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解题大招31 二阶导数巧出手，八类难题不用愁
知识点01 二阶导的概念
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
知识点02 二阶导数、一阶导数与原函数的关系
1.一阶导数与原函数单调性的直接关系
设原函数为,其一阶导数为
若在区间内恒成立，则在上严格递增；
若在区间内恒成立，则在上严格递减.
2.二阶导数对一阶导数的影响
二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率：
若在区间内恒成立，则在上单调递增：
若在区间内恒成立，则在上单调递减.
知识点03 函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
知识点04 曲线的凹凸性
设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的.从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的.
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧.
知识点05 曲线的拐点与二阶导的关系
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点.因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点.
题型01解决函数单调性问题
二阶导判断函数单调性的策略
核心逻辑：一阶导符号难判断，求二阶导研究的增减、最值，锁定正负.
基本步骤：
1．求，式子复杂带参无法直接判号；
2．求，分析的单调性、极值、值域；
3．找到，分参讨论参数范围，确定的正负.
4．根据的正负判定函数的单调性.
【典例1】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数．
(1)若，求在上的最大值；
(2)已知，，求证：函数在上单调递增.
【答案】(1)
【分析】（1）代入得到函数，由导数求得函数的单调性，从而求得在所求区间上的最大值；
（2）代入得到函数，利用导数即可证明函数的单调性.
【详解】（1）时，，
则导数，因为，
所以，即函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，即在上的最大值为.
（2）时，，
则导数，令，
则导数，令，
则导数，因为，所以，
即函数在上单调递增，所以，
即函数在上单调递增，所以，
所以函数在上单调递增.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知函数，讨论函数的单调性.
【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明.
【详解】依题意，.
令，故，令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故，即，
故函数在上单调递增.
2．设，函数，讨论在的单调性.
【分析】利用多次求导的方法来求得在区间上的单调性.
【详解】因为，所以在有定义，
，
设，
则，
当时，，
所以 在单调递增，
而，所以当时时 ，
因此在单调递减，在单调递增.
题型02解决极值、最值问题
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值.
【典例2】（25-26高二下·广东·期末）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】方法一：的最小值可转化为点到直线，即的距离最小值，当函数在处的切线与平行，即斜率为2时，点到的距离最小，通过求导求得切线方程即可求解；方法二：点是曲线上的动点，得，所以，构造函数，通过导数求出函数的值域再求得的最小值.
【详解】法一：点在曲线上，且点到直线，即的距离，
因此可先求点到距离的最小值．
当函数在处的切线与平行，即斜率为2时，点到的距离最小．
由，得，令，解得．
点到直线的距离，所以的最小值为；
法二：点是曲线上的动点，得，
所以．
设，则，
设，则恒成立．
故在区间单调递增．
又，所以当时，，所以；
当时，，所以．
在区间单调递减，在区间单调递增．
又，所以，即，则的最小值为2．
【跟踪训练】
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
【答案】
【详解】由题意可得.
设，则，所以是偶函数.
当时，.
设，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增.
因为是偶函数，所以在上单调递减，
所以，
由.
故答案为：
2．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知函数．
(1)当时，证明：．
(2)若恒成立，求的取值范围．
(3)若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值．
【分析】（1）构造函数并利用导数判断单调性，进而证明不等式即可.
（2）对原函数合理同构得到，再转化为，最后结合分离参数法求解最值即可.
（3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值.
【详解】（1）由题意得函数的定义域为．
当时，，求导得，
令，求导得，令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，又，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
，故成立．
（2）由题意得，，
令，，
则时，时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，即，而等价于，
又因，则在上成立，令，，
则，得到在上单调递增，
则．所以，即．
（3），则，
令，由题意得不符合题意；，
当时，在递减，在递增，
得到，，，，，
而有两个零点，
且，故，
若，，，单调递减，
若，，，单调递增，
若，，，单调递减，
若，，，单调递增，
此时的极小值点为，且，．
两边取对数得，，，
令，则，代入解得，，
于是，
设，求导得，
令，得到，
令，，单调递增，令，，单调递减，
而，，，
所以在内存在唯一零点，，
使得在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值．
则，
而，得到，故整数的最大值为2．
题型03解决不等式恒（能）成立问题
典型：恒成立
思路：
1．一阶导零点未知，设极值点满足 ；
2．二阶导证单调，是唯一极小值点；
3．最小值用隐零点代换消参，解不等式求参数.
【典例3】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时，求零点的个数；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性；
（2）求导并找到函数单调区间后，根据零点的存在性定理可判断；
（3）分离参数将问题转变为在上恒成立，令，通过导数可得函数的单调性，进而判断出其最大值，从而得到所求范围.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
当时，，则在定义域上单调递增；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒成立，
所以在定义域上单调递减，
综上所述：当时，在定义域上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在定义域上单调递减.
（2）若，则的定义域为，
令，，则，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，在内单调递减，则，
且，，可知在上各有一个零点，
又因为，所以有两个零点.
（3）由分离参数可得，即在上恒成立，
令，，
则，
令，，则，
因为，则，可知在上单调递减，
则，且，
可知，满足，即，
可得，，
当时，，即；当时，，即；
可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
可得，所以实数a的取值范围为.
【跟踪训练】
1．（2026·山东泰安期末）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，
所以，
令，，
所以，
当，即时，对任意，恒成立，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，存在使得，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以当时，，与题意矛盾，舍去，
所以实数的取值范围是，故选.
2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）设函数．
(1)若，求的极值；
(2)若当时，，求的取值范围；
(3)设函数，求证：
【分析】（1），函数，对函数求导，讨论其单调性求极值；
（2）先通过对任意恒成立，探求的取值范围，再代入验证；
（3）根据，得到，结合要证明的结论，分别对赋值可得.
【详解】（1）因为，所以函数，
令，解得，当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以在处取得极小值，无极大值．
（2）因为对任意恒成立，而，，
令，则在单调递增，所以
令，所以为必要条件之一．
①当时，，所以在单调递增，
所以，所以在单调递增，所以，符合题意．
②当时，令，解得，
则当时，，单调递减，此时，
所以单调递减，
因此当时，，即不合题意．
综上所述，的取值范围为．
(3)因为函数
所以，
所以；
故（）成立．
题型04 解决零点问题
解题流程：
1.一阶导找原函数单调性、极值；
2.一阶导自身单调性由二阶导判断，确定极值唯一；
3.计算极值正负，结合端点极限，直接判断零点数量.
【典例4】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在区间的最大值；
(2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围；
(3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由.
【分析】（1）代入，求导判断函数在区间上的单调性，进而求得最大值.
（2）化简，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造函数求最小值即可得到的取值范围.
（3）化简消去参数，将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，结合函数值域、单调性分析交点个数即可.
【详解】（1）当时， ，定义域为.
∵ 当时，，，，
∴ ，即在上单调递减，
∴ .
（2）由题意得，
∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立，
∵ ，∴ 对任意 恒成立.
令，则.
令，得 ，即.
∵ ，
∴ ，对应极值点为.
当时，， ，故，单调递减；
当时， ，，故，单调递增.
∴ 是的第一个极小值点，且.
对于其余极小值点 ，，而，故对应的.
当 时，其余区间，对应的.
∴ 在 上的最小值为，故.
（3）零点个数为2，理由如下：
由题意，得，.
令，得.
①当时，，单调递增，，
所以单调递减，所以.
②当时，，，则在区间上必定存在，使得.
因为在上单调递减，
所以当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，.
因为，，所以在区间上必定存在，使得，
即当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，.
③当时，单调递减，单调递减，则单调递减.
因为，，
所以必定存在零点，使得.
④当时，因为，所以，
所以在上，不存在零点.
综上所述，在上存在两个零点.
【跟踪训练】
1．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求，；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
【分析】（1）利用导数的几何意义得，求出，再求出切点的纵坐标，代入切线方程求出；
（2）利用分离参数法，变形为，再设，求出的单调性，结合图像求解
【详解】（1）函数的定义域是，
因为切线 ，斜率 ，所以，得，
所以，
切点 在切线 上，所以，得.
（2）令，，得，所以
设，则
令 ， 在 单调递减，
，
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减，
所以 在 处取得最大值，
，，
数形结合可得，函数与的图像有两个不同的交点，，
所以方程 有两个不同正根
所以恰有两个零点，实数 的取值范围是.
2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数．
(1)当时，若恒成立，求的值；
(2)当时，函数在有一个零点，求的取值范围；
【分析】（1）利用导数求出函数唯一极小值也就是最小值，构造关于参数的新函数研究最值，由最小值非负即可得出唯一解；
（2）通过导数划分函数单调区间，分和两种情况进行分类讨论，利用极小值为负，右端趋向于正无穷，从而判定时在上存在唯一零点.
【详解】（1）当时，，则，
令，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以的最小值为，
因为恒成立，所以，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，
因为，则必有，即.
（2）当时，，则，
当时，，所以在单调递增，此时，
所以在上无零点；
当时，令，则，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增，
又因为，所以，且当时，，
所以在有一个零点，符合题意，
综上可得的取值范围为.
题型05证明不等式
1.移项构造单变量函数，确定定义域.
2.求一阶导数，若无法直接判断正负，计算二阶导数.
3.根据二阶导符号，判断一阶导的单调性，求出一阶导最值.
4.由一阶导恒正或恒负，确定原函数单调区间；若一阶导有零点，用二阶导证零点唯一.
5.借助隐零点等式替换化简原函数极值.
6.计算函数最值，并判断最值与0的关系，从而完成不等式证明.
【典例5】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)记函数，讨论的单调性；
(3)当时，证明：.
【分析】（1）求出导函数，代入求解即可.
（2）根据导数与单调性的关系求解即可.
（3）当时，若证，只需证；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系，结合零点存在定理证明即可.
【详解】（1）由，得，
则，解得.
（2）由题意得：，定义域为.
则，易知，，
令，只需，解得：，故在上单调递增.
令，解得，则在上单调递减.
综上，在上单调递减，在上单调递增．
（3）由题意等价于．
当时，原不等式可化为；
当时，，于是有，
故只需证明即可.
设，则．
设，则．
所以函数在上单调递增.
因为，，
所以函数在上有唯一零点，且.
因为，所以，即．
当时，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取得最小值．
因为，
又，所以，即.
所以，即，
所以
所以，当时，．
【跟踪训练】
1．（2025·浙江·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
(2)当时，证明：．
【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值.
（2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，，所以，
又，
所以在处的切线方程为，
将点代入得，解得．
（2）证明：，设，则，
因为，所以当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
时，，即，
，，
所以当时，.
，，
所以存在唯一的，使得，即，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，
所以，
因为，所以，故，
则，得证．
2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，满足.
(1)证明：.
(2)证明：.
【答案】(1)因为且，所以，
令，则，
因为，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
若，则，与矛盾，舍去；
若，则，与矛盾，舍去；
所以和只能分别位于两个区间和，
于是由且可知，原不等式成立.
(2)由（1）可知，不妨设，
则，
可得，
于是，即，
因为，
所以要证，只需证，
因为，，
所以只需证，其中.
因为，
令，则
，
下面证明，
因为，
令，则，
令，则
，
令，则，在上单调递增，，
于是，在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，
因为，
所以当时，，，，即，
所以，即成立，
所以原不等式成立.
题型06解决拐点、对称中心问题
解题步骤：
1.先确定函数定义域，逐阶求导得到二阶导数f''(x).
2.找出f''(x)=0的实根，以及f''(x)不存在的特殊点.
3.检验上述点两侧f''(x)的符号，异号则对应点为拐点；若为多项式函数，可结合f''(x)的对称性推导函数对称中心.
【典例6-1】对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【详解】依题意得，，，
令，解得x＝1，
∵，∴函数的对称中心为，
则，
∵
∴．
故选：A.
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用“拐点”是三次函数的对称中心求出函数解析式，然后利用导数的几何意义求出切点为的切线方程，将“过点作切线”问题转化为“方程根的个数”问题，最后利用导数研究三次函数的极值，确定m的取值范围.
【详解】可得，则，且，解得，，设切点为，
由，得，
则切线的斜率为，
所以切线方程为，
即，
因为切线经过点，所以，
化简得，
令，则，
由，得或，
当或时，，在和上递减，
当时，，在上递增，
所以的极小值为，极大值为，
由图象可知当时，直线与的图象有3个交点，
所以当时，关于的方程有3个不等的根，
即当，过可以作三条直线与图象相切.
【点睛】不要混淆“切点”和“过点”：切线过点，但不一定是切点，必须设切点为.
2．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
【答案】C
【分析】求出函数的对称中心后利用倒序相加法可求诸函数值的和.
【详解】因为，故，，
令，故，故
故曲线的对称中心为，故，
设，
则，
故即，
故选：C
题型07解决图象的凹凸性
利用二阶导解决图象凹凸性的具体策略
1.明确函数定义域，求解得到二阶导数f''(x).
2.划分f''(x)正负区间：f''(x)>0的区间为凹区间，f''(x)<0的区间为凸区间.
3.若区间端点在定义域内，可根据凹凸性判定端点归属，最终输出连续的凹凸区间即可.
【典例7】（25-26高三·全国·二轮复习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图象是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图象是凸的（图2），区间为凸的区间．
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数．根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间．
【分析】（1）求以及，判断的正负可证明；
（2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间．
【详解】（1）的图象是凸的，证明如下：
因为，，
又，所以，所以图象是凸的．
（2）因为函数，所以的定义域为，
，，
令，则，令，则，
故的凹的区间为，的凸的区间为．
【跟踪训练】
1．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.
若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.）
(1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值；
(2)已知函数.
（ⅰ）当时，讨论的凹凸性；
（ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程）
【分析】（1）由有在为凹函数，利用琴生不等式可以求出最小值；
（2）（ⅰ）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其凹凸性；
（ⅱ）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合；
【详解】（1）因为所以
所以所以函数在上为凹函数.
因为在上为凹函数，由琴生不等式有：
即
整理有:当且仅当时等号成立.
所以在锐角中，的最小值为.
（2）（ⅰ）
所以令，
所以，令有：，
即
当时，解得，当时时，当时，
所以是上的凹函数，上的凸函数.
当时，解得或，
若时，即时，
当或时，当时，
所以是上的凸函数，上的凹函数;
若时，即时，
当或时，当时，
所以是上的凸函数，上的凹函数;
综上所述：当时，是上的凹函数，上的凸函数；
当时，是上的凸函数，上的凹函数;
当时，是上的凸函数，上的凹函数.
（ⅱ）当时，，为的“切点”
所以，设，切点为，
所以过点的切线方程为：，
所以，
因为这样的切点有3个，则有3个解，
所以有3个实根，
即关于的方程：有三个不同的实数跟..
令，则直线与曲线恰有三个不同的交点.
所以，
当时，
由有：，有：或，
所以在为增函数，在和为减函数.
所以的极小值为：，的极大值为：
所以：
当时，，为单调递减，不符合题意.
当时，
由有：，有：或，
所以在为增函数，在和为减函数.
所以的极小值为：的极大值为：，
所以：
综上所述：点的集合为：
题型08解决其它问题
对于其它问题，二阶导主要起着工具性作用，解题时往往构造目标函数，通过二阶导数判定一阶导单调性、函数凹凸性，从而进一步解决相关问题.
【典例8】已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用导数讨论函数的单调性即可；
（3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论.
【详解】（1）当时，，所以．
所以．
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）的定义域为，且．
令，得．
与的情况如下：
- - 0 +
所以的单调递增区间为；单调递减区间为和．
（3）当且时，，证明如下：
令，则．
设，则．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
从而，即．
所以的单调递增区间为和．
当时，，即；
当时，，即．
综上，当且时，．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
【答案】.
【详解】由，可得，
令，
要存在两个不相等正实数，使得，
即不是正实数集上的单调函数，
则，
当时，，此时在单调递增,不满足；
当时，令，则，
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
要使不是正实数集上的单调函数，
则，即，解得.
故答案为：.
2．已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明；
（2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解.
【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为，
因为，
，
所以，所以关于对称，
即曲线是轴对称图形；
（2）因为，
则，
令，
则，
令，
则，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
所以，即，所以在单调递增，
又，
则，即，所以，
所以不等式的解集为.
1．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，令，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，又的定义域为，所以在和上单调递减，
又，，，，所以．
故选：B．
2．（25-26高二下·福建福州·期中）若函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
因为函数具有“凹凸趋向性”，
所以关于的方程在上有2个不同的实数根，
令，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是，
当时，，当时，，当时，，
所以.
故选：B.
3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数有3个零点，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】易知是一个零点，当时，分离参数可得，构造函数，根据导数与单调性及极值的关系得到的单调性，求出的值域，即可求解.
【详解】令，则.
当时，左边，右边，所以是方程的一个零点.
当时，可化为.
令，则.
令，则.
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，即当时，恒成立.
又，所以当时，恒成立，
所以在和上单调递增，
所以当时，；当时，，
即当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
又，所以为偶函数.
当时，.
令，则，则.
根据导数定义，而，
所以当时，，又当或时，.
所以，即，则的取值可以是，故B正确.
4．设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数有最小值，无最大值，由此确定单调递增，得，求得答案.
【详解】由已知，的定义域为，
由得：，
令，
当时，递减；
当时，递增，
故在时取得最小值，无最大值，
由于为上的单调函数，所以只能是递增函数，
故，即得.
故答案为：
5.（2026·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
【详解】（1）当时，，
令，
显然时，，则在上单调递减，
所以，即在上单调递减，
所以，
所以；
（2）由，
令，
设，则，所以在上单调递增，
即，
若，则，即，
所以在上单调递增，则，
所以当时，在上单调递增.
6．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点.
【分析】通过二次求导确定在上单调递增，再结合，，即可求证.
【详解】由得，，
令，
则在上恒成立，
则在上单调递增，
因，
则，，
则，使得，即，
则得；得；
则在上单调递减，在上单调递增，
则存在唯一极小值点.
7．（2026·天津河西·模拟预测）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)对，有恒成立，求的最大整数解；
【分析】（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程；
（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；
（3）求得的导数和单调性，由极小值小于0，可得，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．
【详解】（1）的导数为：
，
所以，，
所以在处的切线方程为：
，即；
（2）由已知可得，
等价于，
可令，，
记，，
所以为上的递增函数，
且，，
所以，，即，
所以在上递减，在上递增，
且，
所以的最大整数解为3.
8．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数．
(1)若的切线经过点，求此切线的方程；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【分析】（1）设经过点的切线的切点为，利用导数联立方程组，即可求出，进而得出切线方程；
（2）当时，，等价于，构造函数，利用导数判断单调性，分析函数最值，即可得到结果.
【详解】（1）由题知，定义域为，
且，
设经过点的切线的切点为，
则，解得，
所以切线斜率为，
所以此切线的方程为，即.
（2）当时，，
等价于，
令，只需，
因为，
所以令，令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又，，
且，
所以存在唯一满足，使得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值在或处产生，
则因为，，
且，即，
所以，
因为，即，
所以，
所以的取值范围为.
9．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于，求的取值范围；
(3)当时，证明：有两个零点．
【分析】（1）根据导数的几何意义，先求得切线斜率，再根据点斜式方程，即可求得切线方程；
（2）先对函数求导，根据的取值进行分类讨论，结合极值的概念，列出关于的不等式，求解即可；
（3）先对函数求导，求得其极小值，结合隐零点和零点存在定理，即可证明.
【详解】（1）由题意，当时，函数，定义域为，
则，所以，即切线的斜率，
又，
所以函数在点处的切线方程为，即；
（2）由题意，函数，定义域为，
则，
当时，恒成立，所以函数在上单调递减，
函数不存在极小值，不符合题意；
当时，令，解得，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
极小值为，
又极小值小于，即，即，
令（），则，
令，解得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以要使成立，即，则，
所以的取值范围为；
（3）由题意，，
则，
所以，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，
即在上单调递增，
当时，，当时，，
所以存在唯一使，
所以当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
故是的极小值点，
由得，即，
所以
，
因为，所以，移项得，
又，所以，两边同除以，所以，
两边取自然对数得，即，
所以，
又，，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
由零点存在定理，可知在和上各有一个零点，
综上所述，函数共有两个零点.
10．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，．
(1)求函数在区间上的最值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用导数可得函数在区间上单调递增，即可得最值；
（2）不等式转化为恒成立，令，，则恒成立，即，利用导数求解；
（3）根据函数的单调性可得方程有两个不等实根，，且,则化简可得，令，则，同理得；设，其中，利用导数可得 .
【详解】（1）因为的定义域为，，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
（2）由，得，即，
令，，则恒成立，即，
，
令得，；
令得，；令得，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
，
则,得，解得，故的取值范围为.
（3）.证明如下：
由（1）可知，函数在单调递减，在单调递增，
因为方程有两个不等实根，，不妨设,
所以，，
化简得，即，
令，其中，则，所以，
解得，则解得；
因为方程有两个不等实根，，不妨设,
所以，，
化简得，即，
令，其中，则，所以，
解得，解得；
设，其中，令，，
则，，
，
，
因为，所以，，，，
令，其中，
则，设
则，当时，，所以在上单调递减，
，所以在上单调递增，
当趋于0时，趋于1，趋于负无穷，所以，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，所以，
则，所以，即.
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解题大招31 二阶导数巧出手，八类难题不用愁
知识点01 二阶导的概念
定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导.
定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作
知识点02 二阶导数、一阶导数与原函数的关系
1.一阶导数与原函数单调性的直接关系
设原函数为,其一阶导数为
若在区间内恒成立，则在上严格递增；
若在区间内恒成立，则在上严格递减.
2.二阶导数对一阶导数的影响
二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率：
若在区间内恒成立，则在上单调递增：
若在区间内恒成立，则在上单调递减.
知识点03 函数极值的第二判定定理
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值
知识点04 曲线的凹凸性
设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的.从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的.
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧.
知识点05 曲线的拐点与二阶导的关系
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点.因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点.
题型01解决函数单调性问题
二阶导判断函数单调性的策略
核心逻辑：一阶导符号难判断，求二阶导研究的增减、最值，锁定正负.
基本步骤：
1．求，式子复杂带参无法直接判号；
2．求，分析的单调性、极值、值域；
3．找到，分参讨论参数范围，确定的正负.
4．根据的正负判定函数的单调性.
【典例1】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数．
(1)若，求在上的最大值；
(2)已知，，求证：函数在上单调递增.
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·辽宁大连·月考）已知函数，讨论函数的单调性.
2．设，函数，讨论在的单调性.
题型02解决极值、最值问题
若在附近有连续的导函数, 且
（1）若, 则在点处取极大值;
（2）若, 则 在点处取极小值.
【典例2】（25-26高二下·广东·期末）已知点是曲线上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【跟踪训练】
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数的最小值是，则 .
2．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知函数．
(1)当时，证明：．
(2)若恒成立，求的取值范围．
(3)若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值．
题型03解决不等式恒（能）成立问题
典型：恒成立
思路：
1．一阶导零点未知，设极值点满足 ；
2．二阶导证单调，是唯一极小值点；
3．最小值用隐零点代换消参，解不等式求参数.
【典例3】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时，求零点的个数；
(3)若时，恒成立，求实数的取值范围．
【跟踪训练】
1．（2026·山东泰安期末）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）设函数．
(1)若，求的极值；
(2)若当时，，求的取值范围；
(3)设函数，求证：
题型04 解决零点问题
解题流程：
1.一阶导找原函数单调性、极值；
2.一阶导自身单调性由二阶导判断，确定极值唯一；
3.计算极值正负，结合端点极限，直接判断零点数量.
【典例4】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在区间的最大值；
(2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围；
(3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由.
【跟踪训练】
1．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数.
(1)若曲线在点处的切线方程为，求，；
(2)若恰有两个零点，求实数的取值范围.
2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数．
(1)当时，若恒成立，求的值；
(2)当时，函数在有一个零点，求的取值范围.
题型05证明不等式
1.移项构造单变量函数，确定定义域.
2.求一阶导数，若无法直接判断正负，计算二阶导数.
3.根据二阶导符号，判断一阶导的单调性，求出一阶导最值.
4.由一阶导恒正或恒负，确定原函数单调区间；若一阶导有零点，用二阶导证零点唯一.
5.借助隐零点等式替换化简原函数极值.
6.计算函数最值，并判断最值与0的关系，从而完成不等式证明.
【典例5】（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数.
(1)若，求实数的值；
(2)记函数，讨论的单调性；
(3)当时，证明：.
【跟踪训练】
1．（2025·浙江·三模）已知函数．
(1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值；
(2)当时，证明：．
2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，满足.
(1)证明：.
(2)证明：.
题型06解决拐点、对称中心问题
解题步骤：
1.先确定函数定义域，逐阶求导得到二阶导数f''(x).
2.找出f''(x)=0的实根，以及f''(x)不存在的特殊点.
3.检验上述点两侧f''(x)的符号，异号则对应点为拐点；若为多项式函数，可结合f''(x)的对称性推导函数对称中心.
【典例6-1】对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）定义：设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，过可以作三条直线与图象相切，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·陕西西安·阶段检测）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
题型07解决图象的凹凸性
利用二阶导解决图象凹凸性的具体策略
1.明确函数定义域，求解得到二阶导数f''(x).
2.划分f''(x)正负区间：f''(x)>0的区间为凹区间，f''(x)<0的区间为凸区间.
3.若区间端点在定义域内，可根据凹凸性判定端点归属，最终输出连续的凹凸区间即可.
【典例7】（25-26高三·全国·二轮复习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图象是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图象是凸的（图2），区间为凸的区间．
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数．根据以上内容，完成如下问题：
(1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
(2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间．
【跟踪训练】
1．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.
若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.）
(1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值；
(2)已知函数.
（ⅰ）当时，讨论的凹凸性；
（ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程）
题型08解决其它问题
对于其它问题，二阶导主要起着工具性作用，解题时往往构造目标函数，通过二阶导数判定一阶导单调性、函数凹凸性，从而进一步解决相关问题.
【典例8】已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)当且时，判断与的大小，并说明理由．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数，使得，则实数的取值范围为 .
2．已知函数.
(1)证明曲线是轴对称图形；
(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.
1．已知，若，， ，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二下·福建福州·期中）若函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”，已知是函数的导数，且，当函数具有“凹凸趋向性”时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知函数有3个零点，则可以是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，若为上的单调函数，则实数的取值范围为 .
5．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点.
6.（2026·陕西西安·二模）已知函数．
(1)当时，，，求的取值范围；
(2)证明：当时，在上单调递增．
7．（2026·天津河西·模拟预测）已知．
(1)求在处的切线方程；
(2)对，有恒成立，求的最大整数解；
8．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数．
(1)若的切线经过点，求此切线的方程；
(2)当时，，求实数的取值范围．
9．（25-26高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于，求的取值范围；
(3)当时，证明：有两个零点．
10．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）设函数，．
(1)求函数在区间上的最值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)已知 ，方程有两个不等实根，，方程有两个不等实根，，试判断与的大小关系，并证明你的结论．
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