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解题大招23 利用三次函数性质刷透七大必刷题型
知识点01 三次函数的概念
形如的函数，称为“三次函数”.
【说明】(1)三次函数是整式函数，因此x不能出现在分母中,但各项的系数可以为分数.
(2)三次函数的最高次项为x的三次项，且该项的系数不为0，二次项、一次项及常数项的系数可以有部分为0，也可全为0.
知识点02 三次函数的图象与基本性质
三次函数的基本性质
(1)定义域为.
(2)值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
(3)奇偶性：①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数.
(4)三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.
(5)对称性:三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是.
【证明】设函数的图象的对称中心为，按向量将函数的图像平移，则所得图像对应的函数是奇函数，所以，化简得，该式对恒成立，故，得，所以函数的图象的对称中心是.
3．三次函数的图象和单调性、极值
的 图象
的 图象
的单调性、极值 增区间为， 减区间为， 有两个极值点，极大值为，极小值为 恒成立，在R上单调递增，无极值点 增区间为， 减区间为， 有两个极值点， 极大值为， 极小值为 恒成立，在R上单调递减，无极值点
4．三次函数图象的对称中心与导数的关系
(1)可以证明三次函数的二阶导函数的零点是三次函数图象对称中心的横坐标，即：
若，则图象的对称中心是点.
(2)若图象关于点对称，则图象关于直线 对称
中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数，此规律对其他函数也成立.
知识点03 三次方程的实根个数
设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得：
① 若，则恰有一个实根.
② 若，且，则恰有一个实根.
③ 若，且，则有两个不相等的实根.
④ 若，且，则有三个不相等的实根.
【说明】(1) 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
·(2) 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
(3) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
知识点04 三次函数的其他拓展性质(拓展)
1．三次函数的韦达定理
设的三个零点分别为，， ，则:
；
(2)；
(3) ；
(4) .
2. 三次函数f(x)的四段论法则
f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)且导函数Δ>0 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)且导函数Δ>0
(1)对称中心：；
(2)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx. 设 的极大值为 ，当 的两根为 ， 时，区间 被中心 和极小值点三等分，类似的，对极小值 也有此结论.
3．三次函数的其它二级结论：
(1) 其导函数为二次函数，图象的对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
(2) 结论三： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称.
(3)若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
(4)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏；
(5)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；
若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏.
题型01 三次函数图象的识别
三次函数图象识别求解策略 1.图象特征：为连续无断点的平滑“N”型或反“N”型曲线，最多存在2个极值点、1个拐点，无渐近线. 2.定义域与值域：二者均为全体实数，无取值边界限制. 3.单调性：要么全程单调，要么呈“增-减-增”或“减-增-减”的三段变化. 4.对称性与奇偶性：无轴对称性，仅当二次项、常数项系数均为0时为奇函数，图象关于原点中心对称. 5.函数与导函数图象间的关系：若原函数为奇函数时，其导函数必为偶函数，即原函数图象关于中心对称，则导函数图象关于y轴对称.
【典例1-1】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项.
【详解】因为，则，得，
所以排除BD．
由，可得或，排除A.
【典例1-2】（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，则，则的图象为抛物线，
对于A选项，如下图所示：
当或时，，则函数在区间、上均为减函数，
不合乎题意，A错；
对于B选项，由图可知，，，则函数在上为增函数，
不合乎题意，B错；
对于C选项，由图可知，，，则函数在上为增函数，
合乎题意，C对；
对于D选项，如下图所示：
当或时，，则函数在区间、上均为减函数，
不合乎题意，D错.
故选：C.
【跟踪训练】
1．关于三次函数的图象，下列叙述中正确的是（ ）．
A．仅有一个对称中心
B．仅有一条对称轴
C．仅有一个对称中心
D．没有对称轴，但对称中心不止一个
【答案】C
【分析】由三次函数性质即可判断.
【详解】，其图象的对称轴为直线，代入，得，
易知原函数图象的对称中心为，无对称轴．
故选：C.
2．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知三次函数的图象如图所示，则（ ）
A．5 B．－5 C．2 D．－2
【答案】D
【分析】求导结合图象可得为极值点，进而列式得出的关系，再代入化简求解即可
【详解】求导得：，
结合图像可得为导函数的零点，即，
则，变形得，
所以．
故选：D．
3．（25-26高二下·江苏淮安·期中）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y1= 2x，y2=3x 6分别与该曲线相切于（0，0），（2，0），已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，由题知，在点（0，0），（2，0）处的切线方程分别为y1= 2x，y2=3x 6，可得，可列出关于的方程组，解之即可
【详解】由于弯曲路段过点（0，0），所以设，
则，
因为在点（0，0），（2，0）处的切线方程分别为y1= 2x，y2=3x 6，
所以，
所以，
解得，
所以，
故选：B
4．（多选）（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出函数的导函数，根据函数的图象可知，，，将、用表示，分析从而可得出答案.
【详解】因为，，
由图可知，，，，
则，故C错误；
，，
两式相减得，即，
，则，
所以，则，所以，故AB正确；
则，故D正确.
故选：ABD.
题型02 三次函数的切线问题
1．过某点的三次函数图象的切线问题
研究过点 可以作出三次函数 图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为 ，则切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程可得 ，这一关于 的方程有几个实数解，过点 就可以作出函数 图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：
(1)过曲线外部的点作的切线，有且仅有3条；
(2)过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条；记忆方法：记忆：外 3，内 1，线上 2.
(3)过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条；
2．已知切线条数求参数范围的方法
(1)根据所需的实根数，建立条件不等式，即三次方程的两个极值点处的函数值异号；
(2)解这个不等式，得到参数的取值范围.
【典例2-1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围.
【详解】函数，设切点坐标为，求导得，
则切线方程为，由切线过点，
得，化简得，
“过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”，
即函数的图象与直线有3个不同的交点，
求导得，当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，，
所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线．
【典例2-2】（25-26高二下·安徽安庆·期末）若函数在点处的切线方程为，则=__．
【答案】
【分析】先对函数求导，求解出在点，处的切线方程,再根据切线方程为，求出，最后再求出.
【详解】，
对函数求导得 ，，
又函数在点处的切线方程为，
所以，解得，故.
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义可得，令，题意等价于与有3个交点，利用导数结合函数图象即可得结果.
【详解】因为，则，
设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，即，
令，原题意等价于与有3个交点，
因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的极小值为，极大值为，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
可得，所以t的取值范围是.
2．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．-1 C．3或1 D．3或
【答案】D
【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解．
【详解】解：因为，所以，，
当为切点时，；
当不为切点时，设切点为，，
所以，
所以切线方程为，
又切线过点，
所以，
即，即，
解得或（舍去），所以切点为，
所以．
综上所述，直线l的斜率为3或．
3．（25-26高二下·四川宜宾·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解.
【详解】设切点坐标为，
曲线的切线方程为，
即，
代入，得 ，该方程有三个不同的解，，．
令，，
令，则或，
当和时，，当时，，
知的增区间为，，减区间为，
所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点，
则．
所以的取值范围是.
4．（25-26高一下·北京·期末）函数在点处的切线方程为_______．
【答案】
【分析】根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，可得，
则，即切线的斜率为，
所以切线方程为，即.
题型03 利用韦达定理秒解三次函数零点和或积问题
1．三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ； (2)； (3) ； (4) . 2．利用上述韦达定理可以秒解三次函数零点和、积、倒数和等问题，应用时要注意记准零点关系式与三次函数系数间的关系.
【典例3-1】已知恰有3个零点，则
【答案】2
【详解】本题可用韦达定理秒杀：a=1，b=-2，所以.
【典例3-2】设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3.求证：x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-.
【证明】由题意知ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.
比较系数可得x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-.
【跟踪训练】
1．已知恰有3个零点，则 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】C
【详解】本题可用韦达定理秒杀：c=-1，d=1，所以.
2．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】，，
因为在上是增函数，在上是减函数，
故0为的极大值点，所以，所以，故A正确；
此时，则，依题意可得，
即，故，令，解得或，
因为在上是增函数，在上是减函数，是函数的极小值点，
所以，解得，故B正确；
，故C错误；
，所以，，故D正确．
3．（多选）已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最大值是
D．若在上的值域为，则的最大值为
【答案】AC
【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，并作出函数的图像，从而得到的范围，可判断A选项；由可得出，结合A选项可判断B选项；通过利用、、的关系消元得到，利用的范围求最大值可判断C；的单调性及极值点结合函数的图像求得的最大值可判断D.
【详解】因为，则，
由题意可得，解得，所以，
对于A选项，，由可得或，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：
由图可知，实数的取值范围是，故A正确；
对于B选项，由题意可知，
即，
所以，故B错误；
(对于B选项，可用韦达定理秒杀：，故a=1，d=2-m，
所以）
对于C选项，，
因为，所以，
由图可知，所以当时，，故C正确；
对于D，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以时，；时，，
所以由在上的值域为，得，所以，
当，时，取到最大值，故D错误.
题型04 三次函数的单调性
1.三次函数的单调性与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2.
2.处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解.
【典例4】（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数，求导得，
当时，，在R上单调递增，不合题意；
令，解得或，
若函数在单调递减，则在恒成立，
当时，，，
当时，，，
的取值范围为，故选C．
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得.
∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为，
即和是方程的两个根，
由韦达定理得，解得.
∴ .
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立，
则，解得，
因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件.
故选：D
2．（2026·宁夏·模拟预测）函数在R上是单调递增的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，
因为在R上单调递增，所以不等式在R上恒成立，
即在R上恒成立，
所以，解得.
所以在R上单调递增的充分条件为的子集，故选B
3．已知函数．讨论的单调性；
【详解】,令,解得或,
①当,即时,由得或；由得,
所以在和上单调递增；在上单调递减；
②当,即时,恒成立,所以在上单调递增；
③当,即时,由得或；由得,
所以在和上单调递增；在上单调递减；
综上,
当时,在和上单调递增；在上单调递减；
当时,在上单调递增；
当时,在和上单调递增；在上单调递减.
题型05 三次函数的极值或最值
1.三次函数的极值与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2.
2.若三次函数的定义域为R，则此三次函数无最值，若三次函数的定义域为区间[a,b]，则它的最值在区间端点或极值点处取得.
3. 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的关系简化运算.
【典例5】已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解.又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0.而的最大值为，∴，解得：.
（2），∴.由得：，.则在，上单调递减，在上单调递增.又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或.而.1°当，即时，，得，此时，的零点为.2°当，即时，，得（舍）.综上的零点为.
【跟踪训练】
1．（多选）（25-26高二下·湖北随州·期末）设函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．当时，关于对称
C．当时，在上单调递减
D．当时，
【答案】BD
【详解】因为，则
对于A：若有两个极值点，则必须有两个不相等的根，即，
而，即当时，，此时函数没有极值点，故A错误；
对于B：当时，，
因为，
所以关于对称，故B正确；
对于C：因为，
由，得，，当时，，
因为是开口向上的二次函数，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增.
所以当，即时，，所以在上单调递减；
当，即时，在单调递减，在上单调递增；
故C错误；
对于D：当时，，
所以当时，，单调递增；
2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________．
【答案】
【详解】已知函数，则，
由于在处取得极大值，则，即，解得或，
当时，，则对任意的，都有，此时不存在极值点，不符合题意，舍去；
当时，，令，解得或，
当时，，函数在单调递增；
当时，，函数在单调递减，
此时在处取得极大值，符合题意，
综上所述，实数的值为.
3．（2026·浙江·5月联考）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__.
【答案】
【详解】，令，得或，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值，且极小值为，又，因为在区间上存在最小值，所以，解得，所以实数的取值范围是.
4．（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数在处有极小值．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【详解】（1） ，求导得.
由得，解得或.
当时，，
在左侧附近，右侧附近，故为极小值点，符合题意.
当时，，
在左侧附近，右侧附近，为极大值点，舍去. 故.
（2）由(1)知，.
在内令得或.
计算，，，， 比较知最大值为，最小值为.
题型06 三次函数的对称性
1. 三次函数 的图象关于点 对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称.
2．三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称点函数值之和.
对于小题，可用上述结论直接秒杀！
【典例6】（25-26高二上·陕西西安·期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（ ）
A．2024 B．2025 C．1012 D．1013
【答案】B
【分析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.
【详解】，，，
令，解得：，
而，故函数关于点对称，
，
，
故选：B.
【跟踪训练】
1．函数图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设的对称中心为，则对任意恒成立，
代入解析式，有，即对任意恒成立，
所以，解得，故对称中心为.
秒解：令所以对称中心为.
2．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ ）
A．0 B．4 C． D．
【答案】B
【详解】二级结论：三次函数对称中心的横坐标是其二阶导数的零点。由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1，
设对称中心为，则，可解得，
由，故
3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】可得，则，且，解得，，设切点为，
由，得，
则切线的斜率为，
所以切线方程为，
即，
因为切线经过点，所以，
化简得，
令，则，
由，得或，
当或时，，在和上递减，
当时，，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
由图象可知当时，直线与的图象有3个交点，
所以当时，关于的方程有3个不等的根，
即当，过可以作三条直线与图象相切.
【点睛】不要混淆“切点”和“过点”：切线过点，但不一定是切点，必须设切点为.
题型07 三次函数的零点问题
1．三次函数的零点情况详见知识点3.
2．三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值的乘积符号来判断.
3．根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0的大小关系列出不等式求解.
【典例7】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴
C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上
【答案】A
【分析】根据导数作出函数图象，数形结合依次判断即可.
【详解】对函数求导可得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，当时，，，，
所以函数大致图象如下：
由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ，
图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误.
【跟踪训练】
1．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】法1：因为，
令，解得或；
令，解得，
所以在上单调递增，
要满足函数在区间内仅有一个零点，
则，，解得，故选：C.
法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解，
而，，
令，解得或；即在上单调递增，
原问题等价于.故选：C
2.（多选）（2026·江西·5月预测）设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若方程只有一个实数根，则
B. 若方程有两个实数根，则
C. 若方程有三个实数根，则
D. 若方程有三个实数根，则
【答案】ABC
【详解】令，则.若，则，则在上单调递增，因为时，时，则在上只有一个零点，此时满足；若，则当或时，单调递增，当时，单调递减.，.若方程只有一个实数根，则或，得或，满足，故A正确；若方程有两个实数根，则或，得或，满足，故B正确；若方程有三个实数根，则且，即且，因为，所以，则满足上述不等式，且；若，则成立，由得；若，则成立，由得，故C正确，D错误.故选ABC.
3．（多选）（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．有三个零点
C．若在上单调递增，则a的范围为
D．函数有两个极值点
【答案】AD
【详解】，
求导得，
选项A：，，故A正确；
选项B：，当或1时，零点重合，
函数仅有2个零点，故B错误；
选项C：，
求导得，已知在单调递增，
则在上恒成立，是开口向上的二次函数，对称轴为，
，故有两个不同实根，
记为，则，
则需满足，即，解得，
或，此时无解，故，而非，故C错误；
选项D:由C知，恒成立，
即有2个变号零点，
故有两个极值点，故D正确．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，所以，故D正确.
4.（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______.
【案】3
【解析】因为，则，可知0不为的零点，
令，且，可得，
令，，可知与有且仅有2个交点，
因为，
当时，，可知在内单调递增，
且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于；
当时，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
当趋近于0或时，趋近于；
综上所述：可得的图象，如图所示：
若与有且仅有2个交点，则.
4．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）由导函数的图象可知：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
于是有，
由，
所以有；
（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，
而知函数的图象如下图所示
因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
所以.
1.（2026·江西·3月一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ 　　）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【详解】，，，，对称中心为为偶函数，则为奇函数，对称中心为向右平移，向上平移，对称中心变为.所以，，解得，.
2.已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.
秒解：三次函数图象的对称中心横坐标是其二阶导函数的零点，由此结论秒解.令,再由.
3．（25-26高三上·广东东莞·期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图象设函数式为，然后求导，利用，求解．
【详解】由题意设三次函数的解析式为，即，
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
4．（24-25高二上·江苏常州·期中）定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则求函数在点处的切线方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，得，所以，
因为的对称中心为，
所以，解得，所以，
所以，所以，
所以切线方程为，即.
故选：A.
5．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．若，则
【答案】D
【分析】由图象初步确定三次函数的解析式，然后根据解析式分析函数的性质逐项判断即可.
【详解】因为函数为三次函数，可设，.
由图可知：；.
所以设，.
所以，由，.
所以，，
又当时，.
对A: ,，因为，所以，故A正确；
对B：因为，而，
所以成立，故B正确；
对C：，
因为，所以或，
所以：不等式的解集为，故C正确；
对D：因为，
由，
所以，所以，所以，即.故D错误.
故选：D.
6．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
令，解得或，
当时，，
此时当时，；当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取极小值，不满足题意；
当时，，
函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意；
当时，，
当时，；当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且函数的极小值点为3，所以，
所以，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，

所以的解集为.
7．(多选)（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的极大值点为
B．当时，函数在上的值域为
C．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
D．存在实数使函数的图象是轴对称图形
【答案】BD
【详解】对于A，当时，，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以当时，取得极大值，即函数的极大值点为，所以A错误；
对于B，由选项A得，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又由，
所以函数在上的值域为，所以B正确；
对于C，由函数，可得，
若函数在上单调递增，可得在上恒成立，
则满足，解得，即实数的取值范围是，所以C错误；
当时，可得，则，
因为，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
所以存在实数使函数的图象是轴对称图形，所以D正确.
8．（多选）（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ）
A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增
C．， D．，
【答案】BC
【详解】，，
因为函数的图象在点处的切线的斜率为，
所以，解得，
所以，，
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增，
对于A，由，得，，A错误；
对于B，区间，即是，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，B正确；
对于C，当时，，所以，
因为在区间上单调递减，所以，C正确；
对于D，，
，所以恒成立，
即对所有成立，D错误．
9．（多选）（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，是其导函数，则（ ）
A． B．的单调递减区间为
C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为
【答案】ABD
【详解】，故A正确；
当或时，；当时，，
故的单调递减区间为，故B正确；
由符号变化可得是的极大值点，故C错误；
又
，
故的图象的对称中心为，故D正确.
10．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________．
【答案】
【详解】曲线求导得，
由题意知，解得，
则点在直线上，故，解得，
．
11．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）函数的极大值点与极小值点分别为________，________．
【答案】
【详解】函数的定义域为，
令，得或.
当时，，函数在区间单调递增；
当时，，函数在区间单调递减；
当时，，函数在区间单调递增.
所以函数的极大值点与极小值点分别为.
12．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________．
【答案】
【详解】由，得，
设存在一条直线，是曲线在处的切线，又是该曲线在处的法线，且，
则可得，
又这条直线的斜率为，即得，
化简得，即，
则，结合，得，即，
代入到中，得，
令，则，即，该方程存在非负实数根，
由于，故方程的两根为正数，
故，得， 解得，
故的最大值是.
13．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的一个极值点是.
(1)求实数a的值；
(2)求函数在上的最值.
【详解】（1）因为，则，
由题意可知：，解得，
若，则，，
令，解得或；令，解得；
可知函数在内单调递减，在，内单调递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为，可知符合题意，
综上所述：.
（2）因为，由（1）可知：函数在内单调递减，在内单调递增，
所以函数在上的最小值为，无最大值.
14．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
【解析】（1）因为，则，
，解得，
即，所以，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，符合题意.
综上所述，.
（2）由，，
由可得或，故函数的增区间为和.
因为函数在区间上单调递增，所以，解得，
且有或，
所以或，解得或，
故实数的取值范围是.
15．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数.
(1)求的值域；
(2)讨论函数的零点个数.
【详解】（1）由，
令，或，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以函数在时，极小值为，极大值为，
而，
所以函数在时，最大值为，最小值为，
所以函数在时，值域为
（2）函数，
函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数问题，
结合（1）的结论，在同一直角坐标系内，画出直线与函数图象，
当，或时，直线与函数图象没有交点，因此函数没有零点，
当，或时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点，
当时，直线与函数图象有个交点，因此函数有个零点，
综上所述：当，或时，函数没有零点，
当，或时，函数有个零点，
当时，函数有个零点.
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解题大招23 利用三次函数性质刷透七大必刷题型
知识点01 三次函数的概念
形如的函数，称为“三次函数”.
【说明】(1)三次函数是整式函数，因此x不能出现在分母中,但各项的系数可以为分数.
(2)三次函数的最高次项为x的三次项，且该项的系数不为0，二次项、一次项及常数项的系数可以有部分为0，也可全为0.
知识点02 三次函数的图象与基本性质
三次函数的基本性质
(1)定义域为.
(2)值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
(3)奇偶性：①f(x)不可能为偶函数；②当且仅当b=d=0时是奇函数.
(4)三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个.
(5)对称性:三次函数的图象是中心对称曲线，且对称中心是.
【证明】设函数的图象的对称中心为，按向量将函数的图像平移，则所得图像对应的函数是奇函数，所以，化简得，该式对恒成立，故，得，所以函数的图象的对称中心是.
3．三次函数的图象和单调性、极值
的 图象
的 图象
的单调性、极值 增区间为， 减区间为， 有两个极值点，极大值为，极小值为 恒成立，在R上单调递增，无极值点 增区间为， 减区间为， 有两个极值点， 极大值为， 极小值为 恒成立，在R上单调递减，无极值点
4．三次函数图象的对称中心与导数的关系
(1)可以证明三次函数的二阶导函数的零点是三次函数图象对称中心的横坐标，即：
若，则图象的对称中心是点.
(2)若图象关于点对称，则图象关于直线 对称
中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数，此规律对其他函数也成立.
知识点03 三次方程的实根个数
设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得：
① 若，则恰有一个实根.
② 若，且，则恰有一个实根.
③ 若，且，则有两个不相等的实根.
④ 若，且，则有三个不相等的实根.
【说明】(1) 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
·(2) 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
(3) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
知识点04 三次函数的其他拓展性质(拓展)
1．三次函数的韦达定理
设的三个零点分别为，， ，则:
；
(2)；
(3) ；
(4) .
2. 三次函数f(x)的四段论法则
f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)且导函数Δ>0 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)且导函数Δ>0
(1)对称中心：；
(2)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx. 设 的极大值为 ，当 的两根为 ， 时，区间 被中心 和极小值点三等分，类似的，对极小值 也有此结论.
3．三次函数的其它二级结论：
(1) 其导函数为二次函数，图象的对称轴为 ，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
(2) 结论三： 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关于直线 对称.
(3)若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
(4)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏；
(5)若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值右偏，极大值左偏；
若可导函数 的三阶导数 ，函数有极大值或极小值时，极小值左偏，极大值右偏.
题型01 三次函数图象的识别
三次函数图象识别求解策略 1.图象特征：为连续无断点的平滑“N”型或反“N”型曲线，最多存在2个极值点、1个拐点，无渐近线. 2.定义域与值域：二者均为全体实数，无取值边界限制. 3.单调性：要么全程单调，要么呈“增-减-增”或“减-增-减”的三段变化. 4.对称性与奇偶性：无轴对称性，仅当二次项、常数项系数均为0时为奇函数，图象关于原点中心对称. 5.函数与导函数图象间的关系：若原函数为奇函数时，其导函数必为偶函数，即原函数图象关于中心对称，则导函数图象关于y轴对称.
【典例1-1】（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析的符号以及该函数的零点，结合排除法可得合适的选项.
【详解】因为，则，得，
所以排除BD．
由，可得或，排除A.
【典例1-2】（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数及其导函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，则，则的图象为抛物线，
对于A选项，如下图所示：
当或时，，则函数在区间、上均为减函数，
不合乎题意，A错；
对于B选项，由图可知，，，则函数在上为增函数，
不合乎题意，B错；
对于C选项，由图可知，，，则函数在上为增函数，
合乎题意，C对；
对于D选项，如下图所示：
当或时，，则函数在区间、上均为减函数，
不合乎题意，D错.
故选：C.
【跟踪训练】
1．关于三次函数的图象，下列叙述中正确的是（ ）．
A．仅有一个对称中心
B．仅有一条对称轴
C．仅有一个对称中心
D．没有对称轴，但对称中心不止一个
2．（25-26高二下·广西桂林·期中）已知三次函数的图象如图所示，则（ ）
A．5 B．－5 C．2 D．－2
3．（25-26高二下·江苏淮安·期中）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：y1= 2x，y2=3x 6分别与该曲线相切于（0，0），（2，0），已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
题型02 三次函数的切线问题
1．过某点的三次函数图象的切线问题
研究过点 可以作出三次函数 图象的几条切线，本质上是研究方程根的个数，可以设切点为 ，则切线方程为 ，将点 的坐标代入切线方程可得 ，这一关于 的方程有几个实数解，过点 就可以作出函数 图象的几条切线，这一问题的结论如下图所示：
(1)过曲线外部的点作的切线，有且仅有3条；
(2)过曲线内部的点以及曲线的对称中心作的切线，有且仅有 1 条；记忆方法：记忆：外 3，内 1，线上 2.
(3)过 图象（除去对称中心）上的点及过对称中心的切线上的点（除去对称中心）作 切线，有且仅有 2 条；
2．已知切线条数求参数范围的方法
(1)根据所需的实根数，建立条件不等式，即三次方程的两个极值点处的函数值异号；
(2)解这个不等式，得到参数的取值范围.
【典例2-1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围.
【详解】函数，设切点坐标为，求导得，
则切线方程为，由切线过点，
得，化简得，
“过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”，
即函数的图象与直线有3个不同的交点，
求导得，当或时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，，
所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线．
【典例2-2】（25-26高二下·安徽安庆·期末）若函数在点处的切线方程为，则=__．
【答案】
【分析】先对函数求导，求解出在点，处的切线方程,再根据切线方程为，求出，最后再求出.
【详解】，
对函数求导得 ，，
又函数在点处的切线方程为，
所以，解得，故.
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．-1 C．3或1 D．3或
3．（25-26高二下·四川宜宾·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高一下·北京·期末）函数在点处的切线方程为_______．
题型03 利用韦达定理秒解三次函数零点和或积问题
1．三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ； (2)； (3) ； (4) . 2．利用上述韦达定理可以秒解三次函数零点和、积、倒数和等问题，应用时要注意记准零点关系式与三次函数系数间的关系.
【典例3-1】已知恰有3个零点，则
【答案】2
【详解】本题可用韦达定理秒杀：a=1，b=-2，所以.
【典例3-2】设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3.求证：x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-.
【证明】由题意知ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)
=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.
比较系数可得x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x3x1=，x1x2x3=-.
【跟踪训练】
1．已知恰有3个零点，则 ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，，2，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）已知函数的导函数为，且满足，，，若函数有个零点、、，则下列说法正确的是（ ）
A．实数的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最大值是
D．若在上的值域为，则的最大值为
题型04 三次函数的单调性
1.三次函数的单调性与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2.
2.处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解.
【典例4】（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数，求导得，
当时，，在R上单调递增，不合题意；
令，解得或，
若函数在单调递减，则在恒成立，
当时，，，
当时，，，
的取值范围为，故选C．
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·宁夏·模拟预测）函数在R上是单调递增的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数．讨论的单调性.
题型05 三次函数的极值或最值
1.三次函数的极值与其导函数（二次函数）的根的判别式有关，具体情况详见知识点2.
2.若三次函数的定义域为R，则此三次函数无最值，若三次函数的定义域为区间[a,b]，则它的最值在区间端点或极值点处取得.
3. 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的关系简化运算.
【典例5】已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
【跟踪训练】
1．（多选）（25-26高二下·湖北随州·期末）设函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．当时，关于对称
C．当时，在上单调递减
D．当时，
2．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）若函数，在时取得极大值，则实数的值为__________．
3．（2026·浙江·5月联考）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__.
4．（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数在处有极小值．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
题型06 三次函数的对称性
1. 三次函数 的图象关于点 对称，并且 在 处取得最小值，其图象关于直线 对称.
2．三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称点函数值之和.
对于小题，可用上述结论直接秒杀！
【典例6】（25-26高二上·陕西西安·期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（ ）
A．2024 B．2025 C．1012 D．1013
【答案】B
【分析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.
【详解】，，，
令，解得：，
而，故函数关于点对称，
，
，
故选：B.
【跟踪训练】
1．函数图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（ ）
A．0 B．4 C． D．
3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型07 三次函数的零点问题
1．三次函数的零点情况详见知识点3.
2．三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值的乘积符号来判断.
3．根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0的大小关系列出不等式求解.
【典例7】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴
C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上
【答案】A
【分析】根据导数作出函数图象，数形结合依次判断即可.
【详解】对函数求导可得，
当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，，当时，，，，
所以函数大致图象如下：
由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ，
图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误.
【跟踪训练】
1．（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）（2026·江西·5月预测）设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若方程只有一个实数根，则
B. 若方程有两个实数根，则
C. 若方程有三个实数根，则
D. 若方程有三个实数根，则
3．（多选）（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．有三个零点
C．若在上单调递增，则a的范围为
D．函数有两个极值点
4．（25-26高二下·四川资阳·期中）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求
(1)，，的值；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
1.（2026·江西·3月一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ 　　）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
2.已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（25-26高三上·广东东莞·期末）如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道（图中虚线）与两条直道（图中实线）平滑连续（相切），已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江苏常州·期中）定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则求函数在点处的切线方程（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高三上·福建宁德·阶段检测）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．若，则
6．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
且函数的极小值点为3，所以，
7．(多选)（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数的极大值点为
B．当时，函数在上的值域为
C．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
D．存在实数使函数的图象是轴对称图形
8．（多选）（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ）
A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增
C．， D．，
9．（多选）（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，是其导函数，则（ ）
A． B．的单调递减区间为
C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为
10．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________．
11．（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）函数的极大值点与极小值点分别为________，________．
12．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若一条直线经过曲线上一点，且与曲线在处的切线垂直，则称该直线为曲线在处的法线，已知存在一条直线，既是曲线的切线，又是该曲线的法线，则的最大值是__________．
13．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的一个极值点是.
(1)求实数a的值；
(2)求函数在上的最值.
14．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，函数图象在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
15．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数.
(1)求的值域；
(2)讨论函数的零点个数.
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