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解题大招26 指数找基友，对数单身狗
知识点01 “指数找基友”策略
在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”.
由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
知识点02 “对数单身狗”策略
在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.
由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.
题型01 指数找基友，巧证不等式
核心逻辑：将含指数项的不等式变形，把ex与其他函数相乘或相除结合，从而规避指数项反复求导的繁琐运算.
关键步骤：1. 拆分不等式完成配对，优先选一次、二次函数作为配对对象；
2. 构造新函数求导判断单调性，结合端点值、极值点推导不等关系；
3. 复杂场景可搭配同构、泰勒放缩简化配对过程.
【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知．当时，
证明：；
【证明】因为，即，可得，
（构造指数找基友的不等式）
令，，则，
设，，
当时，，故，
因此，
当时，则，
因为，则，可得，即，
可知在内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
综上所述：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以在内恒成立，
且，即在内恒成立，
所以在上恒成立．
【跟踪训练】
1.（2016新课标II卷）当x>0时，求证：
【证明】由题显然当 不等式成立;
当0≤x<2时，令，则在上恒成立，故f(x)在区间[0,2)上递增.
所以故当x>0时，
2．已知函数,证明:当时，
【证明】要证
即证
即证
设
①.在这一段期间中，
当，
当，
当，
又∵
∴当时，
②当时
∵的最大值为 ，
∴
∴
综上时，
题型02 指数找基友，妙求参数值
对于含的恒成立或能成立求参问题，往往用指数找基友的策略求解 1.核心操作：通过移项变形，将ex与其他函数相乘或相除放在不等号一侧，另一侧整理为含参数的代数式（即给指数式“找基友”配对），规避直接求导后仍含指数项的复杂运算。 2.后续步骤：分别分析两侧函数的单调性、极值、端点值，结合图像交点或恒成立边界条件列不等式求解，最后验证特殊点（如x=0）确认参数边界有效性.
【典例2】（2020·新课标Ⅰ理21节选）已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.
【解析】等价于.
设函数，则
.
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7 4a)e 2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
【技巧点拨】解决形如f(x)ex＋g(x)常见结论ex≥x＋1（有时甚至ex≥x＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时,f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】方法一： 由f′(x)＝ex－1－2ax,又ex≥x＋1,所以f′(x)＝ex－1－2ax≥x－2ax＝(1－2a)x,
所以当1－2a≥0,即a≤时,f′(x)≥0(x≥0),而f(0)＝0,于是当x≥0时,f(x)≥0,满足题意；又x≠0时,ex＞x＋1,所以可得e－x＞1－x,从而当a＞时,f′(x)＝ex－1－2ax≤ex－ex·e－x＋2a(e－x－1)＝(1－e－x)·(ex－2a),故当x∈(0,ln2a)时,f′(x)＜0,而f(0)＝0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)＜0,不合题意．
综上所述,实数a的取值范围为.
方法二：因为ex≥x＋1,所以当a≤0时,ex≥ax2＋x＋1恒成立,故只需讨论a＞0的情形．令F(x)＝e－x(1＋x＋ax2)－1,问题等价于F(x)≤0,
（构造指数找基友的不等式）
由F′(x)＝e－x[－ax2＋(2a－1)x]＝0得x1＝0,x2＝.
①当0＜a≤时,F(x)在[0,＋∞)上单调递减,所以F(x)≤F(0)＝0恒成立；
②当a＞时,因为F(x)在[0,x2]上单调递增,所以F(x2)≥F(0)＝0恒成立,此时F(x)≤0不恒成立．综上所述,实数a的取值范围是.
2．已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
【解析】（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友
当时，等价于．
设函数，则．
，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值
当时，．
令，令，得．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有．
（2）［方法一］：指数找朋友
设函数，
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
［方法二］：【通性通法】含参讨论
因为，，
当时，在区间内单调递增，又，故无零点；
当时，．
①当时，在区间内单调递增，有在区间内单调递增，又，故无零点；
②当时，令，得，故函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．，从而单调递增．又，所以无零点．
③当时，，又，所以存在，使得，则函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，则为函数的唯一零点，且满足．所以，解得，则．
题型03 对数单身狗，巧证不等式
核心逻辑：将含lnx的项单独移到不等式一侧（即“让对数单身”），避免求导后仍嵌套对数，大幅简化导数运算。 操作步骤：1. 移项拆分，将对数项单独置于不等号一侧，标注隐含定义域x>0； 2. 对整理后的函数求导，此时导数仅含代数项，易判定单调性、求极值点； 3. 结合端点极限或极值点的函数值验证最值，即可完成证明.
【典例3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若，求证：；
【解析】(1) 的定义域为，令，即，
即，即，
设，则．
当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，所以．
又，当时，；时，．
画出的大致图象如图所示．
函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使,
由图象可得，实数a的取值范围为．
（2）证明：因为，所以，
故要证，需证，即证，
(构造对数单身狗，指数找基友的不等式)
即证（*），
令，则．
令，则；令，则．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
令，从而由（*）只需证．
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，从而恒成立．
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意可知：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，无极小值．
(2)因为等价于，即，
且，可得，
（构造出对数单身狗的不等式）
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则，即对任意恒成立，
所以．
2．（25-26高三上·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程即可；
（2）分离，构造函数，即形成“对数单身狗”！，再利用导函数与单调性、最值的关系即可证明.
【解析】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
题型04 对数单身狗，妙求参数值
1.核心技巧：针对含对数的导数求参问题，优先通过代数变形将对数项单独移到不等式一侧，其余多项式、幂函数类项移到另一侧，避免对数与其他函数相乘求导产生的复杂运算，即“让对数成为单身项”。 2.操作步骤：分离对数项后，对两侧函数分别求导，分析单调性、极值，结合定义域、端点取值推导参数范围，最后验证边界值是否符合题设要求即可。
【典例4】若不等式对所有都成立，求实数的取值范围．
【解析】原问题等价于对所有都成立，
令， ，则．
（1）当时，恒成立，即在上单调递增，因而恒成立；
（2）当时，令，则 ， 在上单调递减，在上单调递增，，不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
【解后反思】上述解法优势在于，将lnx的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．
【跟踪训练】
1.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
1.【答案】
【解析】原不等式等价于，
则，
令，得，．
（1）当时，即时，对 ，，在上单调递增，所以，满足题意；
（2）当时，即时，对， ，在上单调递减，所以，不合题意；
综上所述，实数的取值范围是．
2．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的最小值；
【解析】（1），
因为，所以曲线在处的切线方程为；
（2），即在上恒成立，
则在上恒成立，
则在上恒成立，
令，则，
令，
若，则在上恒成立，不符合题意；
若，则的对称轴为，
若，则，则，
则在上单调递增，则，不符合题意；
若，则在上单调递减，
若，即，则在上存在一个零点，
则当时，，在上单调递增，
则，不符合题意；
若，即，则，在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意，
综上，实数的最小值为.
1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数．
(1)时，求的单调区间；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
，令，得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，恒成立，
即，整理得，在上恒成立.
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此时，取极小值，也是最小值.
，所以，
即实数的取值范围为.
2．（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
【解析】(1)易求得极大值为，无极小值
(2)因为等价于，即，
且，可得，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知函数在上单调递增，在上单调递减，
则，即对任意恒成立，
所以．
3．（25-26高二下·四川资阳·期末）已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求的值.
【解析】（1）当时，．
由，得；由，得．
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由，则．
当时，显然不等式恒成立．
当时，整理可得．
令函数，则在区间上恒成立．
易知，
①当时，，在区间上单调递减，又，
所以，当时，，不符题意．
②当时，令，得，又是增函数．
当时，单调递增；
当时，单调递减，
故（*）
对于，则必有．
由（1）可知，当时，在处取极小值，也即为最小值，此时．
于是，则，故当时，．
所以，对于，当且仅当时等号成立．
故对于（*）式，则有
所以，即．
4．（2026·高三·海南·期中）已知函数，．
求在上的最小值；
若m为整数，当时，恒成立，求m的最大值．
【解析】函数的导数，
由得，
由得，此时函数为增函数，
由得，此时函数为减函数，
即当时，函数取得极小值，，．
若即时，函数在上是增函数，此时函数的最小值为，
若即时，函数在上是减函数，此时函数的最小值为，
若，即时，函数的最小值为；
当时，，
不等式，等价为，即
令，则，
函数在上单调递增，而，，
在上存在唯一的零点，
故在上存在唯一的零点．
设此零点为a，则．
当时，；当时，；
在上的最小值为由，可得，
，
由于式等价于，
故整数m的最大值为2．
5．（25-26高二下·四川遂宁·期末）已知函数，其导函数为，且函数.
(1)求的单调区间；
(2)设为的极小值，证明：.
(3)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）函数定义域为
，
令，，
因为时，； 时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为
因为，，，所以存在使得，
当时，；当时 ，；当时，.
因此在区间上递减，在上递增，在上递减.
所以的极小值为，因为，，
所以，即，
故
(3)由知，，即
设，则，且，于是上述不等式化为，即.
设（）
由，知时 ，；时，.
所以在区间上递减，在上递增.
于是 ，且时，，
所以，当时，的值域为，即的取值范围为，
故恒成立，等价于当时，不等式恒成立.
设，则，
当时，；当时，，
于是在上递减，在上递增.
所以在上的最小值为 ，
所以，即的取值范围为.
6．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)若，，求实数a的取值范围；
(3)若，且，证明：．
【解析】（1）当时，，
令，即，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，取得极大值，
当时，取得极小值．
（2）令，
则，且，，
设，则，
又令，则，
①若，即时，
由于在区间上为增函数，可知，
则即在区间上为增函数，故，
所以即在区间上为增函数，
则，则在区间上为增函数，
所以，即时，恒成立，
所以，当时，符合条件．
②若，即时，
由于为单调递增函数，且，
所以，，
则时，，
可知）即在区间上为减函数，则，
故即在区间上为减函数，则，
则在区间上为减函数，所以，不符合题意，
综上所述，当，时，a的取值范围为．
（3）欲证，
只需证明，
由（2）可知，当时，，即有，
进而得，其中，当且仅当时“＝”成立，
则，，…，，
所以
，
所以.
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解题大招26 指数找基友，对数单身狗
知识点01 “指数找基友”策略
在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找朋友”.
由，则是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
知识点02 “对数单身狗”策略
在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导.这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”.
由（这里设），则不含超越函数，求解过程简单.
题型01 指数找基友，巧证不等式
核心逻辑：将含指数项的不等式变形，把ex与其他函数相乘或相除结合，从而规避指数项反复求导的繁琐运算.
关键步骤：1. 拆分不等式完成配对，优先选一次、二次函数作为配对对象；
2. 构造新函数求导判断单调性，结合端点值、极值点推导不等关系；
3. 复杂场景可搭配同构、泰勒放缩简化配对过程.
【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知．当时，
证明：；
【证明】因为，即，可得，
（构造指数找基友的不等式）
令，，则，
设，，
当时，，故，
因此，
当时，则，
因为，则，可得，即，
可知在内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
综上所述：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以在内恒成立，
且，即在内恒成立，
所以在上恒成立．
【跟踪训练】
1.（2016新课标II卷）当x>0时，求证：
2．已知函数,证明:当时，
题型02 指数找基友，妙求参数值
对于含的恒成立或能成立求参问题，往往用指数找基友的策略求解 1.核心操作：通过移项变形，将ex与其他函数相乘或相除放在不等号一侧，另一侧整理为含参数的代数式（即给指数式“找基友”配对），规避直接求导后仍含指数项的复杂运算。 2.后续步骤：分别分析两侧函数的单调性、极值、端点值，结合图像交点或恒成立边界条件列不等式求解，最后验证特殊点（如x=0）确认参数边界有效性.
【典例2】（2020·新课标Ⅰ理21节选）已知函数，当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
【分析】遇到 f(x)ex＋g(x)的形式变形为ex·h(x) ，其求导后的结果是[ex·h(x)]′＝ex·[h(x)＋h′(x)] ，其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.
【解析】等价于.
设函数，则
.
（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7 4a)e 2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.
（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)≤.
由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是.
【技巧点拨】解决形如f(x)ex＋g(x)常见结论ex≥x＋1（有时甚至ex≥x＋1），从形的角度看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时,f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为________．
2．已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
题型03 对数单身狗，巧证不等式
核心逻辑：将含lnx的项单独移到不等式一侧（即“让对数单身”），避免求导后仍嵌套对数，大幅简化导数运算。 操作步骤：1. 移项拆分，将对数项单独置于不等号一侧，标注隐含定义域x>0； 2. 对整理后的函数求导，此时导数仅含代数项，易判定单调性、求极值点； 3. 结合端点极限或极值点的函数值验证最值，即可完成证明.
【典例3】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求实数的取值范围；
(2)若，求证：；
【解析】(1) 的定义域为，令，即，
即，即，
设，则．
当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减，所以．
又，当时，；时，．
画出的大致图象如图所示．
函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使,
由图象可得，实数a的取值范围为．
（2）证明：因为，所以，
故要证，需证，即证，
(构造对数单身狗，指数找基友的不等式)
即证（*），
令，则．
令，则；令，则．
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
令，从而由（*）只需证．
令，则，
所以在上单调递增，故，
所以，从而恒成立．
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
2．（25-26高三上·北京·期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
题型04 对数单身狗，妙求参数值
1.核心技巧：针对含对数的导数求参问题，优先通过代数变形将对数项单独移到不等式一侧，其余多项式、幂函数类项移到另一侧，避免对数与其他函数相乘求导产生的复杂运算，即“让对数成为单身项”。 2.操作步骤：分离对数项后，对两侧函数分别求导，分析单调性、极值，结合定义域、端点取值推导参数范围，最后验证边界值是否符合题设要求即可。
【典例4】若不等式对所有都成立，求实数的取值范围．
【解析】原问题等价于对所有都成立，
令， ，则．
（1）当时，恒成立，即在上单调递增，因而恒成立；
（2）当时，令，则 ， 在上单调递减，在上单调递增，，不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
【解后反思】上述解法优势在于，将lnx的系数化“1”后，就可以有效避免求导后再出现对数函数，避免了隐性零点的出现,这是解决对数型函数的精华所在．
【跟踪训练】
1.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
2．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在上恒成立，求实数的最小值.
1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数．
(1)时，求的单调区间；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
2．（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求证：．
3．（25-26高二下·四川资阳·期末）已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求的值.
4．（2026·高三·海南·期中）已知函数，．
求在上的最小值；
若m为整数，当时，恒成立，求m的最大值．
5．（25-26高二下·四川遂宁·期末）已知函数，其导函数为，且函数.
(1)求的单调区间；
(2)设为的极小值，证明：.
(3)若恒成立，求的取值范围.
6．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)若，，求实数a的取值范围；
(3)若，且，证明：．
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