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重难点培优03 阿基米德三角形问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
题型深研·通法变式提能力 1
题型01 阿基米德三角形面积问题 4
题型02 切点弦问题 8
题型03 求阿基米德三角形的顶点 6
题型04 定点问题 6
题型05 定直线问题 7
题型06 最值问题 8
题型07 角度相等问题 9
题型08 定值问题 9
题型09 蒙日圆问题 10
分层进阶·双阶训练验成效 11
巩固过关 11
创新提升 12
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 阿基米德三角形的定义及基本性质
阿基米德三角形是指抛物线的弦与过弦的两个端点的两条切线所围成的三角形。 以抛物线 为例，若过抛物线外一点 向抛物线引两条切线，切点分别为 和 ，则 即为阿基米德三角形。
（1）椭圆中的阿基米德三角形
在椭圆中，阿基米德三角形定义为由椭圆外一点引两条切线，切点连线（切点弦）与两条切线围成的三角形。设椭圆方程为 ，椭圆外一点 ，切点为 、。
性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在定直线上.
其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上.
性质 2:过切点 的切线方程为 。
性质 3 切点弦方程：切点弦 的方程为 。
性质 4 顶点 的坐标表示：若已知切点弦 的方程为 ，则切线交点 的坐标为 。
性质 5中点连线共线：设弦 的中点为 ，则直线 必定经过原点 ，即 三点共线。
性质 6斜率乘积定值：直线 的斜率 与直线 的斜率 满足：。
性质 7蒙日圆（Monge Circle）定理：若从点 引出的两条切线互相垂直（即 ），则点 的轨迹是一个圆，方程为 。
性质 8 如果切点弦 经过椭圆的一个焦点 ，那么对应的切线交点 必定落在与该焦点对应的准线 上，此时依然成立。
（2）双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线方程为 ()，双曲线外一点 引两条切线，切点分别为 和 ，则 为双曲线中的阿基米德三角形。
性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在定直线上.
其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 切线方程：过切点 的切线方程为 。
性质 3 切点弦方程：切点弦 的方程为 。
性质 4顶点 的坐标表示：若已知切点弦 的方程为 ，则切线交点 的坐标为 ，
性质 5: 设弦 的中点为 ，则直线 必定经过原点 ，即 三点共线.
性质 6 直线 的斜率 与直线 的斜率 满足定值关系：。（注意此处为正号，与椭圆的负号不同）
性质 7 若从点 引出的两条切线互相垂直（即 ），则点 的轨迹是一个圆，方程为 。这个圆被称为双曲线的蒙日圆（或准圆）.
注：只有当 时，该圆才存在（半径的平方为正数）
性质 8如果切点弦 经过双曲线的一个焦点 ，那么对应的切线交点 必定落在与该焦点对应的准线 上。此时， 依然成立
（3）抛物线线中的阿基米德三角形
性质 1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
性质 2若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
性质3 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行.
性质 4若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点则另一顶点的轨迹为一条直线
特别的：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，反之，若的轨迹为准线，则阿基米德三角形的底边过焦点.
性质 5抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹；
性质 6底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为
性质 7的面积为（焦点在y轴时)．
性质 8在阿基米德三角形中, ．
性质 10若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为
性质 11抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
性质 12若点的坐标为，当抛物线焦点在x轴时，底边的直线方程为；当抛物线焦点在y轴时，底边的直线方程为．
知识点2 阿基米德三角形的题型分类
高考及模拟题中关于阿基米德三角形的考查主要分为以下四类：
（1）过焦点的阿基米德三角形问题：此类题型通常已知直线过抛物线焦点，要求证明切线交点在准线上，或证明切线互相垂直、线段互相垂直等几何关系。
（2）准线上的点引切线构成的三角形问题：已知点 在准线上（或在特定曲线上），过 作切线，要求证明切点弦 过定点（通常是焦点），或证明 的横坐标成等差数列等代数关系。
（3）面积最值问题：结合圆、直线等约束条件，求阿基米德三角形面积的最大值或最小值。这类问题往往需要建立目标函数。
（4）定点、定值、定直线问题：探究在动点或动直线变化过程中，某些几何量（如斜率之和、面积、交点轨迹等）是否保持不变。
知识点3 阿基米德三角形问题的求解策略
（1）利用导数求切线：对于求切线方程或切线斜率的问题，可以直接对抛物线方程求导。例如 变形为 ，则 ，从而快速得到切点处的切线斜率，进而写出切线方程。
（2）联立方程与韦达定理：处理直线 与抛物线的交点问题时，常规策略是将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用韦达定理得出 和 的表达式，这是计算弦长、中点坐标的基础。
（3）几何性质转化：在证明垂直、平行或共线问题时，应优先考虑阿基米德三角形的几何性质。例如，看到准线上的点引切线，应立即联想到 和 过焦点，从而将复杂的代数运算转化为简洁的几何推理。
（4）函数与方程思想求最值：对于面积最值问题，通常先利用 （ 为点 到直线 的距离）表示面积，再结合题目给定的约束条件（如点 在圆上），将面积表示为单一变量的函数，最后利用导数或基本不等式求最值。
题型深研·通法变式提能力
题型1 阿基米德三角形的面积问题
【典例1-1】（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（ ）
A．18 B．24 C．27 D．36
【变式1-1】 已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式1-2】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与圆：相切.
(1)求的方程；
(2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，，试求面积的取值范围.
题型2 切点弦方程
【典例2-1】（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．2
【变式2-1】（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2-2】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（ 　 ）
A． B．
C． D．
题型3 求阿基米德三角形顶点坐标
【典例3-1】（2026高三·全国·专题练习）阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则_____．
【变式3-1】抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P的坐标为
【变式3-2】已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，过A、B两点作抛物线的切线交于点P，则的顶点P的坐标为______．
题型4 定点问题
【典例4-1】（25-26高三上·安徽宿州·期末）定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点.

(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.）
【变式4-1】已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
【变式4-2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是__________．
【变式4-3】（2026高三·广东·专题练习）已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足.
①求证：直线过定点，并求出该定点坐标；
②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点.
题型5 定直线问题
【典例5-1】（2026·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的动直线交于两点，过分别作的切线，，与交于点．经探究可知点必在一条定直线上，其方程为___________．
【典例5-2】已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
【变式5-1】（2026·全国·模拟预测）经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线______上．（写出此直线的方程）
【变式5-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，
（i）若点在第一象限且，求直线的方程；
（ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【变式5-3】已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线经过定点；
②点在定直线上.
题型6 最值问题
【典例6-1】在直角坐标系中，已知抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，当在轴上时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点到直线距离的最大值.
【变式6-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________．
【变式6-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求面积的最小值.
题型7 角度相等问题
【典例7-1】如图所示，设抛物线C：的焦点为F，动点P在直线l：上运动，过P作抛物线C的两条切线，，切点分别为A，B，求证：.
【变式7-1】已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【变式7-2】（2026·辽宁朝阳·三模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D．
（i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标；
（ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：．
题型8 定值问题
【典例8-1】（25-26高三下·江西景德镇·期中）椭圆C：离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程：
(2)（i）若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆C相切.
（ii）若为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线OP与直线MN的斜率之积
【变式8-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，.
(1)求的方程.
(2)证明：点的轨迹是圆.
(3)过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【变式8-2】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，．
（i）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值．
题型9 蒙日圆问题
【典例9-1】（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（25-26高三·上海·二轮复习）已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（ ）
A．8 B．16
C． D．32
3.（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔 蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
4.（多选）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．椭圆的离心率为，则的范围为
D．
5.（多选）（25-26高二上·广西·阶段检测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3.
B．点与点的纵坐标相等.
C．若点在直线上，则直线过点.
D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为.
6.（2026·广东中山·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点关于直线的对称点在圆上，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，
证明：直线过定点，并求定点坐标.
7.（25-26高三·全国·三轮复习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)，为椭圆上不同两点，过，作椭圆切线交于点，若，求点的轨迹的方程；
(3)若交于，交于，求面积的最大值．
创新提升
1.（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）椭圆：上有一点位于第一象限．过作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，．若，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．满足条件的点有且仅有2个
B．的两个可能值之和为5
C．切线的斜率一定小于
D．两条可能切线的斜率之积为
2.（多选）（2026·湖南·三模）已知抛物线，设O为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（异于点），则下列结论正确的（ ）
A．若，可能为锐角三角形
B．若，点在直线上的投影为定点
C．若，且直线，分别交轴于点，，则
D．若，且直线，分别交轴于点，，则
3.（多选）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若为正三角形，则其面积为
C．若，则的面积的最小值为
D．一般情况下，的面积
4.（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3
B．点与点的纵坐标相等
C．若点在直线上，则直线过点
D．若三点共线，则的面积的最小值为1
5.（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)求证：为定值．
(3)求证：直线过定点，并求出该定点．
6.（2026·陕西·二模）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
(1)证明：直线过定点；
(2)若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程．
7.（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、．
①证明：直线过定点；
②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
8.（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.
9.（25-26高三下·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：点T在定直线上；
(3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程.
10.（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．
11．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知椭圆：.
(1)求的离心率；
(2)若直线：上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求点的坐标；
(3)若菱形的四个顶点都在上，证明：与的交点为坐标原点.
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重难点培优03 阿基米德三角形问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
题型深研·通法变式提能力 1
题型01 阿基米德三角形面积问题 4
题型02 切点弦问题 8
题型03 求阿基米德三角形的顶点 11
题型04 定点问题 14
题型05 定直线问题 19
题型06 最值问题 25
题型07 角度相等问题 29
题型08 定值问题 33
题型09 蒙日圆问题 38
分层进阶·双阶训练验成效 42
巩固过关 42
创新提升 50
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 阿基米德三角形的定义及基本性质
阿基米德三角形是指抛物线的弦与过弦的两个端点的两条切线所围成的三角形。 以抛物线 为例，若过抛物线外一点 向抛物线引两条切线，切点分别为 和 ，则 即为阿基米德三角形。
（1）椭圆中的阿基米德三角形
在椭圆中，阿基米德三角形定义为由椭圆外一点引两条切线，切点连线（切点弦）与两条切线围成的三角形。设椭圆方程为 ，椭圆外一点 ，切点为 、。
性质 1: 弦 绕着定点 转动时, 则其所对顶点 落在定直线上.
其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上.
性质 2:过切点 的切线方程为 。
性质 3 切点弦方程：切点弦 的方程为 。
性质 4 顶点 的坐标表示：若已知切点弦 的方程为 ，则切线交点 的坐标为 。
性质 5中点连线共线：设弦 的中点为 ，则直线 必定经过原点 ，即 三点共线。
性质 6斜率乘积定值：直线 的斜率 与直线 的斜率 满足：。
性质 7蒙日圆（Monge Circle）定理：若从点 引出的两条切线互相垂直（即 ），则点 的轨迹是一个圆，方程为 。
性质 8 如果切点弦 经过椭圆的一个焦点 ，那么对应的切线交点 必定落在与该焦点对应的准线 上，此时依然成立。
（2）双曲线中的阿基米德三角形
设双曲线方程为 ()，双曲线外一点 引两条切线，切点分别为 和 ，则 为双曲线中的阿基米德三角形。
性质 1: 弦 绕者定点 转动时, 则其所对顶点 落在定直线上.
其中, 当 点为左 (右) 焦点时, 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 切线方程：过切点 的切线方程为 。
性质 3 切点弦方程：切点弦 的方程为 。
性质 4顶点 的坐标表示：若已知切点弦 的方程为 ，则切线交点 的坐标为 ，
性质 5: 设弦 的中点为 ，则直线 必定经过原点 ，即 三点共线.
性质 6 直线 的斜率 与直线 的斜率 满足定值关系：。（注意此处为正号，与椭圆的负号不同）
性质 7 若从点 引出的两条切线互相垂直（即 ），则点 的轨迹是一个圆，方程为 。这个圆被称为双曲线的蒙日圆（或准圆）.
注：只有当 时，该圆才存在（半径的平方为正数）
性质 8如果切点弦 经过双曲线的一个焦点 ，那么对应的切线交点 必定落在与该焦点对应的准线 上。此时， 依然成立
（3）抛物线线中的阿基米德三角形
性质 1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
性质 2若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．
性质3 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB平行.
性质 4若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点则另一顶点的轨迹为一条直线
特别的：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点的轨迹为准线，反之，若的轨迹为准线，则阿基米德三角形的底边过焦点.
性质 5抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹；
性质 6底边长为的阿基米德三角形的面积的最大值为
性质 7的面积为（焦点在y轴时)．
性质 8在阿基米德三角形中, ．
性质 10若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为
性质 11抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的．
性质 12若点的坐标为，当抛物线焦点在x轴时，底边的直线方程为；当抛物线焦点在y轴时，底边的直线方程为．
知识点2 阿基米德三角形的题型分类
高考及模拟题中关于阿基米德三角形的考查主要分为以下四类：
（1）过焦点的阿基米德三角形问题：此类题型通常已知直线过抛物线焦点，要求证明切线交点在准线上，或证明切线互相垂直、线段互相垂直等几何关系。
（2）准线上的点引切线构成的三角形问题：已知点 在准线上（或在特定曲线上），过 作切线，要求证明切点弦 过定点（通常是焦点），或证明 的横坐标成等差数列等代数关系。
（3）面积最值问题：结合圆、直线等约束条件，求阿基米德三角形面积的最大值或最小值。这类问题往往需要建立目标函数。
（4）定点、定值、定直线问题：探究在动点或动直线变化过程中，某些几何量（如斜率之和、面积、交点轨迹等）是否保持不变。
知识点3 阿基米德三角形问题的求解策略
（1）利用导数求切线：对于求切线方程或切线斜率的问题，可以直接对抛物线方程求导。例如 变形为 ，则 ，从而快速得到切点处的切线斜率，进而写出切线方程。
（2）联立方程与韦达定理：处理直线 与抛物线的交点问题时，常规策略是将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，利用韦达定理得出 和 的表达式，这是计算弦长、中点坐标的基础。
（3）几何性质转化：在证明垂直、平行或共线问题时，应优先考虑阿基米德三角形的几何性质。例如，看到准线上的点引切线，应立即联想到 和 过焦点，从而将复杂的代数运算转化为简洁的几何推理。
（4）函数与方程思想求最值：对于面积最值问题，通常先利用 （ 为点 到直线 的距离）表示面积，再结合题目给定的约束条件（如点 在圆上），将面积表示为单一变量的函数，最后利用导数或基本不等式求最值。
题型深研·通法变式提能力
题型1 阿基米德三角形的面积问题
【典例1-1】（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设直线的方程为，联立方程利用，得到，以及直线的方程，对两边求导得到，求得方程为，方程为，联立方程得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，，再利用面积公式求解即可.
【详解】设过的直线的方程为，
联立方程，得到，
不妨设，
由韦达定理得到，
因为，所以，
又因为，即 ，
所以，即，
所以，得到
即，解得，所以
即，解得，所以，
根据抛物线中阿基米德三角形的性质可得的面积为.
【典例1-2】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（ ）
A．18 B．24 C．27 D．36
【答案】D
【分析】结合阿基米德三角形的性质进行分析.
【详解】因为直线过抛物线的焦点交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，根据抛物线阿基米德三角形的性质可知，若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶角为直角，且阿基米德三角形的面积最小值为 ，面积的最小值为36.
【变式1-1】 已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后根据不等式的性质求出三角形面积的最大值.
【详解】因为椭圆方程为，设切点，
则切线的方程为，.
因为切线过点，所以，切线的方程变为：
，因为点都在直线上，
所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点.
联立直线方程和椭圆方程为：
，化简得.
根据韦达定理.而
所以.
因为，
要使得面积取得最大值，则应取最小值，根据不等式，
所以当时，三角形的面积最大，最大值为.
故选：A.
【变式1-2】 （25-26高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，其蒙日圆方程为，M为蒙日圆上的一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆离心率，用半焦距c表示a，b，再利用椭圆蒙日圆的性质及面积最大值求出c即可求出结果.
【详解】令椭圆的半焦距为c，
由椭圆的离心率，得，，
因此椭圆的蒙日圆方程为，由蒙日圆的性质得，
于是线段PQ是圆的直径，即，
则面积的最大值为，即，，
所以椭圆的长轴长为.
故选：B
【变式1-3】已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与圆：相切.
(1)求的方程；
(2)设，过点作的两条切线，，切点分别为，，试求面积的取值范围.
【解析】（1）由题意得，抛物线的焦点，则直线：，
圆的圆心为，半径，则，解得或（舍去），
∴抛物线的方程为.
（2）设，
对于函数，求导得，
∴切线的斜率为，
∴切线的方程为，
即，即，
同理可得切线的方程为，
又点在两切线上，∴，
∴直线的方程为.
联立，得，
∴
且，
点到直线的距离，
∴.
∵，∴，∴
即面积的取值范围是.
题型2 切点弦方程
【典例2-1】（2026·河北衡水·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形.若经过抛物线焦点的一条弦为，则阿基米德三角形满足点必在抛物线的准线上，且，若点的纵坐标为4，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，得到点，进而得到直线的斜率，再由，得到直线的斜率即可.
【详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为为“阿基米德三角形”，且线段经过抛物线的焦点，
点在抛物线的准线上，所以点，直线的斜率为.
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
【典例2-2】（2026高三下·内蒙古鄂尔多斯·专题练习）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】方法一：设，根据导数求得切线方程，进而可得是方程两个相异的实数根，根据韦达定理及斜率公式求得直线斜率，代入点斜式可得直线方程，进而计算可解.
方法二：根据抛物线阿基米德三角形的性质可知：若点的坐标为，当抛物线焦点在y轴时，底边的直线方程为，进而求得答案.
【详解】由题意得，求导得，
设，则直线的斜率为，
所以切线的方程为，即，
代入化简可得，，
同理，切线满足，
所以是方程两个相异的实数根，
所以.
直线的斜率为，
所以直线的方程为，则，
由可得，即直线的方程为，
所以直线在轴上的截距为.
方法二：根据抛物线阿基米德三角形的性质可知：若点的坐标为，当抛物线焦点在y轴时，底边的直线方程为，故底边的直线方程为，即，所以直线在轴上的截距为.
【变式2-1】（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离公式得出抛物线的方程，然后再通过抛物线的切点弦公式即可求解.
【详解】双曲线的两条渐近线分别为和，由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为，
即，故两条渐近线分别为和，
设抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式得，
因此抛物线方程为，由于过外点作抛物线的切点弦方程为，
代入，得，因此直线的方程为，
在轴的截距为当时的值，代入得，即直线在轴的截距为，故D正确.
【变式2-2】抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“阿基米德三角形”的性质直接可得点的坐标，进而得解.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，
所以点，直线的斜率为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即,
故选：C．
【变式2-3】阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点处的切线交于点，则为“阿基米德三角形”，且当线段经过抛物线的焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）；（3）．若经过抛物线的焦点的一条弦为，“阿基米德三角形”为，且点在直线上，则直线的方程为（ 　 ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意可得到点在抛物线的准线上，又在直线上，从而可求出点的坐标；根据，即可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程.
【详解】根据题意，可知点在抛物线的准线上，又点在直线上，
所以，又，所以，
因为，所以，所以直线的方程为，即.
故选：A.
题型3 求阿基米德三角形顶点坐标
【典例3-1】（2026高三·全国·专题练习）阿基米德三角形由古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用．在圆锥曲线中，圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被叫作阿基米德三角形．已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与交于两点，若为阿基米德三角形，则_____．
【答案】
【分析】求出直线与直线的方程，联立两直线方程即可求得P点坐标，则可求；也可以使用二级结论“过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上”快速推导结果.
【详解】依题意，，直线，
由得，得或，
不妨设．
因为直线与抛物线相切，所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，
与联立得关于的方程，
即，
令，得，
故直线的斜率，即直线，
同理可得直线的斜率，直线．
由得即，则．
二级结论法：
直线，由得出或，
不妨设，
由抛物线焦点弦的性质可得，过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，切线交点在准线上，
且交点的纵坐标为两端点纵坐标之和的一半，所以，所以．
故答案为：.
【变式3-1】抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P的坐标为
【答案】D
【分析】联立方程可解得，则，根据导数可得，可判断，利用点斜式可求得两条切线方程和，联立求P，再求，可判断．
【详解】联立方程，消去得：，解得或
即，则，A正确；
∵，即
对于，切线斜率分别为
∴，即，B正确；
在点A的切线方程为，即
同理可得在点B的切线方程为
联立方程，解得，即P，D不正确；
∵，则，
∴，即，C正确；
故选：D．
【变式3-2】已知直线l：与抛物线交于A、B两点，若，过A、B两点作抛物线的切线交于点P，则的顶点P的坐标为______．
【答案】或
【分析】设，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长，可求出的值，再由可求出直线的方程，再由P点必在抛物线的准线上可求出点P的坐标.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
设，
由，得，
由，
所以，
所以，解得或，
当时，因为，所以，
所以直线的方程为，
因为P点必在抛物线的准线上，所以，
所以，所以，
当时，因为，所以，
所以直线的方程为，
因为P点必在抛物线的准线上，所以，
所以，所以，
综上，的顶点P的坐标为或.
故答案为：或
题型4 定点问题
【典例4-1】（25-26高三上·安徽宿州·期末）定义：若点在椭圆上，则以 为切点的切线方程为：.已知椭圆 ，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线 ，，切点分别为，，则直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点；
【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②；
由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点
故选：C
【典例4-2】（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点.

(1)求曲线的方程；
(2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.）
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简即得.
（2）设出点的坐标，写出切线的方程，进而求出直线方程即可得证.
（3）按直线的斜率是否存在，设出方程并与椭圆方程联立，结合圆心到直线距离及向量数量积的坐标表示求出，再利用数量积的运算律计算得证.
【详解】（1）依题意，，化简整理得，
所以曲线的方程为.
（2）设点，则切线的方程分别为，，
因此，显然点的坐标满足方程，则直线的方程为，
对于任意实数，当时，恒有，即直线过定点，
所以直线过定点.

【变式4-1】已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
【答案】D
【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.
【详解】设，则，，
由于，故过点的切线方程为，
即，即，
同理可得过点的切线方程为，
设，过点的两切线交于点，
故，整理得，
同理，整理得，
故直线的方程为，
斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.
故选：D
【变式4-2】已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是__________．
【答案】
【详解】设点的坐标是，则切点弦的方程为，化简得，令，可得，故直线过定点．
【变式4-3】（2026高三·广东·专题练习）已知椭圆的中心在原点，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，为坐标原点，直线与椭圆交于两点（直线斜率存在且在轴两侧），且满足.
①求证：直线过定点，并求出该定点坐标；
②已知椭圆上点处的切线方程为，若椭圆在，两点处的切线交于点，为①中直线过的定点，求证：以为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②证明见解析
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法、椭圆之间的关系进行求解即可；
（2）①根据题中已知条件的角相等可以转化为两条直线的斜率关系，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系进行求解即可；
②根据题中所给的切线方程，结合以线段为直径圆的方程进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知，解得，则，
∴椭圆的标准方程：.
（2）①设，
联立方程组得，消元化简为，
即
设交点，则，，
由题意可知，即，
∵，∴
则，即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
即，，
化简，得，因为，所以，
解得.
故直线过定点.
②由题意可知过点的切线方程为，过点的切线方程为，
设，则，∴点在直线上，
又∵直线经过定点，则，则，即，
∴以为直径的圆的方程为，
整理得，
因为要求圆的定点，
所以令参数的系数为0，
因此令，
则，∴或.
∴此圆经过定点或.
题型5 定直线问题
【典例5-1】（2026·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的动直线交于两点，过分别作的切线，，与交于点．经探究可知点必在一条定直线上，其方程为___________．
【答案】
【分析】方法一：设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式；结合导数知识可求得方程，由此可求得点横坐标恒为，由此可得定直线；
方法二：利用抛物线阿基米德三角形的性质：过点作直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的两条切线，则两条切线的交点必在定直线：上，可快速得到答案.
【详解】方法一：由抛物线方程知：，
设，，，
由得：，，
；
当时，由得：，，
，又，；
当时，由得：，，
，又，；
由得：，
又，，
点必在定直线上
方法二：利用抛物线阿基米德三角形的性质，直线AB过焦点，则切线交点在抛物线的准线上.
【典例5-2】已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
【分析】由题得出椭圆方程，设直线方程为，写出两点处的切线方程，由对称性得，点处于与轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得，再代入即可证明；法二：由点在两切线上得直线的方程，结合直线过点，即可得出
【答案】证明:由题意可知，，
所以，所以椭圆方程为，
设直线方程为，
联立，消可得，，
所以，
因为过点的切线为，过点的切线为，
由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上，
法一：联立，消去得，，
将代入上式得，
所以点在直线上．
法二：因为点在两切线上，所以，
所以直线的方程为，
又直线过点，所以，解得．
【变式5-1】（2026·全国·模拟预测）经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于，两点，抛物线在，两点处的切线相交于点，则点必定在直线______上．（写出此直线的方程）
【答案】
【分析】直线方程为，，，直线方程代入抛物线后可得，从而得（可用焦点弦性质直接处得结论），求出切线方程，求出两切线交点坐标，得，为定直线方程．
【详解】抛物线中，焦点为，设直线方程为，代入抛物线整理得，设，，则，．
由得，∴过点切线斜率为，切线方程为，即，同理过点切线方程为，两式相除得，整理得，解得，所以点在准线上．
故答案为：．
【变式5-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，
（i）若点在第一象限且，求直线的方程；
（ii）若抛物线在、两点处的切线交于点，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析，定直线为
【分析】（1）依题意设抛物线的方程，代入已知点确定的值即得其标准方程；
（2）（i）设直线的点斜式方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，结合题设条件运用共线向量坐标的运算求出的值，即得所求直线方程；（ii）利用求导写出两切线的方程，通过变形消去，化简计算即可证得点在直线上.
【详解】（1）依题意，抛物线方程形如，代入点，可得，即，
故抛物线的标准方程为.
（2）（i）显然直线的斜率存在，设，代入，整理得，
显然，设，依题意，，
且，由易得，
因，则，可得，代入①，得，
再代入②，可得，解得.
而当时，点的横坐标，不在第一象限，且距离,故舍去.
故直线的方程为.
（ii）由求导得，故切点为的切线方程为，即③，
同理可得④，由，可得，
即，因，故可得，
即点在直线上.

【变式5-3】已知曲线上的动点满足，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线经过定点；
②点在定直线上.
【答案】(1)()
(2)答案见解析
【分析】（1）由双曲线的定义得出曲线的方程；
（2）若选择①证明②成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出交点的横坐标，再由证明点在定直线上；若选择②证明①成立：利用导数得出过和过的方程，从而得出，再由直线的方程证明直线经过定点.
【详解】（1）因为，
所以曲线是以、为焦点，以为实轴长的双曲线的右支,
所以，即，
又因为，所以，得，
所以曲线的方程为().
（2）若选择①证明②成立.
依题意，在双曲线右支上，此时直线的斜率必不为，
设直线方程为，，不妨设在第一象限，在第四象限.
因为，所以，且，求导得，
所以过点的直线方程为，
化简为①，同理②，
联立方程①②得,交点的横坐标为，
因为、点在直线上，所以，
所以，
所以的横坐标.
即点在定直线上.
若选择②证明①成立.
不妨设在第一象限，在第四象限.设，
因为，所以，且，
求导得，所以过点的直线方程为，
化简为①，同理②
联立方程①②得交点的横坐标为，
由题意，，
即③.
因为，
所以过直线的方程为，
化简，
整理得
由③式可得,
易知，即直线过定点.

题型6 最值问题
【典例6-1】在直角坐标系中，已知抛物线，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，当在轴上时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求点到直线距离的最大值.
【解析】（1）当在轴上时，即，由题意不妨设则，
设过点的切线方程为，与联立得，
由直线和抛物线相切可得，，所以
由得，∴，，
由可得，解得，
∴抛物线的方程为；
（2），∴，
设，，则，又，所以
即，同理可得，
又为直线上的动点，设，
则，，
由两点确定一条直线可得的方程为，
即，∴直线恒过定点，
∴点到直线距离的最大值为.
【变式6-1】（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】求出焦点为及，由过点的直线与抛物线交于不同的两点和得到存在斜率，设过点的直线的方程为，，直线代入，整理得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，求出，，，利用公式求出，利用导数的几何意义求出抛物线设在点处的斜率为，利用点斜式求出抛物线设在点处的切线方程为，同理得到抛物线设在点处的切线方程，这两条切线联立方程组求出交点得到点的坐标，利用两点间距离公式求出，计算，利用基本不等式求出最小值.
【详解】的焦点为，，，
过点的直线与抛物线交于不同的两点和，存在斜率，
设过点的直线的方程为，，
代入，得到，整理得到，
则，，
，
，
，，，
，
变形为，，
抛物线设在点处的斜率为，
则抛物线设在点处的切线方程为：，
即，
同理可得抛物线设在点处的切线方程为：，
将代入，
得到，
解得，
将代入，
解得，
将代入
得到，
将代入，
得到，
则，
，
，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为.
故答案为：.
【变式6-2】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过不在双曲线上的一点P，作双曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为，.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求面积的最小值.
【答案】(1)y2＝1
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）借助双曲线与圆的对称性，利用焦点三角形面积最大值求出，结合双曲线关系式算出，进而得出双曲线标准方程.
（2）（i）设切线方程并联立双曲线方程，由相切得判别式为零推出关系，结合切线过点代入化简得到关于斜率的一元二次方程，依据两切线垂直斜率乘积为，整理求得点的轨迹方程.
（ii）先写出点对应的双曲线切点弦方程，求出点到弦的距离，联立直线与双曲线借助韦达定理表示弦长，推出三角形面积表达式，换元构造函数，分区间利用导数判断单调性，分别求出区间内面积最值，最终确定面积最小值.
【详解】（1）根据双曲线与圆的对称性可知圆上一动点与两个焦点组成的三角形面积最大值为，所以.
所以，所以，所以双曲线的标准方程为;
（2）（i）设，双曲线切线方程为
联立，得：
判别式，即.
即，切线过，故.
代入得.
两条切线互相垂直，故斜率之积.
整理得，即点的轨迹方程为;
（ii）设，则切点弦的方程为.
点到的距离.
联立方程与双曲线方程.
消去整理得.
设，则，
的面积，
令，则，
当时，，
则在上单调递增，
所以当时，取得最小值为1;当时，，
则在上单调递减，所以当时，取得最小值为4，
综上，的面积的最小值为1.
题型7 角度相等问题
【典例7-1】如图所示，设抛物线C：的焦点为F，动点P在直线l：上运动，过P作抛物线C的两条切线，，切点分别为A，B，求证：.
【解析】证明：设切A、B的坐标分别为和（）.
可得切线的方程为；切线的方程为，
解得点P的坐标为，.
则，，.
由于点P在抛物线外，即.
∴.
同理有，
所以
综上可知：.
【变式7-1】已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A、B，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【解析】（1），，
椭圆半焦距长为，，，
，
动点到定直线与定点的距离相等，
动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，
轨迹的方程是；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设，
，
，则，
切线的方程为：
同理，切线的方程为：
联立方程组可解得的坐标为，
在抛物线外，
，，
同理
【变式7-2】（2026·辽宁朝阳·三模）已知抛物线的焦点F到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点为抛物线上的一点，在上任取一点B（与点A不重合），直线AB与直线l交于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D．
（i）求证：直线BD恒过定点E，并求出点E的坐标；
（ii）过点B和D分别作抛物线的两条切线和和交于点G，证明：．
【答案】(1)
(2)（i）证明：易知，设，则，
故直线，即，
与联立得，
直线，即直线BD的方程为，
又点和点的横坐标相同，，即，即，
所以直线，即，
令即所以恒过.
（ii）证明：对求导，得，所以直线的斜率为，所以直线，
即，同理，
联立，得．
又因为，则
，
所以，同理，
所以，
所以．
【分析】（1）利用点到直线的距离求出的值即可求出抛物线的方程；
（2）（i）先求出，设，求出直线的方程与直线联立得点横坐标，进而求得与的关系，再写出直线的方程即可；
（ii）对求导，得，求出直线方程联立得点坐标，通过计算和即可证明.
【详解】（1）由题意得到直线的距离为，
解得，所以抛物线的方程为．
（2）（i）略
（ii）略
题型8 定值问题
【典例8-1】（25-26高三下·江西景德镇·期中）椭圆C：离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程：
(2)（i）若为椭圆上一定点，证明：直线与椭圆C相切.
（ii）若为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线OP与直线MN的斜率之积
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可.
（2）（i）联立直线与椭圆方程，利用判别式计算得证；（ii）设出点的坐标，由（i）的结论，求出直线的方程即可.
【详解】（1）由椭圆C：的短轴长为2，得，由的离心率为，
得，解得，所以椭圆C的方程为.
（2）（i）由为椭圆上一定点，得，
由消去得，即，
整理得，则，因此直线与椭圆有唯一公共点，
所以直线与椭圆C相切.
（ii）设切点，由（i）得椭圆在点处切线为，
在点处切线为，而这两条切线均过点，
则，且，显然满足方程，
因此直线的方程为，直线的斜率，而直线斜率，
于是，所以直线OP与直线MN的斜率之积为.
【变式8-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）设椭圆：（）的左、右顶点分别为，，为上异于顶点的任意一点，且直线与的斜率之积为.作的两条互相垂直的切线，且这两条切线相交于点，切点为，.
(1)求的方程.
(2)证明：点的轨迹是圆.
(3)过原点作交于，作交于，作，垂足为，设点的轨迹围成的封闭图形的面积为，点的轨迹围成的封闭图形的面积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)如图：

设.当， 的斜率都存在时，
设的方程为，
的方程为.
由得
.
由，
得.
同理可得，
所以，是关于的方程的两个根，
因为，所以，即.
当或 的斜率不存在时，
点的坐标为或或或，
此时点在圆上，所以点的轨迹是圆.
(3)是，
【分析】(1)设椭圆上异于顶点的点，利用直线、的斜率之积为列方程，化简求得椭圆的方程.
(2)设点，设椭圆的切线方程，联立椭圆方程后利用判别式为0得到关于切线斜率的二次方程，结合两条切线垂直（斜率之积为 ），利用韦达定理推导点的坐标满足的方程，证明其轨迹为圆.
(3)利用直角三角形 的面积关系推导，设直线的方程，联立椭圆方程求得、的表达式，代入计算得到为定值，确定点的轨迹，结合点的轨迹计算面积差，证明其为定值.
【详解】（1）设（），由题意得，.
因为直线与的斜率之积为，所以，
即 （），所以的方程为 .
（2）略
（3）设直线与 交于点 ，直线与交于点，
易得四边形为矩形，所以 ，
所以，即，
所以.
当直线，的斜率都存在时，设的方程为，
则的方程为，由解得，
则，所以，
同理可得，
所以；
当直线或的斜率不存在时，，，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆.
故，是定值.
【变式8-2】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）已知双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，点为圆上一动点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点可以作双曲线的两条切线，，且切点分别为，．
（i）设直线，的斜率分别为，，求的值；
（ii）设，分别交圆于点，，试探究是否为定值？若是，请求出这个定值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）是，1
【分析】（1）根据题意建立方程求得，代入即可求解；
（2）（i）设出切线方程，切线与双曲线联立方程组，根据结合根与系数的关系计算可解；
（ii）分斜率为0或者斜率不存在、，都存在时两种情况分类讨论即可求解，当，都存在时由点差法可得，由几何关系可得，进而求解.
【详解】（1）双曲线的右焦点，渐近线方程为，
由题意可得，
又因为，所以，，
故双曲线的标准方程为.
（2）（i）设，由题意知切线的斜率一定存在，
设过点与双曲线相切的切线方程为，代入双曲线中消去得：
，
则由得：，
化简得：，
则，为上述方程的两个根，故，
而，所以.
（ii）为定值1.
证明：当斜率为0或者斜率不存在时，根据对称性可知，
此时，即；
当，都存在时，设，，的中点为，
由，即，
设过点的切线方程为，代入双曲线方程，
由（i）得，又，
得，解得，代回化简得过点的切线方程为，
同理，过点的切线方程为，
所以得，，
所以切点弦所在的直线方程为，所以，
因此，即，，三点共线，
又由（i）可知与均为直角三角形，故，，
则，，而，
所以，故，，
所以，即.
综上，为定值1.
题型9 蒙日圆问题
【典例9-1】（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合“蒙日圆”定义，设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，分两切线斜率都存在与两条切线中有一条斜率不存在，另一条斜率为进行讨论即可得.
【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，
若两条切线斜率都存在，设为、，则，
过的切线方程可设为，
联立，则，
，化简得，
由切线过点，则，故，
即有，整理得，
则关于的方程有两根、，满足，
即有，即点的轨迹为；
若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为，
则，，此时满足；
综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为.
【变式9-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围.
【详解】椭圆的焦点在轴上，，
直线，与椭圆都相切，
，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，
为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角，
点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：，
又，；
椭圆离心率，，.
故选：B.
【变式9-2】19世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先明确蒙日圆的方程是根据椭圆方程得出，对于椭圆，其蒙日圆方程为.本题中先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点时的情况来求解的值.
【详解】对于椭圆，其中，，根据蒙日圆方程，
可得蒙日圆方程为，其圆心坐标为，半径.
圆，其圆心坐标为，半径.
因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切.
当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.
两圆的圆心距，由，即，，两边平方得，解得，.
当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值.
由，即，两边平方得，（无解）.
所以的值为.
故选：B.
【变式9-3】（25-26高二上·山东聊城·期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过点（1，0）的直线交于两点A，B直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据椭圆的蒙日圆半径、离心率列等式求解a、b即可；
（2）设直线AB的方程为，利用弦长公式求出、关于t的表达式，进一步得到关于t的表达式，最后结合对勾函数的图像性质即可证明．
【详解】（1）如图所示，显然直线，与相切，且相互垂直，

则它们的交点在蒙日圆上，
则由题意得，解得，，
．
（2）设直线AB的方程为，由,得，，，
从而，
又由得，
，，
从而，
（当且仅当时，等号成立），
令，则，
由对勾函数的图像性质可知在上单调递增，
所以，所以取值范围为．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1.若经过抛物线的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用“阿基米德三角形”的一边过抛物线焦点的性质求出点坐标，再利用性质求出直线的斜率，进而求得直线方程.
【详解】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，
当线段经过抛物线的焦点时，
阿基米德具有以下特征：①点必在抛物线的准线上；②，
抛物线的焦点，准线方程为，由为“阿基米德三角形”，
且线段AB经过抛物线的焦点，得点P必在抛物线的准线上，
由点P的纵坐标为4，得点，则直线PF的斜率为，
而，因此直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为，即.
故选：A
2.（25-26高三·上海·二轮复习）已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（ ）
A．8 B．16
C． D．32
【答案】D
【分析】方法一，把直线方程与抛物线方程联立，由，利用韦达定理和弦长公式得到，再利用导数求出直线PA和直线PB的方程，联立后得，点P到直线AB的距离结合弦长，表示出的面积并得到最大值；
方法二，由阿基米德三角形的性质求的面积最大值.
【详解】方法一：
设，，
联立，得，
由根与系数的关系得，，
又·，故，
又，∴，∴，
故直线PA的方程为，即，
同理，直线PB的方程为，
联立直线PA，PB方程可得，，
即，，即，
∴点P到直线AB的距离，
∴，
当时，.
方法二：
由阿基米德三角形的性质知.
故选：D
3.（25-26高二上·河南许昌·期末）法国数学家加斯帕尔 蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆，且的离心率为，则的“蒙日圆”的方程为（ ）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【分析】注意到椭圆两条互相垂直的切线的交点为，据此可得椭圆的“蒙日圆”方程为：，然后讨论椭圆焦点位置结合题设可得答案.
【详解】对于椭圆，其两条互相垂直的切线的交点为，由题干信息，可得在椭圆“蒙日圆”上，又“蒙日圆”圆心在，则“蒙日圆”半径为，
即椭圆的“蒙日圆”方程为：.
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：；
对于椭圆，若焦点在轴上，由题可得
，，，则“蒙日圆”方程为：.
故选：C
4.（多选）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．椭圆的离心率为，则的范围为
D．
【答案】ABD
【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D.
【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线，
可知点在椭圆的外部，
所以，A项正确；
椭圆（）对应的蒙日圆方程为，
由已知可得圆与直线有2个交点，
设圆心到直线的距离为，
则，则.
由题意可知直线与椭圆没有交点，
将与联立，
得没有实根，
所以，则有，
综上，B项正确；
，
由B知，
则，C项错误；
线段为蒙日圆的一条弦，
则，
所以,
令，
则,
易知单调递增，
所以，D项正确.
5.（多选）（25-26高二上·广西·阶段检测）抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3.
B．点与点的纵坐标相等.
C．若点在直线上，则直线过点.
D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为.
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角函数等知识逐项计算求解即可.
【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线定义可知，则
当且仅当 三点共线时取等号，故A错误；
对于B，设，过点的切线方程为
（切线斜率不为0），联立抛物线方程，化简并整理得，，又，
所以方程可变形为，
而，所以，
所以过点的切线方程为，结合，可得
过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，
联立，结合，解得，
而线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确；
对于C，可设直线，联立，
化简并整理得，显然，
直线方程为过点，故C正确；
对于D，依题意直线的倾斜角为锐角，设，
设直线方程为，联立，易得
由题意知，
，，，，
则
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
6.（2026·广东中山·一模）已知椭圆的离心率为，右焦点关于直线的对称点在圆上，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为、，
证明：直线过定点，并求定点坐标.
【答案】(1)（2）
【分析】（1）根据对称性可得出 ，结合椭圆的离心率可得出的值，即可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）①设点、，先证明椭圆在点处的切线方程为 ，可得出直线的方程，令，将点的坐标代入两条切线的方程，可得出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
【详解】（1）设点关于直线的对称点为，
因为原点在直线上，由对称性知，
因为原点为圆 的圆心，且点在圆 上，所以，即 ，
又因为椭圆的离心率为，可得 ，故，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）(2)设点、，先证明椭圆在点处的切线方程为 .
证明如下：
联立可得（*），
因为点在椭圆上，则，所以，
所以方程（*）可化为，即，
，
所以椭圆在点处的切线方程为 ，即直线的方程为 ，
同理可知直线的方程为 ，
设点，则，
所以点、的坐标均满足方程，故直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，故直线过定点.
7.（25-26高三·全国·三轮复习）已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)，为椭圆上不同两点，过，作椭圆切线交于点，若，求点的轨迹的方程；
(3)若交于，交于，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）由题意求得，可求椭圆的标准方程；
（2）设，切线的方程为，与椭圆方程联立方程组，利用判别式为0，可得，利用，可求得点的轨迹的方程；
（3）由题意可得为圆的直径，设，从而可得面积为，可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可得，即，，
解得，，故椭圆的方程为；
（2）设，切线的方程为，可得，
代入，可得，
由直线与椭圆相切，则，
可化为，
设直线的斜率分别为,则,
，则可得，化简得，
故点的轨迹的方程为；
（3）如图交于，交于，因，则为圆的直径，
设，即有，，
则面积为，
当时，取得最大值1，此时面积的最大值为．
创新提升
1.（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）椭圆：上有一点位于第一象限．过作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，．若，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．满足条件的点有且仅有2个
B．的两个可能值之和为5
C．切线的斜率一定小于
D．两条可能切线的斜率之积为
【答案】ABD
【分析】对A，联立点满足的切线面积条件与椭圆方程，得到的一元二次方程，求解判断；对B：将结合变形，利用韦达定理计算两个的和判断；对C，推导出切线斜率，代入两个计算判断；对D，利用选项C计算所得斜率，乘积判断.
【详解】对于A：设点，，由题可知切线存在斜率，设切线方程为，
则由得，
，整理得，
又由点在椭圆上可得，所以，
所以，
所以过的切线方程为，即，
切线交轴正半轴于，交轴正半轴，
由 可得，则，
因为点在椭圆上，满足，代入得，即，
解得，，故对应两个第一象限的点，A正确；
对于B：，由选项A可知满足条件的点有两个，设其横坐标的平方分别为，
则是关于的方程的两根，由韦达定理得，设两点为，
则，B正确；
对于C：切线斜率 ，代入 得 ：
当 ，，当 ，，斜率不都小于，C错误；
对于D：，D正确.
2.（多选）（2026·湖南·三模）已知抛物线，设O为坐标原点，，，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（异于点），则下列结论正确的（ ）
A．若，可能为锐角三角形
B．若，点在直线上的投影为定点
C．若，且直线，分别交轴于点，，则
D．若，且直线，分别交轴于点，，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由题意可知直线过抛物线的焦点，根据判断；对于B，根据判断；对于C，由，，计算判断即可；对于D，设过作抛物线的切线方程为，联立方程组计算可得，，代入计算即可判断.
【详解】如图
当时，，，
设，则在点处切线的斜率为，
故切线方程为，整理可得，
因为，所以，
同理可得点处切线的切线方程为，
因为点在过点的切线方程上，同时也在过点的切线方程上，
所以过抛物线外一点的切点弦方程为．
对于A，当时，得到，过焦点，
直线与抛物线联立方程组可得，
所以，
，
此时，
故为钝角三角形，故A错误；
对于B，因为，故，
故点在直线上的投影为定点，故B正确；
对于C， ，故，
令，则，同理，故，故C正确；
对于D，当时，设过作抛物线的切线方程为，
与抛物线方程联立得，
由，整理得，则，，
故，
令，则，同理可求，
故，故D正确．
3.（多选）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若为正三角形，则其面积为
C．若，则的面积的最小值为
D．一般情况下，的面积
【答案】ABC
【分析】设出直线的斜截式方程、点的坐标，根据导数的几何意义求出切线的方程，进而求出点的坐标，将直线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A：把抛物线焦点的坐标代入直线的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.
【详解】由题意可知：直线一定存在斜率，
所以设直线的方程为：，
由题意可知：点，不妨设，
由，所以直线切线的方程分别为：
，
两方程联立得：，
解得：，所以点坐标为：，
直线的方程与抛物线方程联立得：
.
对于A：抛物线：的焦点坐标为，准线方程为 ，
因为过抛物线的焦点，所以，而，
显然点一定在抛物线的准线上，故A正确；
对于B：因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
则，
因为 ，所以化简得：，
此时， 点坐标为：，
因为阿基米德三角形为正三角形，所以有，
所以，
因此正三角形的边长为，
所以正三角形的面积为
，故B正确；
对于C：阿基米德三角形为直角三角形，当时，
所以，即，化简得，
直线的方程为：，
所以点坐标为，点 到直线的距离为：
，
又
，
因为，所以 ，
因此直角的面积为：，
当且仅当时，取等号，所以其面积有最小值，故C正确；
对于D：因为，所以
，
点到直线的距离为：
，
所以阿基米德三角形的面积为
，故D不正确.
故选：ABC.
4.（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点，则的最小值为3
B．点与点的纵坐标相等
C．若点在直线上，则直线过点
D．若三点共线，则的面积的最小值为1
【答案】BCD
【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算．
【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以，
抛物线的准线方程为.
如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误；
对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0），
联立抛物线方程，化简并整理，得.
又，所以，
所以，所以过点的切线方程为，即.
同理可得，过点的切线方程为.
联立得.
因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确；
对于C，设直线的方程为，联立，
化简并整理，得，则.
又因为点在直线上，所以，所以，
即直线的方程为，则直线过点，故C正确；
对于D，因为三点共线，所以，
即直线的方程为，
所以点到直线的距离，，
所以，当时取最小值为1，故D正确．
5.（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程．
(2)求证：为定值．
(3)求证：直线过定点，并求出该定点．
【答案】(1)标准方程为，准线方程为；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析，.
【分析】（1）根据焦点坐标求解即可；
（2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证．
【详解】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，
∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）设点P的坐标为，，
由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
6.（2026·陕西·二模）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
(1)证明：直线过定点；
(2)若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程．
【答案】(1)证明如下：
设，则．
又因为，所以．则切线的斜率为，故，
整理得．设，同理得.
都满足直线方程．
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，
所以直线方程为，即.
当时等式恒成立．所以直线恒过定点．
(2)
【分析】（1）设点坐标，求出A，B两点处的切线方程，最后求出它所过的定点.
（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再求出线段的中点，由得出参数的值，最后求出圆的方程.
【详解】（1）略
（2）由（1）得直线的方程为．
由可得，则．
设为线段的中点，则．
当时，直线为，中点，直线，两直线垂直，半径为.
当时，因为，则.
因为，所以，所以，无解.
综上，圆的方程为．
7.（25-26高三下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，设动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设点为直线上一点，过作曲线的两条切线，切点分别为、．
①证明：直线过定点；
②若直线与以点为圆心的圆相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②21或
【分析】（1）利用双曲线的定义可知动点轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹方程；
（2）①先证明过双曲线上一点的切线方程为,设点的坐标为，切点，由切线方程结论及特征法求得直线的方程即可证明结论；
②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，将四边形的面积拆分为与的面积和即可；
情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得点的坐标，由，结合向量化简可得，从而得到，求出点和点到直线的距离，由四边形的面积为与的面积和：，即可求解.
【详解】（1）根据双曲线的定义，动点满足，
因此轨迹为双曲线的右支，
由得；由焦点得，
根据双曲线的基本关系，可得，
因此，曲线的方程为；
（2）①先证明引理：过双曲线上一点的切线方程为．
当切线斜率存在时，设过双曲线上一点的切线方程为，
联立双曲线方程消去，得．
因为直线与双曲线相切，故，化简得切线斜率，
将代入点斜式并整理，得，
将代入得．
当切线斜率不存在时，切线为，代入上述方程得，等式成立；
综上所述，过双曲线上一点的切线方程为．
设点的坐标为，切点，
由引理，知双曲线在切点处的切线方程为，
由于点在切线、上，因此满足：，
上述两式表明，点、均在直线上，整理得直线的方程，
令，解得（与无关），故直线恒过定点．
②分两种情况讨论：情况1：直线轴时，的方程为（过定点），
将其代入双曲线方程得，
即、，中点，
由直线的方程，令得，即，
将四边形的面积拆分为与的面积和，因此，总面积为；
情况2：直线不垂直于轴时，的方程为，联立双曲线方程，消去并整理，得，
设，中点，
由韦达定理得，
因此，中点的坐标为，，
由，向量，向量的方向向量为，
故，代入，并化简，
即，即，
又，代入，得，，因此，．
当时，由直线的方程与等价，
得，即，点到直线的距离为，
则，同理，点到直线的距离为，则，
四边形的面积为与的面积和：，
代入数值化简；
当时，由对称性，知面积仍为．
综上所述，四边形的面积为21或．
8.（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，在抛物线上且到焦点的距离为，点的坐标为.
(1)若点在上，且，求点的坐标；
(2)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线.
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由焦半径公式得到方程，求出，令，应用两点距离公式求参数值，即可得点的坐标；
（2）设，，应用导数几何意义求过的切线，进而得到，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，则，，消去得，点在直线.
【详解】（1）抛物线方程为 ，根据抛物线的定义得，解得，
抛物线方程为 ，由题设，令，则，
即，
所以，故或；
（2）由题设，直线的斜率一定存在，设，，
而，则过的切线斜率为，对应切线为，
即，故，
同理过的切线为，即，
联立，可得，整理得，
由题意，则，，
联立，得，且，
所以，，则，，
消去得，显然点在直线，即上，得证.
9.（25-26高三下·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：点T在定直线上；
(3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)，
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
由题意可知，准线方程为，即，解得，
因此抛物线的标准方程为.
（2）抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为，直线与抛物线交点、坐标分别为、且，
联立直线方程和抛物线方程可得，
化简可得，
根据韦达定理可得，，
对抛物线求导可得，
因此在处的切线斜率为，则切线方程为，
因为在抛物线上，所以，代入可得，
同理可得在处的切线方程为，
联立两条切线方程可得，化简可得，
因为，所以解得，代入可得，
因为 ，所以，即点在定直线上.
（3），
，
因此，
设点到直线的距离为，，的方程为，
，
因此，
因为，所以当时，取到最小值1，
因此的最小值为，
此时直线的方程为.
10.（25-26高三下·广东深圳·阶段检测）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，.
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可.
（2）（ⅰ）求出椭圆在其上一点处的切线方程，由在点处切线都过点求出直线方程；（ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求出面积的函数关系，利用导数求出最大值即可.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，得，，
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）设点，
当时，设以点为切点的椭圆的切线方程为，
由消去得，，
，
，则，切线方程为，
又，整理得，当时，切线方程为，满足上式，
因此以点为切点的椭圆的切线方程为，
同理以点为切点的椭圆的切线方程为，
而点在上述两条切线上，即，，
于是点的坐标是方程的两个解，
所以直线的方程为.
（ⅱ）由消去得，
，当时，，
，当时，满足上式，
显然关于原点对称，则，即，
则，解得，点到直线的距离，
当时，
，当时，满足上式，
因此，的面积
，令函数，
求导得，当时，；
当时，，函数在上递增，在上递减，
，则当时，，，
所以的面积存在最大值，此时动点P的轨迹为.
11．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知椭圆：.
(1)求的离心率；
(2)若直线：上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求点的坐标；
(3)若菱形的四个顶点都在上，证明：与的交点为坐标原点.
【答案】(1)
(2)
(3)如图：
当的斜率不存在时，则的斜率为0，此时菱形的顶点为椭圆的四个顶点，
故与的交点为坐标原点；
当的斜率为0时，则的斜率不存在，此时菱形的顶点为椭圆的四个顶点，
故与的交点为坐标原点；
当的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
设点，，的中点为.
联立，得，
所以，且，
所以，，即.
因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的方程为，
化简得，
同理可得中点的横坐标，
因为且，所以 ，即点，
即与的交点为坐标原点.
综上所述，与的交点为坐标原点.
【分析】（1）根据椭圆方程确定的值，可求椭圆的离心率.
（2）设一条切线方程为 ，根据直线与椭圆的相切关系，确定的关系，再设，根据点在 上，可得，利用，可求点的坐标.
（3）分直线斜率是否存在讨论.当直线斜率存在且不为0时，设直线方程，与椭圆方程联立，可表示成的中点坐标，再根据菱形的对角线互相垂直，表示出的中点，最后根据两线段的中点重合，可证明结论.
【详解】（1）由： ，得， ，又，则 ，即，
所以离心率.
（2）如图：
由题设，易知两条切线的斜率一定存在，
设切线方程为 ，联立 ，可得，
则，得，
则切线方程为，而在切线上，
则，所以，
则.
设，分别为过点的两条切线的斜率，根据垂直关系有，
所以，得，
故点的坐标为.
（3）略
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