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5.3 三角恒等变换
【课标要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式： ；
(2)公式： ；
(3)公式： ；
(4)公式： ；
(5)公式： ；
(6)公式： ；
2．辅助角公式
，其中，.
【常用结论】
(1)和差化积公式：
；；
；；
核心理解是，.
(2)积化和差公式：
；
；
.
【注意】
(1)诱导公式与两角和差公式的区别，出现的整数倍时用诱导公式，否则才是两角和差公式；
(2)辅助角公式是两角和差公式的逆过程，很多学生分不清，出现循环应用的现象.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式： ；
(2)公式： ；
(3)公式： .
【常用结论】
(1)降幂公式
；；，；
(2)半角公式
；；；
符号由所在象限决定．
【注意】
(1)二倍角公式难点是灵活运算余弦的二倍角公式，需结合题目合理选择公式；
(2)二倍角公式不一定，只要有二倍关系即可，例如；
(3)我们教材中的倍角公式只限于二倍角，其实不止二倍角，其他倍角公式可以推导，教材不再累述而已，利用三倍角，可以化为，再结合相关公式推导即可.
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在，使得成立．(　　)
(2)对于任意，都不成立．(　　)
(3)公式中的取值与a，b的值无关．(　　)
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(5)存在角α，使得成立．(　　)
答案：(1) √；(2) ×；(3) ×；(4) ×；(5) √.
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以，
.
3．【2026·全国二卷·高考真题】已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，得：
因为是第二象限角，所以，，
化简得：，即
由于，解得：，
因为，所以，
所以
5．(多选)下列各式中，值不为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A：；
对于B：；
对于C：；
对于D：．
考点1 求值问题
考向1 已知角求值
例1 (1)下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】A：，正确；
B：，正确.
C：因为，所以，正确；
D：因为，所以，错误.
(2)计算：（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】
.
【解题技法】
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解．
对点训练1 (1)__________..
【答案】
【详解】因为，
所以
所以
(2)下列等式计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，,故B正确；
对于C，,故C正确；
对于D，,故D正确.
考向2 已知三角函数值求值
例2 (1)【2025·全国二卷·高考真题】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
(2)已知，，下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A选项，由，得，故A正确；
B选项，因为，所以，
由，得，
又，其中，
假若，则，因在上单调递减，故，得，
这与矛盾，所以，故B错误；
C选项，
，故C正确；
D选项，由及，得，
故，故D错误．
【解题技法】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
对点训练2 (1)【2023·新课标Ⅰ卷·高考真题】已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
(2)已知，都是锐角，且，，则__________.
【答案】
【详解】因为，所以，
因为，都是锐角，所以，所以.
则，
.
因为，都是锐角，且，所以，
则
故答案为：.
考向3 已知三角函数值求角
例3 (1)已知，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以，
化简得，所以.
又由于，所以，
又，，
所以，所以.
(2)已知，，是方程的两个根，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由根与系数的关系得：，，
所以，，所以，
又，，且，，所以，所以.
故选：BCD.
【解题技法】
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
(2)若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
对点训练3 (1) 已知，均为锐角，，，则_____________，则_____________．
【答案】
【详解】、均为锐角，，，
，．
，
又，，
，
，
．
故答案为：，.
(2)设，，且，则_____________．
【答案】
【详解】将代入已知等式得，交叉相乘并移项整理，
即. 由诱导公式可得 .
已知，因此，.
由于正弦函数在区间上单调递增，若两个角的正弦值相等，则两角相等，
即 ，移项得.
考向4 已知三角函数值求参问题
例4 (1) 当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【详解】利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
(2)已知，是关于的一元二次方程的两根，若，则__________．
【答案】
【详解】由题意得，，，
因为，则，
则，得.
【解题技法】
(1)运用三角恒等变换时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力；
(2)对化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．
对点训练4 (1) 已知函数，其中是常数.
①若，则的最大值是___________；
②若且的最大值是，则的一个取值为___________.
【答案】 （答案不唯一)
【详解】①当时，，
令，因为，所以，函数转化为二次函数，
该二次函数开口向下，对称轴为，
故当时取得最大值： .
②当时，
，
由题知的最大值为，所以，
化简，
解得，即，取得为其中一个符合要求的取值.
(2)设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（ ）
A．1组 B．2组 C．4组 D．无数组
【答案】C
【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，则，
函数与函数的最小正周期相等，则，
当，时，由于，则，
由于，此时，；
当，时，，
则，得，，此时，；
当，时，，
则，得，，则；
当，时，，
则，得，，则.
因此，满足条件的有序实数组的组数为组.
考点2 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
例5 已知函数，其中为实数．
(1)若为偶函数，求的值．
(2)当时，求函数在区间的值域．
(3)已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值．
【答案】(1)；(2)；(3)，
【详解】（1）因为为偶函数，则对恒成立，
则，
可得对恒成立，则.
（2）当时，，
当时，，
令，则，
则，
因为，所以，则，即，
因为，，所以；
当时，，
令，则，
则，
因为，所以，则，即，
因为，，所以；
综上可知，函数的值域为．
（3）因为，
所以是的一个周期，
由（2）可知，当时，，，
令，则，
若，则左边为，右边为，显然不成立，故，则，
因为在上单调递减，所以，
则，且当时，，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有一个根，在上存在两个零点，
当时，有一个根，在上存在一个零点；
当时，，，
令，则，
若，则左边为2，右边为0，显然不成立，故，则，
因为在上单调递增，所以，
则，且当时，，
所以当时，有一个根，在上存在两个零点，
当时，有一个根，在上存在一个零点；
故当时，在一个周期内存在一个零点，
因为，则当时的零点必然在内，
若或，则在一个周期内存在偶数个零点，
所以若函数在内恰好有2025个零点，则；
综上所述：，．
【解题技法】
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用；
(2)形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
对点训练5 已知函数且图象相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求的值及的对称中心；
(2)若关于的方程在区间内有两个不同的解.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求（用表示）.
【答案】(1)，对称中心为 ().
(2)(i) ； (ii) .
【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，结合最小正周期求出，进而求出对称中心.
（2）（i）由（1）中函数，结合辅助角公式化简方程为，再借助图象求出范围；（ii）利用对称性结合二倍角的正弦公式求解.
【详解】（1）函数
，
由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，得函数的最小正周期，
因此，，由，得，
所以函数的图象对称中心为 ().
（2）（i）由（1）得
，由，得，
依题意，方程在内有两个不同的解，
在同一坐标系内作出直线与函数在内的图象，如图：
观察图象知，当，即时，直线与函数
在内的图象有两个交点，所以实数的取值范围是.
（ii）由（i）知，或，
当时，，，
而，两边平方得，因此；
当时，，，
所以.
【教考衔接】
衔接教材
1.【2024·全国甲卷·高考真题】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2. 【2024·新课标Ⅱ卷·高考真题】已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
教考衔接
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
变式练1 已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以，
又，所以.
因为，，所以，所以.
所以.
变式练2 若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算.
【详解】由，，得，
由，得，
，由，得，
因
而，
，
.
课时练5.3 三角恒等变换
【试题部分】
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，
.
2．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若为锐角，，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
又因为，即，
且为锐角，则，则，
可得，即.
3．已知函数，当时，取得最大值 3，且 满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】，
因为，结合，可得，
令，则，解得或
当时，取得最大值 3，因为是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处，
若，当时，取得最大值 3，即，
可得，与矛盾，舍去；
若，此时，代入，
可得，结合，解得.
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．或0
【答案】D
【详解】因为，则，
若，可得，，即；
若，可得，即，
所以，
综上所述，的值为或0.
故选：D.
5．设，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
将，代入，得原式．
故选：B.
6．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，故，
由，故，
则，
则
.
7．已知关于的方程在区间上有唯一实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
令，因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，
因为关于的方程在区间上有唯一实根，
所以有，因此的取值范围是.
二、多选题
8．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】选项A，，所以A正确；
选项B，，所以B错误；
选项C，因，则，
即，所以C正确；
选项D，，故D错误.
9．【25-26高三下·江苏无锡·阶段检测】若，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】根据题意，，，所以，
则，A错误；
，
因为，则，
所以，B正确；
由，则，
所以
，C错误；
因为，
则，D正确.
10．已知，其中为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误；
选项B，因为为锐角，所以，，
则，
，B错误；
.
三、填空题
11．若且，则=__________．
【答案】/
【详解】解：由和差化积公式可得，，分别代入到原式中，
则，
所以或，
，
所以或，
若，则且，无解，
因此，所以.
12．__________.
【答案】/0.75
【详解】根据二倍角的余弦公式，有，，
根据和差化积公式，有，
根据积化和差公式，有，
因此.
13．若，其中，则_________．
【答案】
【详解】因为，所以，且，
故.
因，且，所以.
所以
.
14．已知，，，则的值为________．
【答案】
【详解】由，则，，
且，，故，；
可得 ，
因为(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－，
又因为，
且，则，
可得，所以.
故答案为：.
四、解答题
15．已知，且，
求：（1）求的值；（2）求角
【答案】（1）；（2）.
（2）根据的值先求值，再求的值，再利用的范围即可求解.
【详解】（1）
（2）
∵且∴∴
∵且∴∴
∴∴
16．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)设，求的最大值.
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）由题意可知：
，
因为函数的最小正周期为，且，
则，所以.
（2）由（1）可知，
若，则，可得
当，即时，函数取到最大值；
当，即时，函数取到最小值；
所以的最大值.
提素能5道题
1．（2026高三下·福建福州·专题练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当，等式左边，等式右边，
此时，故等式不成立，所以，
所以变形得：，
即，
因为，所以，
所以，又，所以当时，.
2．若函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的值域为
C． D．在上的解集为
【答案】AC
【详解】由积化和差公式，
则，
，
即，
又因为和差化积公式 ，
则，.
若的图象关于直线对称，则，
，
等式成立，因此的图象关于直线对称，A正确；
设，即，
结合可得和互为相反数且绝对值为1，
若，则，则，
若，则，则，
均不满足和互为相反数，即取不到1，B错误；
，
，
则
已知在上单调递增，则，
即，即，C正确；
，即，
在区间上，，
则不等式等价于（当 时），及时的点，
时，，此时，符合，
，的区间是，
即，
故在上解集为，D错误.
3．，则_________．
【答案】
【分析】利用诱导公式、和差化积及积化和差公式化简，再代入求解即可.
【详解】
.
4．(1)证明：(i)；(ⅱ)；
(2)利用及（1）的恒等式证明：；
(3)化简或求值：.
【答案】（1）（i）
，得证；
（ii）
，得证；
（2）设，则，所以，故，
由（1）的恒等式可得，
因为，，得，
整理得，
令，则，可得，
因为，所以，故，得证；
（3）
【详解】（1）略
（2）略
（3）由（1）知，，，
所以，原式
，
由，，
所以，
由（2）知，且，
所以，
原式.
5．已知函数，．
(1)若，，求的值域；
(2)若，求在上的所有零点；
(3)若对于满足的所有，，都存在使得，求正实数的最小值．
【答案】(1)；(2)唯一一个零点；(3)
【详解】（1）由，，则，
又，则，所以，
故的值域为．
（2）当时，
令，得，
又因为，所以，
当时，有，且，
又因为余弦函数在上单调递减，所以，
整理得，即，
又，则，所以，解得，
因此在上的唯一零点为．
（3）当时，取，，
则，不满足条件，所以；
当时，因为，而，
所以，使得，
所以，满足条件．
综上，正实数的最小值为．
第 1 页 共 8 页5.3 三角恒等变换
【课标要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
夯实 必备知识
【知识梳理】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式： ；
(2)公式： ；
(3)公式： ；
(4)公式： ；
(5)公式： ；
(6)公式： ；
2．辅助角公式
，其中，.
【常用结论】
(1)和差化积公式：
；；
；；
核心理解是，.
(2)积化和差公式：
；
；
.
【注意】
(1)诱导公式与两角和差公式的区别，出现的整数倍时用诱导公式，否则才是两角和差公式；
(2)辅助角公式是两角和差公式的逆过程，很多学生分不清，出现循环应用的现象.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式： ；
(2)公式： ；
(3)公式： .
【常用结论】
(1)降幂公式
；；，；
(2)半角公式
；；；
符号由所在象限决定．
【注意】
(1)二倍角公式难点是灵活运算余弦的二倍角公式，需结合题目合理选择公式；
(2)二倍角公式不一定，只要有二倍关系即可，例如；
(3)我们教材中的倍角公式只限于二倍角，其实不止二倍角，其他倍角公式可以推导，教材不再累述而已，利用三倍角，可以化为，再结合相关公式推导即可.
【课前自测】
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在，使得成立．(　　)
(2)对于任意，都不成立．(　　)
(3)公式中的取值与a，b的值无关．(　　)
(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(5)存在角α，使得成立．(　　)
2．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．【2026·全国二卷·高考真题】已知为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(多选)下列各式中，值不为的是（ ）
A． B．
C． D．
考点1 求值问题
考向1 已知角求值
例1 (1)下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)计算：（ ）
A．1 B． C． D．
【解题技法】
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解．
对点训练1 (1)__________..
(2)下列等式计算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
考向2 已知三角函数值求值
例2 (1)【2025·全国二卷·高考真题】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
(2)已知，，下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题技法】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
对点训练2 (1)【2023·新课标Ⅰ卷·高考真题】已知，则（ ）．
A． B． C． D．
(2)已知，都是锐角，且，，则__________.
考向3 已知三角函数值求角
例3 (1)已知，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
(2)已知，，是方程的两个根，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题技法】
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
(2)若角的范围是，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
对点训练3 (1) 已知，均为锐角，，，则_____________，则_____________．
(2)设，，且，则_____________．
考向4 已知三角函数值求参问题
例4 (1) 当时，函数取得最大值，则__________.
(2)已知，是关于的一元二次方程的两根，若，则__________．
【解题技法】
(1)运用三角恒等变换时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力；
(2)对化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．
对点训练4 (1) 已知函数，其中是常数.
①若，则的最大值是___________；
②若且的最大值是，则的一个取值为___________.
(2)设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（ ）
A．1组 B．2组 C．4组 D．无数组
考点2 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
例5 已知函数，其中为实数．
(1)若为偶函数，求的值．
(2)当时，求函数在区间的值域．
(3)已知为正整数，若函数在内恰好有2025个零点，求和的值．
【解题技法】
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用；
(2)形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
对点训练5 已知函数且图象相邻两条对称轴之间的距离为
(1)求的值及的对称中心；
(2)若关于的方程在区间内有两个不同的解.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求（用表示）.
【教考衔接】
衔接教材
1.【2024·全国甲卷·高考真题】已知，则（ ）
A． B． C． D．
2. 【2024·新课标Ⅱ卷·高考真题】已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
教考衔接
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
变式练1 已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
变式练2 若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
课时练5.3 三角恒等变换
【试题部分】
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若为锐角，，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知函数，当时，取得最大值 3，且 满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．或0
5．设，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程在区间上有唯一实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．【25-26高三下·江苏无锡·阶段检测】若，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，其中为锐角，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．若且，则=__________．
12．__________.
13．若，其中，则_________．
14．已知，，，则的值为________．
四、解答题
15．已知，且，
求：（1）求的值；（2）求角
16．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值；
(2)设，求的最大值.
提素能5道题
1．（2026高三下·福建福州·专题练习）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的值域为
C． D．在上的解集为
3．，则_________．
4．(1)证明：(i)；(ⅱ)；
(2)利用及（1）的恒等式证明：；
(3)化简或求值：.
5．已知函数，．
(1)若，，求的值域；
(2)若，求在上的所有零点；
(3)若对于满足的所有，，都存在使得，求正实数的最小值．
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