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解题大招22 利用导数轻松突破曲线的切线、公切线问题
知识点0 导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值．
2.函数的图象在某点处的切线方程
函数的图象在点处的切线方程为.
知识点02 求曲线切线方程的方法
1．求曲线在点P处的切线方程
第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2．求曲线过点P的切线方程
第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【注意】区分在某点处的切线与过某点的切线
(1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.
(2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
知识点03 与切线有关的几大秒杀定理（大招拓展）
1．切线求和定理
函数在点处的切线方程分别为,则函数在点处的切线方程为
2．共切点公切线定理
当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有
题型01求切线的斜率、倾斜角、切点坐标
利用导数求切线的斜率、倾斜角或切点坐标的策略 核心是运用导数的几何意义：函数在某点的导数即为该点处切线的斜率. 1.已知切点：对函数求导，代入切点横坐标得斜率，再由斜率计算倾斜角. 2.已知过非切点的点：设切点为，导数得斜率，同时斜率满足两点斜率公式，联立方程求解切点与斜率. 3.已知倾斜角：先得斜率，令导数等于k，解方程得切点横坐标，代入原函数得纵坐标.
【典例1-1】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，令，则，解得，
则曲线在处的切线的倾斜角为.
【典例1-2】（25-26高二下·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________.
【答案】
【分析】设所求切点为，可得,解方程即可求解.
【详解】设所求切点为，由于,
所以，解得：
则其切点坐标为
【跟踪训练】
1．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，则，
即在点处的切线的斜率为，
设该处切线的倾斜角为，则，
因为，所以.
2．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设切点坐标为，.
由，求导得，则切线的斜率.
因为切线过原点和切点，所以斜率.
又切点在曲线上，则，即得.
解得，即.
将其代入曲线方程得，所以切点坐标为.
3．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________.
【答案】/
【详解】因为，则，所以，
解得，所以曲线在处的切线斜率为.
题型02 求在曲线上一点处的切线方程——公式法
利用公式法秒求切线方程 函数的图象在点处的切线方程为，因而求在曲线上一点P处的切线方程时，先求得点P处的导数值，即得切线的斜率值，再将点P的坐标代入上述切线方程，整理即得所求.
【典例2】（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程.
【详解】因为函数，所以，则在处的切线斜率是，
函数过，
在处的切线方程是，即得.
【跟踪训练】
1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则，当时，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
2．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________.
【答案】
【分析】根据偶函数的定义求得，再根据导数的几何意义求解即可.
【详解】由题得，解得，
可得的定义域为.
又因为为偶函数，其定义域关于原点对称，
所以，则，
此时，满足为偶函数.
当时，，则，
所以，
则在处的切线方程为.
题型03求过一点的曲线的切线方程——待定切点法
待定切点法求过一点的曲线的切线方程 1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的切线方程的不同.若切点未知，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解. 2．待定切点法的具体步骤：设出切点坐标后，由点斜式得到切线方程，再由该切线过已知点列出关于切点横坐标的方程，解方程求得切点坐标，从而即可求得切线方程.
【典例3】（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______．
【答案】
【详解】已知，则，
设切点坐标为，则切线斜率为，
此时切线方程为，
因为曲线的一条切线经过点，
所以，即，
因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为，
则该切线方程为，即.
【跟踪训练】
1．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________.
【答案】
【详解】当时，，
设切点为，所以切线斜率为，所以，
所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为，
当时，，
设切点为，所以切线斜率为，所以，
所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为；
2．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________.
【答案】或
【详解】，设切点为，
则切线方程为，
整理得，
故有，
整理得，
故或，
当时，直线的方程为，即；
当时，直线的方程为，
即；
即直线的方程为或.
3．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线，
(1)求函数的单调区间；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
【答案】(1)函数的单调递增区间为： ，递减区间为：
(2)或
【详解】（1）函数定义域为，
由函数，可得 ，
令，得或，
令，得，
所以函数的单调递增区间为： ；
递减区间为：.
（2）因为点不在曲线上，
设切点为，所以 ，
所以切线方程为 ，
又因为在切线上，所以 ，
即 ，解得或
则，
当切点为时，切线的斜率为 ，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为 ，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或
题型04 两条切线平行、垂直问题
两切线平行、垂直问题的求解策略 1．平行判定：令两切点处导数值相等，额外排除两条切线重合的特殊情况，即可求解切点参数. 2．垂直判定：令两切点处导数值乘积为-1，注意补充验证其中一条切线斜率为0、另一条斜率不存在（垂直x轴）的特殊场景，再求解对应参数.
【典例4】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由求得的值，进而可求解.
【详解】由，得．
切线与直线平行，所以切线斜率为3．
于是，解得．又．
切线方程为，
即．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解.
【详解】因为，则，可得，
即曲线在处的切线斜率，
且直线的斜率，
由题意得，解得.
故选：A.
2．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
【答案】/
【详解】由，可得．当时，．
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以．
3．（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________.
【答案】0
【分析】对求导得到切线斜率的表达式，设两条互相垂直切线的斜率分别为、，根据两直线垂直的条件，可得；结合导数的值域，分析满足时的取值.
【详解】，；
曲线上任意一点处切线的斜率为，由于，即斜率的取值范围为.
要使图象上有两条切线互相垂直，即存在，使得.
区间内必须同时包含正数和负数，即，得.
设，则.
，即；
，得；
，；
，解得，得.
当时，斜率的取值范围为，可取，，符合题意.
.
题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法
构造方程（组）破解已知切线或切点求参问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) ： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上，故满足切线方程； (3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
【典例5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】由，得，
在处，，，
所以切线方程为，
即．
该切线经过点，故，
解得．
【典例5-2】（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解.
【详解】函数，求导得，
则函数的图象在处的切线方程为，
由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解，
即无解，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
【跟踪训练】
1.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由图可知，曲线在处的切线过点和点，
则此切线的斜率为．
2．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可.
【详解】因为曲线，所以，
，
在处的切线的倾斜角为，则
则.
3．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
设切点的横坐标为．先利用切线斜率等于曲线在切点处的导数值求出，再利用切点同时在曲线和切线上求出参数．
【详解】设，则．
设直线与曲线相切于横坐标为的点．
因为直线的斜率为，所以，即．
因此，解得．
切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即．
整理得，解得．
4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________．
【答案】
【详解】曲线求导得，
由题意知，解得，
则点在直线上，故，解得，
．
题型06 切线的条数问题
切线的条数问题求解策略 由切线的条数求参，核心是转化为方程实根个数问题： 1．设曲线切点为(x0，f(x0))，求导得切线斜率，写出切线方程； 2．结合切线过定点等条件，整理出关于x0的方程，将切线条数等价于该方程的实根个数； 3．研究函数g(x)的单调性、极值与最值，结合图像走势，分析参数对实根个数的影响，确定参数取值范围； 4．注意排除切线重合的特殊情况，避免重复计数.
【典例6】（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】设切点为，
据题意：这样的切点有两个，
即关于的方程有且仅有两根.
因为，
所以切线方程为，
即为过切点的切线，
又在此切线上，
所以，
即，
所以，
令，
所以，
所以，则或，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，极小值为，
当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，
作出函数的图象，如图所示：
又不在曲线C上，所以，
由的图象可知.
【跟踪训练】
1．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设切点为，，切线斜率.
切线方程：，即.
切线过，代入得：， 整理得：.
由分离参数，得.
令，原题等价于与的图象有两个交点.
求导：，令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故，
当时，，当时，，
作出的大致图象：
由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足
综上所述时，原方程有两个零点.
2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解.
【详解】由，定义域为，
导数，设切点为 ，
切线斜率为 ，
则切线方程：，又切线过点 ，
代入整理得：
由题意对任意，方程关于仅有一个解，
即函数在上单调，
求导得： ，又，
符号由分子 决定，
要让单调，需恒正或恒负对所有成立，
当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立，
当时，若恒正或恒负对所有成立，
需满足和有相同零点，
有正根 ，，得，
即，解得 ；
此时 对所有恒成立，
仅处等号成立，在单调递减，且，，
故对任意，方程仅有一个解，符合要求；
因此.
3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先求出过点的切线方程，原题等价于有3个不同的实数根，设，求的单调性，极值，列式解不等式即可求出实数的取值范围.
【详解】设切点坐标为，由题可得，所以切线的斜率，
切线方程为，因为切线过点，
所以，即.
原题等价于上述关于的方程有3个不同的实数根，
设，则，
令，得，，
当时，，单调递增，当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，
所以，
解得，所以的取值范围是.
题型07 与切线有关的最值问题
与切线有关的最值问题求解策略 1.设切点(x0，f(x0))，利用导数得切线斜率，写出切线方程； 2.将切线相关目标量（如斜率、截距、定点到切线距离等）表示为关于x0的函数； 3.对求导，找导数为0的点，分析单调性确定极值点； 比较极值点与定义域端点的函数值，得到最值.
【典例7-1】在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值，
设，求导得，则，
整理得，而函数在上单调递增，
又，因此，点，所以.
故选：D
【典例7-2】（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________．
【答案】/
【详解】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为，
则①，
曲线求导得，则②，解得，
代入①得，，故，
，
当时，取得最小值，最小值为．
【跟踪训练】
1．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【详解】因为，所以.
设，
对于，在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即.
对于，在点处的切线斜率为，
则切线方程为，即.
当两切线平行且斜率相等时，最小，即两切线与直线垂直时，最小.
所以令，则；令，则.
此时.
所以.
故选：A.
2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________.
【答案】/0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线与曲线相切，
设切点为，由，且切线的斜率为，
所以，
代入曲线方程中得：，
所以切点为，代入直线方程中得：，
因为，所以.
当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为.
3．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【详解】，，得，
当，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小，
，得，即切点，
点到直线的距离为.
故答案为：
题型08利用定理秒杀共切点的公切线问题
共切点公切线定理： 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 当两曲线的公切线切点相同时，可利用上述定理直接列方程，从而确定参数的取值.
【典例8-1】（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．
【答案】或
【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】由，所以，又由，所以，
设公共点为，
所以，由，即，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得.
【典例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______．
【答案】0或1
【分析】利用切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得的值.
【详解】设公共的切点为，则在函数中，当时，，
则在点处的切线方程为：，
在函数中，当时，，
同理可得在P点处的切线方程为：，
又两个函数在公共点处的切线重合，所以，
解方程组可得或，所以a的值为0或1．
【跟踪训练】
1．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____.
【答案】
【详解】因为，所以，则，
切线斜率，切线方程：为，即，
设与相切于点，
因此，切点在切线上，
，
即.
2．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
【详解】由，则，
所以曲线在点处的斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为．
设直线与曲线相切的切点为，且，
则，解得．
3．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________．
【答案】2
【分析】根据题意先求出曲线在处的切线方程，设与曲线的切点，利用导数的几何意义推得关于的方程组，求解即得.
【详解】由求导得，则曲线在处的切线方程为，即，
设曲线的切线的切点为，由求导得，
依题意可得，解得.
题型09对照法速解切点不同的公切线问题
对照法速解切点不同的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故对照可得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2)，再通过解方程确定公切线方程的系数，从而得到公切线方程.
【典例9-1】(2025·广东茂名模拟)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】设y＝ln x，y＝x2＋2ax图象上的切点分别为，，则过这两点处的切线方程分别为y＝＋ln x1－1，y＝x－，则＝2x2＋2a，ln x1－1＝－，所以2a＝－2x2，设f(x)＝－2x，f'(x)＝2(x－1)，f'(1)＝0，令g(x)＝f'(x)＝2，所以g'(x)＝2＞0，所以g(x)在R上单调递增，且f'(1)＝0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以2a≥f(1)＝－1，a≥－.故选B.
【典例9-2】(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　.
【答案】ln2
【详解】由题，令f(x)＝ex＋x，则f'(x)＝ex＋1，所以f'＝2，所以曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.令g(x)＝ln(x＋1)＋a，则g'(x)＝，设直线y＝2x＋1与曲线y＝g(x)相切于点(x0，y0)，则＝2，得x0＝－，则y0＝2x0＋1＝0，所以0＝ln＋a，所以a＝ln 2.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解.
【详解】对求导得：，
则在处切线斜率为，且
对于求导得：，
则在处切线斜率为，且
由题意可得：，即
又切线斜率，
可得：，即，
所以，
故选：A
2．（25-26高三上·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用导数的几何意义求出公切线的斜率，得到与的关系，再根据切线方程的截距相等求出与的值，最后利用两点间距离公式求得答案.
【详解】由，得曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，令，得，
由，得曲线在处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，令，得，
所以，消去可得，
令，，则，
令，则，
令，得，即在上单调递减，
令，得，即在上单调递增，
又时，，故，即，
所以函数在上单调递减，且，所以，则，
所以，，
所以线段的长度为.
故选：C.
3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.
【答案】4
【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解.
【详解】设直线与函数的图象的切点为，
由求导得，由，得，
所以直线与函数的图象的切点为，
将点代入，解得.
设直线与函数的图象的切点为，
又，则（*）.
由，代入上式得，
因为函数单调递增，且，
所以，代入（*），解得，
所以.
4．（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________.
【答案】
【详解】由，可得，则，
所以切线方程为，即，
由，可得，则，
所以切线方程为，即；
由题意可知，，解得，
所以.
题型10 判断公切线的条数
零点个数法解析公切线的条数问题 1.判断公切线的条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 2．由公切线条数求参：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．
【典例10-1】(2026·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】设公切线与y＝x2的切点为(x1，x)，
与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)，
y＝x2的导数为y′＝2x，y＝ln x的导数为y′＝，
则在切点(x1，x)处的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x，
则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为
y－ln x2＝(x－x2)，
即y＝x＋ln x2－1，
∴
整理得到x－ln x1＝1＋ln 2，
令f(x)＝x2－ln x，x∈(0，＋∞)，
则f′(x)＝2x－＝，
f′(x)>0 x>；f′(x)<0 0∴f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
f(x)min＝f ＝＋ln 2<1＋ln 2，
即函数f(x)与y＝1＋ln 2的图象如图所示，
由图可知，函数f(x)的图象与直线y＝1＋ln 2有两个交点，则方程x－ln x1＝1＋ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是2.
【典例10-2】 (2026·保定模拟)若曲线f(x)＝(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】设公切线为l，P(x1，y1)是l与f(x)的切点，由f(x)＝，
得f′(x)＝，设Q(x2，y2)是l与g(x)的切点，
由g(x)＝ex，得g′(x)＝ex，
所以l的方程为y－y1＝(x－x1)，
因为y1＝，
整理得y＝x＋，
同理y－y2＝(x－x2)，
因为y2＝，
整理得y＝x＋(1－x2)，
依题意，可得
消去x1，得4k＝－(x2－1)2，
由题意此方程有三个不相等的实根，
设h(x)＝－ex(x－1)2，
即直线y＝4k与曲线h(x)有三个不同的交点，
因为h′(x)＝ex(1－x2)，
令h′(x)＝0，则x＝±1，
当x<－1或x>1时，h′(x)<0；
当－10，
所以h(x)有极小值为h(－1)＝－4e－1，
h(x)有极大值为h(1)＝0，
因为h(x)＝－ex(x－1)2，ex>0，(x－1)2≥0，所以h(x)≤0，
当x趋近于－∞时，h(x)趋近于0；
当x趋近于＋∞时，h(x)趋近于－∞，
故h(x)的大致图象如图．
所以当－4e－1<4k<0，即－【跟踪训练】
1．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解.
【详解】设的切点为，的切点为，
，，
所以在处的切线方程为，即，
在处的切线方程为，即
故且，
故，即，
令，构造，
则，
当在区间单调递增，
在区间单调递减，
故，且当，，
故有两个不相等的实数根，
故公切线的条数为2，
故选：C
2．(2026·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
【答案】D
【详解】y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，
y＝(a>0)在点处的切线斜率为，
如果两个曲线存在公切线，那么2m＝.
又由斜率公式得到2m＝，
由此得到m＝2n－2，
则4n－4＝有解，
则y＝4x－4，y＝的图象有公共点．
当直线y＝4x－4与曲线y＝相切时，设切点为(s，t)，则＝4，且t＝4s－4＝，
可得t＝4，s＝2，
即有切点(2,4)，a＝，
故a的取值范围是a≥.
3．若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，1)
【详解】设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则过A，B的切线分别为y＝x＋ln x1－1，y＝2x2x－x，
则有
由ln x1－1＝－x得x1＝，
代入＋a＝2x2得a＝2x2－，
依题意知y＝a与y＝2x－有两个不同的交点，
令φ(x)＝2x－，
∵φ′(x)＝2－2x，令φ′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
∴φ(x)max＝φ(1)＝1，
又x→－∞时，φ(x)→－∞；
x→＋∞时，φ(x)→－∞，
故a<1
题型11利用公切线秒解不等式恒成立问题
利用公切线秒解不等式恒成立问题的具体策略 核心逻辑：不等式f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)图象全程位于g(x)上方、无交点，公切线是两函数位置关系的临界边界，切点处两函数的函数值、导数值均相等. 求解步骤：先设公切线方程，联立两函数的切点等式解出切线参数与切点坐标，再验证公切线为两函数的共同分界，即可快速推导参数范围，规避复杂分类讨论.
【典例11】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过恒成立条件判断出相切，构造出新函数后通过单调性求最值.
【详解】恒成立，则说明始终在上方或相切.
设曲线与直线切于点，因为，
则该点处切线斜率，
，且.
.
设，则，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以.
【跟踪训练】
1．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】整理原不等式得，构造函数，求导分析单调性和零点，进而作出原函数简图并结合图象分析直线截距，再求解即可.
【详解】由，得．
设函数，则，则在上单调递增．
因为，，
所以存在唯一的零点，且．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，当时，．
作出的大致图象，如图所示，直线的斜率大于0，在轴上的截距为，
由图可知，的最小值为1，此时．
2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把原不等式变形为，将问题转化为找一条直线恒位于函数上方，求的最小值，通过研究的单调性，发现当直线与在处相切时，横截距最大，对应最小，得到切线方程，再对比直线方程，即可得解.
【详解】任意，恒成立，
恒成立，即.
令，直线，为直线的横截距，
，在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
∴当直线与在处相切时横截距最大，有最小值，此时，，
即此时.
下证：
令，则，,
在上为正数，在上负数，
所以即在上单调递增，上单调递减，
因为，，
时，；时，，
所以在上为负数，在上为正数，
在单调递减：上单调递增，.
综上所述，当最小时，，此时.
3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解．
【详解】因为不等式恒成立，
所以不等式恒成立．
设，，
则由题意知函数的图象恒不在直线的下方，
又，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，当时，，当时，，
当时，，且，
又直线恒过点，
当直线与曲线相切时，设切点为，
则，解得或，
故当直线与曲线相切时的值为或．
在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示，
结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为．
1．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以，且，
根据图象得．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由求导得.
则，.
所以曲线在处的切线方程为.
即.
该切线经过点，则得.
解得.
3．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标.
【详解】设切点坐标为，.
由，求导得，则切线的斜率.
因为切线过原点和切点，所以斜率.
又切点在曲线上，则，即得.
解得，即.
将其代入曲线方程得，所以切点坐标为.
4．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知曲线，求导得，
设曲线在点处的切线倾斜角为，其中，
根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率，
因此，由于，得，解得，
因此的最小值为，故B正确.
5．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】设两切点，由导数得两切线斜率相等及切点横坐标关系；利用同一直线截距相等建立方程，将斜率表示为参数的函数，求导确定单调性后得最小值.
【详解】设直线与切于，与切于.
求导得，，因此公切线斜率，
整理得①.
的切线方程为；
的切线方程为.
同一直线截距相等，消去同类项得②，
将①代入②，得关于的函数.
对求导得，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因此时取最小值，即.
6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数.
【详解】由题意，
设切点为，
所以切线方程为，
再将代入切线方程，
所以
，
当时，满足条件，
当时，，
解得，
最后将切点代入，求出切线斜率
当时，，所以切线为，
当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论，
当，，此时切线为，
当，，此时切线为，
所以切线条数为条.
7．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设公切线方程为，分别与的图象切于点，与的图象切于点，根据导数的几何意义得出，消去得关于的方程，两边取自然对数后令，定义函数，其定义域为（当）或（当）．利用导数求出的极小值，再根据极小值的正负讨论的解的个数得出参数范围.
【详解】，，
设公切线方程为，直线与的图象切于点，与的图象切于点，
则，，，
所以．
即，由，
得，代入，得关于的方程．
等式两边取对数得，
令，定义函数，
其定义域为（当）或（当）．
则，
当时，在单调递减，在上单调递增，此时在处取极小值；
当时，同理可得在处取极小值，
故有唯一极小值点，极小值为．
的解的个数对应公切线的条数：
若，则有两个解，即有两条公切线；
若，则有一个解，即一条公切线；
若，则无解，即无公切线．
当时，则，分子（因恒成立），故；
当时，可得，令可得，即，解得．
此外，时无公切线，时仅一条．
因此，恰好有两条公切线时的取值范围是．
8．(多选)（25-26高二下·江苏南通·期末）设函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．直线是曲线的对称轴
C．直线是曲线的切线
D．有三个零点
【答案】ACD
【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数对称性的性质判断B，利用斜率的几何意义并结合导数判断C，求解出零点判断D即可.
【详解】对于A，因为，所以，
当时，恒成立，则在区间上单调递增，故A正确，
对于B，由题意得，，
得到，则直线不是曲线的对称轴，故B错误，
对于C，设切点为，令，
得到，解得，则切点为，
可得切线方程为，化简得，
得到直线是曲线的切线，故C正确，
对于D，令，则，
因式分解得，解得或或，
则有三个零点，故D正确.
9.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点处作抛物线的切线交x轴于；
在点处作抛物线的切线交x轴于；
在点处作抛物线的切线交x轴于；……
由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则．
D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则．
【答案】ABD
【分析】A. 利用导数求切线斜率，写出切线方程后令纵坐标为零，解得横坐标即为；B. 对一般点 重复切线步骤，令切线方程纵坐标为零，得递推关系式；C、D. 二分法按区间中点逐步逼近，牛顿法按切线迭代逼近，比较两者与真实根的误差大小.
【详解】，所以，，则在处的切线为，
令，得，即，故A正确；
在处的斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，得，即，所以，故B正确；
方程在的正根为，
用“二分法”求方程在上的近似解：
第一步：中点，，新区间；
第二步：中点，，新区间；
第三步：中点.
又用“牛顿切线法”求近似解：，，，
第三步.
故，故C错误，D正确．
10．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________.
【答案】/
【详解】，当时，，
所以函数在处的切线斜率为.
11．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．
【答案】或
【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解.
【详解】由，所以，又由，所以，
设公共点为，
所以，由，即，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得.
12．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】当求出切点坐标和切线斜率，再用点斜式写出方程即可；对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，由导数的几何意义，等价于对所有恒成立，再分离参数求解即可.
【详解】若，则，
可得则，，
所以在点处的切线方程为，即.
因为对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，
所以图象上的任意两点A，B连线的斜率 恒成立，
由导数的几何意义，等价于对所有恒成立，
即恒成立，
令，
因为，
当且仅当时取等号，有最大值.
所以，即a的取值范围是.
13．（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________．
【答案】2
【分析】利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小．
【详解】设直线l与的图象相切于点，
直线l与的图象相切于点，
则，，得，得
，令，则，，
，故，
设，显然为的一个零点，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，故，
而，，，
的两根位于两侧，已知一根为1，
另一根位于区间内，
当时，，
，求导得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，
的最大值为2．
14．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P.
(1)求点P的坐标；
(2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解方程，，可得的值，再代入的解析式，可得点的坐标.
（2）利用导数的几何意义求两函数在点P处的切线斜率，再利用两直线的夹角公式求两直线夹角的正切值，最后利用同角三角函数的基本关系求.
【详解】（1）由，又，得.
因为，所以，，
故可化简为，从而.
又，所以.
所以.
因此交点坐标为.
（2）对求导，得.
所以在P处的切线的斜率.
对求导，得
所以在P处的切线的斜率.
两条切线夹角满足..
代入，，得.
于是.
15．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数，的值；
(2)若的切线过点，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验；
（2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值.
【详解】（1），由题意可得，解得；
检验：此时，，
则当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
故函数在处取得极小值，符合题意，
故，；
（2）由（1）得，则，
设过点的切线的切点坐标为，
则，
有，
整理得，令，
则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为.
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解题大招22 利用导数轻松突破曲线的切线、公切线问题
知识点0 导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值．
2.函数的图象在某点处的切线方程
函数的图象在点处的切线方程为.
知识点02 求曲线切线方程的方法
1．求曲线在点P处的切线方程
第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2．求曲线过点P的切线方程
第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【注意】区分在某点处的切线与过某点的切线
(1)在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.
(2)过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.
知识点03 与切线有关的几大秒杀定理（大招拓展）
1．切线求和定理
函数在点处的切线方程分别为,则函数在点处的切线方程为
2．共切点公切线定理
当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有
题型01求切线的斜率、倾斜角、切点坐标
利用导数求切线的斜率、倾斜角或切点坐标的策略 核心是运用导数的几何意义：函数在某点的导数即为该点处切线的斜率. 1.已知切点：对函数求导，代入切点横坐标得斜率，再由斜率计算倾斜角. 2.已知过非切点的点：设切点为，导数得斜率，同时斜率满足两点斜率公式，联立方程求解切点与斜率. 3.已知倾斜角：先得斜率，令导数等于k，解方程得切点横坐标，代入原函数得纵坐标.
【典例1-1】（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（25-26高二下·湖北·期末）若直线是函数图象的切线，则其切点坐标为________.
【跟踪训练】
1．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________.
题型02 求在曲线上一点处的切线方程——公式法
利用公式法秒求切线方程 函数的图象在点处的切线方程为，因而求在曲线上一点P处的切线方程时，先求得点P处的导数值，即得切线的斜率值，再将点P的坐标代入上述切线方程，整理即得所求.
【典例2】（2026·辽宁朝阳·二模）函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山东聊城·二模）已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________.
题型03求过一点的曲线的切线方程——待定切点法
待定切点法求过一点的曲线的切线方程 1.求曲线的切线方程要分清“在某点处”与“过某点”的切线方程的不同.若切点未知，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解. 2．待定切点法的具体步骤：设出切点坐标后，由点斜式得到切线方程，再由该切线过已知点列出关于切点横坐标的方程，解方程求得切点坐标，从而即可求得切线方程.
【典例3】（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______．
【跟踪训练】
1．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________.
2．（25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________.
3．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线，
(1)求函数的单调区间；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
题型04 两条切线平行、垂直问题
两切线平行、垂直问题的求解策略 1．平行判定：令两切点处导数值相等，额外排除两条切线重合的特殊情况，即可求解切点参数. 2．垂直判定：令两切点处导数值乘积为-1，注意补充验证其中一条切线斜率为0、另一条斜率不存在（垂直x轴）的特殊场景，再求解对应参数.
【典例4】（2026·山西忻州·模拟预测）若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________．
3．（2026·辽宁锦州·二模）已知图象上有两条切线互相垂直，则________.
题型05 已知切线或切点求参——方程（组）法
构造方程（组）破解已知切线或切点求参问题 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组) ： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上，故满足切线方程； (3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
【典例5-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例5-2】（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1.（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________．
题型06 切线的条数问题
切线的条数问题求解策略 由切线的条数求参，核心是转化为方程实根个数问题： 1．设曲线切点为(x0，f(x0))，求导得切线斜率，写出切线方程； 2．结合切线过定点等条件，整理出关于x0的方程，将切线条数等价于该方程的实根个数； 3．研究函数g(x)的单调性、极值与最值，结合图像走势，分析参数对实根个数的影响，确定参数取值范围； 4．注意排除切线重合的特殊情况，避免重复计数.
【典例6】（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________.
题型07 与切线有关的最值问题
与切线有关的最值问题求解策略 1.设切点(x0，f(x0))，利用导数得切线斜率，写出切线方程； 2.将切线相关目标量（如斜率、截距、定点到切线距离等）表示为关于x0的函数； 3.对求导，找导数为0的点，分析单调性确定极值点； 比较极值点与定义域端点的函数值，得到最值.
【典例7-1】在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例7-2】（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________．
【跟踪训练】
1已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．1
2．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________.
3．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 .
题型08利用定理秒杀共切点的公切线问题
共切点公切线定理： 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有 当两曲线的公切线切点相同时，可利用上述定理直接列方程，从而确定参数的取值.
【典例8-1】（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．
【典例8-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______．
【跟踪训练】
1．（2026·河南南阳·三模）已知函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数_____.
2．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．
3．（25-26高二下·湖北·期中）若直线既是曲线在处的切线，也是曲线的切线，则实数_________．
题型09对照法速解切点不同的公切线问题
对照法速解切点不同的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故对照可得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2)，再通过解方程确定公切线方程的系数，从而得到公切线方程.
【典例9-1】(2025·广东茂名模拟)曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【典例9-2】(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝　　　　.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏扬州·阶段检测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
2．（25-26高三上·江苏·开学考试）若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，若，则线段的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______.
4．（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________.
题型10 判断公切线的条数
零点个数法解析公切线的条数问题 1.判断公切线的条数：运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况． 2．由公切线条数求参：利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．
【典例10-1】(2026·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例10-2】 (2026·保定模拟)若曲线f(x)＝(k<0)与g(x)＝ex有三条公切线，则k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【跟踪训练】
1．（2025·陕西·模拟预测）曲线与的公切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2026·桂林模拟)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a>0)存在公切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
3．若函数f(x)＝ln x＋ax与函数g(x)＝x2的图象有两条公切线，则实数a的取值范围是________．
题型11利用公切线秒解不等式恒成立问题
利用公切线秒解不等式恒成立问题的具体策略 核心逻辑：不等式f(x)≥g(x)恒成立等价于f(x)图象全程位于g(x)上方、无交点，公切线是两函数位置关系的临界边界，切点处两函数的函数值、导数值均相等. 求解步骤：先设公切线方程，联立两函数的切点等式解出切线参数与切点坐标，再验证公切线为两函数的共同分界，即可快速推导参数范围，规避复杂分类讨论.
【典例11】（25-26高二下·河南郑州·期末）已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．（2026·山西运城·二模）若对恒成立，则当取得最小值时，（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（25-26高二下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知，若对任意，恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
1．（25-26高二下·北京·期中）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北秦皇岛·三模）若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
7．（2026·湖南岳阳·三模）已知，函数的定义域为的定义域为，若与恰好有2条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．(多选)（25-26高二下·江苏南通·期末）设函数，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．直线是曲线的对称轴
C．直线是曲线的切线
D．有三个零点
9.（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点处作抛物线的切线交x轴于；
在点处作抛物线的切线交x轴于；
在点处作抛物线的切线交x轴于；……
由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则．
D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则．
10．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________.
11．（2026·辽宁抚顺·一模）若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______．
12．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）.若，则在点处的切线方程为____________；若对于图象上的任意两点A，B，恒有直线的倾斜角成立，则a的取值范围是_____________.
13．（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________．
14．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知函数，，，设曲线与在区间内的交点为P.
(1)求点P的坐标；
(2)设两曲线在点P处的切线夹角为，求.
15．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值．
(1)求实数，的值；
(2)若的切线过点，求的最大值．
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