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解题大招35 凹凸反转，最值隔离（3大热点题型）
知识点01 凹凸函数的几何特征（形状特征）
一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值，
（1）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调
递减，在上为凸函数；
（2）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数.
知识点02 利用二阶导数判断函数的凹凸性
二阶导数 凹凸性与开口
凹函数，开口向上
凸函数，开口向下
知识点03 诠释“凹凸反转”的策略
很多时候，我们需要证明函数,但不定就要，因为大多数情况下的零点是解不出来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.，如果能够证明，则显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以就成立.很明显是凹函数，是凸函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.
知识点04 凹凸反转中常用不等式
（1）（当时取到等号）
（2）（当时取到等号）
（3）（当时取到等号）
（4）（当时取到等号）
（5）（当时取到等号）
知识点05 凹凸反转中常用6个经典函数（熟记）
题型01 解决函数零点(方程实根)问题
凹凸反转法的关键几点
（1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数.
（2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法
（3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离
（4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图像和最值.
【典例1】已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】C
【详解】∵
∴，
又，则，
∴函数为偶函数，故函数的图象关于对称，∴ 函数的图象关于对称，∴函数的图象关于对称，
又函数有且只有一个零点，∴函数的零点为2，∴，即，∴,∴.故选：C.
【跟踪训练】
1.若函数有唯一的零点，则实数_______
【答案】-2
【详解】因为，所以
所以即函数图象关于轴对称，故函数的图象与轴的交点也关于对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在，0），即（2），
所以．
2．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的值；
（2）讨论关于的方程的根的个数．
【详解】（1） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数，
所以，即，
则，
解得，
显然时，是实数集上的奇函数；
（2）由（1）得，
方程可转化为，
令，，
因为，令，得，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
当时，，
又
所以在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
所以当，即时，方程无解，
当，即时，方程有一个根，
当，即时，方程有两个根，
综上得：
当时，方程无解，
当时，方程有一个根，
当时，方程有两个根．
题型02 证明不等式
要证明，而这里又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难，这时可以考虑将通过一些手段等价转化为，如果此时可以容易求出最小值与最大值，而且容易得出（或者且），那么就可以说明，即．掌握识记六大超越函数和变形能帮助快速解题.
【典例2-1】当时，求证：．
【详解】证明：两边同时乘以，即证明．
下面将左右两个部分分别构造新函数，即，．
接下来我们再证明的最小值大于的最大值即可．
(即凹凸反转)
由知，在上单调递减，在上单调递增，
所以；而知，在上单调递增，
在上单调递减，
所以
所以有，又等号不同时取到，
所以有，得证．
注：从图象上看，左凹右凸，上述证明很容易实现．
【跟踪训练】
1.已知函数，证明：．
【详解】即证．等价于证：．
令，．时，．
即．令，则．
当，，单调递增；当，，单调递减；
即．所以．综上，．
2.（2022全国卷）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求；
(2)证明:
【详解】（1）函数的定义域为，
.
由题意可得，.故，.
（2）证明：由（1）知，，
从而等价于.
设函数，则.
所以当，；
当时，.
故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.
设函数，则.
所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.
综上，当时，，即.
题型03 解决不等式恒成立问题
凹凸反转破解恒成立问题求解策略
适用场景：含参导数恒成立问题，直接移项求导后零点难寻、分类讨论复杂时使用.
核心逻辑：将原式拆分变形为f(x)≥g(x)结构，调整使f(x)为凸函数（最大值易求）、g(x)为凹函数（最小值易求）.
操作步骤：分别求解f(x)的最大值、g(x)的最小值，验证f(x)最大值≤g(x)最小值即可证明恒成立，可直接反推参数范围，避开复杂隐零点运算.
【典例3-1】若恒成立，求正实数m的取值范围.
【分析】将原式变形为，令，根据导数求其最值，然后列不等式求解.
【详解】不等式等价于，，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
令，
，
令，解得或，
∵，∴.
当时，，
令得，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
欲使不等式恒成立，则，
解得，
当时，，
令得或，令得，
所以在，单调递减，在上单调递增，
而，存在，
从而不等式不恒成立.
综上，当时，不等式恒成立.
【典例3-2】已知函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）对恒成立，记，证明：．
【详解】（1），
易证当时，，则，即，
所以，故在，上单调递增；
（2）方法一（常规方法）:由题意得，，
令，要证：，即证，
，
令，则，，
所以在上单调递增，又，，
故，使得，即，
所以，有，单调递减，
，，单调递增，
所以，，
，，
所以存在，使得，即，
且满足，，单调递减；
，，单调递增；
所以；
令，则，故单调递减，
又，所以，
则只需证明，
又，可先证明，又，，则，
所以，而，所以，证毕！
注：关于的证明下面再给出一种证法：
由对数均值不等式（需要证明）得，即，
又，所以，证毕！
方法2 凹凸反转
∵，∴要证原式
只需要
稍作变形恒成立
构造，
由单调性可知
构造，
由单调性可知
因此
因此
【跟踪训练】
1.已知实数x,y满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得，结合取等条件求出x，y即可.
【详解】设，，则
，
令，
时，单调递增；
当m>1时，单调递减.
，
令，则
所以当，
则在单调递减，单调递增
由题意，，，，，
故x+y=2.故选A
【题后反思】解决本题的关键是利用及换元思想将问题转化为.
2.若，，求a的取值范围．
【详解】，即，成立．
令，．
，极大值
，
因此，．
所以只需，即，解得
3．（2026 宁波二模节选）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.
【详解】由题意可得，
，此时；
，此时；
要想对任意时，恒成立，则必有，即得.
即得是在恒成立的一个必要条件.
下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立.
，
令，则，
即得在上单调递增，所以；
即得，恒成立；
充分性得证.
综上所述 实数的取值范围为.
已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【详解】由题干条件可知：等价于，
令，，则
， ，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值
.
令，，则，当时，此题无解，所以，
则，当，当，
所以在在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.
若成立，只需，即，即，
两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，
令，本题即求的最大的正整数.
恒成立，则在上单调递减，
，，，
所以的最大正整数为9.
故选：C.
2．已知函数，当时，，求a的取值范围；
【详解】由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立.
只需证明对恒成立对恒成立（令，则）①对恒成立，设，则
，所以，故①式成立，则的取值范围为
3..已知函数．当时，证明．
【详解】当时，．
故只需证：．即证：．
令，，则．
当，，单调递减；
当，，单调递增；即．
令，则．
当，，单调递增；
当，，单调递减；
即．不能同时取“=”所以．
综上，当时，．
4．已知函数，直线与曲线相切.
（1）求实数的值；
（2）若函数与在其公共定义域内满足，则称与存在临界线.证明：与存在临界线.
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）设切点为，求出导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得，；
（2）先证，，设，利用导数即可证明，再证，，即证，设，利用导数即可证明．
【详解】（1）因为，
所以，设切点为，
则可得，
（2）证明：先证，，设，，则当
时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，故，即.
再证（），即证（），设，
，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，故，即（），则，即与存在临界线.
5．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【详解】（1）当时，，
∴当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴在处取得极大值无极小值
（2）当时，，
下面证，即证．
设， 则，
在上，是减函数；在上，是增函数．
所以．
设， 则，
在上，是增函数；在上，是减函数，
所以，．
所以，即，所以，即，
即在上恒成立.
6．已知，.
求函数的单调区间；
对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
证明：对一切，都有成立.
【分析】（1）求出的导函数，令导函数小于0，可求得函数单调递减区间，导函数大于0，可求得函数单调递增区间；
把与解析式代入已知不等式，整理后设，求出的导函数，根据导函数的正负判断单调性，进而求出的最小值，即可确定的范围；
所证不等式两边乘以，左边为，右边设为，求出左边的最小值及右边的最大值，比较即可得证．
【详解】（1）因为，所以，
当，，当，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）
解：原不等式等价于，即对一切恒成立，
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
所以实数a的取值范围为；
（3）证明：原问题等价于证明，
由（1）可知，的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，当且仅当时取到，
所以对一切，都有成立．
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解题大招35 凹凸反转，最值隔离（3大热点题型）
知识点01 凹凸函数的几何特征（形状特征）
一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同的任意两个自变量的值，
（1）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调
递减，在上为凸函数；
（2）总有（当且仅当时，取等号），则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数.
知识点02 利用二阶导数判断函数的凹凸性
二阶导数 凹凸性与开口
凹函数，开口向上
凸函数，开口向下
知识点03 诠释“凹凸反转”的策略
很多时候，我们需要证明函数,但不定就要，因为大多数情况下的零点是解不出来的.这时候我们可以尝试凹凸反转.，如果能够证明，则显然成立，（PS:反过来不一定成立）所以就成立.很明显是凹函数，是凸函数；因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转.
知识点04 凹凸反转中常用不等式
（1）（当时取到等号）
（2）（当时取到等号）
（3）（当时取到等号）
（4）（当时取到等号）
（5）（当时取到等号）
知识点05 凹凸反转中常用6个经典函数（熟记）
题型01 解决函数零点(方程实根)问题
凹凸反转法的关键几点
（1）遇到解析式简单的，首选构造差值函数，即构造一个函数.
（2）当解析式略微复杂，先尝试构造差值函数，如果导函数的零点不易求出，可再尝试凹凸反转法
（3）凹凸反转法即是拆分函数法，如何拆成两个函数是关键，最常见的是指数、对数型分离
（4）熟练掌握常见指数、对数型函数的图像和最值.
【典例1】已知函数有且只有一个零点，则实数A的值为（ ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【跟踪训练】
1.若函数有唯一的零点，则实数_______
2．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的值；
（2）讨论关于的方程的根的个数．
题型02 证明不等式
要证明，而这里又比较复杂，直接分析其单调性与值域比较困难，这时可以考虑将通过一些手段等价转化为，如果此时可以容易求出最小值与最大值，而且容易得出（或者且），那么就可以说明，即．掌握识记六大超越函数和变形能帮助快速解题.
【典例2】当时，求证：．
【跟踪训练】
1.已知函数，证明：．
2.（2022全国卷）设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.
(1)求；
(2)证明:
题型03 解决不等式恒成立问题
凹凸反转破解恒成立问题求解策略
适用场景：含参导数恒成立问题，直接移项求导后零点难寻、分类讨论复杂时使用.
核心逻辑：将原式拆分变形为f(x)≥g(x)结构，调整使f(x)为凸函数（最大值易求）、g(x)为凹函数（最小值易求）.
操作步骤：分别求解f(x)的最大值、g(x)的最小值，验证f(x)最大值≤g(x)最小值即可证明恒成立，可直接反推参数范围，避开复杂隐零点运算.
【典例3-1】若恒成立，求正实数m的取值范围.
【典例3-2】已知函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）对恒成立，记，证明：．
【跟踪训练】
1.已知实数x,y满足，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2.若，，求a的取值范围．
3．（2026 宁波二模节选）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.
已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
2．已知函数，当时，，求a的取值范围.
3..已知函数．当时，证明．
4．已知函数，直线与曲线相切.
（1）求实数的值；
（2）若函数与在其公共定义域内满足，则称与存在临界线.证明：与存在临界线.
5．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
6．已知，.
求函数的单调区间；
对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
证明：对一切，都有成立.
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