资源简介

参考答案
【题型演练】
【题型一：两定一动】
【例题1】
【答案】
【练习1-1】
【答案】A
【练习1-2】
【答案】
【练习1-3】
【答案】D
【例题2-1】
【答案】
（1）如下图点即为所求作；
（2）如下图点即为所求作；
（3）4（4）3
【例题2-2】
【答案】
【练习2-1】
【答案】
【练习2-2】
【答案】B
【题型二：一定两动】
【例题3-1】
【答案】
【例题3-2】
【答案】D
【练习3-1】
【答案】D
【练习3-2】
【答案】
【练习3-3】
【答案】B
【变式拓展1】
【答案】
【变式拓展2】
【答案】 / /
【变式拓展3】
【答案】(1)5
(2)或或
(3)
【例题4-1】
【答案】A
【例题4-2】
【答案】
【练习4-1】
【答案】
【练习4-2】
【答案】
【练习4-3】
【答案】
【练习4-4】
【答案】
【练习4-5】
【答案】30
【练习4-6】
【答案】
【练习4-7】
【答案】(1)
(2)
证明：如图2中，作交于H．

∵轴，轴，，，
∴，，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴点P为中点；
(3)
【题型三：两动两定】
【例题5】
【答案】
【练习5-1】
【答案】 4 /20度
【练习5-2】
【答案】A
【练习5-3】
【答案】
【变式拓展1】
【答案】36°/36度
【题型四：平移线段型】
【例题6-1】
【答案】B
【例题6-2】
【答案】
【例题6-3】
【答案】/
【练习6-1】
【答案】第5讲：将军饮马
【知识梳理】
类型 两定一动型（四种）
图形
条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.
结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.
图形
条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值.
结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长
类型 一定两动型（三种）
图形
条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值.
结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长.
图形
条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.
结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离.
类型 两动两定型（两种）
图形
条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值.
结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长.
类型 平移线段型（两种）
图形
条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值.
结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN.
【拓展知识点】
勾股定理
文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么.
变式：，，
.
【易错点】
1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形；
2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．
3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是．
【题型演练】
【题型一：两定一动】
【例题1】如图，是等边边上的高，，分别是，边上的两个定点，，，若在上有一动点，使最小，则的最小值为______．
【练习1-1】如图，在中，，平分，点E是的中点，点P是上一动点，连接，若，，，则的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．10
【练习1-2】如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为和，点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，则的周长的最小值是______．

【练习1-3】如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，若使最小，则这个最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【例题2-1】转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决．
【模型建立】
（1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点）
（2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点）
【模型应用】
（3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____．
（4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值．
【例题2-2】如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为______．
【练习2-1】如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为______________．
【练习2-2】如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
【题型二：一定两动】
【例题3-1】如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为______．
【例题3-2】 如图，在等腰三角形中，，，D是边上的中点，，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（　　）
A．10 B． C．12 D．
【练习3-1】如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A． B．7 C． D．
【练习3-2】 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________．
【练习3-3】 如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（　　）的长度相等．
A． B． C． D．
【变式拓展1】如图，中，，点F、E分别是上的动点，则的最小值______．

【变式拓展2】如图，在中，，，，，
（1）点到直线的距离：____．
（2）动点在内，且使得的面积为12，点为上的动点，则的最小值为____．
【变式拓展3】如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接．
(1)当是四边形的对称轴时，求线段的长；
(2)若为等腰三角形，求的度数；
(3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，求当取最小时的长．
【例题4-1】唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【例题4-2】如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为______．
【练习4-1】如图，，M，N分别为射线，上的动点，P为内一点，连接，，． 当周长取得最小值时，则的度数为_________．
【练习4-2】如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为______．
【练习4-3】如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是边上的动点，则的最小值是_____．
【练习4-4】如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是______．
【练习4-5】如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是________．
【练习4-6】如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为__________．
【练习4-7】如图1，且，轴于点B，轴于点D．

(1)若A点的坐标是，则C点的坐标是______；
(2)如图2，连接交于点P，求证：P为中点；
(3)在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值．
【题型三：两动两定】
【例题5】如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是_________．
【练习5-1】如图，已知，点M，N分别为上的点，，点P，Q分别为上的动点，则的最小值是__________，当取得最小值时，的度数是__________．
【练习5-2】如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）

A．5 B．7 C．8 D．10
【练习5-3】如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 ___．
【变式拓展1】 如图，，点M、N分别是边上的定点，点P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则=_____．
【题型四：平移线段型】
【例题6-1】如图，一条河的两岸有，两个村庄，河宽为2千米，，两村庄的直线距离为13千米，，两村庄到河岸的距离分别为1千米、2千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近村庄的河岸上一点，则的最小值为（ ）
A．12千米 B．千米 C．千米 D．千米
【例题6-2】如图，在腰长为4的等腰中，E为边的中点，H为边的中点，F，G为斜边上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为______．
【例题6-3】 如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
【练习6-1】如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为_______．

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