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解题大招29 构造和函数，巧破拐点偏移问题
知识点01 拐点的概念
拐点，又称反曲点，即曲线的凹凸分界点。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号或不存在。
若函数在处二阶导数为零，三阶导数不为零，则称是1函数的拐点。
如函数，其一二三阶导数分别为，则函数在处的二阶导数存在，三阶导数不为零，就是函数的拐点；在的左侧，是上凸函数，在的右侧，是下凹函数。
知识点02 拐点偏移的概念
拐点偏移：设是函数的拐点，若函数的图形与直线和分别交于两点，则的中点为，称为拐点居中；为拐点左偏；为拐点右偏.
知识点03 构造和函数破解拐点偏移问题
解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式：
(1)结论为的问题，若，则构造．
(2)结论为的问题，若，则构造．
下面以拐点左偏为例进行说明。
已知函数，若，求证：．
解题套路：对称化构造
构造一元和函数；
求，判断导数符号，确定的单调性；
结合，判断与的大小；
由及得，此时，如果为单调递增函数，就有
【说明】（1）拐点偏移与极值点偏移的解题方法类似，一般考虑对称化构造函数求解，但拐点偏移构造的是和函数，拐点偏移构造的是差函数，注意区分.
【典例1】已知函数．若正实数满足，证明：．
【详解】解法1：对称化构造函数法
若都大于1，则，与题设矛盾；
同理，也不能都小于1．于是可设
构造函数，则，
所以在(0，2]上单调递增，故，于是原不等式得证．
解法2：凑配局部放缩法
，即，
整理得．
令，记，
则，可知在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以的最小值为，则，得，又，因此成立．
【解后反思】解法1具有一般性，在我们点睛意到，则可以得到，联想，即，这或许与函数的中心对称有关：若点(1，2)是函数图象的对称中心，则由可推得；现要证，这说明(1，2)不是函数图象的对称中心，即曲线在穿过点(1，2)后发现了偏移，如图所示．
求导后，得，则在(0，)上单调递增，，则．在高等数学中，称点(1，2)为函数图象的拐点．类似于“极值点偏移”问题，我们不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”策略来处理．
【典例2】已知函数，若实数满足，求证:．
【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点右偏．
【证明】由题意，即函数在上单调递增，且，
因为且，所以，
构造和函数，
则，
所以，
因此在上单调递增，所以，
所以，
又因为，所以即，
因为在上单调递增，所以，即．
【典例3】已知函数，若实数满足，求证:．
【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点左偏．
【证明】由题意，即函数在上单调递减，且，
因为且，所以．
构造和函数
则，
则，
因此在上单调递增，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，
又因为，
所以即，
因为在上单调递增，所以，即．
【跟踪训练】
1.已知函数，证明：当，且时，．
【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点左偏。
【证明】由题意，即函数在上单调递减，且，
不妨设且，所以，
构造和函数，
则，
所以在上单调递减，所以，
所以．
2.已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
【详解】(1)易知．
①若，由，解得，所以函数的递增区间为(1，)；
②若，则
(0，) (，1) 1 (0，)
0 0
极大值 极小值
所以的单调递增区间为(0，)和(1，)；
(3)若，则，所以的单调递增区间为(0，)；
(4)若，则
(0，1) 1 (1，) (，)
0 0
极大值 极小值
所以的递增区间为(0，1)和(，)．
综上所述，
当时，的递增区间为(1，)；
当时，的递增区间为(0，)和(1，)；
若的递增区间为(0，)；
当时，的递增区间为(0，1)和(，)．
(2)因为为(0，)上的增函数，所以，
即，点睛意到，
故，不妨设．
解法1：对称构造法
欲证，只需证，只需证，
即证，即证．
令，只需证，
而，
下证，即证．
由熟悉不等式(证明略)，知．
当时，即，
所以，易知当时，，
所以，所以，
所以，即单调递增，即，从而．
解法2：令，
则，
(0，1) 1 (1，)
0
极小值
由上表可画出的图象如图实线所示，
图中虚线所示为函数的图象关于点对称后的函数的图象，
设图中点，则，
欲证，只需证，只需证点不在点的左侧即可，
即证当时，恒成立，
即证，即证，
由基本不等式，可知
所以，所以．
已知函数为常数)在处的切线方程为．
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，求证：．
【详解】(1)，
由题意可得，，解可得，此时，
令，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，故恒成立，
故在上单调递增，
(2)设，则，
易得在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
当时，取得最大值，故，即，
今，
则．
设，则，
故单调递增，单调递增，且，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，即，当时等号成立，
所以，又，
所以，即，
由在(0，+∞)上单调递增，
所以，即
2.已知函数．
(1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若满足，求证：．
【详解】(1)由题意恒成立，即恒成立．
设，则，故在上单调递增，
所以．从而实数．
(2)当时，，故在上单调递增．
因为，且，所以．
要证，只需证，由于在上单调递增，故只需证，
由，即证，即证．
令＋，
则，
所以在上单调递增，所以，故在(－∞，0) 上单调递减，
所以，从而原不等式得证．
3．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.
（i）求的拐点；
（ii）若，求证:.
【详解】（1），，
由题意得，即，解得，
且，即，解得，
故，
，，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
故极大值为，极小值为；
（2）（i），
由于，，故，即的定义域为，
，
，
令得，，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，由零点存在性定理知，有唯一的零点，
故，即时，满足，
当时，，
故的拐点为；
（ii）由（i）可知，在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，
故在上恒成立，故在上单调递增，
因为，，故，
设，
则，，
令，解得，
又，
故的拐点为，
由（1）知，关于中心对称，
令，
又的拐点为，，
要证明，只需证明的极值点左偏，
故，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即证当时，，
不妨设，
令，，
则
，
因为，所以
，
所以在上单调递减，
又，故在上恒成立，
因为，所以，即，
因为，所以，
其中在上单调递增，故，
故，故的极值点左偏，所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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解题大招29 构造和函数，巧破拐点偏移问题
知识点01 拐点的概念
拐点，又称反曲点，即曲线的凹凸分界点。若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号或不存在。
若函数在处二阶导数为零，三阶导数不为零，则称是1函数的拐点。
如函数，其一二三阶导数分别为，则函数在处的二阶导数存在，三阶导数不为零，就是函数的拐点；在的左侧，是上凸函数，在的右侧，是下凹函数。
知识点02 拐点偏移的概念
拐点偏移：设是函数的拐点，若函数的图形与直线和分别交于两点，则的中点为，称为拐点居中；为拐点左偏；为拐点右偏.
知识点03 构造和函数破解拐点偏移问题
解决拐点偏移问题，对称化构造新函数法是最基本的方法，有以下几种构造形式：
(1)结论为的问题，若，则构造．
(2)结论为的问题，若，则构造．
下面以拐点左偏为例进行说明。
已知函数，若，求证：．
解题套路：对称化构造
构造一元和函数；
求，判断导数符号，确定的单调性；
结合，判断与的大小；
由及得，此时，如果为单调递增函数，就有
【说明】（1）拐点偏移与极值点偏移的解题方法类似，一般考虑对称化构造函数求解，但拐点偏移构造的是和函数，拐点偏移构造的是差函数，注意区分.
【典例1】已知函数．若正实数满足，证明：．
【详解】解法1：对称化构造函数法
若都大于1，则，与题设矛盾；
同理，也不能都小于1．于是可设
构造函数，则，
所以在(0，2]上单调递增，故，于是原不等式得证．
解法2：凑配局部放缩法
，即，
整理得．
令，记，
则，可知在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以的最小值为，则，得，又，因此成立．
【解后反思】解法1具有一般性，在我们点睛意到，则可以得到，联想，即，这或许与函数的中心对称有关：若点(1，2)是函数图象的对称中心，则由可推得；现要证，这说明(1，2)不是函数图象的对称中心，即曲线在穿过点(1，2)后发现了偏移，如图所示．
求导后，得，则在(0，)上单调递增，，则．在高等数学中，称点(1，2)为函数图象的拐点．类似于“极值点偏移”问题，我们不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”策略来处理．
【典例2】已知函数，若实数满足，求证:．
【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点右偏．
【证明】由题意，即函数在上单调递增，且，
因为且，所以，
构造和函数，
则，
所以，
因此在上单调递增，所以，
所以，
又因为，所以即，
因为在上单调递增，所以，即．
【典例3】已知函数，若实数满足，求证:．
【分析】要证，即，易知是函数的拐点，本题实质就是求证拐点左偏．
【证明】由题意，即函数在上单调递减，且，
因为且，所以．
构造和函数
则，
则，
因此在上单调递增，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，
又因为，
所以即，
因为在上单调递增，所以，即．
【跟踪训练】
1.已知函数，证明：当，且时，．
2.已知定义域为(0，)的函数(其中常数是自然对数的底数)．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数为定义域上的增函数，且，证明：．
1．已知函数为常数)在处的切线方程为．
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，求证：．
2. 已知函数．
(1)若在(0，+∞)上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，若满足，求证：．
3．给出定义:设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称)为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.
（i）求的拐点；
（ii）若，求证:.
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