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重难点培优05 圆锥曲线中的最值、范围问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
题型深研·通法变式提能力 1
题型01 距离、长度的最值范围问题 2
题型02 面积的最值、范围问题 7
题型03 离心率的最值、范围问题 18
题型04 斜率有关的最值、范围问题 21
题型05 角度有关的最值、范围问题 29
题型06 周长有关的最值、范围问题 35
题型07 向量的最值、范围问题 41
题型08 坐标的最值、范围问题 46
题型09 代数式的最值、范围问题 54
题型10 参数的最值、范围问题 62
分层进阶·双阶训练验成效 68
巩固过关 68
创新提升 80
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 圆锥曲线中的最值问题
1、常见题型分类
（1）距离与长度最值：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等。
（2）面积最值：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值。
（3）向量与代数式最值：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值。
2、核心求解方法
（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。
（2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。
构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。
求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。
总结：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件
知识点2圆锥曲线中的范围问题
1、常见题型分类
（1）几何量的范围：求弦长、三角形面积、点到直线距离等几何量的取值区间。
（2）坐标与截距的范围：求交点坐标、直线在坐标轴上的截距、线段中点坐标的取值范围。
（3）斜率与倾斜角的范围：求动直线斜率、倾斜角或两直线斜率之积/和的取值范围。
（4）曲线参数的范围：求离心率、半焦距等圆锥曲线自身参数的取值范围。
2、核心求解方法
（1）几何法（构造不等式）：充分利用圆锥曲线的几何性质（如椭圆上点的坐标范围 |x|≤a ）、隐含条件（如点在曲线内部）或平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边），直接构造不等式求解。
（2）代数法（函数与判别式）：
判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。
函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。
参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。
总结：解决范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界。
题型深研·通法变式提能力
题型1 距离、长度的最值范围问题
【典例1-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到的中垂线的最大距离为________．
【答案】
【分析】先求出直线斜率不存在时，原点到的中垂线的距离，斜率为0时与椭圆只有一个交点，直线斜率存在时，设其方程为，利用与圆相切，求出关系，直线方程与椭圆方程联立，求出中点坐标，得到的中垂线方程，进而求出原点到中垂线的距离表达式，结合关系，即可求出结论.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线为，
线段的中垂线为轴，原点到轴的距离为0.
当直线的斜率存在时，设斜率为，依题意可设，
因为直线与圆相切，所以，
设，，联立，
得，
由，得，又因为，所以，
所以，
所以的中点坐标为，
所以的中垂线方程为，
化简，得，
原点到的中垂线的距离，
当且仅当，即时，等号成立，
所以原点到的中垂线的最大距离为.
【典例1-2】（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点.
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，.
（i）证明：；
（ii）求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及将点代入方程，即可联立求解，
（2）求解直线，的方程，进而可得，的坐标，即可求解（i），构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解（ii）.
【详解】（1）由题意可得解得，
故方程为
（2）（i），
故直线直线，
令,
在曲线上，故，则，故
，
（ii），
令，则，
当故在上单调递减，在上单调递增，
故，当，故，
因此，故，
【变式1-1】（2026·湖南株洲·三模）已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】通过抛物线定义将点到轴的距离转化为点到焦点的距离，结合圆的性质对进行放缩，再利用两点间线段最短求的最小值，最终得到的最小值.
【详解】抛物线中，，得，焦点，准线方程为.
设点的横坐标为，则点到轴的距离.
由抛物线定义，，故.
圆的圆心为，半径，
对圆上动点，有（当且仅当在线段上时取等号）.
因此.
由两点间线段最短，，
当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号.
，故，
且等号可同时成立，即的最小值为.

【变式1-2】已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形面积得到，结合焦点坐标，求出，得到离心率；
（2），设，得到，结合，求出的取值范围，得到的取值范围.
【详解】（1）由题意得，且，即，
解得，
所以椭圆的离心率.
（2）由题意，得.
设，则.
所以，.
因为，
所以当时，；当时，.
所以的取值范围为.
【变式1-3】（2026·上海·模拟预测）已知双曲线，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程与渐近线方程；
(2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值；
(3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）.
【答案】(1)，.
(2)不存在
(3)
【分析】（1）利用题目已知的值和焦距直接求出，从而写出双曲线标准方程和对应的渐近线方程;
（2）将向量等式转化为点为线段的中点，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理列式求解斜率；
（3）借助双曲线的定义将多变量的距离和转化为关于焦半径的表达式，再利用右支焦半径的性质即可求解.
【详解】（1）由题意：， ，
由，得，即，
双曲线标准方程：，渐近线为.
（2）设直线，设，联立，
消去，整理得：，
由，根据向量性质可知，点为的中点，
故根据中点坐标公式，得：，
由韦达定理得 ，
解方程：，方程无解.
故满足条件的斜率不存在.
（3）由双曲线定义，即,
将其代入，得，
点为双曲线右支上动点，根据双曲线焦半径性质，
右支上点到右焦点的距离最小值为，
即，代入上式，得最小值：
.
题型2 面积的最值、范围问题
【典例2-1】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【详解】由椭圆定义可知，焦距，
则，离心率，
联立，解得，
，
，
椭圆上，，当时，的面积最大，
最大值为．
【典例2-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，.
（i）证明：；
（ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值.
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8
【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可；
（2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明；
（ii）设直线 和 的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点 的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值.
【详解】（1）依题意，，设，则，
到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，，
所以的方程为；
（2）（ⅰ）设直线，，，
由可得，，
所以，，
，
所以；
（ⅱ）不妨设直线，，，
由，可得，解得，
同理可得，，
由可得，解得，
同理可得，，
由题意，得，，故，
设的面积为，则，
易知，
令，当且仅当时取等号，则，
令，函数在单调递增，
故当时，取得最小值；.
所以的最小值为8.
【变式2-1】（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知动点到点距离为，点到直线的距离为，且.动点的轨迹为曲线，为曲线上两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．最小值为18
C．若为等边三角形，则周长为
D．若，则的面积最小值为64
【答案】AD
【分析】对于A，设动点，根据、的定义及转化为点到点距离等于点到直线的距离，结合抛物线定义推导曲线的轨迹方程；对于B，的最值问题，利用抛物线焦半径公式将其转化为横坐标相关的表达式，结合不等式求解；对于C，利用等边三角形三边相等的性质，结合抛物线对称性设点坐标，列方程求解边长后计算周长；对于D，设直线的方程与抛物线联立，利用向量垂直的坐标条件得到参数关系，再将三角形面积表示为参数的函数，求最小值.
【详解】对于A，设.
点到点距离为，到直线的距离为，且，
点到点距离等于点到直线的距离，即，化简得，动点的轨迹方程为，故A正确；
对于B，设，，则，
由轨迹方程，得，
，即时，取得最小值10，故B错误；
对于C，为等边三角形，结合抛物线对称性，可得两点关于轴对称，则设，，，
如图所示，设交轴于，

则，，；
为等边三角形，；
，即，解得或；
当时，，则周长为；
当时，，则周长为.
若为等边三角形，则周长为或，故C错误；
对于D，设，，则，，，；
设直线的方程为，直线与轴交于点，则.

联立方程得，整理得；
由韦达定理得，.
，，即，解得或（舍）；
，解得，即，.
由，得，异号；
令，则，，当且仅当时等号成立；
，故D正确.
【变式2-2】（2026高三下·北京·竞赛）设直线与椭圆交于两点，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点．则当四边形的面积最大时，直线的斜率为_____．
【答案】
【分析】利用向量叉乘的几何意义将四边形的面积转化为对角线投影长度的计算，再使用 椭圆焦点弦长公式消元，最后构造出关于直线斜率的函数，并通过求导确定面积的最大值点.
【详解】设，
则．
由于点固定，因此为定值，故只需求最大时，直线的斜率．
设的斜率为，倾斜角为，则：．注意到：是弦在方向上的投影长度，故．
由焦点弦长公式．其中，故．
因此，
设，则，
由于，，所以令，解得或，
当时，，单调递增,
当时，，单调递减,
所以，即直线的斜率时四边形的面积最大.
【变式2-3】（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D.
(1)设直线，的斜率分别为，，求的值
(2)求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值；
（2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案.
【详解】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去，
设，，，此时，
则，，，
又①，②，
式子①－②，得，
所以；
（2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍，
椭圆左焦点F为，可设直线方程为，
联立方程组，
即，
故，，
所以三角形的面积为
，
令，，
由对勾函数性质可得在单调递增，
故，当且仅当取得最小值，
所以，当且仅当，即时成立，
三角形的面积的最大值为，
所以面积的最大值为3.
【变式2-4】（2026·福建泉州·模拟预测）已知动点满足方程．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（，两点均在轴右侧），直线与直线相交于点．
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）由对称性可知，直线必过轴的定点，
当直线斜率不存在时，可得，
此时直线的斜率为，直线的方程为，
此时，直线的斜率为，直线的方程为，
所以直线与轴交点为，
设过点的直线为，，
直线与双曲线联立方程组可得，
则，，
，
因为，两点均在轴右侧，所以，即，得，
直线的斜率为，其方程为，
将代入直线的方程可得，即，
下面证明直线必经过点，即证，
因为，，
需证，因为，
代入化简可得，
将代入可得成立，
所以直线恒过定点；
（ⅱ）.
【分析】（1）由双曲线的定义计算即可求解；
（2）（ⅰ）根据对称性，当斜率不存在时得，设过点的直线为，，直线与曲线联立方程，根据韦达定理可得，由，代入计算即可得证；（ⅱ）根据对称性可得直线与直线相交于点即为定点，再由点到直线的距离公式、弦长公式表示面积，根据函数的基本性质即可求解.
【详解】（1）将原方程配方得：，
由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线，
所以，，，
故动点的轨迹的方程为；
（2）（ⅰ）略；
（ⅱ）同理，由（ⅰ）可知，直线恒过定点，
所以直线与直线相交于点即为定点，
设点到直线的距离为，则，
由弦长公式可得，
所以，
令，则，
令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，
所以在上单调递增，
当，即时，取最小值为，
所以面积的最小值为.
【变式2-5】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求四边形ACBD面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程；
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最小值.
【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且.
所以，，即，得，
代入，得，即，所以.
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为．
因为，所以直线CD的斜率为．
因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，．
由，消去y得．
则，
可得，．
则，
同理可得．
因为，所以
．
当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值；
当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换，
此时，，，或者，，
所以．
因为，所以四边形ACBD面积的最小值为．
题型3 离心率的最值、范围问题
【典例3-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，结合已知可得，进而得，解不等式可得-离心率的范围.
【详解】由过的直线与交于，两点，得，
所以，即，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
由，得，所以，
所以，即，所以或；
由，得，即，所以，
所以-离心率的范围为.
【典例3-2】（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先根据点到轴，轴的距离之比为得到点横纵坐标的关系，再结合双曲线方程，通过分析得到离心率的取值范围.
【详解】设点，因为点到轴，轴的距离之比为，所以，即.
因为点为双曲线上一动点，将代入双曲线方程可得：，即，
通分可得：，即，因为，所以，即；
，所以，离心率，
因为，故，则，所以，因此，双曲线的离心率范围为.
【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________．
【答案】
【详解】设到两个焦点的距离分别为，，根据椭圆定义可知：，
又结合椭圆的性质可知．根据三角形三边关系有，即，，即．又因为，
所以．
【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是_______．
【答案】
【分析】设点坐标为，根据斜率关系可得，即可得离心率的取值范围.
【详解】设点坐标为，则，，
由可得，
则，
所以．
故答案为：.
【变式3-3】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系求得直线的斜率的取值范围，结合直线与双曲线的位置关系列出关于的不等式，由此求得离心率的取值范围.
【详解】设直线的方程为，即，
表示圆心为，半径为的圆，
依题意可知圆心到直线的距离，
整理得，所以，
由于直线与双曲线有交点，
所以渐近线的斜率满足恒成立，所以，
所以的离心率，所以的离心率的范围为.
题型4 斜率有关的最值、范围问题
【典例4-1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，以及直线的斜率，利用基本不等式求最值.
【详解】由已知，，设（由抛物线的对称性及斜率最大，则），则，
于是直线的斜率为，
当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为1.
【典例4-2】已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意及椭圆的性质有、，即可得椭圆方程；
（2）根据题设，设直线方程为，联立椭圆方程，应用韦达定理及坐标表示得到关于k的不等式，即可求范围.
【详解】（1）由题意知，则；由，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）
由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，
联立，得，
由，得，
设，，则，，
则，
因为，所以，即，
∴，则或，
综上，斜率范围为.
【变式4-1】（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
(1)若椭圆的离心率为．
①求椭圆的方程；
②若时，求的面积；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据椭圆焦点在轴得到、，结合离心率，列方程求解，代入得到椭圆方程；
②设直线的方程并联立椭圆方程，由韦达定理计算弦长，根据且得到直线的斜率，同理得，由解出，再代入直角三角形面积公式计算面积；
（2）联立直线与椭圆方程，通过韦达定理分别表示出弦长和，结合整理得到关于的表达式，利用椭圆焦点在轴的条件列不等式求解，即可得到的取值范围.
【详解】（1）①已知椭圆焦点在轴上，故，，所以，
又离心率，所以，解得，
因此椭圆的方程为.
②因为是的左顶点，所以，设直线，
则由得，
已知是方程的一个根（对应点），由韦达定理得，
因此，因为，且，故，
同理得，由，得，整理得，
即，因，故，
此时，为等腰直角三角形，面积为.
（2）已知椭圆焦点在轴上，故，左顶点，
设直线的方程为，，由得直线斜率为，
将代入椭圆方程，整理得，
该方程一个根为，由韦达定理得，
由弦长公式得，
将上式中替换为，得，
由，即，化简得 ，整理得，
由椭圆条件，代入得，移项整理，
即，等价于，所以或，解得，
故的取值范围是.
【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，在中由勾股定理得到，即可求出；
（2）设，用含、的式子表示、，从而表示出，再根据基本不等式计算可得.
【详解】（1）抛物线的焦点是，准线方程为，在抛物线上，故，解得，
如图，在中，，
则，即，解得（负值已舍去），
所以抛物线的方程为．

（2）设，故，
，
，
所以，
当时，；
当时，，设，
当时，当且仅当，即时取等号；
当时，当且仅当，即时取等号；
所以，则或，
则或，即；
综上所述的取值范围为.

【变式4-3】（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再利用离心率定义计算即可得；
（2）由题意可求出椭圆方程，设出直线的方程，联立曲线方程，可得到与交点纵坐标有关韦达定理，再表示出、后，即可借助韦达定理计算的取值范围.
【详解】（1）由已知，，，则，
故；
（2）由直线与椭圆相切，故椭圆左顶点坐标为，即，
则，即椭圆方程为，
设直线，、，则、，
联立，消去可得，
恒成立，
有，，
又，，
则
，
由，故，
即的取值范围为.
【变式4-4】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
(1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
(2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到，，结合离心率的公式，即可求解；
（2）根据题意，得到双曲线，设直线的方程为，联立方程组，结合和韦达定理，得到，，再由，化简得到，结合对勾函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由双曲线，可得，
因为双曲线C的焦距为，可得，所以，
所以双曲线的离心率为.
（2）由双曲线C的一条渐近线方程为，即，可得，
因为，可得，所以双曲线，
当直线的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足，
所以直线的斜率一定存在，
因为，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，
所以直线的斜率不为0，且，
设直线的方程为，、，且，，
联立方程组，整理得，
显然，则，可得，
且，，
由，可得，且，所以，
可得，
根据对勾函数的性质知，函数在上单调递减，
可得，
又因为，
所以，可得，
所以直线斜率的取值范围为.
题型5 角度有关的最值、范围问题
【典例5-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长轴长，可得a值，根据离心率，可得c值，根据的关系，可得，即可得答案.
（2）设，可得B、C、D点坐标，设直线AB的斜率为k，可得直线BD的方程，与椭圆联立，结合韦达定理，可得E点横坐标，代入直线方程，可得E点纵坐标，即可得直线AE的斜率，根据到角公式，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】（1）由椭圆的长轴为4，得，解得，
又离心率，所以，
则，所以椭圆的标准方程为.
（2）设，则，
设直线AB的斜率为k，由题意且存在，
则直线BD的斜率，
则直线BD的方程为，整理得，
联立，得，
则，解得，
代入直线BD方程，可得，
则，
所以，
又是直线AB到直线AE的角，
则，
因为，所以
当且仅当，即时等号成立，
又，所以的最大值为.
【变式5-1】（25-26高三上·山东滨州·期末）已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，设，圆心坐标为，由题设可得，，然后通过求最大值可得答案.
【详解】如图，设，圆心坐标为.因均相切于圆，
则，，又，则.
从而.，
则，当且仅当时取等号.
由图可得为锐角，正弦函数在单调递增，
则.即的最大值为.
故选：C
【变式5-2】（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，．
（i）证明：直线过定点；
（ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析（ii）
【分析】（1）根据条件，利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义，即可求解；
（2）（i）设直线的方程为，根据条件可得，即可求解；
（ii）根据条件，得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解；
【详解】（1）因为圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
且，可知圆在圆内部，
设动圆的半径为，
由题意可得，，则，
可知动圆圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，，
所以动圆圆心的轨迹的方程为．
（2）（i）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立方程，消去整理得，
则，，．
由正弦定理得，，，
又，，所以，
则，所以，
所以，得到，
所以，即，
则，整理得．
所以直线的方程为，故直线过定点.
（ii）不妨设，，则，，
，
因为，，
所以，
又，所以，
设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，过作，
则，且
则，
又，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最大值，此时，
又，故向量，的夹角的最大值为．
【变式5-3】（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明存在轴上的一点，使得为定值；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明：设为半焦距，则，故，
因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，，
由可得即，
故且，所以.
又.
设，则，，
故
为定值当且仅当，故，
故存在轴上的一点，使得为定值且定值为.
(3)
【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程；
（2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标；
（3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值.
【详解】（1）因为实轴长为，故，
而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故，
故双曲线的方程为：.
（2）略
（3）由双曲线的对称性不妨设，，
故，，
故
，其中，
设，则，
故，
而，故，
注意到，故的最大值为.
题型6 周长有关的最值、范围问题
【典例6-1】（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论.
【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为，
由椭圆的定义可得，，
所以的周长为，
又，所以，当且仅当在线段上时取等号，
所以当直线过点时，的周长最大，
又直线的斜率为，所以直线的方程为，
联立，消可得，所以或，
所以，
所以当的周长最大时，，
故选：C.

【典例6-2】（2026·河北保定·模拟预测）已知点，点在线段上(不含端点)运动，且动点满足，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条平行线，分别与曲线在轴上方交于两点，求四边形周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，结合椭圆的定义求解即可；
（2）设过点的直线为，，直线与曲线联立方程组可得，同理可得，根据两点间距离公式可得四边形周长，令，根据函数的单调性计算即可求解.
【详解】（1）设，则，
因为，所以，
因为，满足椭圆的定义，
所以动点是以为焦点的椭圆，设其标准方程为，
，
所以曲线的方程；
（2）由题意可知，过点的直线斜率不为，
设过点的直线为，，
直线与曲线联立方程，
则，得，
由韦达定理可知两根之积为，且，
所以方程有一正一负两实数根，
因为点在轴上方，所以，
同理设过点的直线为，则，
则，
，
所以，
因为，则，
所以，
则四边形的周长，
令，则，
所以，
因为，
因为在上单调递增，
所以在上单调递减，
当，即时，有最大值为，
所以的最大值为.
【变式6-1】（多选）（2026·吉林·三模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为6 B．的面积为时，
C．周长的最小值是 D．面积的最大值为
【答案】ACD
【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确，
当的面积为时，有，即，故B错误，
周长为,
当三点共线，在之间时的周长最小，此时,
故周长的最小值为，故C正确，
直线的方程为，即，
设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，
联立，得，
则，解得，
当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即，
故面积的最大值为，故D正确.
【变式6-2】（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值；
(3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点（不与重合），若，且直线恒过点，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值；
（3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）可知，双曲线的方程为，即，
设点、，易知点、关于原点对称，则，
因为，所以，故，
所以.
（3）因为，所以双曲线的方程为，即，
易知点、、，
设点、，则、，
联立得，
则，可得，
由韦达定理可得，，故①，
直线的方程为，在该直线方程中令可得点，
直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
即②，
由①得，代入②式得，
故，解得，
所以，可得，
所以
，
因为，故直线恒过右焦点，
由双曲线的定义可得，，
故的周长为，
即周长的取值范围是.
题型7 向量的最值、范围问题
【典例7-1】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案.
【详解】因为圆，所以圆心，
由是圆上的动点知，
由，得，
由，得，
所以，
将等式两边同时平方，得，
所以，所以动点的轨迹方程为，
由椭圆的方程可设点的坐标为，
由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图，
则，
当时，，
所以.
【变式7-1】2026·陕西渭南·三模）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量运算化简，再根据椭圆性质得到，最后求解范围即可.
【详解】对方程配方得，因此圆心，半径，是的直径，
故，.
，，
因此.
椭圆中，，，，
恰好是椭圆的右焦点.
根据椭圆性质，，
代入得，因此.
，即取值范围为.
【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由题意易得是双曲线的切线，切点为，线段的中点为，再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解.
【详解】因为为双曲线上的动点，
所以，则，，
由题意，直线是双曲线的切线，切点为，
而双曲线的渐近线方程为，则，
联立，解得，
所以点的坐标为，
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以线段的中点为，
则
（当且仅当时取等号），
由题意可得直线的斜率大于零或不存在，
故，当且仅当为双曲线右顶点时取等号，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
【变式7-3】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上．
(1)求的方程；
(2)设直线：与交于、两点．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标得到，再将点代入椭圆方程，结合即可得到的方程；
（2）（ⅰ）先联立椭圆和直线方程得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理及已知条件得到点坐标，进而得到的值；（ⅱ）先根据中点的坐标及中点也在直线上求出，再根据弦长公式求出，再根据，得到点在以为直径的圆上，从而得到当、、三点共线时，有最大值，进而得到，再利用三角换元法或导数法求最值即可．
【详解】（1）由椭圆的左、右焦点分别为，，则，
又椭圆过点，所以，
又，故，所以的方程为．
（2）（ⅰ）因为直线：与椭圆交于、两点，设、两点坐标分别为，，
联立，消去，整理得，
则，解得，
则，，
又，，
则，即，
又因为点在椭圆上，即，
联立方程组，解得，，，，
由于点在直线方程上，
解得，，，，
又因为，所以．
（ⅱ）设线段的中点坐标为，则，
所以，所以，
所以，
又，则点在以为直径的圆上，
而，当且仅当、、三点共线时等号成立，
，其中.
法1：（三角换元法）
设，，则，
所以，，
当时，，所以的最大值为．
法2：（导数法求最值）
令，则，，
所以，
因为在上单调递减，由，得
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
所以，所以的最大值为．
题型8 坐标的最值、范围问题
【典例8-1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且，
(1)若为线段AC的中点，
（i）求直线的斜率；
（ii）求|AC|；
(2)若点在抛物线上，满足，求取值范围．
【答案】(1)（i）；（ii）6
(2)
【分析】（1）（i）由题意可求得，可求得，进而求得直线的斜率；（ii）利用求解即可；
（2）求得直线BC的斜率为，线BP的斜率为，利用已知可得，进而可得，可求得取值范围．
【详解】（1）（i）由题意知，焦点，因为为线段AC的中点，所以，即，
所以，即，所以直线的斜率为．
（ii）由题意及（1），．
（2）由题意知，直线BC的斜率为，
同理直线BP的斜率为，
因为，所以，所以，
又因为直线BC的方程为，所以点在直线BC上，
所以，所以，
所以，
所以，因为，所以，
当且仅当，即满足，所以取值范围为．
【典例8-2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得，则，从而得到点在以为圆心，为半径的圆的内部，即可求出的取值范围.
【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且，
又为的中点，所以，即，所以，
要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部，
根据对称性可知，即的取值范围是.
故选：B
【变式8-1】已知抛物线过点，焦点为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入抛物线方程可得答案.
（2）由题可得，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及题意可得关于t的不等式，据此可得答案.
【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为．
（2）易知抛物线的焦点为，且“点在以为直径的圆内”等价于“”．
设，，则，记为①
由题意，过点且斜率为1的直线方程为．于是有和，将其代入①式，得
，记为②
由联立消去，整理得．于是有，即且，记为③
再将③代入②，整理得
．
要成立，只要在上恒成立即可．
解不等式得，符合题意．
综上可知，实数的取值范围为．
【变式8-2】（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案．
【详解】设，，为椭圆的右焦点，
由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
∴，
同理可得，，
而，
即，解得，则的最大值为1.
【变式8-3】（2026·天津南开·模拟预测）已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法进行求解即可；
（2）（ⅰ）设出直线的方程与椭圆的方程联立，利用一元二次方程根的判别式、直线斜率的公式进行求解即可；
（ⅱ）根据角平分线的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，，
所以，
又因为该椭圆经过点，
所以，
由可得，或舍去，
，
所以椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ，
所以，化简，得，
可得，
，即，
，所以为定值；
（ⅱ）设，即，且，
直线的方程为，
同理得直线的方程为，
因为的平分线与轴交于点，
所以，
由，代入上式，得
，
因为在，之间，
所以，又，
所以由，
因为，
所以，而，
所以，即的取值范围为．
【变式8-4】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为曲线．，在曲线上．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线与曲线相切，求切线方程；
(3)若是钝角三角形，求点横坐标的取值范围．
【答案】(1);
(2)．
(3)．
【分析】（1）设，由，求解即可；
（2）设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，根据，解出的值即可；
（3）设，分为钝角和为钝角两种情况，结合向量的数量积，求出的范围，即可得答案.
【详解】（1）设，
根据题意可得，
所以,
整理可得，
所以曲线C的方程为.
（2）设过点的直线方程为，
联立，得，
若直线与曲线相切，
则，
解得，
所以直线方程为．
（3）因为点在曲线上，
所以设，
若为钝角三角形，则为钝角或为钝角，
当钝角时，
，
所以，又因为，
所以，所以；
此时点横坐标的取值范围；
当为钝角时，
，
解得，，
又因为，所以，
所以又因为，
此时点横坐标的取值范围；
综上，点横坐标的取值范围为.
题型9代数式的最值、范围问题
【典例9-1】（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点．
①证明：（为坐标原点）；
②设，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①∵直线与相切，
∴，即．
联立消去得，
设，则，
所以
，
∴．
②.
【分析】（1）根据已知列方程组求得即可求出椭圆的方程；
（2）①直线与圆相切得到，再利用直线与椭圆相交利用韦达定理得到即可求证；
②利用结合①可得答案.
【详解】（1）依题意，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）①略
②直线与椭圆交于不同的两点，∴，
∴，
由①知，∴，即，
∴，又，∴的取值范围为．
【变式9-1】（多选）（25-26高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．不存在点Q，使得
D．的最小值为
【答案】CD
【分析】由题设，可得，，
对于A,由离心率公式可判断；
对于B，由即可判断；
对于C，由，即，即可判断；
对于D，由椭圆的定义有，然后利用基本不等式求解即可判断.
【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，
对A：，故选项A错误；
对B：当时，有，则，故选项B错误；
对C：由，即，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，
所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确；
对D：由椭圆的定义有，
所以，当且仅当时等号成立，
当时，,由于，则能取到，满足条件；
当时，,由于，则不能取到，此时,
综上选项D正确.
故选：CD.
【变式9-2】（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设直线的斜率分别为，且直线过定点．
①设和的面积分别为，求的最大值；
②证明为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析，
【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程；
（2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.
②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证.
【详解】（1）依题意知：，解得，
所以椭圆C的方程为：
（2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0．
设其方程为：，并与椭圆C联立方程组：
，得，
则，
，同理：，
所以．
令，则，
所以，
因为，则，
所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增．
所以，则.
所以的最大值是.
②证明：由①知.
所以
.
【变式9-3】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件得，将点坐标代入方程，结合，即可求得的值，即可得答案.
（2）由题意直线l的斜率不为0，设其方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，求出P点坐标，即可得的表达式，代入所求，利用换元法，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】（1）因为左焦点为，所以，
由点在椭圆上，
代入可得，
又，与上式联立可得，
所以椭圆E的方程为：
（2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为，与不相交，不符合题意，
故直线l的斜率不为0，设其方程为，，
联立，可得，
，
，
则
=.
又，，
由可得，直线PQ的斜率为，
所以，
所以，
令，则，所以
代入上式可得，，
当且仅当，即时取等号，此时，
所以的最小值为
【变式9-4】（2026·湖南岳阳·三模）已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积；
(3)设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，最小值为．
【分析】（1）根据离心率和点到直线的距离公式求出和，从而求出双曲线的标准方程；
（2）先求出直线的方程，再联立双曲线方程，从而求出M，N两点坐标，得到MN的长度，再计算点到直线的距离，得到的面积；
（3）对直线PQ斜率分存在与不存在两种情况，都得到原点O到PQ的距离为定值，再利用均值不等式求的最小值.
【详解】（1）由离心率得，即，又，所以．
所以渐近线方程为，即．
右顶点坐标为，它到渐近线的距离为，解得，所以．于是，所以双曲线的标准方程为．
（2）由（1）知双曲线为，因为，所以，得焦点，虚轴上端点．
当直线垂直于轴，．代入双曲线方程：．
得，此时的长度为8.
点到直线的距离为，故．
所以的面积为．
（3）当直线斜率不存在，设，则，
由得 ，即，即，解得，
此时点到直线PQ的距离．
当直线PQ斜率存在，设，与双曲线方程联立：
，即．
则，所以，
设，则．
由得，
而，
代入得．
即，即，
两边乘以得，
展开得，
整理得，
即，所以，即．
原点到直线PQ的距离，则，故，为定值．
在直角三角形OPQ中，，
且，所以．
由均值不等式，，即，
得，故，
当时取等，此时，符合．
因此的最小值为．
题型10参数的最值、范围问题
【典例10-1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．

(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）如图，设，，

则，由题意有．
直线的斜率，即的斜率为，
所以直线的方程，所以．
又在椭圆上，．
．
（ⅱ）．
【分析】（1）由椭圆标准方程确定，结合时在轴上的射影为椭圆焦点的条件，将点代入椭圆方程，结合的关系求解，即可得到椭圆的标准方程.
（2）（i）联立直线与椭圆方程，求解得到两点坐标，由轴得到点坐标，进而求出直线的方程，将直线与椭圆方程联立求得点坐标，计算直线的斜率，验证为定值即可.
（ii）利用两点间距离公式分别计算与的长度，将表示为关于的函数，结合的取值范围，分析函数的取值特征，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意有，所以．
设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以．
又，所以，
所以，即，解得，
所以，故的标准方程为．
（2）（ⅰ）略
（ⅱ）解： ，
而，
由（ⅰ）知 ．
又，
．
当且仅当，即时等号成立，所以．
【变式10-1】（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若离心率时，求的值；
(2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据双曲线离心率公式求出；
（2）分类讨论等腰三角形的情况，确定点的坐标；
（3）设直线方程并联立双曲线，应用韦达定理，计算向量数量积，代入韦达定理结果得到参数关系，求的取值范围．
【详解】（1）由题意得，则，
.
（2）当时，双曲线，
其中，，
因为为等腰三角形，则
①当以为底时，显然点在直线上，
这与点在第一象限矛盾，故舍去；
②当以为底时，，
设，联立解得或或，
因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；
（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；
③当以为底时，，
设，其中，，
解得，即，
综上所述：.
（3）由题知，，
当直线的斜率为时，此时，不合题意，则，
则设直线，
设点，，而直线与双曲线另外一个交点，
根据双曲线对称性知，
联立，
显然二次项系数，
其中，
①，②，
则，，
则，
因为，在直线上，
则，，
即，即，
将①②代入有，
即
化简得，
所以，代入到，
得，所以，
且，解得，
又因为，则，
综上知，，
所以．
【变式10-2】（25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线交轴于点，
（i）若，求证：为定值；
（ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）显然直线不为0，故设直线为 ，
又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故，
与 联立可得，
，
设，则，
过点交的右支于两点，故，不妨设，
，即，
即，解得，，
，同理可得 ，，
则；
（ii）
【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程；
（2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解；
（ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围.
【详解】（1）由题意得，
当直线与轴垂直时，，即，即，
故，将其代入 中，得 ，
所以双曲线方程为 ；
（2）（i）略
（ii）由于，由几何关系可得，
其中，故，整理可得，
又，，
所以，
由（i）知，，，
故，又，，
故，整理得，，
令，则，，
所以，
由对勾函数可知在上单调递增，
故.
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围.
【详解】设，
，
又因为，因为下顶点到上顶点的距离为，
令，
要存在点使得，则的最大值必须大于，
由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于，
其对称轴必须在的右侧，
所以，解得，
故选：A
2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】画出图形，由，然后根据题意分析最小值的位置即可得出结论.
【详解】如图所示：
由
，
由题意知，
所以，
由图可知当为椭圆短轴的顶点时，
取最小值，所以的最小值为．
故选：B．
3．（25-26高二上·天津·期末）已知，，点在曲线上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【分析】根据题意可得和直线的方程，结合双曲线的渐近线分析点到直线的距离的取值范围，进而可得的面积的取值范围.
【详解】因为，，
则，直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
双曲线的渐近线方程为，
则直线与渐近线平行，两平行线间距离，
曲线过点，
过点与直线平行的直线方程为，两平行线间距离，
结合图形可知点到直线的距离，
则的面积，
所以的面积有最大值，但没有最小值.
故选：A.
4．（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】B
【分析】设直线的平行线为且与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，结合可得，结合平行线之间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由题意，设直线的平行线为且与抛物线相切，
联立，整理得，
则，即，
因为点P到直线距离的最小值为，
所以，解得（舍去）或，则.
5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边的关系可得，当且仅当共线时等号成立，然后根据椭圆的定义及椭圆的标准方程即可求解.
【详解】
如图所示，已知椭圆方程，则，
由于点在椭圆上，根据椭圆的定义有，，
又因为在中，有，当且仅当共线时等号成立，
所以的周长，当且仅当共线时等号成立，
即的周长的最大值为，故A正确.
6．（多选）（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．若为的中点，则
D．点到上点的距离的最小值为3
【答案】AC
【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为，
所以，由抛物线的定义可知：，故A正确；
对于B，设直线的方程为，
联立，设，
所以，
由抛物线的定义可知：
，
当时，的最小值为4，故B错误；
对于C，若为的中点，,,
因为所以，所以，
又因为
所以，故C正确；
对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为：
，
当时，，故D错误.
7．（多选）（2026·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的周长为20
B．k的取值范围是
C．若，则
D．当时，的最小值为
【答案】ACD
【分析】由双曲线的定义可判断A；取，可判断B；设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理及已知条件，求出的值，即可得的值，从而判断C；设，将表示成关于的二次函数，根据二次函数的性质，即可判断D.
【详解】设双曲线的焦距为，
因为实半轴长为，虚半轴长为，
则，
所以，
所以.
对于A，若，
则的周长为，所以A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为.
当直线的斜率为时，直线与渐近线平行，
此时直线与双曲线有且只有一个交点，不合题意，所以B不正确.
对于C，设直线的方程为，联立双曲线的方程，
得.
.
①；②，
又，所以③
联立①②③解得，
所以，所以C正确；
对于D，易知，设，则；
所以；
当时，最小，最小值为，所以D正确.
8．（多选）（2026·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，，分别交椭圆于，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的最小值为
C．的值为 D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】利用椭圆中之间的关系，可求出，判断A；设出点的坐标，由两点间的距离公式可得到的表达式，根据二次函数的最值问题可判断B；由直线与圆的位置关系，过原点的直线方程特征以及根与系数的关系可判断C；设出的坐标，根据点在椭圆上可求出的值，根据基本不等式可判断D.
【详解】对于A，由题意知，，，即，
在椭圆中，由，所以，
所以椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，由A得：，所以椭圆的方程为：，
设，由点在椭圆上得，所以，
又，
所以.
令，
则图象的对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，
所以，
所以，
故B错误；
对于C，椭圆，由得圆的方程为：，
因为直线，的斜率都存在，且为，，
所以直线，直线，
又直线，与圆均相切，所以有，
由整理得：，①
同理由整理得：，②
由①②可知，为方程的两个不同实根，
又，所以，故C正确；
对于D，设，由C知，
则，又，
所以，整理得：，
所以，
所以，
由基本不等式得：，则，
当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故D正确.
9．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________．
【答案】3
【分析】根据椭圆和双曲线的性质，利用焦点相同构造相等关系，利用换元法，结合离心率的定义列出代数式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值点，进而求出最小值．
【详解】已知椭圆，则，
双曲线，则，
故，设，则，
，
，
令，求导得，
令，解得（舍去）或，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故是极小值点，即为最小值点，，
故的最小值为3．
10．（2026高三上·全国·专题练习）若点是双曲线的第一象限的任意一点，求的最小值________
【答案】
【分析】转化问题为直线与双曲线在第一象限内有公共点，且在轴上的截距最大，进而求出相切时的值即可求解.
【详解】由，得，要使取得最小值，
则直线与双曲线在第一象限内有公共点，且在轴上的截距最大，
设直线，此直线与双曲线在第一象限内相切，如图，
联立，得，
所以，解得，
此时直线与双曲线在第一象限内相切，
由图可知，当时，直线与双曲线在第一象限内有公共点，且在轴上的截距最大，
则的最小值为.
故答案为：.
11．（2026高三下·湖北·竞赛）设，是椭圆上不同于顶点的两个动点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，．如果椭圆上存在点满足，其中，
(1)证明：为定值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)设，，，
其中均不为，
因为，
所以，
故，，
则
整理得，
所以
又因为，所以，故，
所以．
(2)．
【分析】（1）设，，，利用条件以及同角三角函数的关系化简即可；
（2）结合（1）求出，结合基本不等式求最值.
【详解】（1）略
（2），
同理可得．
由可得，
所以
，
当且仅当即时取等号．
所以，即的最大值为．
12．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的离心率为2，点在上．
(1)求的渐近线方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点．
（i）求与之间的数量关系式；
（ii）求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出双曲线方程即可得渐近线方程；
（2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出中点的坐标，再利用即可与之间的数量关系式；
（ii）先由（i）依次求出、，接着由即可求出，再由即可得解.
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，
又离心率为2，则，
联立，解得，
故双曲线方程为，渐近线方程为；
（2）（i）设，
联立，则，
所以，即，
且，
则，
则的中点为，即，
因为线段的垂直平分线过点，则，整理得；
（ii）由（i）知，则，
则，则，解得．
又
则．
又，则，即，
又，则的取值范围为．
创新提升
1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】设，，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可表示出，再由二次函数的性质求最值.
【详解】设，，联立，消去整理得，
不妨令或，则，，则，，
所以
，
所以当，即时，最大值.
故选：C
2．（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C．7 D．9
【答案】A
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径.
设，则.
因为切线长等于，
所以当切线长最小时，最小.
，
当，即点的坐标为时，取得最小值，最小值为.
所以切线长的最小值为.
3．（2026·山东潍坊·三模）已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】当为短轴端点时，最大，进而求出的范围，由正弦定理得外接圆的半径，再利用余弦定理和三角形面积公式化简得到的面积，由三角形内切圆的半径公式可得的内切圆半径，化简可得，利用基本不等式求出最值即可．
【详解】由于，所以，，故，设，
当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以，
设外接圆半径为，则，即，
由余弦定理得：，
整理可得，
所以的面积，
故的内切圆半径，
因为，
所以，
当且仅当，即，时取等，
所以的最小值为．
4．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最大值为
C．当取得最大值时， D．满足的点有且仅有两个
【答案】ABD
【分析】利用三角换元，令，，，将椭圆上的点用三角形式表示，转化为三角函数的最值问题，再逐一判断各选项.
【详解】点在椭圆的第一象限部分运动，所以可令，，．
矩形面积为，因此，所以A正确；
矩形周长为，（其中且为锐角），
当时，取最大值，所以B正确；
当取得最大值时，，所以．
此时，，于是，
故，所以C错误；
若，则，在内有两个解，因此满足条件的点有且仅有两个．所以D正确．
5．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ）
A．当时，的面积为 B．当时，的周长为
C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是
【答案】BC
【分析】由焦点三角形的面积公式，求出的面积，判断A；，根据双曲线的定义及勾股定理求得，从而求得的周长，判断B；由为钝角，根据余弦定理可得的范围，用表示，即可求得其范围，判断C；根据双曲线焦点三角形内切圆半径的范围，可判断D.
【详解】当时，，故A错误；
设，当时，
有，
所以，的周长为，故B正确；
设，当为钝角时，由余弦定理知，
因为，
所以，故C正确；
由如下引理知内切圆的半径的取值范围是，即，故D错误．
引理 双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是．
证明如下：
如图，点P位于第一象限，是双曲线的左、右焦点，设焦点内切圆的圆心为G，则圆心G在直线上（证明省略）．
设内切圆的半径为r，点，
由焦半径公式得，其中．
所以．
因为，
即．
因为点在双曲线C上，所以，得．
于是，把代入得
．
易知在时单调递增，且，
由函数的单调性及极限的知识可知，
因此双曲线的焦点三角形的内切圆半径的取值范围是．
6．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）类比于双曲线，我们可将直线：和直线：称为椭圆的“虚渐近线”.已知，为椭圆：的两条“虚渐近线”，且，与的上半部分交于，两点，动点在上且在，之间（不与，重合），过作椭圆的切线交，于，，则下列说法正确的是（ ）
A．，所成夹角的大小为 B．四边形面积的范围为
C．为定值 D．
【答案】BCD
【分析】对于A，结合虚渐近线的定义求解即可；对于B，求出，两点坐标，结合及面积公式求解即可；对于C，联立切线方程及直线方程求出，坐标，代入化简求解即可；对于D，求出，，，代入化简求解即可.
【详解】对于A，由题意可知，，方程为，夹角为，故A错误；
对于B，联立，解得，.

设，则，，
，，
所以，故B正确；
对于C，椭圆在处的切线为，
联立切线与方程，可得，
则；
同理可得，，
所以
，
所以为定值，故C正确；
对于D，，
，，
所以
，
所以，故D正确.
7．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案.
【详解】设，已知，，则，整理得，
所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以.
如图所示：设，连接，，根据题意可知,,
且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且，
所以,可得,
设，则，
当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为.
8．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4．
(1)求的标准方程；
(2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标：
(3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)定点，证明过程如下：
设点，则双曲线C在点P处的切线方程为，
已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且，
所以有，即，
又因为中点在切线上，所以，化简得，
因为在双曲线C上，所以，代入式化简得，
因为，所以，则，所以点；
则直线斜率，
根据点点斜式方程可得直线的方程为,
则直线过定点.
(3)
【分析】（1）根据双曲线性质代入计算即可；
（2）由垂直+中点在切线求Q坐标，整理PQ方程，令不含参部分为0，得到;
（3）MF定长为4，面积转化为，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值.
【详解】（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则，
在双曲线中有，又因为等 轴双曲线中，所以代入得，
所以双曲线C标准方程为.
（2）略
（3）由题，，设点，则，
由（2）可知，，则，因为，
令，因为，所以，代入得
，
则当时，面积最大值为

9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
【答案】(1)，且
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）根据已知条件求得方程，由椭圆的方程形式可列出不等式；
（2）先求出曲线C的方程，（i）利用点差法列方程，化简求得正确答案；（ii）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由，结合弦长公式以及来求得正确答案．
【详解】（1）设，则到轴的距离力，，，
，，即
若曲线为椭圆，则，解得，且.
（2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即，
设，
因为两点在双曲线上，所以
两式相减得，得，即，
所以，
因为是的垂直平分线，有，所以，
即，化简得，
因为的中点M的横坐标为x，所以
故．
（ii）

由于，故可知直线斜率存在，
设直线的方程为：，由，
消去并整理得,
则，，即，
所以，
所以，
于是点的坐标为，．
易知，所以，解得：，
代入得，得或，
由在双曲线的右支上得：，得，即，
且，
综上得，，
又
所以
因为，所以，故,所以，
所以，所以
10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的最大值，其中为坐标原点．
【答案】(1)（）；
(2)
【分析】（1）直接由点差法求弦的中点轨迹方程可得；
（2）先判断直线的斜率存在，再设直线的方程为，由弦长公式可得，再由点到直线的距离公式可得，进而可得，再用换元法构造函数，用导数求得其最大值，进而可得三角形面积的最大值.
【详解】（1）设．
因为弦的中点为，所以，
又因为两点在椭圆上，所以，
两式相减得，
当时，，，即，
由于弦过点，，所以，
因此，整理得①，
又因为是弦的中点，所以必在椭圆内，
所以，再与①联立消去得：，即.
再由①得，解得，因此.
因此点M的轨迹方程为（）．
（2）因为直线与椭圆交于两点，所以直线的斜率存在.
设过点的直线为．
代入椭圆方程，得．
整理为．
，得.
，，
所以由弦长公式得，
再由点到直线的距离，
所以，
令，．则．
记．求导可得．
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以当时，取得最大值．
所以．
因此，当，即时，面积的最大值为．
11．（2026·广西崇左·二模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4.
(1)求的方程.
(2)记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值.
(3)是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，圆的方程为
【分析】（1）设直线：，联立方程结合弦长公式可得，即可得和抛物线方程；
（2）根据题意可得直线，，整理可得，令，，利用导数求最值即可；
（3）可知以为直径的圆的圆心为，半径，设圆心为，半径为，可得，运算求解即可.
【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点为，且直线与抛物线必相交，
设直线：，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，当且仅当时，等号成立，
由题意可知：，即，所以抛物线的方程为.
（2）由题意可知：，，且直线的斜率不为0，直线与抛物线必相交，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，即，
可得直线，
则，
联立方程，消去x可得，
则，即，
可得，
令，，则，
因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
所以的最小值为.
（3）由（1）可知直线：，，，
则，，
即以为直径的圆的圆心为，半径，
假设存在定圆与圆相切，设圆心为，半径为，
则，即，
若，
整理可得，
则，解得，不合题意；
若，
整理可得，
则，解得，符合题意；
综上所述：存在，圆的方程为.
12．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）根据离心率公式，可得a，b的关系，则，代入点坐标，求出b值，进而可得a值，即可得答案.
（2）设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，根据点到直线的距离，可得点P到直线AB的距离，即可得的面积S的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】（1）因为椭圆的离心率，
所以，则，
因为点在椭圆上，所以，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）设直线，
联立，化简得，
，解得.
由韦达定理得，
则，
所以，
又因为，
所以.
当时，即时，的面积取到最大值，
此时，直线或.
13．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点.
(1)求椭圆方程；
(2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）当最大时，求直线方程.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）为定值（ⅱ）
【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解；
（2）（ⅰ）列出两个斜率，再利用点在椭圆上，将转化为关于的式子，通过化简运算得出定值；
（ⅱ）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可．
【详解】（1）由题意短轴长为2，，即，因为椭圆经过点，
所以，则.所以椭圆方程为
（2）（ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为，所以,点，点为中点，即，设.
直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以①，
因为在椭圆上，所以，解得②，
同理因为点在椭圆上，所以③，
将②③代入①式，得（为定值）.
综上，为定值.
（ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上，
所以，
又因为
所以，则，
设，直线倾斜角为，直线倾斜角为，
，，
所以，
则，
当且仅当，即，解得（因为）时等号成立，即此时最大.
所以直线方程为．
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重难点培优05 圆锥曲线中的最值、范围问题
知识精讲·重难聚焦讲技巧 1
题型深研·通法变式提能力 1
题型01 距离、长度的最值范围问题 2
题型02 面积的最值、范围问题 3
题型03 离心率的最值、范围问题 4
题型04 斜率有关的最值、范围问题 5
题型05 角度有关的最值、范围问题 6
题型06 周长有关的最值、范围问题 7
题型07 向量的最值、范围问题 8
题型08 坐标的最值、范围问题 9
题型09 代数式的最值、范围问题 10
题型10 参数的最值、范围问题 11
分层进阶·双阶训练验成效 12
巩固过关 12
创新提升 14
知识精讲·重难聚焦讲技巧
知识点1 圆锥曲线中的最值问题
1、常见题型分类
（1）距离与长度最值：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等。
（2）面积最值：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值。
（3）向量与代数式最值：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值。
2、核心求解方法
（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。
（2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。
构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。
求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。
总结：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件
知识点2圆锥曲线中的范围问题
1、常见题型分类
（1）几何量的范围：求弦长、三角形面积、点到直线距离等几何量的取值区间。
（2）坐标与截距的范围：求交点坐标、直线在坐标轴上的截距、线段中点坐标的取值范围。
（3）斜率与倾斜角的范围：求动直线斜率、倾斜角或两直线斜率之积/和的取值范围。
（4）曲线参数的范围：求离心率、半焦距等圆锥曲线自身参数的取值范围。
2、核心求解方法
（1）几何法（构造不等式）：充分利用圆锥曲线的几何性质（如椭圆上点的坐标范围 |x|≤a ）、隐含条件（如点在曲线内部）或平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边），直接构造不等式求解。
（2）代数法（函数与判别式）：
判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。
函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。
参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。
总结：解决范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界。
题型深研·通法变式提能力
题型1 距离、长度的最值范围问题
【典例1-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到的中垂线的最大距离为________．
【典例1-2】（2026·贵州黔西南·二模）已知双曲线的离心率为2，且过点.
(1)求的方程；
(2)设的左、右顶点分别为，，点是右支上异于的任意一点，直线，分别与直线交于点，.
（i）证明：；
（ii）求的取值范围.
【变式1-1】（2026·湖南株洲·三模）已知抛物线，P为C上的动点，Q为圆上的动点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
【变式1-3】（2026·上海·模拟预测）已知双曲线，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程与渐近线方程；
(2)过点作斜率为的直线，与双曲线交于两点，若，求的值；
(3)点为双曲线右支上动点，求的最小值（为双曲线左右焦点）.
题型2 面积的最值、范围问题
【典例2-1】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
【典例2-2】（25-26高三下·河南·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3.
(1)求的方程；
(2)已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，.
（i）证明：；
（ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值.
【变式2-1】（多选）（2026·湖南长沙·三模）已知动点到点距离为，点到直线的距离为，且.动点的轨迹为曲线，为曲线上两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹方程为
B．最小值为18
C．若为等边三角形，则周长为
D．若，则的面积最小值为64
【变式2-2】（2026高三下·北京·竞赛）设直线与椭圆交于两点，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点．则当四边形的面积最大时，直线的斜率为_____．
【变式2-3】（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D.
(1)设直线，的斜率分别为，，求的值
(2)求面积的最大值.
【变式2-4】（2026·福建泉州·模拟预测）已知动点满足方程．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（，两点均在轴右侧），直线与直线相交于点．
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求面积的最小值．
【变式2-5】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求四边形ACBD面积的最小值．
题型3 离心率的最值、范围问题
【典例3-1】（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2026·福建南平·二模）已知为双曲线上一动点，若存在点到轴、轴的距离之比为，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若到两焦点的距离之比为，则离心率范围为________．
【变式3-2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是_______．
【变式3-3】（2026·云南昆明·模拟预测）曲线族是指具有某种共同性质的集合，若曲线族中存在无数个点在过原点的直线上，称该曲线族为“M族”，若曲线族是M族，且所有满足M族定义的直线均与双曲线有交点，则的离心率的范围为__________．
题型4 斜率有关的最值、范围问题
【典例4-1】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）设抛物线的焦点为F，P为C上任意一点，O为坐标原点，M为线段的中点，则直线斜率的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【典例4-2】已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围.
【变式4-1】（25-26高二下·四川成都·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
(1)若椭圆的离心率为．
①求椭圆的方程；
②若时，求的面积；
(2)当时，求的取值范围．
【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期末）已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围．
【变式4-3】（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围．
【变式4-4】（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
(1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
(2)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的斜率的取值范围．
题型5 角度有关的最值、范围问题
【典例5-1】（2026·天津滨海新区·三模）已知椭圆的长轴为4，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点的直线与交于不同的两点（在第一象限），过作平行于轴的直线交轴于点，取中点，作直线交于点，求的最大值．
【变式5-1】（25-26高三上·山东滨州·期末）已知为抛物线上的任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2026·福建泉州·三模）已知动圆与已知圆外切，与圆内切，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知，直线斜率存在，且与轨迹相交于，两点，与轴相交于点，．
（i）证明：直线过定点；
（ii）若与轴相交于，两点，求向量，的夹角的最大值．
【变式5-3】（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明存在轴上的一点，使得为定值；
(3)求的最大值.
题型6 周长有关的最值、范围问题
【典例6-1】（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2026·河北保定·模拟预测）已知点，点在线段上(不含端点)运动，且动点满足，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条平行线，分别与曲线在轴上方交于两点，求四边形周长的最大值.
【变式6-1】（多选）（2026·吉林·三模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ）
A．的周长为6 B．的面积为时，
C．周长的最小值是 D．面积的最大值为
【变式6-2】（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值；
(3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点（不与重合），若，且直线恒过点，求周长的取值范围.
题型7 向量的最值、范围问题
【典例7-1】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】2026·陕西渭南·三模）已知点P为椭圆上任意一点，直线l过的圆心且与交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知过双曲线上一点的切线方程，若为双曲线上的动点，，，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点（点在第一象限），与在同一条渐近线上，则的最小值为________.
【变式7-3】（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上．
(1)求的方程；
(2)设直线：与交于、两点．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）若为平面上一点，且，求的最大值．
题型8 坐标的最值、范围问题
【典例8-1】（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，且，
(1)若为线段AC的中点，
（i）求直线的斜率；
（ii）求|AC|；
(2)若点在抛物线上，满足，求取值范围．
【典例8-2】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】已知抛物线过点，焦点为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围．
【变式8-2】（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2026·天津南开·模拟预测）已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点，
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围．
【变式8-4】（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为曲线．，在曲线上．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线与曲线相切，求切线方程；
(3)若是钝角三角形，求点横坐标的取值范围．
题型9代数式的最值、范围问题
【典例9-1】（2026·天津红桥·一模）已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点围成的三角形面积是1，离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于不同两点，与圆相切于点．
①证明：（为坐标原点）；
②设，求实数的取值范围．
【变式9-1】（多选）（25-26高二上·江西抚州·期中）已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．不存在点Q，使得
D．的最小值为
【变式9-2】（25-26高二上·广西贺州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．
(1)求椭圆的方程．
(2)设直线的斜率分别为，且直线过定点．
①设和的面积分别为，求的最大值；
②证明为定值，并求出该定值．
【变式9-3】（25-26高三上·天津·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.
【变式9-4】（2026·湖南岳阳·三模）已知双曲线的离心率为，其右顶点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点作垂直于轴的直线，与双曲线交于M，N两点，点为双曲线位于y轴正半轴的虚轴端点，求的面积；
(3)设P，Q为双曲线上不同的两点，且，证明：点到直线PQ的距离为定值，并求的最小值．
题型10参数的最值、范围问题
【典例10-1】（2026·云南昭通·模拟预测）如图，已知椭圆的方程为，直线与椭圆交于两点（点在第一象限）．当时，在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点．

(1)求的标准方程；
(2)若轴于点，连接BM并延长交于点，记直线的斜率为．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）设，求的取值范围．
【变式10-1】（2026·湖南长沙·二模）已知双曲线，，左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于，两点．
(1)若离心率时，求的值；
(2)若，为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)设直线与双曲线另一个交点为，若，求的取值范围．
【变式10-2】（25-26高三下·山东·阶段检测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线交轴于点，
（i）若，求证：为定值；
（ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围．
分层进阶·双阶训练验成效
巩固过关
1．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知椭圆的焦点分别为，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（25-26高二上·天津·期末）已知，，点在曲线上，则的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
4．（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
6．（多选）（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．的最小值为2
C．若为的中点，则
D．点到上点的距离的最小值为3
7．（多选）（2026·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的左 右焦点分别为，斜率为k的直线过点与双曲线的右支交于两点，与y轴交于点A，M为C上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的周长为20
B．k的取值范围是
C．若，则
D．当时，的最小值为
8．（多选）（2026·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，，分别交椭圆于，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则（ ）
A．椭圆的离心率为 B．的最小值为
C．的值为 D．的最大值为
9．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________．
10．（2026高三上·全国·专题练习）若点是双曲线的第一象限的任意一点，求的最小值________
11．（2026高三下·湖北·竞赛）设，是椭圆上不同于顶点的两个动点，为坐标原点，直线，的斜率分别记为，．如果椭圆上存在点满足，其中，
(1)证明：为定值；
(2)求的最大值．
12．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的离心率为2，点在上．
(1)求的渐近线方程；
(2)若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点．
（i）求与之间的数量关系式；
（ii）求的取值范围．
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1．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）已知直线与椭圆交于两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2026·山西吕梁·三模）已知点P为抛物线上一点，过点P作圆C：的两条切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．3 C．7 D．9
3．（2026·山东潍坊·三模）已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（多选）（2026·山西忻州·模拟预测）点在椭圆的第一象限部分运动．以为对角线作矩形，矩形的边分别平行于坐标轴，其中为坐标原点．设该矩形的面积为，周长为．则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为1 B．的最大值为
C．当取得最大值时， D．满足的点有且仅有两个
5．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线C的右支上，且，则（ ）
A．当时，的面积为 B．当时，的周长为
C．当为钝角时， D．内切圆的半径的取值范围是
6．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）类比于双曲线，我们可将直线：和直线：称为椭圆的“虚渐近线”.已知，为椭圆：的两条“虚渐近线”，且，与的上半部分交于，两点，动点在上且在，之间（不与，重合），过作椭圆的切线交，于，，则下列说法正确的是（ ）
A．，所成夹角的大小为 B．四边形面积的范围为
C．为定值 D．
7．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．
8．（2026·山东烟台·模拟预测）已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4．
(1)求的标准方程；
(2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标：
(3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值．
9．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线．
(1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？
(2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x．
（i）若，求实数的值；
（ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围．
10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)求面积的最大值，其中为坐标原点．
11．（2026·广西崇左·二模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，的最小值为4.
(1)求的方程.
(2)记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值.
(3)是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由.
12．（2026·浙江宁波·二模）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与椭圆交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.
13．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点.
(1)求椭圆方程；
(2)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）当最大时，求直线方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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