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解题大招28 利用指数、对数平均不等式秒杀
极值点偏移问题
知识点01 对数平均不等式及不等式链
对数平均不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：，此式记为对数平均不等式，
取等条件：当且仅当时，等号成立．
【证明】不失一般性，可设．（1）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而①成立.
（2）再证：……②
不等式②（）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.
2.对数不等式链
；
.
知识点02 指数平均不等式
指数均值不等式：若，则.
【证明】 设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即
把代入.
综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式.
题型01 利用指数平均不等式秒杀极值点偏移
1.指数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．
2.遇见想用指数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．
3.基本步骤：
(1)求导确定极值点x ，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x +x >2x ）；
(2)利用f(x )=f(x )的等式作和或作差变形，分离出指数平均结构；
(3)套用指数平均不等式放缩，整理后直接得证.
【典例1】已知函数 ,若有两个零点，且，
求证： ．
【证明】因为有两个零点，故有
即 ，两式相减，得，且 ，
所以，
由指数平均不等式，可知，
（此处在解答时先证明该不等式，该不等式的证明过程参看知识点02）
于是可得，即，
所以．
【跟踪训练】
1．已知函数，若 是函数的两个零点，求证：.
【证明】因为是函数 的两个零点，故有
两式相加，得 ，即
两式相减，得，即
所以，由指数平均不等式，可知 ，
（此不等式在解答过程中需先证明，此处省略）
于是可得，所以．
2．已知函数 有两个极值点，
（1）求 的取值范围；
（2）求证：.
【详解】（1）,解答过程略．
（2）证明：因为，且是的极值点，
故有 即 ，
两式相减，得，即 2，
由指数平均不等式，可知，
（此不等式在解答过程中需先证明，此处省略）
于是可得，所以 ．
题型02 利用对数平均不等式秒杀极值点偏移
1.对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．
2.遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．
3.基本步骤：
(1)求导确定极值点x ，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x +x >2x ）；
(2)利用f(x )=f(x )的等式取对数变形，分离出对数平均结构；
(3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证.
【典例2-1】已知函数，如果，且，证明：．
【分析】先判定不符合题意，再两边取对数得到，再利用对数平均不等式进行证明.
【解析】由得，又，所以和同号，
当时，，单调递增，
若，，则由得，
这与题设不符，所以，．
将等式两边同时取以自然对数得，
即，
所以，由对数平均不等式得，
即，所以．
下面证明．
证明：，构造函数，
所以，所以是增函数，
又因为，所以，
即，故成立，命题得证．
【题后反思】本题主要采用了比值换元+构造函数的方法，不等式同时取以自然对数得和是转化的关键.
【典例2-2】已知，求证：．
【分析】设，将问题转化为证明成立，代入得到对数平均不等式，从而得证.
【详解】设，则，
两式相减得，即，
不妨设，所以两边取对数得，
由等比性质知结合可得，
所以，故命题等价于证明成立，
将代入得 ，
即，这就是对数平均不等式，显然成立．
【跟踪训练】
1．已知函数和，若存在两个实数且，满足，
求证：
【分析】由对数平均不等式，先对变形，进而化简证明即可.
【详解】先证明对数平均不等式
如果要证明且，则需证明，也就是需证明，
构建函数，，所以，
所以当时，，函数单调递增，则，
因为，所以，即，得证．
又因为，不妨令，
所以 得 ，
由上结论可知：，所以.
2.（2022全国甲卷）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：.
【解析】(1) 的定义域为，则
令,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
（2）由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
题型03 两个平均不等式在双变量中的应用
1.对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．
2.遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．
3.基本步骤：
(1)求导确定极值点x ，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x +x >2x ）；
(2)利用f(x )=f(x )的等式取对数变形，分离出对数平均结构；
(3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证.
【典例3-1】（2018·新课标I，理21）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：.
【解析】（1）略，可求得，当且仅当a>2时,f(x)存在两个极值点.
(2)因为是的两个极值点，所以.
所以.
此时可联想对数平均不等式的倒数形式，代入得
.
得证.
【注意】对数平均不等式由于不属于高中内容，故使用时一定要先证明相应不等式成立，再代入使用.
【典例3-2】已知函数．
当时，函数为递减函数，求的取值范围；
设是函数的导函数，，是函数的两个零点，且，
求证：．
【分析】（1）求导，利用导函数非正恒成立进行求解；（2）带点作差分离得到，再代入.，将问题转化为，进而利用对数平均不等式进行证明.
【解析】（1）（过程略）．
证明：由，是函数的两个零点，且，所以，两式相减得：，所以，
所以，
要证，只需证即可．
由变形得．
由对数平均不等式可知，上式显然成立．
【跟踪训练】
1．已知函数，若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明：
【详解】，由
，同除以得，
要证，只需证；
只需证；
根据对数平均不等式，故原命题得证.
2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.
【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案；
（2）先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出.
【详解】（1）定义域为，
由题意可得.
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
当时，，当时，，且，
则，解得，即的取值范围为；
（2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有.
不妨设，要证，即证
设，
则，
所以在上单调递增，所以，即当时，有，
故，即.
因为是的两个零点，所以
所以，则，
所以，则.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，所以，即.
1．已知函数，当有两个零点 时，求证：.
【详解】因为函数有两个零点 ，，
故有 ，即.
两式相加，得，即,
两式相减，得，即,
于是 ，由指数平均不等式，可知，
（此处需给出该不等式的证明，证明过程略）
于是可得，于是，所以．
2．（2026·天津·模拟）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；
（2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间；
（ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证.
【详解】（1），
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）（i），
，
∵时，取得极值，∴，解得，
∴，
令，得或；令，得，
∴的单调增区间为，，单调减区间为；
（ii），
∵存在两个极值点，
∴方程，即在上有两个不等实根.
∵，解得，
则
∴所证不等式等价于，
即，
不妨设，即证，
令，，
则，
∴在上递增，∴，
∴成立，
∴.
3．已知函数.
(1)若方程有3个零点，求实数的取值范围；
(2)若有两个零点，求证：，且.
【分析】（1）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围；
（2）利用导数求得函数的单调性，再利用零点存在定理证得，再利用零点的定义将问题，构造函数，利用导数证得即可得证.
【详解】（1）解：令，即得，即方程有三个零点，
即直线与曲线有三个不同的交点，
可得，
所以当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，有极小值为，
当时，有极大值为，
当时，，且当时，，
所以作出函数的图象如图所示，
所以数形结合可知，即实数的取值范围为.

（2）解：因为，
当时，单调递增，不可能有两个零点，所以，此时，
令，得，所以当时，；
当时，，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
若有两个零点，则，得，所以，
当时，，，，
故存在，使得，
又当趋向于时，趋向于，故存在，使得，
故，则满足，可得，即，
要证，只需证，
两边同乘以，可得，
因为，，所以，
令，即证，即证，
令，可得，
令，，故在区间上单调递增，
故，因此，所以在区间上单调递增，
故，因此原不等式成立.
4．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数．
(1)设，求的零点并判断的单调性；
(2)若，且，证明：
（i）；
（ii）．
【分析】（1）利用导数分析的单调性，可得到在上有唯一零点.利用的单调性得到及的解，从而得到判断的单调性；
（2）（i）构造新函数，通过分析新函数的单调性，结合的单调性证得，即；
（ii）构造新函数，根据新函数的单调性分析，结合的单调性证得，即．
【详解】（1）由函数，得.
所以.
因为恒成立，且在上单调递增.
因为，所以在上有唯一零点.
所以的零点为0.
所以，当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
若，且，则.
.
令，则.
所以是增函数，所以.
由（1）知，所以，所以，即.
因为在上单调递增，所以，即.
（ii）设，则
令，则.
令，则.
所以在上单调递增，即在上单调递增.
所以，所以在上单调递增.
所以.
所以，当时，恒成立，即.
即.
两边同乘以，得.
因为，所以，
所以，
即.
因为，所以，所以，即.
所以，.
因此，得证.
已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：．
【分析】（1）借助导数，对及分类讨论即可得；
（2）由题意可得，可构造函数，通过其单调性得到要证，只需证，即证，构造函数，，研究其单调性即可得.
【详解】（1）因为，所以，
若，则，函数单调递增，
若，
则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
因为存在两个不相等的实数，，当，时，，
所以可设，且满足，
所以．构建函数，
所以，当且仅当，时取等号，
所以函数单调递增，
所以，所以，
所以，
所以要证，只需证，
如果要证明，
则需证明，也就是需要证明．
构建函数，，所以，
所以当时，，单调递增，
所以当时，，又，
所以，所以．
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于将双变量，转换为单变量，从而可构造函数得解..
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解题大招28 利用指数、对数平均不等式秒杀
极值点偏移问题
知识点01 对数平均不等式及不等式链
对数平均不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：，此式记为对数平均不等式，
取等条件：当且仅当时，等号成立．
【证明】不失一般性，可设．（1）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而①成立.
（2）再证：……②
不等式②（）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．
注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.
2.对数不等式链
；
.
知识点02 指数平均不等式
指数均值不等式：若，则.
【证明】 设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即
把代入.
综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式.
题型01 利用指数平均不等式秒杀极值点偏移
1.指数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．
2.遇见想用指数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．
3.基本步骤：
(1)求导确定极值点x ，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x +x >2x ）；
(2)利用f(x )=f(x )的等式作和或作差变形，分离出指数平均结构；
(3)套用指数平均不等式放缩，整理后直接得证.
【典例1】已知函数 ,若有两个零点，且，
求证： ．
【证明】因为有两个零点，故有
即 ，两式相减，得，且 ，
所以，
由指数平均不等式，可知，
（此处在解答时先证明该不等式，该不等式的证明过程参看知识点02）
于是可得，即，
所以．
【跟踪训练】
已知函数，若 是函数的两个零点，求证：.
2．已知函数 有两个极值点，
（1）求 的取值范围；
（2）求证：.
题型02 利用对数平均不等式秒杀极值点偏移
1.对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．
2.遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．
3.基本步骤：
(1)求导确定极值点x ，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x +x >2x ）；
(2)利用f(x )=f(x )的等式取对数变形，分离出对数平均结构；
(3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证.
【典例2-1】已知函数，如果，且，证明：．
【分析】先判定不符合题意，再两边取对数得到，再利用对数平均不等式进行证明.
【解析】由得，又，所以和同号，
当时，，单调递增，
若，，则由得，
这与题设不符，所以，．
将等式两边同时取以自然对数得，
即，
所以，由对数平均不等式得，
即，所以．
下面证明．
证明：，构造函数，
所以，所以是增函数，
又因为，所以，
即，故成立，命题得证．
【题后反思】本题主要采用了比值换元+构造函数的方法，不等式同时取以自然对数得和是转化的关键.
【典例2-2】已知，求证：．
【分析】设，将问题转化为证明成立，代入得到对数平均不等式，从而得证.
【详解】设，则，
两式相减得，即，
不妨设，所以两边取对数得，
由等比性质知结合可得，
所以，故命题等价于证明成立，
将代入得 ，
即，这就是对数平均不等式，显然成立．
【跟踪训练】
1．已知函数和，若存在两个实数且，满足，
求证：
2.（2022全国甲卷）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：.
题型03 两个平均不等式在双变量中的应用
对于其他双变量的问题，若能转化为对数平均数或指数平均数的形式，也可利用两个平均不等式秒杀之.
【典例3-1】（2018·新课标I，理21）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：.
【典例3-2】已知函数．
当时，函数为递减函数，求的取值范围；
设是函数的导函数，，是函数的两个零点，且，
求证：．
【跟踪训练】
1．已知函数，若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明：
2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明：.
1．已知函数，当有两个零点 时，求证：.
2．（2026·天津·模拟）设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数
（i）当时，取得极值，求的单调区间；
（ii）若存在两个极值点，证明：.
3．已知函数.
(1)若方程有3个零点，求实数的取值范围；
(2)若有两个零点，求证：，且.
4．（2026·广东佛山·模拟预测）已知函数．
(1)设，求的零点并判断的单调性；
(2)若，且，证明：
（i）；
（ii）．
5．已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：．
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