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第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用）
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A C C B A B D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AC AD BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．
14．①③④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；．．．．．．．．．7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．．．．．．．12分
综上，直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．13分
16．（15分）
【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.
依题意可得，又，
所以，则.
故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率；．．．．．．．．．．．．．5分
（2）（ⅰ）设，.
联立，整理得.．．．．．．．．．．．．．7分
由，解得或
即的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．9分
（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）．．．．．．．．．．．．．10分
则.．．．．．．．．．．．．．11分
因为，所以，．．．．．．．．．．．．．12分
则得，
将（*）代入，可得.
解得，满足.
所以的值为.．．．．．．．．．．．．．15分
17．（15分）
【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，，
设，则，又，由可得 ，
解得或，所以．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由，得，．．．．．．．．．．．．．6分
所以 ，，，．．．．．．．．．．．．．7分
又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得，
所以直线AB的方程为，故直线AB过定点．．．．．．．．．．．．．．9分
（ⅱ）由题意知，可得，即，所以或，
当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为．
此时直线AB的方程为，．．．．．．．．．．．．．11分
由，得，解得或，
即，或，，
故，又，．．．．．．．．．．．．．13分
点到直线MN的距离为，．．．．．．．．．．．．．4分
所以；
当时，同理可得．
综上，的面积为．．．．．．．．．．．．．．15分
18．（17分）
【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以这条渐近线的斜率为.
依题意，可得解得.
所以双曲线的标准方程为：.．．．．．．．．．5分
（2）由题意，对于，当时，，即或.
① 当时，，则，
设，，由，
即，解得，所以，则
② 当时，同法可得.
所以点坐标为或.．．．．．．．．．10分
（3）不存在常数，使恒为定值.理由如下：．．．．．．．．．11分
如图：
将直线代入，整理得：.．．．．．．．．．12分
由可得，
设，，则，，
则.．．．．．．．．．15分
则
.
要使为定值，不随的改变而改变，须使，
该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值.．．．．．．．．．17分
（17分）
【详解】（1）设根据，消去，得，
即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆；
设，则,
因，
则得的标准方程为，
曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线．．．．．．．．．．5分
（2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
联立方程，消去 ，整理得，．．．．．．．．．6分
则，即，
得，，
所以点的坐标为，．．．．．．．．．7分
同理点的坐标为，．．．．．．．．．8分
所以直线的斜率，
所以直线的方程为．
令 ，得，所以点 的坐标为，
同理联立方程，类似可得
，，．．．．．．．．．．10分
（ⅰ）直线的斜率为，
同理直线 的斜率为，所以，
所以；．．．．．．．．．13分
（ⅱ）设，由 、、 、四点共圆：可知：
，
又，而，
所以，
所以、、、四点共圆．．．．．．．．．．17分
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第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或3
4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（ ）
A．10 B．12.5 C．15 D．30
7．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（ ）
A． B．2 C． D．3
8．【新考法】双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．上存在点，使得
C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为
D．上的点的纵坐标的最大值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，直线与圆相切
C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且
D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为
10．（2026·海南三亚·一模）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（ ）
A．与有两个交点
B．的焦点到准线的距离为
C．的离心率为
D．为与的公共点，则的周长为
11．（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3
B．点与点的纵坐标相等
C．若点在直线上，则直线过点
D．若三点共线，则的面积的最小值为1
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____.
13．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________．
14．（2026·北京西城·二模）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若为曲线C上一点，则，；
②曲线C上两点间距离的最大值为；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
16．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线：与椭圆交于不同的两点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的值.
17．（15分）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点．
(1)若C的焦点恰好是的垂心，求；
(2)若直线OA与直线OB的斜率之积为．
（ⅰ）求证：直线AB恒过定点；
（ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积．
18．（17分）（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直．
(1)求的方程；
(2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标；
(3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．
19．（17分）（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为．
类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等．
点、所在曲线分别记为、．
(1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程；
(2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆．
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第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】必要性：若直线和平行，则有，解得或，
当时，，不成立，无意义，舍去，
故两直线平行必有，必要性成立；
充分性：时，直线为，直线为，
因为，且，所以两直线平行，充分性成立；
综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件．
2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2，
则，即.
因为双曲线焦距为，所以.
又，所以，
解得，.
故双曲线方程为.
3．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．1或3
【答案】C
【分析】先由圆的方程得到圆心、半径，结合圆心角，利用等腰三角形求出圆心到直线的距离，再用点到直线距离公式列方程求出即可.
【详解】由题可知，圆心为，半径为，
过圆心作，垂足为，又，则，
所以在中，，则，
即圆心到直线的距离，
解得或.
4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程.
【详解】设动点，圆上点，
因为是在轴上的投影，则易得，
，，
因为 ，所以，解得， （*），
因为是圆上，所以，
将（*）代入得，即，
则点的轨迹方程为.
5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】圆，得圆，圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
四边形的面积，
要使其最小，需取最小值，而，此时.
6．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（ ）
A．10 B．12.5 C．15 D．30
【答案】A
【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可.
【详解】由题知，代入抛物线方程得，即，
因为抛物线的焦点为，
所以，设，
因为三点共线，则，即，
即，解得或（舍），所以，
所以，由焦半径公式得
7．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】本题直接计算的话，计算量比较大，由题意，可利用点取特殊位置（点在双曲线右支上且在第一象限且使得直线垂直于轴），进一步求出各点坐标，根据已知条件，结合双曲线的基本性质和离心率公式，建立关于和的方程，解得，即离心率.
【详解】由题意得，、、，.
因为点是双曲线右支上异于点B的任意一点，
当点在第一象限且直线垂直于轴时，有.
，直线的方程为：.
将代入直线的方程，得，即.
所以，，.
，
，
，
由得，
，
，
，
，化简得，，因为，所以，，即.
【点睛】方法归纳：
双曲线离心率问题可以通过取特殊值（比如：顶点、焦点垂线与曲线的交点）简化运算，再利用几何条件转化为代数方程，再结合双曲线的、、的关系求解.
易错归纳：
计算时容易出错，需要准确代入坐标，利用变形时要避免符号出错，注意利用双曲线的离心率验证所求结果是否符合题意.
8．【新考法】双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．上存在点，使得
C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为
D．上的点的纵坐标的最大值为
【答案】D
【分析】根据图象所过的定点，即可判断A，根据方程可得，即可判断B，联立方程后，方程的根只有0，求的取值范围，即可判断C，根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求得到取值范围，判断D.
【详解】对于A，由图可知，点在上，则，所以，故A错误；
对于B，设曲线上任一点（且），
由，可得，则，
即上不存在点，使得，故B错误；
对于C，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点，
联立方程组，整理得，
当时，方程仅有一解，满足题意，
当时，整理得，
当时，方程恒成立，因为恒有一解，
所以无解，即当时，方程无解，
综上，，解得或，即的取值范围为，故C错误；
对于D，方程可化为，
令，得，
由，可得，
即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，故D正确；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，直线与圆相切
C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且
D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为
【答案】AC
【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值.
【详解】对于A选项，由得，
则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确；
对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得，
解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误；
对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为，
因为，故，解得，
因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确；
对于D选项，由C选项可得，
则，，则，
令，则，令，为开口向下的二次函数，
对称轴为，因此在上，单调递增，
所以，因此没有最大值，故D选项错误.
10．（2026·海南三亚·一模）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（ ）
A．与有两个交点
B．的焦点到准线的距离为
C．的离心率为
D．为与的公共点，则的周长为
【答案】AD
【分析】本题结合抛物线、椭圆的基本性质，通过联立方程判断交点个数，再利用圆锥曲线定义、离心率公式、焦点三角形周长公式逐一求解，分析选项即可．
【详解】

对于A，联立，整理为，解得，
抛物线中，则，（舍去负根），
对应，存在两个互为相反数的值，因此两曲线有个交点，A正确；
对于B，抛物线：中，，
焦点到准线的距离等于，不是，B错误；
对于C，椭圆中，，，
所以离心率，C错误；
对于D，是椭圆上的点，由椭圆定义得，
又，所以的周长为，D正确．
11．（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3
B．点与点的纵坐标相等
C．若点在直线上，则直线过点
D．若三点共线，则的面积的最小值为1
【答案】BCD
【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算．
【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以，
抛物线的准线方程为.
如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误；
对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0），
联立抛物线方程，化简并整理，得.
又，所以，
所以，所以过点的切线方程为，即.
同理可得，过点的切线方程为.
联立得.
因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确；
对于C，设直线的方程为，联立，
化简并整理，得，则.
又因为点在直线上，所以，所以，
即直线的方程为，则直线过点，故C正确；
对于D，因为三点共线，所以，
即直线的方程为，
所以点到直线的距离，，
所以，当时取最小值为1，故D正确．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____.
【答案】
【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和，
双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，
由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称，
因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等.
由圆可知，圆心坐标为，半径，
将其中一条渐近线化为一般式：，
则圆心到渐近线的距离，
则弦长.
13．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________．
【答案】
【分析】利用抛物线定义、垂直平分弦的性质求出，结合圆的弦长公式求解．
【详解】
抛物线的焦点，准线，
准线与轴交点，
设抛物线上点，由得，
为线段的垂直平分线，则，
即，的横坐标，则，
则，
解得，此时，，
圆心到轴的距离，
由弦长公式得：．
14．（2026·北京西城·二模）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论：
①若为曲线C上一点，则，；
②曲线C上两点间距离的最大值为；
③曲线C所围成的区域的面积小于3；
④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点.
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】根据方程求的范围判断①，求出曲线上关于原点对称两点距离的最大值判断②，根据第一象限内曲线所围成面积的范围判断③，直线方程与曲线方程联立，由方程解得个数判断④.
【详解】由方程得，所以，解得，即，
又，所以，即，故①正确；
因为曲线C：的图象关于轴对称，关于原点对称，
则关于原点的对称点也在曲线C上，则，代入，可得，
令，则，对称轴方程为，
所以最大值为，即，故②错误；
由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积，总的面积为，
第一象限中，，当时，，所以这一部分包含在直角三角形内，面积小于等于，
当时，由①知，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于，
因此曲线在第一象限内面积，所以曲线所围成区域面积，故③正确；
若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程，可得，解得，所以直线与曲线C的交点为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，代入曲线方程可得，解得或，若，即时，，可得共有3个交点，若，则只有一解，即交点只有1个，故④正确.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；．．．．．．．．．7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．．．．．．．12分
综上，直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．13分
16．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线：与椭圆交于不同的两点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，求的值.
【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为.
依题意可得，又，
所以，则.
故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率；．．．．．．．．．．．．．5分
（2）（ⅰ）设，.
联立，整理得.．．．．．．．．．．．．．7分
由，解得或
即的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．9分
（ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）．．．．．．．．．．．．．10分
则.．．．．．．．．．．．．．11分
因为，所以，．．．．．．．．．．．．．12分
则得，
将（*）代入，可得.
解得，满足.
所以的值为.．．．．．．．．．．．．．15分
17．（15分）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点．
(1)若C的焦点恰好是的垂心，求；
(2)若直线OA与直线OB的斜率之积为．
（ⅰ）求证：直线AB恒过定点；
（ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积．
【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，，
设，则，又，由可得 ，
解得或，所以．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，
由，得，．．．．．．．．．．．．．6分
所以 ，，，．．．．．．．．．．．．．7分
又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得，
所以直线AB的方程为，故直线AB过定点．．．．．．．．．．．．．．9分
（ⅱ）由题意知，可得，即，所以或，
当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为．
此时直线AB的方程为，．．．．．．．．．．．．．11分
由，得，解得或，
即，或，，
故，又，．．．．．．．．．．．．．13分
点到直线MN的距离为，．．．．．．．．．．．．．4分
所以；
当时，同理可得．
综上，的面积为．．．．．．．．．．．．．．15分
18．（17分）（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直．
(1)求的方程；
(2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标；
(3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直，
所以这条渐近线的斜率为.
依题意，可得解得.
所以双曲线的标准方程为：.．．．．．．．．．5分
（2）由题意，对于，当时，，即或.
① 当时，，则，
设，，由，
即，解得，所以，则
② 当时，同法可得.
所以点坐标为或.．．．．．．．．．10分
（3）不存在常数，使恒为定值.理由如下：．．．．．．．．．11分
如图：
将直线代入，整理得：.．．．．．．．．．12分
由可得，
设，，则，，
则.．．．．．．．．．15分
则
.
要使为定值，不随的改变而改变，须使，
该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值.．．．．．．．．．17分
19．（17分）（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为．
类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等．
点、所在曲线分别记为、．
(1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程；
(2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆．
【详解】（1）设根据，消去，得，
即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆；
设，则,
因，
则得的标准方程为，
曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线．．．．．．．．．．5分
（2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
联立方程，消去 ，整理得，．．．．．．．．．6分
则，即，
得，，
所以点的坐标为，．．．．．．．．．7分
同理点的坐标为，．．．．．．．．．8分
所以直线的斜率，
所以直线的方程为．
令 ，得，所以点 的坐标为，
同理联立方程，类似可得
，，．．．．．．．．．．10分
（ⅰ）直线的斜率为，
同理直线 的斜率为，所以，
所以；．．．．．．．．．13分
（ⅱ）设，由 、、 、四点共圆：可知：
，
又，而，
所以，
所以、、、四点共圆．．．．．．．．．．17分
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