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重难点培优02 离心率问题类型归纳及求解策略
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
题型深研·通法变式提能力 1
题型01 定义法求离心率的值 2
题型02 几何法求离心率的值 3
题型03 齐次法求离心率的值 4
题型04 渐近线法求离心率的值 5
题型05 不等式法求离心率的范围 6
题型06 函数法求离心率的范围 7
题型07 数形结合法求离心率的范围 8
题型08 判别式法求离心率的范围 8
题型09 椭圆、双曲线离心率的综合问题 9
题型10 根据离心率求值 10
题型11 根据离心率刻画圆锥曲线的几何性质 11
分层进阶·双阶训练验成效 12
巩固过关 12
创新提升 14
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 求离心率的值
1、定义法：当题目中出现曲线上的点与两焦点的连线时，优先考虑利用圆锥曲线的第一定义。通过建立焦半径的等量关系，结合 、 的几何意义，直接列出关于 、 的方程．
2、几何法（焦点三角形法）：利用曲线上的点与两焦点构成的“焦点三角形”。结合平面几何性质（如中位线、平行四边形、圆的性质等）或解三角形工具（正弦定理、余弦定理），寻找三边比例关系，从而推导出 与 的比值．
3、齐次式法：这是解决离心率问题最通用且高效的方法。通过已知条件列出包含 、 、 的齐次方程（或不等式），利用关系式 （椭圆）或 （双曲线）消去 ，再将方程两边同除以 ，将其转化为关于 的一元二次方程求解。
4、渐近线法（针对双曲线）：双曲线的渐近线斜率直接决定了其开口大小。通过渐近线方程 的斜率，结合夹角条件或位置关系，可直接推导出 的值，进而利用公式 求解。
知识点2 求离心率的取值范围
此类问题的核心是建立关于 的不等关系，并结合曲线自身的固有范围（椭圆 ，双曲线 ）进行综合判定。
1、不等式法：利用曲线上点的坐标范围（如椭圆中 ）、三角形三边关系（两边之和大于第三边）、或题目给定的不等关系，建立关于 、 的不等式根据焦半径的取值范围。
2、函数法：将离心率 表示为某个变量（如倾斜角、点的横坐标）的函数，结合变量的定义域，利用函数的单调性或值域求出 的最值或范围。
3、数形结合法：当题目涉及直线与圆锥曲线相交时，可通过点与椭圆的位置、直线斜率与渐近线斜率的关系，建立不等关系求出离心率的取值范围.
4、判别式法：对于点与圆锥曲线、直线与圆锥曲线位置关系中，涉及存在、有解问题时，可联立方程利用判别式建立不等关系求出离心率的取值范围.
在求解过程中，务必牢记离心率自身的取值范围限制：椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 。在解出关于 的方程或不等式后，必须进行检验，剔除不符合实际意义的增根或扩大范围的解。
总体而言，破解离心率问题需要敏锐的几何直观与扎实的代数运算能力。解题时应优先挖掘图形中的隐含几何关系，尽量采用几何法或齐次式法简化运算，避免陷入繁琐的纯代数坐标运算中。
题型深研·通法变式提能力
题型1 定义法求离心率的值
【典例1-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左 右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
题型2 几何法求离心率的值
【典例2-1】（2026·山西·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
题型3 齐次式法求离心率的值
【典例3-1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
题型4 渐近线法（针对双曲线）
【典例4-1】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2026·西藏拉萨·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点（在第二象限）是双曲线的左支上一点，且，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【变式4-1】（2026·重庆·模拟预测）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【变式4-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的五倍，则其离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
题型5 不等式法求离心率的范围
【典例5-1】（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（）
A． B． C． D．
【典例5-2】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）设椭圆的左 右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型6 函数法求离心率的范围
【典例6-1】（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型7 数形结合法求离心率的范围
【典例7-1】已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】（25-26高三上·陕西西安·期末）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型8 判别式法求离心率的范围
【典例8-1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（多选）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．椭圆的离心率为，则的范围为
D．
题型9 椭圆、双曲线离心率的综合问题
【典例9-1】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的范围是__________.
【变式9-1】（2026·广西桂林·模拟预测）双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式9-2】（2026·陕西榆林·三模）设双曲线的离心率分别为．若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式9-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（ ）
命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为
命题②：若 ，则
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确
题型10 已知圆锥曲线的离心率求值
【典例10-1】（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知锐角α满足，椭圆，的离心率分别为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________．
题型11 根据离心率刻画圆锥曲线的几何性质
【典例11-1】（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（2026·海南海口·一模）下列椭圆中，形状最接近圆的是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ）
A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
【变式11-3】（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆
B．若，则是双曲线
C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆
D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
一、单选题
1．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．5
3．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（2026·河南南阳·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为3
C．存在点，使得
D．当离心率不小于时，的最小值为
10．（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（）
A．与有且只有两个公共点 B．
C．若，则 D．使成立的值不存在
三、填空题
11．（2026·北京·二模）已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为______；离心率为______．
12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________．
13．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______．
创新提升
一、单选题
1．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，且经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西商洛·一模）已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026·广东中山·一模）方程表示的圆锥曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．5
4．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（18-19高三上·湖北·阶段检测）过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2026·吉林·二模）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A． B．的离心率为
C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为
8．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题
9．（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______.
10．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________．
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重难点培优02 离心率问题类型归纳及求解策略
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
题型深研·通法变式提能力 1
题型01 定义法求离心率的值 2
题型02 几何法求离心率的值 6
题型03 齐次法求离心率的值 9
题型04 渐近线法求离心率的值 13
题型05 不等式法求离心率的范围 16
题型06 函数法求离心率的范围 19
题型07 数形结合法求离心率的范围 20
题型08 判别式法求离心率的范围 23
题型09 椭圆、双曲线离心率的综合问题 26
题型10 根据离心率求值 30
题型11 根据离心率刻画圆锥曲线的几何性质 32
分层进阶·双阶训练验成效 35
巩固过关 35
创新提升 43
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 求离心率的值
1、定义法：当题目中出现曲线上的点与两焦点的连线时，优先考虑利用圆锥曲线的第一定义。通过建立焦半径的等量关系，结合 、 的几何意义，直接列出关于 、 的方程．
2、几何法（焦点三角形法）：利用曲线上的点与两焦点构成的“焦点三角形”。结合平面几何性质（如中位线、平行四边形、圆的性质等）或解三角形工具（正弦定理、余弦定理），寻找三边比例关系，从而推导出 与 的比值．
3、齐次式法：这是解决离心率问题最通用且高效的方法。通过已知条件列出包含 、 、 的齐次方程（或不等式），利用关系式 （椭圆）或 （双曲线）消去 ，再将方程两边同除以 ，将其转化为关于 的一元二次方程求解。
4、渐近线法（针对双曲线）：双曲线的渐近线斜率直接决定了其开口大小。通过渐近线方程 的斜率，结合夹角条件或位置关系，可直接推导出 的值，进而利用公式 求解。
知识点2 求离心率的取值范围
此类问题的核心是建立关于 的不等关系，并结合曲线自身的固有范围（椭圆 ，双曲线 ）进行综合判定。
1、不等式法：利用曲线上点的坐标范围（如椭圆中 ）、三角形三边关系（两边之和大于第三边）、或题目给定的不等关系，建立关于 、 的不等式根据焦半径的取值范围。
2、函数法：将离心率 表示为某个变量（如倾斜角、点的横坐标）的函数，结合变量的定义域，利用函数的单调性或值域求出 的最值或范围。
3、数形结合法：当题目涉及直线与圆锥曲线相交时，可通过点与椭圆的位置、直线斜率与渐近线斜率的关系，建立不等关系求出离心率的取值范围.
4、判别式法：对于点与圆锥曲线、直线与圆锥曲线位置关系中，涉及存在、有解问题时，可联立方程利用判别式建立不等关系求出离心率的取值范围.
在求解过程中，务必牢记离心率自身的取值范围限制：椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 。在解出关于 的方程或不等式后，必须进行检验，剔除不符合实际意义的增根或扩大范围的解。
总体而言，破解离心率问题需要敏锐的几何直观与扎实的代数运算能力。解题时应优先挖掘图形中的隐含几何关系，尽量采用几何法或齐次式法简化运算，避免陷入繁琐的纯代数坐标运算中。
题型深研·通法变式提能力
题型1 定义法求离心率的值
【典例1-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可.
【详解】因为，，则，
则，，
所以椭圆的离心率为.
【典例1-2】（2026·江西南昌·三模）已知双曲线的左 右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先应用角平分线定理得出，再结合双曲线定义得出，最后应用离心率公式求值即可.
【详解】因为的平分线与轴交于点，所以，
因为，A在双曲线右支上，设，
因为，所以 ，
又因为，所以，
所以.
【变式1-1】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可.
【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于，
因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设，
因为，，
所以，，
又因为，所以，
在直角三角形中，，
所以，解得，所以.
【变式1-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解.
【详解】如图，连接，设，则，，，
在中，，即，
所以，所以，
在中，，即，所以.
【变式1-3】（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】根据方程可得，根据题意可得为的角平分线，结合角平分线性质可得，设，可得，代入椭圆方程可得，进而可得和离心率.
【详解】由题意可知：，则，，
因为，，则为的角平分线，
则，可得，
设，，，则，，
因为，则，解得，即，
则，解得，即，
则，则，即，
所以椭圆C的离心率.
题型2 几何法求离心率的值
【典例2-1】（2026·山西·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意知：，，.
设，则，，则，，
，.
在中，，，，
，代入数据解得，，
所以.
【典例2-2】（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解.
【详解】由椭圆的定义，，，且，，
所以设，，则，，
所以，，所以，，
设椭圆的半焦距为，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，
，即，
化简得，即，
所以椭圆的离心率.
【变式2-1】（25-26高二下·河北保定·开学考试）已知F是双曲线的右焦点，直线与双曲线C交于两点，其中M在第一象限，，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出符合题意的图形，结合题意以及双曲线的定义得到，最后利用余弦定理建立齐次方程，求解离心率即可.
【详解】如图，设C的左焦点为，则为平行四边形，，
因为，所以，
而，可得，
因为，所以，
所以，
化简得，故离心率．
【变式2-2】（25-26高三下·陕西·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得，再利用直角三角形边角关系及椭圆的定义列式求解.
【详解】由直线的斜率分别为，得，则，即，
又，因此，而，
于是，即，所以的离心率．
题型3 齐次式法求离心率的值
【典例3-1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程，
得，，
又，，又，，，
，
故B选项正确.
【典例3-2】（25-26高二下·湖南长沙·期中）双曲线 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】联立圆与双曲线渐近线方程得出，知，又由确定得，最后根据求得离心率 .
【详解】如图所示：
以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线为，
联立圆的方程与渐近线方程得，
化简得，解得，所以轴，
又因为与相互平分，所以四边形为平行四边形，
又因为，所以，
所以，即，
所以，所以，从而．
【变式3-1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大，
此时，又，
所以最小时，最大，
又P为椭圆E：（）上的动点，
所以最小时，点为椭圆的短轴的端点，
又因为的最大值为，所以的最大值为，
所以，所以，
所以E的离心率为
【变式3-2】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率．
【详解】
椭圆的左、右焦点分别为，
，
，
，，
，
，故轴，是椭圆的通径，即，
，
，故，
，解得，即，
．
【变式3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解.
【详解】、为双曲线右支上两点且，
所以，
设，可得，
由于且，所以，且
在直角三角形中，，
在中由余弦定理，，
由可得，即，
化简得，可得
可得，
所以，
化简得，即，
所以，
解得：或（舍去）
所以双曲线的离心率为.
题型4 渐近线法（针对双曲线）
【典例4-1】（25-26高三下·江西赣州·期中）已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
由题知，所以的离心率为.
【典例4-2】（2026·西藏拉萨·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点（在第二象限）是双曲线的左支上一点，且，直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】B
【分析】便于计算，设，根据双曲线的定义、勾股定理得到一个关于的等式，换元法可求得，进而可求解离心率.
【详解】设，
因为双曲线的渐近线方程为，在第二象限，
所以直线的斜率为负，所以直线与垂直，如图：
所以直线的斜率为，所以，所以.①
由双曲线的定义得，②
由①②解得.
等式②两边同时平方得.③
由知，所以，
代入③式得，
所以，即，整理得.
令，则，代入得，
整理得，解得.
所以双曲线的离心率为.
【变式4-1】（2026·重庆·模拟预测）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由直线可得其斜率.
因双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其斜率.
因双曲线的渐近线方程为，故，
则的离心率为.
【变式4-3】若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、已知圆的圆心及半径，再利用圆的切线性质列式求解即可.
【详解】双曲线的渐近线为，
圆的圆心为，半径为1，依题意，，
则，所以双曲线离心率为.
故选：B
【变式4-4】（2026·云南怒江·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的五倍，则其离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线渐近线关于轴对称的性质，结合“一条渐近线的倾斜角是另一条五倍”的条件求出渐近线的斜率，再通过斜率与和的关系计算出离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
直线的倾斜角为锐角，的倾斜角为钝角，且两直线的倾斜角互补，
由已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的五倍，
设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，
且，因此，；
由得：，离心率为，且，
代入，，即离心率为.
题型5 不等式法求离心率的范围
【典例5-1】（2026·福建漳州·三模）已知是椭圆的左、右焦点，为上一点，分别为的外接圆半径和内切圆半径，且，则的离心率取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先在中由正弦定理得外接圆半径，再用三角形面积两种表达式联立求出内切圆半径，把代入化简，约去sin得到含的等式，再利用椭圆焦半径乘积的取值范围构造不等式，转化为离心率的关系式，由二次式恒成立只需解右侧不等式，最终求得椭圆离心率范围为.
【详解】设，则，所以，
又，
所以，代入条件得，
设，
因为，
所以，
即，又，所以且，
所以．
【典例5-2】（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点能作圆的两条切线，切点为，且，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线求得，根据双曲线的性质可得的不等式，从而得出的不等式，结合离心率公式求解即可．
【详解】如图：
，又，所以，
而是圆切线，则，
在中，，因此有，
从而，
而，所以，
在双曲线上，因此，所以，
∴，从而，所以，
∴双曲线的离心率.
【变式5-1】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）设椭圆的左 右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为的焦点为，所以的右焦点，左焦点，
因为点在的外部，所以，可得，
则的离心率，
因为点是上的动点，所以，
故恒成立可转换为恒成立，
，当且仅当点为射线与在第四象限的交点时取等号，
所以，故，
因此的离心率的取值范围是.
【变式5-2】（2026·河北唐山·二模）若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定焦点位置，再由即可求解．
【详解】解：，，则椭圆焦点在轴，，
．
【变式5-3】（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可.
【详解】将直线代入得，
所以，
因为大于的虚轴长，所以，即，
同时除以得，
解得，所以离心率，
所以的离心率的取值范围是.
题型6 函数法求离心率的范围
【典例6-1】（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先根据点到轴，轴的距离之比为得到点横纵坐标的关系，再结合双曲线方程，通过分析得到离心率的取值范围.
【详解】设点，因为点到轴，轴的距离之比为，所以，即.
因为点为双曲线上一动点，将代入双曲线方程可得：，即，
通分可得：，即，因为，所以，即；
，所以，离心率，
因为，故，则，所以，因此，双曲线的离心率范围为
【变式6-1】已知双曲线的左 右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
题型7 数形结合法求离心率的范围
【典例7-1】已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率.
【详解】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部；
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，
解得.
故选：A
【典例7-2】已知双曲线，若直线交双曲线右支于A，B两点，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得双曲线的渐近线与右顶点，再利用由渐近线的性质得到，从而利用齐次式法求得双曲线的离心率范围，由此得解.
【详解】因为的渐近线为，右顶点为，
显然直线过双曲线的右顶点，且斜率为，
所以由渐近线的性质可得，
所以双曲线的离心率为，
又，所以，
故选：A
【变式7-1】已知双曲线若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解.
【详解】双曲线的渐近线，
双曲线与直线没有公共点，则.
又因为双曲线离心率大于1，所以C选项符合题意.
故选：C
【变式7-2】（2026·广东汕头·模拟预测）若双曲线存在以为中点的弦，则离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】讨论已知点的位置，将点坐标代入双曲线方程得的范围，代入离心率公式，可得e的范围.
【详解】若点在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以为中点的弦，
此时，解得，则，
所以，符合题意；
若点在右焦点所在的双曲线外部，则，
设以为中点的弦与双曲线E交于两点，
则，
则，，
两式作差得，整理得弦的斜率，
因为存在该中点弦，所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点，
则，解得，所以，
则，符合题意.
综上，离心率的取值范围是.
故选：C
【变式7-3】（25-26高三上·陕西西安·期末）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与的左、右两支分别相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与双曲线的左、右两支分别相交，得到直线的斜率与双曲线渐近线斜率的关系，进而求出离心率的取值范围.
【详解】设点的坐标为.由题可知，
整理可得，即，所以，
则，即，则离心率.
故选：C
题型8 判别式法求离心率的范围
【典例8-1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点在直线上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得的范围，进一步计算离心率的范围.
【详解】椭圆以，为焦点，即，，
所以设椭圆方程，
联立方程，
消去得出，
由题意可得，
即，得出或（舍去），解得，
所以，
所以椭圆的离心率的最大值为.
【变式8-1】已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点、和为直角顶点的点的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解.
【详解】
为直角三角形，可分为以下三类讨论：
以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点.
由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个，
则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个.
由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点.
则，
即，
所以，解得即，
所以，
又因为椭圆离心率，
所以.
故选：C.
【变式8-2】（多选）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．椭圆的离心率为，则的范围为
D．
【答案】ABD
【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D.
【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线，
可知点在椭圆的外部，
所以，A项正确；
椭圆（）对应的蒙日圆方程为，
由已知可得圆与直线有2个交点，
设圆心到直线的距离为，
则，则.
由题意可知直线与椭圆没有交点，
将与联立，
得没有实根，
所以，则有，
综上，B项正确；
，
由B知，
则，C项错误；
线段为蒙日圆的一条弦，
则，
所以,
令，
则,
易知单调递增，
所以，D项正确.
题型9 椭圆、双曲线离心率的综合问题
【典例9-1】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，用定义得，代入余弦定理得的关系，转化为离心率约束，对目标式平方后用基本不等式求最大值，再由等号条件求.
【详解】设为第一象限内的交点，，，焦距为.

椭圆的定义：，
双曲线的定义：（因在第一象限，），
解得：，.
在中，，由余弦定理，得，
得，即，
交叉相乘并整理：
，
两边除以，结合，，得.
.
当且仅当，即，
因，故，则时等号成立，即取最大值.
因此，.
综上所述，当取最大值时，.
故选：C
【典例9-2】中心在原点的椭圆与双曲线具有相同的焦点、，P为与在第一象限的交点，且，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率的范围是__________.
【答案】
【分析】由于P为与在第一象限的交点，，分别在椭圆与双曲线的焦点三角形中依照定义构建关系得到，再分别由其对应离心率公式表示并由不等式性质求得答案.
【详解】设椭圆：与双曲线：，
因为P为与在第一象限的交点，，所以焦点三角形是以为底边的等腰三角形，
即在椭圆中有①；同理，在双曲线中有②，
由①②可知，，
因为，且，
由不等式的性质可知，.
故答案为：
【变式9-1】（2026·广西桂林·模拟预测）双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】先将双曲线转化为标准方程以求其离心率，结合条件椭圆的离心率即可求解.
【详解】双曲线的标准方程为
则双曲线的离心率，而椭圆的离心率，
所以，解得.
【变式9-2】（2026·陕西榆林·三模）设双曲线的离心率分别为．若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】由 可知，则，，
又，所以．由可知，
则由 ，解得．
【变式9-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）若椭圆和双曲线有相同的焦点，离心率分别为，点是这两条曲线的一个交点，且两两互不相等，则（ ）
命题①：从集合 的子集中随机抽取一个，若该子集的元素值均可知，则可求得的值的概率为
命题②：若 ，则
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的定义计算与，，，之间的关系，根据古典概型可判断①错误，根据题目已知条件代入特殊值可判断②错误.
【详解】根据椭圆和双曲线的定义，可设椭圆的长半轴为，短半轴为，双曲线的实半轴为，虚半轴为，两者的半焦距均为；
有，，，，，
即，即.
对于①，根据定义，在椭圆中，有，
在双曲线中有，分别平方并相减，
可得，即；
记计算为事件，
集合共有个子集，其中能计算的子集包括集合，
全部四个有三个元素的子集，集合和集合，共个，
根据古典概型公式，，可知①错误；
对于②，由，可取，，，，此时，，，计算可得，，满足，，可知②错误.
题型10 已知圆锥曲线的离心率求值
【典例10-1】（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】双曲线，即，，
由该双曲线的离心率为，得，所以.
【典例10-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，
所以，
由双曲线的定义可得，
所以，
在中，
由余弦定理得，
在中，，
设，则，
由
得，
解得，所以，
所以.
故选：D.
【变式10-1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知锐角α满足，椭圆，的离心率分别为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的离心率结合标准方程得出，再应用两角和正切计算求解.
【详解】由，得，解得，
所以，即，
解得或．
因为为锐角，所以，故．
【变式10-2】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆、双曲线的离心率公式结合可得出关于的等式，求出的值，即可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】设椭圆、双曲线的半焦距长分别为、，
由题意可知，椭圆、双曲线的焦点都在轴上，所以，，
，，
由可得，解得，
故双曲线的渐近线方程为，即.
故选：A.
【变式10-3】（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________．
【答案】
【分析】通过双曲线的离心率，求得渐近线斜率，即可求解.
【详解】由离心率定义 ，平方得 ，
又，代入得 ，解得
即双曲线的渐近线为 ，两条渐近线的倾斜角分别为和，
又直线夹角定义为不大于的角，
因此夹角为 .
题型11 根据离心率刻画圆锥曲线的几何性质
【典例11-1】（25-26高三上·上海浦东新·期末）如图，椭圆、的离心率分别为、，双曲线、的离心率分别为、，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线离心率：，椭圆离心率，比较大小即可判断.
【详解】双曲线离心率：，椭圆离心率，
如图可知椭圆中，，所以，
双曲线、中，，所以，
综上：.
故选：D.
【变式11-1】（2026·海南海口·一模）下列椭圆中，形状最接近圆的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的性质：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，进行判断即可.
【详解】在椭圆中，，，所以，所以离心率；
在椭圆中，，，所以，所以离心率；
在椭圆中，，，所以，所以离心率；
在椭圆中，，，所以，所以离心率.
根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又，
所以椭圆更接近于圆.
故选：.
【变式11-2】双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（ ）
A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
【答案】A
【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断.
【详解】因为，，
又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，
因为，所以，即，即，
所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔.
故选：A.
【变式11-3】（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆
B．若，则是双曲线
C．当是椭圆时，若越大，则越接近于圆
D．当是双曲线时，若越小，则的开口越大
【答案】BD
【分析】结合椭圆和双曲线的定义及其性质，根据曲线方程的形式对每一个选项进行逐一判断即可.
【详解】若曲线是椭圆，则满足，此时解得且，或且，故选项A错误．
若曲线是双曲线，则满足时，此时解得，故选项B正确．
当曲线是椭圆时，记该椭圆的离心率为，若，即4，则，当越大，即越大时，越小，椭圆越圆；
若，即，则，当越大，即越大时，越大，椭圆越扁，故选项C错误．
当曲线是双曲线时，记该双曲线的离心率为，则，即，，
当越小，即越小时，越大，所以双曲线的开口越大，故选项D正确．
故选：BD．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
一、单选题
1．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，所以，则，解得：，
所以.
2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线与双曲线C：的一条渐近线平行，则的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程为，
直线与双曲线的一条渐近线平行，
则，又，则
所以的离心率为．
3．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知左顶点，上顶点，则，
所以，
所以椭圆的焦点在y轴上，
所以.
4．（2026·陕西渭南·三模）已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率.
【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），
则渐近线的斜率为，
所以双曲线的离心率为.
5．（2026·山东青岛·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线交于、两点．若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知四边形为平行四边形，可得，结合椭圆的定义可得出、，再利用勾股定理可得出椭圆的离心率的值.
【详解】如下图所示：
由题意可知，为、的中点，所以四边形为平行四边形，则，
所以，则，
因为，由勾股定理可得，
故该椭圆的离心率为.
6．双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据过的直线的倾斜角为，且与双曲线右支交于，两点，由求解.
【详解】因为过的直线的倾斜角为，
所以直线斜率，
因为直线与双曲线右支交于，两点，
如图所示：
由图象知：，
所以，
又，
所以.
故选：A.
7．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围.
【详解】由椭圆方程，
当时，椭圆焦点在轴上，，，，
所以，解得；
当时，椭圆焦点在轴上，，，，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故选：D.
二、多选题
8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】AD
【分析】求出双曲线的渐近线方程，再按分类，结合双曲线的对称性建立方程求出离心率.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设F是双曲线C的右焦点，如图，
①当时，不妨设点A，B分别在第一、二象限，由，得A是BF的中点．而直线BF垂直于直线，
则是等腰三角形，，又，因此，解得．
所以，离心率；
②当时，不妨设点B，A分别在第一、四象限，
由，得，由，得．
由，得，则，离心率．
9．（2026·河南南阳·二模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为3
C．存在点，使得
D．当离心率不小于时，的最小值为
【答案】ABD
【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D.
【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则，
对于A，由，得，则离心率，A正确；
对于B，由，得椭圆的半焦距，由，
得，因此的最大值为，B正确；
对于C，由，得，而，则，
以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误；
对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则，
于是，，
因此
，当且仅当时取等号，符合题意，D正确.
10．（2026·辽宁锦州·二模）椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，为双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点，椭圆与轴交于，两点，则（）
A．与有且只有两个公共点 B．
C．若，则 D．使成立的值不存在
【答案】ACD
【分析】先由写出椭圆、双曲线的基本量与离心率，联立两曲线方程得仅有两个横轴交点判定A正确；代入离心率表达式化简验证不等于1知B错误；由平方求解得，算出判定C正确；再联立双曲线渐近线与椭圆求得交点，利用向量运算表示并与列方程，解得与矛盾，故满足条件的不存在，D正确.
【详解】已知椭圆，双曲线.
椭圆参数：，，，离心率.
双曲线参数：，，，离心率
选项A:联立与方程：，
两式相加得，代入得，公共点为，，共2个，故A正确.
选项B:，故B错误.
选项C,，
平方得，，故C正确.
选项D:双曲线的渐近线：，第一象限渐近线.
联立椭圆：，，即.
椭圆顶点，，，
，，
，,
由，平方得，与矛盾，故不存在，D正确.
三、填空题
11．（2026·北京·二模）已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为______；离心率为______．
【答案】
【分析】先由方程表示双曲线可得，再根据焦距可得，进而由双曲线的方程可得渐近线方程及离心率.
【详解】由双曲线：，得，所以.
因为双曲线的焦距为，所以，得，
所以双曲线的方程为，因此双曲线的离心率，
双曲线的渐近线方程为.
12．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与交于，两点，其中在上，且，若，则的离心率为__________．
【答案】/
【分析】根据抛物线及椭圆的定义求解即可．
【详解】由抛物线的定义知，则，
所以抛物线的标准方程为，
所以，，椭圆的左焦点为，
所以直线的方程为，
联立抛物线的方程，解得，
由椭圆及抛物线的定义知，解得，
又，则，所以椭圆的离心率为．
13．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是______，实数的值为______．
【答案】 /
【分析】双曲线上的点到直线距离无最小值时，直线与双曲线的一条渐近线平行，由此确定的值，再计算离心率．
【详解】方程 表示双曲线，故 ，可化为 ，
其渐近线为，直线 即 ，
若点到直线的距离不存在最小值，则直线与双曲线不相交且平行于渐近线，
故，解得 ，
此时双曲线为 ，即 ，离心率 ．
创新提升
一、单选题
1．（2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，且经过点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设椭圆方程为（），且，
点在椭圆上，代入得，将代入，
得，
即
即
即
得或，
由于，
故，，
离心率.
2．（2026·陕西商洛·一模）已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若的离心率为，当的焦点在轴上，则，解得，
可得，解得；
当的焦点在轴上，则，解得，
可得，解得．
综上所述，的取值为6或1
所以“”是“的离心率为”的充分不必要条件．
3．（2026·广东中山·一模）方程表示的圆锥曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
化简得，是焦点在轴上的椭圆.
故，，所以离心率为.
4．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以点在轴右侧，过点作轴，垂足为点，
因为，所以，则,
，,
所以,则，
则点的坐标为或，
代入椭圆方程，得，所以，
所以.
5．（2026·山东日照·模拟预测）已知双曲线：（，），圆：与的两条渐近线交于，，，四点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】联立圆与直线方程求出交点坐标，进而表示四边形面积，根据离心率定义即可求解.
【详解】双曲线 ，) 的渐近线方程为，
联立圆与渐近线方程，，
由双曲线的基本关系， ，则，
对应的坐标为，
因此，四个交点的坐标为：，，，，
由于双曲线和圆都关于轴、轴对称，四边形是矩形，其长为，宽为，
矩形面积公式，
因此，，化简得，，则，
将代入上式，，
则， ，，
双曲线的离心率，所以.
6．（18-19高三上·湖北·阶段检测）过双曲线的一个焦点的直线与双曲线相交于两点，当轴时，称线段为双曲线的通径．若的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出直线与双曲线交在一支的最小值和交在两支的最小值，建立关于的齐次不等式，即可求出离心率的范围.
【详解】当经过焦点F的直线与双曲线的交点在同一支上，易知为双曲线的通径时取值最小，
令，得，则，故，即有最小值为；
当直线与双曲线的交点在两支上，易知直线的斜率为0时，即为实轴时最小，最小为2a；
由题意可得，即为，即有，则离心率,
又双曲线的离心率，故．
故选：A．
二、多选题
7．（2026·吉林·二模）设为双曲线：（，）的左焦点，经过原点且斜率大于的直线交于，两点，与轴垂直，，则（ ）
A． B．的离心率为
C．直线的斜率为 D．的渐近线方程为
【答案】ABC
【详解】设的右焦点为，连接，由与轴垂直及对称性，得与轴垂直，
又，则，令，由，得，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，
即，解得或（舍去），
因此的离心率，B正确；
对于 C，由，，得直线的斜率，C正确；
对于D，，得的渐近线方程为，D错误.
8．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）设椭圆与双曲线（其中）的离心率分别为，且直线与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．的取值范围是
D．的取值范围是
【答案】ACD
【分析】将双曲线与直线联立，根据交点分布在双曲线两侧列不等式，得出的关系，然后对选项依次分析即可.
【详解】将双曲线与直线联立得，
因为直线与双曲线的交点分布在左右两支，
所以，
又，所以，故A正确，B错误；
，，
，
所以，
又，所以，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
9．（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，
由题意可知：，，且，
若存在点，使得四边形为矩形，此时，
且，则四边形为正方形，可得，
则，可得，且，即，
可得，可得，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
10．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________．
【答案】/
【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解.
【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，
因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以，
如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，
因为，可得，设，
在中，由余弦定理得，
由椭圆的定义，可得，
可得，
所以，所以，
又由双曲线的定义，可得，
可得，
所以，所以，
所以，可得，即，
可得，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，所以，
所以与的离心率之积的最小值为.
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