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解题大招34 一网打尽导数的八大同构与异构策略
（含公式同构、指对同构、双元双构）
知识点01 同构
1．同构的概念
同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构.
2．同构的应用
(1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根
(2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式
3．同构的方法：
(1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.
(2)同位同构：
①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；
②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；
差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之
知识点02 公式同构
1.利用导数公式构造
(1)乘积构造：．
若出现，可构造．
(2)商的构造：．
若出现，可构造．
(3)复合函数求导：若，，则．
如可令，构造关于u的函数．
(4).常见函数的导数特征
（i）和与积联系：，构造；
，构造；
，构造；
，构造；
，构造．等等．
（ii）差与商联系：如，构造；
，构造；
，构造；
，构造；
，构造；
，构造.
（iii）对数函数同构
，构造；
，构造；
（iV）三角函数同构：
f′（x）sinx+f（x）cosx，构造；
f′（x）sinx-f（x）cosx，构造；
f′（x）cosx-f（x）sinx，构造；
f′（x）cosx+f（x）sinx，构造；
知识点03 指对同构
1．指对数恒等式
(1)当且时有
(2)当且时有
2．五个常见变形
拓展：
3.相对跨阶想同构同左同右取对数
三种基本模式
(1)积型:
说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知
(2)商型:
(3)和差型:
如
知识点04 同构+放缩
结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如
（1）
（2）
知识点05 异构
异构的概念：使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围.
母函数的构造可以基于泰勒公式：
(1)
(2)
展开到一次项的母函数有：
(1)，(2)，
（3），（4），（5），
（6）
展开到二次项的母函数有：
(1) （x=0时取等号）；
(2) (x=0时取等号)，此时ln(x+1)前的符号为+.
大招01公式同构
分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造,详见知识点02 公式同构.
【典例1-1】已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（　　）
A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2）
C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1）
【答案】C
【详解】令，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，
所以，g（x）在（0，+∞）单调递增，
g（x）定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且，所以g（x）是偶函数，
对于A、B：因为g（1）＜g（2），即，所以2f（1）＜f（2），A、B错误；
对于C：因为g（﹣1）＝g（1）＜g（2），即，所以f（2）＞﹣2f（﹣1），C正确；
对于D：因为g（1）＜g（2）＝g（﹣2），即，所以f（﹣2）＜﹣2f（1），D错误．
故选：C．
【典例1-2】已知函数f（x）的定义域为（，），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】A
【详解】令g（x），x∈（，），
则g′（x），
因为f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，
所以g′（x）＜0，
所以g（x）在（，）上单调递减，
所以f（x）＜2f（）cosx等价于，即g（x）＜g（），
所以x，即不等式的解集为（，）．
故选：A．
【典例1-3】设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）﹣f'（x）＞2，f（0）＝2028，则不等式f（x）＞2026 ex+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（2028，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2028，+∞）
【答案】A
【详解】因为f（x）﹣f'（x）＞2，因此f'（x）﹣f（x）＜﹣2，
等式两边同时乘以e﹣x得：，
即：整理得：，
因此，我们构造辅助函数，
由导数小于0可知，函数g（x）在R上是单调递减的，
已知f（0）＝2026，因此，
不等式f（x）＞2026ex+2 f（x）﹣2＞2026ex g（0），
因为函数g（x）在R上是单调递减的，所以由g（x）＞g（0）可推出x＜0，
综上所述，不等式f（x）＞2024ex+2的解集为（﹣∞，0）．
故选：A．
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，，则
，
因为，则，故，
则单调递增；因为，则；
则等价于，解得；
故的取值范围为．
2．（25-26高二下·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】构造函数，，则，
由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增，
而，所以，
所以，
则不等式等价于，
故，即，所以不等式的解集为.
3．（25-26高二下·山东威海·期末）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】已知时，构造函数，
求导得，
时，分子，分母，故，
即在上单调递增.
又是奇函数，，
则，
故是偶函数，由对称性得在上单调递减，且.
由，原不等式可化为：，
当时，不等式两边除以得：，
因为在单调递减，故.
当时，不等式两边除以得：，
因为在单调递增，故.
综上，不等式的解集为.
4．已知定义在上的可导函数f（x）满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0恒成立，且，则不等式f（x）＜2sinx的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，设，
则，
因为f'（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，所以g'（x）＞0，
故g（x）在上单调递增，
因为，所以，
所以当时，，
即当时，，
即f（x）＜2sinx的解集为．
故选：A．
5．设f（x）为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数．若，则（　　）
A．f（2）ln2＜f（e） B．f（2）＞f（e）ln2
C．f（2）ln2＞f（e） D．f（2）＜f（e）ln2
【答案】D
【详解】令，定义域为（0，1）∪（1，+∞），导函数，
因，（lnx）2＞0，那么g′（x）＞0，因此g（x）在（0，1），（1，+∞）上均为增函数．
因1＜2＜e，那么g（2）＜g（e），即，因此可得f（2）＜f（e）ln2，即选项C错误，选项D正确；
由f（2）＜f（e）ln2可得f（2）ln2＜f（e）ln22，因f（e）ln22﹣f（e）＝f（e）（ln22﹣1），
显然ln22﹣1＜0，但由题设条件，无法推得f（e）的正负，因此f（e）ln22与f（e）的大小无法比较，
从而无法比较f（2）ln2与f（e）的大小，故选项A，B错误．
故选：D．
大招02 和差型指对同构（朗博同构）
和差型指对同构也称朗博同构，构造方法如下：
【典例2-1】（2026高三·山东聊城·期中）若对恒成立，则正实数的最小值是______．
【答案】
【分析】整理可得，结合函数的单调性可得，参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和最值，即可得结果.
【详解】因为，则等价于，
可得，且，
令，，可得，
因为在定义域内单调递增，则，可得，
令，，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
可得，所以正实数的最小值是.
【典例2-2】（2026高三·安徽安庆·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______.
【答案】
【分析】先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求导分析函数的单调性，进而求出实数的最大值.
【详解】将不等式移项可得，进一步变形得，
即.
设，对函数求导得，所以在上单调递增，
所以，则有，即，
即在上恒成立.
设，对函数求导得.
令，即，解得.
当时，，所以，单调递减；
当时，，所以，单调递增；
因此，在处取得最小值，.
因为，所以，即实数的最大值为.
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，对任意恒成立，
所以在上单调增.
可变形为
，即
因为在单调增，
所以，即对恒成立.
设，令，解得.
所以，单调减，
，单调增.
所以当时，有最小值.
所以，解得.
2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，对任意恒有.
因 ，两边取自然对数得.
令 ，，求导得，可知在上递增.
当 时，，故 ，所以在 上严格递增.
当时， .
故要使不等式恒成立，必须且只需.
即的取值范围为 .
3．（2026高三·上海·期中）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________.
【答案】
【详解】不等式
由，得，令函数，求导得，
函数在上单调递增，不等式
，令函数，依题意，对，，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以的取值范围是.
大招03 积型指对同构
积型：
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。
【典例3-1】（2026高三·安徽阜阳·期中）若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______.
【答案】
【分析】当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时，令，求导，利用函数的单调性转换求解即可.
【详解】，
又，所以，
当时，上式显然成立，
所以只需处理的情况即可，
此时，
令，
恒成立，所以严格递增，
在恒成立即可，
令，则，
令，
当时，，严格递增，
当时，，严格递减，
所以，所以，
故答案为：.
【典例3-2】（2026高三·重庆·阶段检测）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______．
【答案】
【分析】将给定不等式恒等变形，使不等号左右两边结构相同，构造函数，利用函数的单调性化简不等式，再变形并构造函数，借助导数求出最大值即可作答.
【详解】不等式，
令，则，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，因此，在上单调递增，
则，
令，则，
当时，；当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，即得，
所以实数的最小值为.
【跟踪训练】
1.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设有，
当即时，不等式恒成立；
当即时，设，则，
故在上为增函数，而即
因为，故即在上恒成立，
而时，恒成立即恒成立，
故在上恒成立，
设，则，
当时，；当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故，故，
故，故选B.
2．对，恒有，则实数a的最小值为 .
【答案】
【详解】令，则，
令，有
当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增，
，因此，在单调递增，
则
令，则，
当时,，当时,
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得
所以实数a的最小值为
大招04 商型指对同构
商型:
【典例4】已知函数f(x)=,若不等式f(x)≥对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围.
【解析】因为≥,
设函数g(x)=,x∈(0,e],
则≥等价于g(eax)≥g(x).
∵g′(x)=,
∴当x∈(0,e]时,g′(x)>0,
则g(x)在(0,e]上单调递增,
∴当x∈(0,e]时,g(eax)≥g(x)等价于eax≥x,
即a≥恒成立.
设函数h(x)=,x∈(0,e],
则h′(x)=≥0,
即h(x)在(0,e]上单调递增,
∴h(x)max=h(e)=,则a≥即可,
∴a的取值范围为.
【跟踪训练】
1．已知a＜0，若x＞1时，e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa恒成立，则a的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2e D．﹣e
【答案】D
【详解】令f（x）＝x﹣lnx，则原不等式即f（e﹣x）≥f（xa）①恒成立，
因为a＜0，x＞1，故e﹣x∈（0，1），xa∈（0，1），
由于，则x＞1，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故①式即e﹣x≤xa在（1，+∞）上恒成立，
两边取对数：﹣x≤alnx，（x＞1），所以，（x＞1），
令g（x），x＞1，令g′（x）0得x＝e，
当x∈（1，e）时，g′（x）＞0，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，
故x＝e是g（x）的极大值点，也是最大值点，故g（x）max＝g（e）＝﹣e，
故a≥﹣e即为所求．
故选：D．
2.已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,a>0.设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】
【详解】由h(x)>0,得g(x)-f(x)>0,
得aexln x所以<+=,
即>对任意x∈(0,1)恒成立.
设H(x)=,则H′(x)=.
当x∈(0,e)时,H′(x)>0,H(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,H′(x)<0,H(x)单调递减,
且当x∈(1,+∞)时,H(x)>0;
当x∈(0,1)时,H(x)<0,
若aex≥1>x,则H(aex)≥H(1)=0>H(x),
若0H(x),
且H(x)在(0,1)上单调递增,则可得aex>x.
综上可知,aex>x对任意x∈(0,1)恒成立,
即a>对任意x∈(0,1)恒成立.
设G(x)=,x∈(0,1),则G′(x)=>0,
所以G(x)在(0,1)上单调递增,
则G(x)所以a≥,即实数a的取值范围为.
3.已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域是，
.
所以在点处的切线方程为，
切线经过点，则.
，设，
是的极小值点，且，
因此在恒成立，
所以函数的单调增区间为，无单调减区间.
（2）在区间上恒成立，即，
令，则，即.
由（1），只需要，也就是在区间上恒成立.
设，.
，
故是的最大值，
所求的取值范围是.
大招05 双元同构（也称结构一致同构）
双元同构，也称地位等同同构，主要针对双变量 构造为增函数 （3） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握.
【典例5-1】已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0] B． C．（﹣∞，e] D．
【答案】B
【详解】已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2，
由题意得f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），
设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣ax2，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
即h′（x）＝ex﹣2ax＞0（0，+∞）上恒成立，
则恒成立，即，
设，则，令v′（x）＝0，则x＝1，
当x∈（0，1）时，v′（x）＜0，v（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，
所以，
所以．
故选：B．
【典例5-2】（2026·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设，由可得出，
即，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
则，则，
令，其中，，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，则，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，所以，，可得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，.
故选：A.
【跟踪训练】
1．已知函数f（x）ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）
C．（） D．（﹣∞，]
【答案】A
【详解】根据题意，设g（x）＝xf（x）＝ex﹣ax3，x∈（0，+∞），
若当x2＞x1时，不等式0恒成立，则有x1f（x1）﹣x2f（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），
则函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
则有g′（x）＝ex﹣3ax2≥0在（0，+∞）上恒成立，必有3a在（0，+∞）上恒成立，
设h（x），
则h′（x），
分析可得：在（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）为减函数，在（2，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
则h（x）在区间（0，+∞）的最小值为h（2），
若3a在（0，+∞）上恒成立，必有a，即a的取值范围为（﹣∞，]；
故选：A．
2．（25-26高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，设切点坐标为，
则曲线在该点处的切线方程为：，
又在切线上，即，
则方程有两不同解，
令，
易知时，单调递增不合理，故．
当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值；
要使有两解，则，即，
令在上单调递增，
又因为，所以
易知，
又因为为方程的解，故有，
代入可得，故所求取值范围为．
故选：A
3．（2026·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为______．
【答案】
【详解】恒成立，
等价于.
令，，则，
注意到时，，，时，.
则在上单调递减，在上单调递增，则.
则，则
.
令，.
当，，故满足条件；
当，则在上单调递减，
故.
令，.
则，得在上单调递增，
时，，不合题意；
综上，整数x的最大值为.
4．（2026高三·山西运城·期末）已知函数，若，都有，则______________.
【答案】
【分析】根据不等式可求得函数在上单调递减，即在上恒成立，构造函数，对参数分类讨论，求出函数极值并利用不等式恒成立可得只有当时符合题意，即可得.
【详解】不妨取，由可得，即，
令，可得，，
即可得在上单调递减，所以在上恒成立，
又易知，则，
令，则；
当时，易知恒成立，此时在上单调递减，即在上单调递减，
又，所以当时，，不合题意；
当时，易知当时，，当时，，
即可得在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
若在上恒成立，即在上恒成立，
所以只需保证恒成立即可，
令，则，
显然当时，，当时，，
即可得，即在处取得极小值，又，即，
所以，即.
大招06 比较大小之同构
对于借助导数比较大小的问题，常结合所给的数的函数特征，构造同一个函数或多个函数，再研究其单调性，借助中间量法、放缩法等方法求解.
【典例6-1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数，则，
令，解得，
当时，可得，所以在上单调递增，
当时，可得，所以在上单调递减，
因为，，且，函数在上单调递增，
所以，即，
又，，
且，在上单调递减，
所以，即，
综上所述，可得.
【典例6-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期末）比较，，，，的大小关系，并按照从大到小的顺序排列结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数，利用的单调性可得，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调性，可得，即可求解.
【详解】易知，令，
则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，可得，即，又易知，
令，则
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得到
所以.
【跟踪训练】
1（25-26高二下·广东阳江·期末）已知，，，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，由于，所以，
设，则，当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，两边同乘以得：，即，又，
所以，两边同乘以得：，即，
综上：.
2．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知实数，分别满足，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，，，构造函数，，利用导数分别研究函数的单调性，即可得的大小关系.
【详解】由题意可得，，，
令函数，
则，
因为，所以，，
所以，，，
所以是减函数.
所以，即，
即.
令函数，
，
所以为增函数，所以，
即，即.
综上所述，.
大招07 同构+切线放缩
利用切线放缩
同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）
【典例7-1】（多选）（24-25高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】AB
【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可..
【详解】由题意可得，则 .
设，则.
由，得，由，得，则在上单调递减，
在上单调递增，故，即.
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，则，故.
故选：AB
【典例7-2】（2026高三·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________．
【答案】
【分析】原不等式等价于，然后通过研究，，，单调性可得答案.
【详解】因为，此时，即，
令，设，函数定义域为，
可得，因为函数在上单调递增，又，
所以，即，整理得，
设，函数定义域为，，
当时，，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
所以当时，取极小值也是最小值，最小值，即.
【跟踪训练】
1．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
【答案】B
【详解】因为，所以
得，即
构造函数 ， 恒成立，所以单调递增，
因为 ,
因此原等式可写为
由单调递增可知 ，故 即，
即
因为，，所以 ,
所以
当且仅当，即时等号成立，此时 均满足 的条件，因此最小值为.
2．（2026高三·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【详解】对任意的，恒有，则，
即，
令，其中，则，
所以函数在上单调递增，且，
由可得，则，
参变分离可得，构造函数，其中，
，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，即实数的取值范围是.
3．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【分析】利用 将原不等式变形，结合重要不等式 进行求解，推得 ，并验证该范围恒成立，求得实数的取值范围即可.
【详解】因为，所以原不等式转化为，
将 代入，得：，整理得：，
设，则，令，可得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以对任意 ，
所以，当且仅当 时，等号成立，
当 时，，
不等式变为：，
因为 ，所以必须满足：，即，
当 时，原不等式为：，即：，
令 ，则不等式化为 ，显然恒成立，
当且仅当 （即 ）时取等号，
当 时，在 （即 ）处，左边为 ，右边为 ，不等式不成立，
所以实数 的取值范围为.
大招08 异构
所谓异构，是指使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围.
【典例8-1】已知正实数，满足，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】
令
当时，，当时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，
当 时，，
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，
【典例8-2】.已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，
令函数，则，
所以，时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
又当时，，时，，
作函数的图象如图所示.
由图可知，当时，有唯一解，故，且，
∴.设，，则，
令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
故选：D.
【关键点睛】本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
【跟踪训练】
1．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】不等式整理为，构造函数，求导函数判断原函数单调性，再取对数变量分离，再求导函数进而求最值.
【详解】由，得，构造函数，
则
，，
当时，，当时，
，所以在上单调递增，
得，，在上恒成立，
设，，
当时，，单调增，
当时，，单调减，
，所以
故选: A.
2．
【证明】要证 ，即证 ，
又
．
令 ， ∴ ．
∴ 当 时， ；当 时， ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时等号成立。
当且仅当 时取等号．
令，
∴，
∴ 在 上单调递增，
即，
所以
一、单选题
1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，构造函数，分析可知函数在上为增函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】不妨设，可得，可得，
令，则，
所以，函数在上为增函数，
对任意的恒成立，所以，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
2.（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】构造函数，由其单调性即可判断.
【详解】由题意构造函数，
则＝，
因为导函数满足，
所以，所以在R上单调递减，
所以，，即，，
所以.
故选：D.
3．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】易得，，，构造函数，利用导数分析其单调性，进而判断即可.
【详解】由，，，
设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
而，则，即.
4.（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法1：因为是上增函数，
则即为，
所以，.
令，则，当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增，
故，因此，
即的取值范围是，
故选：B.
解法2：因为是上增函数，
则即为，
所以，.
令，则，
当时，；当时，.
故在单调递减，在单调递增，
，因此，
即的取值范围是，
故选：B.
5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论.
【详解】设函数，
则．
由对任意，，得，则函数在上单调递减．
因为，所以，即．
由，得，所以，解得，
所以不等式的解集为，选项A正确.
6．（25-26高二下·海南海口·期中）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得.
令，则.
，即，得.
存在，使得成立，等价于存在，使得成立，
只需即可.
令，则.
当时，，则在上单调递增；
当时，取得最大值，即.
，即实数的取值范围为.
7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，对任意恒成立，
所以在上单调增.
可变形为
，即
因为在单调增，
所以，即对恒成立.
设，令，解得.
所以，单调减，
，单调增.
所以当时，有最小值.
所以，解得.
二、多选题
8．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】设函数，
由，得，即.
，令，则.
令，即得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以
所以恒成立，即在上单调递增.
所以，即.
对于选项A，，当且仅当时等号成立，因为，所以，故A正确；
对于选项B，当时，，故B错误；
对于选项C，可化为，设，
，令，则.
所以在上单调递增.
因为，所以当时，，单调递减；
当时，单调递增.
又因为，所以当时，，则，得，故C错误；
对于选项D，设，则
所以在上单调递增.
由得，即.
因为，，所以.故D正确.
9．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由，得，
即，令，即，
所以，令，解得，
当时，，所以在单调递增，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
又，
所以存在唯一的正根，即，所以，
所以，故A正确；
由，在单调递增，所以，故B错误；
由，
因为在上单调递增，所以，
又，所以，
所以，又，所以，
所以，故C正确；
由，令，
所以，
当时，，所以在单调递增，
所以，
所以，故D正确.
10．（25-26高二下·山东泰安·期末）函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是（ ）
A．
B．若且，，则必有
C．若，则的最小值为
D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则
【答案】ACD
【详解】A选项：的定义域为，，
令得，令得，
所以在单调递增,在单调递减，故，
所以，即，，A正确；
B选项，，令得，令得，
故在单调递增，在单调递减，，
其中，故的最大值相等，
故,有交点，，
的草图如下所示,
故与的大小关系不确定，B错误；
C选项，，则，
由可得，所以.
因为在上单调递增，所以.
所以，
设，令，解得，
令得，令得，
故在单调递减，在单调递增.
于是在时有极小值也为最小值，C正确；
D选项，由草图可知，且，
即，又，故，
因为，所以，
所以或，
因为，所以，所以舍去，
故，
同理，即，又，故，
即，又，故，
所以或，
因为，所以，故舍去，
所以，，
故.
又由，即，所以，即，D正确.
三、填空题
11．（2026高三·全国·一轮复习）若时，恒有成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】已知时，恒有，
原式等价于，
令，构造辅助函数，
求导得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极小值，即为最小值，故，
不等式变形为，
令，求导得，单调递增，
时，，时，，
则存在使得，
当时， ，，，
对任意恒成立；
当时，记，，
则，，由得，与矛盾；
综上．
12.（2026高三·湖北武汉·期中）已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________.
【答案】
【详解】化简不等式为，即.
令，则不等式变为.
，求导得，所以在上单调递增，
又，所以等价于，即.
变形得，令，求导得.
令，解得，当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以在处取得最小值，即.
所以要使得不等式恒成立，则，所以.
所以实数的最大值为.
13．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数，，若，且，则的最大值为______.
【答案】
【详解】，时，，单调递增，
又，，所以，
又，所以，
由，有，即，
又，，在上单调递增，所以，
即，所以，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，即，
所以的最大值为.
14．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】，
则
则在上恒成立
则在上单调递减
不妨设，则
则可化为
即
令，则在上单调递增
则在上恒成立
即在上恒成立
令，则
令，，
则，在上恒成立
则在上单调递减，
又，则在上恒成立
则在上恒成立
则在上单调递增
则，在上恒成立，
则，又，则
故实数的取值范围是
四、解答题
15．已知函数.
（1） 讨论函数的零点的个数.
（2） 证明：.
【详解】（1）函数定义域为，则，故在，递增，当时，，没有零点；当时，单调递增，，，由函数零点存在定理得在区间内有唯一零点，综上可得，函数只有一个零点.
（2）法一：要证，即证，令，定义域为，则，由（1）知，在区间内有唯一零点，设其为，则①，因，且在区间上单调递增，∴当时，，，单调递减，当时，，，单调递增；∴，由式①可得，，∴，又时，恒成立，∴，得证.
法二：问题转化为证明，令，易知，(当且仅当时“”成立)又，则，故(当且仅当时“”成立).
16．已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围.
【详解】(1)当a=e时，f(x)=ex-ln x+1，
∴f'(x)=ex-，∴k=f'(1)=e-1.
∵f(1)=e+1，∴切点坐标为(1，1+e)，
∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1)，即y=(e-1)x+2，
∴切线与两坐标轴交点坐标分别为(0，2)，，
∴所求三角形面积为×2×=.
(2)方法一　由f(x)≥1得aex-1-ln x+ln a≥1，
即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x，
而ln x+x=eln x+ln x，
∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x.
令h(x)=ex+x，则h'(x)=ex+1>0，
∴h(x)在R上单调递增.
由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x，
可得h(ln a+x-1)≥h(ln x)，
∴ln a+x-1≥ln x，
∴ln a≥(ln x-x+1)max.
令F(x)=ln x-x+1，
则F'(x)=-1=，
∴当x∈(0，1)时，F'(x)>0，F(x)单调递增；
当x∈(1，+∞)时，F'(x)<0，F(x)单调递减.
∴F(x)max=F(1)=0，则ln a≥0，即a≥1.
∴实数a的取值范围为[1，+∞).
方法二　∵f(x)=aex-1-ln x+ln a，x>0，
∴f'(x)=aex-1-，且a>0.
设g(x)=f'(x)，则g'(x)=aex-1+>0，
∴g(x)在(0，+∞)上单调递增，
即f'(x)在(0，+∞)上单调递增，
当a=1时，f'(1)=0，当01时，f'(x)>0，∴f(x)min=f(1)=1，
∴f(x)≥1恒成立.
当a>1时，<1，∴<1，
∴f'f'(1)=a(a-1)<0，
∴存在唯一x0>0，使得f'(x0)=a-=0，且当x∈(0，x0)时，f'(x)<0，
当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0，
∴a=，∴ln a+x0-1=-ln x0，
因此f(x)min=f(x0)=a-ln x0+ln a
=+ln a+x0-1+ln a≥2ln a-1+2=2ln a+1>1，
∴f(x)≥1恒成立；
当0∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞).
17．（2026·福建宁德·二模）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若恒成立，求的取值范围.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数的图象在处的切线方程为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，由，得或，
①当时，由，得或，由，得，
函数在和上单调递增，在上单调递减；
②当时，由，得或，由，得，
函数在和上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，得，由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
④当时，由，则函数在上单调递增.
所以当时，函数的单调增区间为，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为.
（3）当时，不等式转化为，
令函数，求导得，
令（），求导得，函数在上单调递减，
且，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
则，又，即，
则，即，
所以，即实数的取值范围为.
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解题大招34 一网打尽导数的八大同构与异构策略
（含公式同构、指对同构、双元双构）
知识点01 同构
1．同构的概念
同构式是指除了变量不同其余地方均相同的表达式，构造同构式解题的方法称之为同构.
2．同构的应用
(1)在方程中的应用如果方程和呈现同构特征则可视为方程的两个根
(2)在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征则可将相同的结构构造为一个函数进而和函数的单调性找到联系可比较大小或解不等式
3．同构的方法：
(1)顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.
(2)同位同构：
①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；
②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；
差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之
知识点02 公式同构
1.利用导数公式构造
(1)乘积构造：．
若出现，可构造．
(2)商的构造：．
若出现，可构造．
(3)复合函数求导：若，，则．
如可令，构造关于u的函数．
(4).常见函数的导数特征
（i）和与积联系：，构造；
，构造；
，构造；
，构造；
，构造．等等．
（ii）差与商联系：如，构造；
，构造；
，构造；
，构造；
，构造；
，构造.
（iii）对数函数同构
，构造；
，构造；
（iV）三角函数同构：
f′（x）sinx+f（x）cosx，构造；
f′（x）sinx-f（x）cosx，构造；
f′（x）cosx-f（x）sinx，构造；
f′（x）cosx+f（x）sinx，构造；
知识点03 指对同构
1．指对数恒等式
(1)当且时有
(2)当且时有
2．五个常见变形
拓展：
3.相对跨阶想同构同左同右取对数
三种基本模式
(1)积型:
说明在对“积型”同构时取对数是最快捷的同构出的函数单调性一看便知
(2)商型:
(3)和差型:
如
知识点04 同构+放缩
结合常用切线放缩不等式等可以得到更多结论比如
（1）
（2）
知识点05 异构
异构的概念：使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围.
母函数的构造可以基于泰勒公式：
(1)
(2)
展开到一次项的母函数有：
(1)，(2)，
（3），（4），（5），
（6）
展开到二次项的母函数有：
(1) （x=0时取等号）；
(2) (x=0时取等号)，此时ln(x+1)前的符号为+.
大招01公式同构
分为指数函数的构造、幂函数的构造、对数函数的构造以及三角函数的构造,详见知识点02 公式同构.
【典例1-1】已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则（　　）
A．f（1）＞f（2） B．f（1）＞2f（2）
C．f（2）＞﹣2f（﹣1） D．f（﹣2）＞﹣2f（1）
【典例1-2】已知函数f（x）的定义域为（，），其导函数是f′（x），且满足f′（x）cosx+f（x）sinx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）cosx的解集为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【典例1-3】设定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）﹣f'（x）＞2，f（0）＝2028，则不等式f（x）＞2026 ex+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（2028，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2028，+∞）
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）定义在上的函数的导函数为，，若对任意，都有，则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·山东威海·期末）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知定义在上的可导函数f（x）满足f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0恒成立，且，则不等式f（x）＜2sinx的解集为（　　）
A． B． C． D．
5．设f（x）为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数．若，则（　　）
A．f（2）ln2＜f（e） B．f（2）＞f（e）ln2
C．f（2）ln2＞f（e） D．f（2）＜f（e）ln2
大招02 和差型指对同构（朗博同构）
和差型指对同构也称朗博同构，构造方法如下：
【典例2-1】（2026高三·山东聊城·期中）若对恒成立，则正实数的最小值是______．
【典例2-2】（2026高三·安徽安庆·期中）关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______.
【跟踪训练】
1．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026高三·上海·期中）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是________.
大招03 积型指对同构
积型：
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。
【典例3-1】（2026高三·安徽阜阳·期中）若，不等式恒成立，则正数的取值范围为______.
【典例3-2】（2026高三·重庆·阶段检测）若对任意， 恒成立，则实数的最小值是______．
【跟踪训练】
1.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
2．对，恒有，则实数a的最小值为 .
大招04 商型指对同构
商型:
【典例4】已知函数f(x)=,若不等式f(x)≥对x∈(0,e]恒成立,求a的取值范围.
【跟踪训练】
1．已知a＜0，若x＞1时，e﹣x﹣lne﹣x≥xa﹣lnxa恒成立，则a的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2e D．﹣e
2.已知函数f(x)=aexln x,g(x)=x2+xln a,a>0.设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
3.已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
大招05 双元同构（也称结构一致同构）
双元同构，也称地位等同同构，主要针对双变量 构造为增函数 （3） 构造为减函数 （3），等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. 对于含有同等地位的两个变量的方程进行变形，是常见变形，通过变形整理后的不等式两边具有相同结构（函数同构），往往通过函数的单调性进行求解，这类同构也是比较基础的一类，学生也易于掌握.
【典例5-1】已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ax2，若对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0] B． C．（﹣∞，e] D．
【典例5-2】（2026·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知函数f（x）ax2，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式0恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）
C．（） D．（﹣∞，]
2．（25-26高二下·湖南·期中）已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·全国·模拟预测）若对于，，使得不等式恒成立，则整数x的最大值为______．
4．（2026高三·山西运城·期末）已知函数，若，都有，则______________.
大招06 比较大小之同构
对于借助导数比较大小的问题，常结合所给的数的函数特征，构造同一个函数或多个函数，再研究其单调性，借助中间量法、放缩法等方法求解.
【典例6-1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（25-26高二下·甘肃兰州·期末）比较，，，，的大小关系，并按照从大到小的顺序排列结果是（ ）
A． B．
C． D．
【跟踪训练】
1（25-26高二下·广东阳江·期末）已知，，，则（）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知实数，分别满足，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
大招07 同构+切线放缩
利用切线放缩
同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】 利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】 掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）
【典例7-1】（多选）（24-25高二下内蒙古期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【典例7-2】（2026高三·山东济南·期中）已知对于，都有，则的取值范围__________．
【跟踪训练】
1．（2026·山东日照·模拟预测）已知实数，，且满足，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．9
2．（2026高三·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____.
3．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________．
大招08 异构
所谓异构，是指使用了多个不同的母函数，且把原式拆分成若干个均“ ”的复合函数的和，则原式“ ”，注意验证每个部分是否能够在同一个，取到最小值0，再去通过余量函数恒“ ”，得出的范围。注意要分别说明充分性和必要性。通常余量函数的特征为的函数形式，则最后，可得出的范围.
【典例8-1】已知正实数，满足，则等于（ ）
A．2 B． C． D．
【典例8-2】.已知函数，，若，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪训练】
1．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．
一、单选题
1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（24-25高三·全国·三轮复习）若是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则(　　)
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西河池·三模）已知，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
4.（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·海南海口·期中）已知函数．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高二下·山东泰安·期末）函数与被称为“函数中的双子座”，二者性质高度关联．下列选项正确的是（ ）
A．
B．若且，，则必有
C．若，则的最小值为
D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则
三、填空题
11．（2026高三·全国·一轮复习）若时，恒有成立，则实数的取值范围是________．
12.（2026高三·湖北武汉·期中）已知对于，都有恒成立，则实数的最大值为__________.
13．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数，，若，且，则的最大值为______.
14．（25-26高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数.若，，且都有.则实数的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数.
（1） 讨论函数的零点的个数.
（2） 证明：.
16．已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围.
17．（2026·福建宁德·二模）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若恒成立，求的取值范围.
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