的正负不确定
【变式2】已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
题型2 不含参函数的单调性
【例2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C．， D．，
【变式2】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．和
【变式3】已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．和
题型3 含参函数的单调性
【例3】已知，其中为实数，讨论的单调性．
方法技巧利用导数求含参函数的单调性
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性.
【变式1】已知，设函数，讨论函数的单调性；
【变式2】已知函数，.讨论的单调性；
【变式3】已知函数（），讨论的单调性；
题型4 比较大小
【例4】（2026·四川成都·期中）设，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧由函数的单调性比较大小的方法
（1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小；
（2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小.
【变式1】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二下·河北唐山·期中）三个数的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
题型5 解不等式
【例5】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）

A． B． C． D．
方法技巧利用函数的单调性解不等式的关键
（1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数；
（2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性；
（3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围.
【变式1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型6 根据函数单调性求参数值或范围
【例6】函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧根据函数单调性求参数值或范围
（1）利用集合间的包含关系处理，函数y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集；
（2）函数f（x）在（a，b）上单调递增的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f'（x）≥0，且在（a，b）的任一子区间上，f'（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；
（3）函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【变式1】已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
拔高 分层集训
基础演练
1．已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数定义在区间，则 “在上恒成立” 是 “在区间单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件
3．函数的单调递增区间为( )
A． B． C． D．
4．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
5.函数部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
6.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递增
8．（多选）已知函数，则（ ）
A．曲线关于对称
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线方程为
9．函数的单调递减区间是___________．
10．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________．
11.已知函数．讨论函数的单调性；
能力进阶
1．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的单调递减区间为（　　）
A．,， B．,
C．,， D．,
5．已知函数满足，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为，且其图象是一条连续的平滑曲线，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）已知函数，其导函数为，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上单调递减 D．“是周期函数”的否定是真命题
8．（多选）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是________．
10．已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．
11．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若关于x的不等式在有解，求a的取值范围．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1.（2023·新课标Ⅱ卷T6）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2.（2022·新高考全国Ⅰ卷T7）设，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·新高考全国二卷T14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
4.（2023·全国乙卷（理）T16）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
5.（2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性.
6.（2023·全国乙（文）卷T20节选）已知函数，若函数在单调递增，求的取值范围．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．利用导数判断下列函数的单调性:
（1）；
（2）；
（3）.
2．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的值域.
3．证明函数在区间上单调递减．
4．用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间.
(1)；
(2)；
(3)；
(4)，.
5．求函数的单调区间．
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