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解题大招24 恒成立中的黑科技——必要性探路（含端点效应、极点效应）
知识点01 诠释必要性探路
1.必要性探路思路
必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本．
2.必要性探路的基本步骤
⑴探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）.
⑵证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调.
①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案;
②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.
【注意】这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.
知识点02 必要性探路策略之一：端点效应
1.端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
2．端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
3．端点效应的解题思路
(1)利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件.
(2)利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调.
(3)若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.
知识点03 必要性探路策略之二：内点效应
端点效应失效时, 可以考虑内点效应.
1．内点效应的实质
函数不在端点处取得最值, 而是在区间中间某个点 (即内点) 取得最值, 或者在端点和内点同时取得最小值.
2．利用图象区分端点效应和内点效应
满足端点效应的函数的如左下图, 满足内点效应的函数的图象如右下图.
3.解题的关键
关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点 ,但有些题目很难找出来, 此时往往可用 “导中切”来解答.
知识点04 必要性探路策略之三：显点效应
显点中的的“点”是取所给区间内的特殊点，因而显点效应也称特殊点效应, 显点效应是内点效应的补充,当函数取最值的点不易找到时，可通过找所给区间内的其他点，缩小参数的取值范围，再借助其他方法求得参数的准确范围.
⑴出现对数时,常考虑 (猜想) 特殊点 .
⑵出现指数时, 考虑 (猜想) 特殊点 0,1 .
⑶出现三角函数时,考虑 (猜想) 特殊点 等.
知识点05 必要性探路策略之四：极值点效应
极值点效应也称极点效应, 也就是函数的极值点和零点是同一个数, 并且这个数必须是定义域 “内点”.
(1)满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值. 如果在端点处取得最值, 则不能用极点效应这种方法做题.
(2)极点效应的实质是费马引理: 设函数在点的某个邻域 内有定义,并且在 处可导,如果对 都有 (或 ),则 ,即在开区间内,函数最值一定是函数的某个局部极值, 可导函数的极值点是导函数的零点.
(3)在高考数学中, 我们可以将“函数不等式恒成立问题”转化为函数最值, 再转化为函数极值, 利用费马引理分析极值点效应, 这本质上就是一种探路思想.
题型01 探路策略一：端点效应
端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区问上,恒成立,且（或,）则（或）. 【注意】(1) 用端点效应能做的题, 也可以用 “分离参数法”做题, 但是有时需要用到洛必达法则来求极限. 由于在高考改卷时, 使用洛必达法则有可能会扣分, 故提倡用端点效应求解; （2）当满足端点效应时, 可以分离常数, 此时用到洛必达法则. 不满足端点效应时, 洛必达法则失效. 端点效应失效时, 可以考虑必要性探路方法二: 内点效应. 【典例1-1】已知函数. (1)若为的极值点，求； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1），由于为的极值点， 所以，解得， 当时，令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 故； （2）法一（分离参数法）：由题意有对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，故对于恒成立， 令， 则时，， 当且仅当时，成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 法二（端点效应）：当时，有，即当时，有，解得； 下证充分性，即证当时，时，有， 即证当时，有，记， ，故在上单调递减， 则， 记，则， 当时，，当且仅当时，成立， 即在上单调递增，故， 故当时，有恒成立. 【解后反思】比较两种解法，明显可以发现端点效应避开了繁杂的转化或讨论，直接探求得结果，但还要注意的是，求得结果后还需证明充分性. 【典例1-2】（2024·全国甲卷 节选）已知函数.当时，，求的取值范围. 【解析】由题知，，且.， 且. ①当时，即时.存在，使得当时，，单调递减，故，所以函数在上单调递减，所以，与已知条件矛盾. ②当时，即时，则. 令，所以，，故单调递增，即，所以函数单调递增，所以即成立. 综上，实数的取值范围是. 【跟踪训练】 1．若对恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】解法一（分类讨论法）：因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 所以， 令， 令，，则，所以当时， 所以在上单调递增，所以，即，， 则 所以在上是增函数，所以 当，即时，在上是增函数，所以符合题意； 当时，且当时， 所以，使得， 即当时，单调递减，此时， 所以不符合题意， 综上可得，即 解法二（端点效应） 因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 因为，欲在恒成立，则要在单调递增 即在恒成立，则，解得， 再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略） 综上可得，即. 2．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【解析】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【方法一：换元法】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【方法二：端点效应一】 (3)由(1)知， .
因为 , 否则解集中含有 .
故 . (a)若 , 即 时，
即 是 上的单调递增函数，
, 符合题意；
(b)若 , 即 时，令 得
, (舍)，或 .
当 时， , 此时， , 不符合题意 综上可知， 的取值范围是 . 【方法三：端点效应二】 由题意得： , 必有 , 所以 , 解得 ,
故 .
问题等价于研究当 恒成立，仅需 , 令
令 . 发现： , 当且仅当 时，若 , 即 . 易证当 时，由 知， , 所以 在 上单调递增， , 所以b≥- 2成立. 3另一方面，当 时， 在 必定有解，
令, 则 在 上必存在 m, 使得 成立，所以h(x)在 单调递减，在 单调递增， 所以 , 这与 在 恒成立矛盾，故 舍去.
题型02 探路策略二：内点效应
利用内点效应解题的关键是找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点,但有些题目很难找出来, 此时往往可用 “导中切”来解答.
【典例2】设函数 . 若当 时, ,求实数的取值范围.
【分析】 ,含参数,但是单调性暂时无法判断,再次求导得 ,单调不含参, 此时已经没有参数了, 故无法通过讨论参数来解题. 不能使用端点效应, 故考虑内点效应.
如何找到 (猜想) 内点呢 令 即 ,赋值让这两个方程形式上一致 (即两个方程为同一个方程) 即可找到内点,为保证含 的项恒等,故赋值 ,代入上式得 即 ,则 即为“内点”,也即 在 处取得最小值 0 .
找到内点之后,探路: ,即 ,得到 ,可以猜想 即为答案.
事实上,当 时, ,此时 的图象如下:
此时,函数 在端点 处和内点 处同时取得最小值 0 .
【解析】当 时, 恒成立, ;
当 时, ,
令 ,则
(导中切)
又 恒成立 (答题时需要证明)
当 时, ; 当 时, ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
,
实数 的取值范围为 .
【解后反思】(1)内点效应用“导中切”的方法解题比较简便.
(2) ,其中 和 分别为六大超越函数之一和对勾函数,它们均在 处取得极值.
【跟踪训练】
1.已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】设，由题知恒成立.所以
恒成立，解得，所以是成立的必要条件.
当时，因为（此处省略证明过程，考试作答时需写出证明过程），则
.
综上，实数的取值范围是.
【说明】此题还可以转化为恒成立，整理得恒成立，即恒成立.
2. (2020 年全国 I 卷理科第 21 题 (2)) 已知函数 . 当时, 1,求a的取值范围.
【解析】法一（内点效应）： 当时,，设.
由，得，则是成立的必要条件.
下面证明充分性：
当时，，现在只需证明成立，即证成立（这样操作是便于后面求导以后，对函数没有干扰）.令，则
.当时，；当时，.所以函数在和上单调递减，在上单调递增.且，所以当时，，故，则.
综上，实数的取值范围是.
法二 ①当时，不等式恒成立，R.
②当时，，令，则
.令，，，所以在上单调递增，故，则函数在上单调递增，所以
.所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以函数的最大值为，故.
综上，实数的取值范围是.
题型03 探路策略三：显点效应
显点中的的“点”是取所给区间内的特殊点，因而显点效应也称特殊点效应,当函数取最值的点不易找到时，可通过找所给区间内的其他点，缩小参数的取值范围，再借助其他方法求得参数的准确范围.
【典例3】已知函数 . 若 恒成立,求 的取值范围.
【解析】 由题意得, ,即 ,解得 ,
这是 恒成立的一个必要条件,下面证明充分性.
当 时, .
令 ,则 ,
令 ,则 ,
在 上单调递增,又 ,
当 时, ; 当 时, .
,即 .
综上所述, 的取值范围为 .
【解后反思】(1)利用显点效应解题时需注意两个关键: (1) 找点要对; (2) 充分性要证明出来. 例如本题由 得 ,那么当 能否证明 成立呢 这是做题的关键. 如果能证明充分性成立,即能证明 “当 时, 成立”,则说明 “找点” 正确,如果无法证明充分性,则说明 “找点” 失败或则无法用显点效应来做题.
(2) 这种情况可以不写,因为由 得到的必要条件是 . 事实上,当 时,因为 ,与题设矛盾.
【跟踪训练】
1．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
【分析】f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，取特殊值x=1，从而构造函数g（a）＝a+lna﹣1，利用导数求出函数的最值，即可求出a的范围．
【解析】（1）当a＝e时，f（x）＝ex﹣lnx+1，
∴f′（x）＝ex，
∴f′（1）＝e﹣1，
∵f（1）＝e+1，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e+1）＝（e﹣1）（x﹣1），
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S2．
（2）f（x）≥1等价于aex﹣1﹣lnx+lna≥1，该不等式恒成立．
当x＝1时，有a+lna≥1，其中a＞0．
设g（a）＝a+lna﹣1，则g'（a）＝10，
则g（a）单调递增，且g（1）＝0．
所以若a+lna≥1成立，则必有a≥1．
∴下面证明当a≥1时，f（x）≥1成立．
设h（x）＝ex﹣x﹣1，
∴h′（x）＝ex﹣1，
∴h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，
∴h（x）≥h（0）＝1﹣0﹣1＝0，
∴ex﹣x﹣1≥0，
即ex≥x+1，
把x换成x﹣1得到ex﹣1≥x，
∵x﹣1≥lnx，∴x﹣lnx≥1．
∴f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna≥ex﹣1﹣lnx≥x﹣lnx≥1，当x＝1时等号成立．
综上，a≥1．
2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，.
求导得，.
所以曲线在点处的切线的斜率为.
（2）的定义域为.
求导得.
令，则，即.
令，因为，则.
当，即时，恒成立，故，
所以在上单调递增.
当，即时，的两根为，，且.
因为，，所以，.
所以当或时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，.
（3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立.
令，则.
则.
令，则.
因为，所以，则在上单调递增，
即在上单调递增.
又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，为，所以.
所以实数的取值范围为.
题型04 探路策略四：极点效应
极点效应核心是找到函数的极值点（极点），利用极点处“导数值为 0、函数值为临界值”的特征，搭建参数与函数性质的关联，本质是端点效应的延伸.
【典例4】已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用极点效应求实数 的取值范围.
【解析】定极点：区间R 无明确端点，计算 ，求导得 ，令 ，得 ，此时 为函数的极值点（极点）；
判断极值点类型：求二阶导数 ，当 时，，一阶、二阶导均为 0，用高阶探路法，求三阶导数 ，故 为极小值点（三阶导为正，拐点处函数递增）；
验证参数：当 时，，由经典不等式 ，可知 恒成立， 在 R上单调递增，故 ，恒成立；
排除其他情况：若 ，则 ，当 时，，，，但 时，，，，矛盾；若 ，则 ，存在 、，使得 ， 在 上单调递减，，矛盾.
综上，
【跟踪训练】
1．已知函数 ,其中 . 当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围.
【解析】设 ,则
由题意得,当 时, 恒成立,
又 是 的极小值点, ,
又 ,解得 .
下面证明: 当 时, 恒成立.
① 当 时, ,
,满足题意; ( 为六大超越函数之一)
②当 时,
令 ,则 ,
在 上单调递减, ,
,满足题意;
③ 当 时, ,
在 上单调递增, ,
在 上单调递增, ,满足题意;
综上所述, .
2.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】 时，，求导得 ，令 ，得 ，此时 为极点；
求二阶导数 ，当 时，，，高阶探路分析：当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减，故 ， 在 上单调递减，，恒成立；
参变分离验证：当 且 ，不等式 可转化为
（）或 （），令 ，求导分析得 在 上单调递增，在 上单调递减，，故 时，满足所有情况.
1．若，且在上恒成立，求的值.
【答案】1
【分析】注意到，由题意可知，故，验证时符合题意.
【详解】，
注意到，则当时，函数取得最小值，同时取得极小值，
所以，所以，
而当时，，，
当时，，单调递减，此时，
当时，，单调递增，此时，
所以，
所以的值为1.
2.已知函数，，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】由题知，，解得，所以是恒成立的必要条件.
当时，令，则，由不等式
（此处省略了证明过程，考试作答时需写出证明过程），所以当时，
，即恒成立，故恒成立.
综上，实数的取值范围是.
3.（2019·全国Ⅰ卷 文科）已知函数，为的导数.
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若时，，求的取值范围.
【解析】（1）由题知，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.又因为，所以，在没有零点.又因为，所以在有唯一零点.所以在区间存在唯一零点.
（2）因为当时，，所以，解得，所以是成立的必要条件.
当时，由（1）知在区间的唯一零点设为.当时，，单调递增；当时，，单调递减.且，故时，.
又因为，所以成立.
综上，实数的取值范围是.
4．（2023年全国高考甲卷理）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）解法一（分类讨论法）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
解法二（端点效应）
由于 , 且,
注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减， , 不成立.
另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 .
单调递减, . 特上所述: .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
5．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）定义域为，．
（ⅰ）当时，对，，函数的单调递增区间是，
（ⅱ）当时，时，；当，时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，．
（2）函数．
（ⅰ）当时，由重要不等式知，，
在，上递增，所以恒成立，符合题意．
（ⅱ）当时，因为，，故，在，上递增．
又，存在，使得，从而函数在上递减，在，上递增，
又，不恒成立，不满足题意．综上（ⅰ），（ⅱ）知实数的取值范围是，．
6．已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求实数a的取值范围，使得f(x)>a sin (x－1)＋－e1-x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718 28…为自然对数的底数)．
【解析】(1)因为a＝2，所以f(x)＝2e2x－2(2x＋1)ln (2x＋1)，
所以函数f(x)的定义域为，且f′(x)＝4[e2x－ln (2x＋1)－1]，
构造函数F(x)＝ex－x－1，则F′(x)＝ex－1，
令F′(x)＝0，得x＝0，
∴当x>0时，F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减．
∴F(x)≥F(0)＝0，∴ex≥x＋1，
∴当x>－1时，x≥ln (x＋1)，
所以当x>－时，e2x≥2x＋1，当且仅当x＝0时等号成立，
所以当x>－时，2x≥ln (2x＋1)，当且仅当x＝0时等号成立，
∴e2x－ln (2x＋1)－1≥2x－ln (2x＋1)≥0，当且仅当x＝0时等号成立，
∴f′(x)≥0，当且仅当x＝0时等号成立，
∴f(x)在上单调递增．
(2)∵f(x)≥2cos2x－2(a－2)x，x∈，等价于
2e2x－a(2x＋1)ln (2x＋1)－cos2x＋(a－2)(2x)－1≥0，
令t＝2x，t∈[0，π]，构造函数h(t)＝2et－a(t＋1)ln (t＋1)－cos t＋(a－2)t－1，
∴h(0)＝0，h′(t)＝2et－a ln (t＋1)＋sin t－2，h′(0)＝0.
令g(x)＝2ex－a ln (x＋1)＋sin x－2，g′(x)＝2ex－＋cos x，x∈[0，π]，
注意到g′(0)＝3－a.
当a>3时，g′(0)<0，
∴ x0>0，当x∈[0，x0]时，g(x)<0，即当t∈[0，x0]时，h′(t)<0，
所以h(t)在[0，x0]上单调递减，所以h(x0)<0，不符合题意．
当0≤a≤3时，令m(x)＝2ex－＋cos x，x∈[0，π]，
m′(x)＝2ex＋－sin x>2＋－sin x>0，
∴m(x)单调递增，则m(x)≥m(0)＝3－a≥0，
当a<0时，则m(x)＝2ex－＋cos x>2＋cos x－>0，
g′(x)≥0，g(x)单调递增，g(x)≥g(0)＝0.
∴h′(t)≥0，h(t)单调递增，h(t)≥h(0)＝0，符合题意．
综上所述a≤3.
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【解析】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
（2）设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
（3）取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
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解题大招24 恒成立中的黑科技——必要性探路（含端点效应、极点效应）
知识点01 诠释必要性探路
1.必要性探路思路
必要性探路就是指一类函数的恒成立问题，可以通过取函数定义域内某个特殊值或几个特殊值，先得到一个必要条件，初步获取参数的范围，再在该范围内讨论，去验证其充分条件，进而解决问题的方法（端点效应法其实就是特殊的必要性探路，特殊值为端点）．必要性探路求出的参数并不一定就是所求的实际范围，但可以限定问题成立的大前提，缩小参数讨论的范围，在一定程度上可以减少分类讨论的类别，降低了思维成本．
2.必要性探路的基本步骤
⑴探究必要条件,缩小参数范围:在给定的范围内取特殊值,然后由不等式成立求出参数的取值范围,该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件,接下来探究其充分性. 选择的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）.
⑵证明充分性,求结果:利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调.
①如果函数单调,则由端点得到的范围就是最终答案;
②如果函数不单调,则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.
【注意】这种必要性探路法所求的参数范围不一定是所求的实际范围,但是可以先定问题成立的大前提,缩小参数的讨论范围,一定程度上降低了思维成本.
知识点02 必要性探路策略之一：端点效应
1.端点效应的定义
恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应
2．端点效应的核心思想
利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求.
3．端点效应的解题思路
(1)利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件.
(2)利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调.
(3)若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件.
知识点03 必要性探路策略之二：内点效应
端点效应失效时, 可以考虑内点效应.
1．内点效应的实质
函数不在端点处取得最值, 而是在区间中间某个点 (即内点) 取得最值, 或者在端点和内点同时取得最小值.
2．利用图象区分端点效应和内点效应
满足端点效应的函数的如左下图, 满足内点效应的函数的图象如右下图.
3.解题的关键
关键是如何找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点 ,但有些题目很难找出来, 此时往往可用 “导中切”来解答.
知识点04 必要性探路策略之三：显点效应
显点中的的“点”是取所给区间内的特殊点，因而显点效应也称特殊点效应, 显点效应是内点效应的补充,当函数取最值的点不易找到时，可通过找所给区间内的其他点，缩小参数的取值范围，再借助其他方法求得参数的准确范围.
⑴出现对数时,常考虑 (猜想) 特殊点 .
⑵出现指数时, 考虑 (猜想) 特殊点 0,1 .
⑶出现三角函数时,考虑 (猜想) 特殊点 等.
知识点05 必要性探路策略之四：极值点效应
极值点效应也称极点效应, 也就是函数的极值点和零点是同一个数, 并且这个数必须是定义域 “内点”.
(1)满足极点效应的函数只能在定义域中间某个点取得最值. 如果在端点处取得最值, 则不能用极点效应这种方法做题.
(2)极点效应的实质是费马引理: 设函数在点的某个邻域 内有定义,并且在 处可导,如果对 都有 (或 ),则 ,即在开区间内,函数最值一定是函数的某个局部极值, 可导函数的极值点是导函数的零点.
(3)在高考数学中, 我们可以将“函数不等式恒成立问题”转化为函数最值, 再转化为函数极值, 利用费马引理分析极值点效应, 这本质上就是一种探路思想.
题型01 探路策略一：端点效应
端点效应是必要条件探路法的一种特例,利用端点处函数值的特殊性,先得到必要条件,再证明其充分性,思路简捷.端点效应的使用原理: （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且（或）,则（或）. （3）如果函数在区问上,恒成立,且（或,）则（或）. 【注意】(1) 用端点效应能做的题, 也可以用 “分离参数法”做题, 但是有时需要用到洛必达法则来求极限. 由于在高考改卷时, 使用洛必达法则有可能会扣分, 故提倡用端点效应求解; （2）当满足端点效应时, 可以分离常数, 此时用到洛必达法则. 不满足端点效应时, 洛必达法则失效. 端点效应失效时, 可以考虑必要性探路方法二: 内点效应. 【典例1-1】已知函数. (1)若为的极值点，求； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1），由于为的极值点， 所以，解得， 当时，令，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 故； （2）法一（分离参数法）：由题意有对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，，故对于恒成立， 令， 则时，， 当且仅当时，成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 法二（端点效应）：当时，有，即当时，有，解得； 下证充分性，即证当时，时，有， 即证当时，有，记， ，故在上单调递减， 则， 记，则， 当时，，当且仅当时，成立， 即在上单调递增，故， 故当时，有恒成立. 【解后反思】比较两种解法，明显可以发现端点效应避开了繁杂的转化或讨论，直接探求得结果，但还要注意的是，求得结果后还需证明充分性. 【典例1-2】（2024·全国甲卷 节选）已知函数.当时，，求的取值范围. 【解析】由题知，，且.， 且. ①当时，即时.存在，使得当时，，单调递减，故，所以函数在上单调递减，所以，与已知条件矛盾. ②当时，即时，则. 令，所以，，故单调递增，即，所以函数单调递增，所以即成立. 综上，实数的取值范围是. 【跟踪训练】 1．若对恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】解法一（分类讨论法）：因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 所以， 令， 令，，则，所以当时， 所以在上单调递增，所以，即，， 则 所以在上是增函数，所以 当，即时，在上是增函数，所以符合题意； 当时，且当时， 所以，使得， 即当时，单调递减，此时， 所以不符合题意， 综上可得，即 解法二（端点效应） 因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 因为，欲在恒成立，则要在单调递增 即在恒成立，则，解得， 再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略） 综上可得，即. 2．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【解析】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【方法一：换元法】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【方法二：端点效应一】 (3)由(1)知， .
因为 , 否则解集中含有 .
故 . (a)若 , 即 时，
即 是 上的单调递增函数，
, 符合题意；
(b)若 , 即 时，令 得
, (舍)，或 .
当 时， , 此时， , 不符合题意 综上可知， 的取值范围是 . 【方法三：端点效应二】 由题意得： , 必有 , 所以 , 解得 ,
故 .
问题等价于研究当 恒成立，仅需 , 令
令 . 发现： , 当且仅当 时，若 , 即 . 易证当 时，由 知， , 所以 在 上单调递增， , 所以b≥- 2成立. 3另一方面，当 时， 在 必定有解，
令, 则 在 上必存在 m, 使得 成立，所以h(x)在 单调递减，在 单调递增， 所以 , 这与 在 恒成立矛盾，故 舍去.
题型02 探路策略二：内点效应
利用内点效应解题的关键是找到“内点”,一般可以通过方程组 解出内点,但有些题目很难找出来, 此时往往可用 “导中切”来解答.
【典例2】设函数 . 若当 时, ,求实数的取值范围.
【分析】 ,含参数,但是单调性暂时无法判断,再次求导得 ,单调不含参, 此时已经没有参数了, 故无法通过讨论参数来解题. 不能使用端点效应, 故考虑内点效应.
如何找到 (猜想) 内点呢 令 即 ,赋值让这两个方程形式上一致 (即两个方程为同一个方程) 即可找到内点,为保证含 的项恒等,故赋值 ,代入上式得 即 ,则 即为“内点”,也即 在 处取得最小值 0 .
找到内点之后,探路: ,即 ,得到 ,可以猜想 即为答案.
事实上,当 时, ,此时 的图象如下:
此时,函数 在端点 处和内点 处同时取得最小值 0 .
【解析】当 时, 恒成立, ;
当 时, ,
令 ,则
(导中切)
又 恒成立 (答题时需要证明)
当 时, ; 当 时, ,
在 上单调递减,在 上单调递增,
,
实数 的取值范围为 .
【解后反思】(1)内点效应用“导中切”的方法解题比较简便.
(2) ,其中 和 分别为六大超越函数之一和对勾函数,它们均在 处取得极值.
【跟踪训练】
1.已知函数，，若恒成立，求实数的取值范围.
2. (2020 年全国 I 卷理科第 21 题 (2)) 已知函数 . 当时, 1,求a的取值范围.
题型03 探路策略三：显点效应
显点中的的“点”是取所给区间内的特殊点，因而显点效应也称特殊点效应,当函数取最值的点不易找到时，可通过找所给区间内的其他点，缩小参数的取值范围，再借助其他方法求得参数的准确范围.
【典例3】已知函数 . 若 恒成立,求 的取值范围.
【解析】 由题意得, ,即 ,解得 ,
这是 恒成立的一个必要条件,下面证明充分性.
当 时, .
令 ,则 ,
令 ,则 ,
在 上单调递增,又 ,
当 时, ; 当 时, .
,即 .
综上所述, 的取值范围为 .
【解后反思】(1)利用显点效应解题时需注意两个关键: (1) 找点要对; (2) 充分性要证明出来. 例如本题由 得 ,那么当 能否证明 成立呢 这是做题的关键. 如果能证明充分性成立,即能证明 “当 时, 成立”,则说明 “找点” 正确,如果无法证明充分性,则说明 “找点” 失败或则无法用显点效应来做题.
(2) 这种情况可以不写,因为由 得到的必要条件是 . 事实上,当 时,因为 ,与题设矛盾.
【跟踪训练】
1．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
题型04 探路策略四：极点效应
极点效应核心是找到函数的极值点（极点），利用极点处“导数值为 0、函数值为临界值”的特征，搭建参数与函数性质的关联，本质是端点效应的延伸.
【典例4】已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用极点效应求实数 的取值范围.
【解析】定极点：区间R 无明确端点，计算 ，求导得 ，令 ，得 ，此时 为函数的极值点（极点）；
判断极值点类型：求二阶导数 ，当 时，，一阶、二阶导均为 0，用高阶探路法，求三阶导数 ，故 为极小值点（三阶导为正，拐点处函数递增）；
验证参数：当 时，，由经典不等式 ，可知 恒成立， 在 R上单调递增，故 ，恒成立；
排除其他情况：若 ，则 ，当 时，，，，但 时，，，，矛盾；若 ，则 ，存在 、，使得 ， 在 上单调递减，，矛盾.
综上，
【跟踪训练】
1．已知函数 ,其中 . 当 时, 恒成立, 求实数 的取值范围.
2.已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
1．若，且在上恒成立，求的值.
2.已知函数，，恒成立，求实数的取值范围.
3.（2019·全国Ⅰ卷 文科）已知函数，为的导数.
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若时，，求的取值范围.
4．（2023年全国高考甲卷理）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
5．已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围．
6．已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求实数a的取值范围，使得f(x)>a sin (x－1)＋－e1-x在区间(1，＋∞)内恒成立(e＝2.718 28…为自然对数的底数)．
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
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