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1.1.2 空间向量的数量积运算
课标要点 1.理解空间向量夹角、垂直、投影向量的教材定义，牢记夹角取值范围，能准确区分向量夹角与几何体内角。 2.熟记空间向量数量积定义式与三条运算律，会借助基底拆分向量完成无坐标形式的数量积计算。 3.掌握数量积五条核心性质，能运用性质求解向量模长、夹角，证明空间两向量互相垂直。 4.能结合立体图形分析投影向量几何意义，灵活利用数量积解决线段长度、空间垂直类几何问题。
学习重难点 重点： 1.空间向量数量积定义、三大运算律，熟练运用公式完成向量化简、数量积基础计算。 2.数量积核心性质，利用性质求向量模、夹角，借助证明空间线线垂直。 3.投影向量的几何定义，理解投影向量与原向量的共线关系，能简单分析投影的正负含义。 难点： 1.在立体图形中找准向量夹角，区分向量夹角与几何体表面角，避免夹角取值符号计算出错。 2.灵活拆分空间基底向量，结合运算律化简复杂向量式，处理多向量混合数量积运算。
知识点一 空间向量数量积定义
已知两个非零空间向量，，过空间任意一点作，，则叫作向量与的夹角，记作，规定范围:。
1.当时，称；
2.空间两个非零向量，的数量积定义：
规定：零向量与任意向量的数量积为。
数量积几何意义
等于的模与在方向上的投影向量的数量的乘积。
在方向上的投影向量：。
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1．如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，.
故选：B
2．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【详解】，
．
故选：C．
知识点二 空间向量数量积运算律
设为空间任意向量，：
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
常用公式：
1. 2.
3.
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3．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，即，
所以，解得.
知识点三 空间向量数量积的应用
1.求向量模长：，
2.求两向量夹角余弦：
3.判定向量垂直：（为非零向量）
4.立体几何应用：证明线线垂直、求异面直线夹角、计算线段长度、求解空间距离与最值。
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4．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是空间两两垂直的单位向量，
所以，
故.
5．正四面体的棱长为2，设，，，则________.
【答案】
【详解】在正四面体中，，
又，，，
所以.
故答案为：
题型01 求空间向量的数量积
典｜例｜精｜析
【例1】如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
【例2】已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设，
由题意知，且三向量两两夹角均为，
，
．
故选：B.
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】如图，在正方体中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，易知，且，
.
故选：C
【变式1-2】如图，在三棱锥中，平面，则_______．
【答案】
【详解】因为平面，面，
所以，所以，
又，所以，
.
故答案为：.
【变式1-3】在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________.
【答案】
【详解】
.
故答案为：.
题型02 空间向量中的模（距离，长度）
典｜例｜精｜析
【例3】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】因为，，，所以.
又，所以.
因为，，，，，
由，
所以.
所以.
故选：B
【例4】设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如下图所示：
因为二面角的大小为，，，、是垂足，
由图可知，，
又因为，，且，
所以，
，故.
故选：D.
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；
【答案】
【详解】，
则，
，
所以.
故答案为：
【变式2-2】如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ）

A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】设，因为，且，平面，
可得，，且，
可得，，，
根据向量的线性运算，可得，
则
.
即，解得（舍）或，故.
故选：A
【变式2-3】如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.
【答案】或2
【详解】依题意，，而，，
由AB，CD所在直线所成角为60°，得或，
所以
，
当时，；当时，.
故答案为：或2
题型03 空间向量的投影（投影向量）
典｜例｜精｜析
【例5】在正方体中，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在正方体中，,
所以正三角形，过点作，垂足为.
则，所以向量在上的投影向量为.
故选：B
【例6】在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如下图所示：
因为平面，是棱上任意一点，
所以在平面上的投影向量为.
故选：A.
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下，
为，故C正确.
故选：C
【变式3-2】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，
，
所以，
，
所以向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
【变式3-3】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得，
则所求的投影向量为在上的投影向量，易得，
则，所以在上的投影向量为.
故选：C.
题型04 利用数量积求夹角
、典｜例｜精｜析
【例7】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为；
又，所以，，
设与的夹角为，则，
又，所以.
故选：B
【例8】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（ ）
A． B． C． D．90°
【答案】C
【详解】设，
，
,
，
,
所以和的夹角为.
故选：C
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设与的夹角为，
由得，两边平方得
，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
【变式4-2】如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
【答案】
【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等，
因为，
所以，又，
所以，
即，
解得，即的余弦值为.
故答案为：
【变式4-3】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．
(1)用表示，并求；
(2)求与的夹角．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
【详解】（1）因为，且，
所以，
又因为底面ABCD是边长为1的正方形且，
所以
．
（2）因为底面是边长为1的正方形，且，，
又由，
所以，
所以，故与的夹角为．
题型05 利用数量积证明垂直问题
典｜例｜精｜析
【例9】在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）.
（2）证明：因为
，
所以.
（3）因为，
所以，
.
所以.
【例10】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.

(1)若对角线的长度为时，求的值.
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底，
且，
，
则，故.
（2），
则
.
故.
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．

(1)用，，表示向量，并求的模长；
(2)求证：，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析。
【分析】
【详解】（1），
，
所以；
（2），
所以，所以，
同理可证，所以。
【变式5-2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．

(1)求的值；
(2)求证：；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）正方体中，，，
有，，
所以.
（2）证明：正方体中，，，
有，，
因为M和N分别是和的中点，则N为的中点，
所以且，即，
则有，
所以．
【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为．
(1)求的长；
(2)求证：，，两两垂直．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）解：解法1：因为为的重心，
所以，
所以
，
所以；
解法2：因为为的重心
所以，
在中，由勾股定理可得：．
（2）证明：证法1：因为
，
所以，
同理可得,
所以
，
所以，即，
同理可证，，
所以，，两两垂直．
证法2：因为为正三角形的重心，
所以，
其中为正三角形边上的中线(高)，
在中，，
所以，
在中，
可得，
同理可得，
所以可得，
所以，
同理可证，，
所以，，两两垂直．
题型06 求空间向量的数量积的最值或范围
典｜例｜精｜析
【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取的中点，由题意则，
所以，
又因为，所以，当且仅当方向相同时等号成立；
，当且仅当方向相反时等号成立，
因为正四面体的棱长为2，所以在中，，，，
所以，即，
所以，，
又，所以，即，
所以的最大值为,
故选：B
【例12】如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【详解】
，当且仅当与重合时，等号成立，
故的最小值为12.
故选：D
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
【答案】BC
【详解】设的中点为，连接，则，则，
即点在以为球心，以1为半径的球面上．
如图，因为，所以．
因为正四面体的棱长为，所以，，又，
所以．设，
则．
因为，所以．
故选：BC
【变式6-2】在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．
【答案】/
【详解】如图，设，，
在中，，
所以
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
【变式6-3】已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______.
【答案】18
【详解】设正方体内切球的球心为，正方体内的体对角线长为，
则，
,
因为是正方体内切球的一条直径，所以，，
所以．
又点在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为，
所以，所以最大值为18．
故答案为：18

基础通关
1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．
C． D．若，则
【答案】C
【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，

满足，，此时，故A说法错误；
选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误；
选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确；
选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误；
故选：C
2．已知空间单位向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则，
所以，
故选：D.
3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【详解】在正方体中，，
所以.
故选：B
4．在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【详解】因为，，，
所以.
故选：B
5．在空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【详解】由题意
，
又，即，得，
所以．
故选：D．
6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】由正八面体的性质可得，，则，
．
故选：D.
7．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是钝角
C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
【答案】ACD
【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的，
故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误；
对于C，若是共面的向量，则存在实数使得，
即，则向量是共面的向量，故C正确；
对于D，因为，，
所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确.
故选：ACD
8．（多选）已知正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】对A，由图可知，，A正确．
对B，，B正确．
对C，，C错误．
对 D，因为侧面，则易知，D错误．
故选：AB.
9．已知是两两垂直的单位向量，则________________．
【答案】3
【详解】解：因为是两两垂直的单位向量，
所以，
所以
故答案为：3．
10．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量______．
【答案】1
【详解】设中点为，正方形的中心为.
∵
且
又∵，
∴.
故答案为：1.
【点睛】
11．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，E，F分别是，的中点，
则.
（2）.
（3）.
12．如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）在四面体中，，，
.
（2）如图所示：

因为，则，
因为F是CD中点，则，
于是.
，
所以.
素养提升
13．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（ ）
A．3 B． C． D．7
【答案】B
【详解】由图可知，且；
所以
.
所以.
故选：B.
14．三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】点是的重心，以为起点，则
，
，，
故选：D．
15．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，取的中点，连接，
则，，两式平方后相减可得
，即，
其中，故，
故当取得最小值时，取得最小值，
当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即，
故.
故选：B
16．若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为空间向量、满足，
所以，故，
故在方向上的投影向量为，
故在方向上投影向量的长度为
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故在方向上投影向量的长度的最小值是.
故选：B.
17．在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】， ，
则
，
，
故.
故选：A.
18．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【答案】B
【详解】

设，，，
则，，
由，
因，，则，
代入整理得，，显然，故，
因，故当时，取得最大值，
此时取得最小值为36，故的最小值为6.
故选：B.
19．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：
①是与都垂直的向量；
②三个向量构成右手系（如图1）；
③．
如图2，在长方体中，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．长方体的体积
【答案】BCD
【详解】选项A：向量同时与向量垂直，
且向量三个向量构成右手系，
，
，所以，
故A不正确，
选项B：由，
，
所以，
故B选项正确，
选项C：因为
，
且与同向共线，
又，
且与同向共线，
又因为与同向共线，
所以，
故C选项正确，
选项D：长方体的体积为：，
，
故，
所以D选项正确，
故选：BCD.
20．已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
【答案】
【详解】设，因为四边形为正方形，所以，
所以，所以，
，
又，
又异面直线与所成角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
21．已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 _____.
【答案】或2
【详解】，
所以
，
由题意得与的夹角为或，
当夹角为时，，
此时，所以；
当夹角为时，，
此时，所以；
故答案为：或2.
22．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______．
【答案】5
【详解】因为点满足且，所以点在平面上，
因为，所以为平面的中心，此时平面，
由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，，
所以数量积的不同取值的个数是5.
故答案为：5
迁移创新
23．如图，两条异面直线a、b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使且．已知，， ，线段的长为（ ）

A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】由题意知，所以，
展开得，
异面直线，所成角为，代入得
，
所以或，
故选：D.
24．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________.
【答案】
【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，

因为正方体中，所以平面，
因为平面，，
又平面，所以平面，
因为P是棱的中点，正方体的中心为，
所以，则四边形为平行四边形，则，
故平面，由于平面，
则，，
所以，
因为，，所以，
因为，所以|，所以，
因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立，
则，即的最小值是.
故答案为：.
25．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，是的中点，，分别在棱上，且，，平面与交于点，则______，______．
【答案】 6
【详解】如图，延长，交的延长线于，连接，
显然平面，平面，
因此平面与的交点即为与的交点，
在堑堵中，，则，即，
又，则，而，于是得，
所以，
因为平面，平面，所以，，
所以
．
故答案为：；
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1.1.2 空间向量的数量积运算
课标要点 1.理解空间向量夹角、垂直、投影向量的教材定义，牢记夹角取值范围，能准确区分向量夹角与几何体内角。 2.熟记空间向量数量积定义式与三条运算律，会借助基底拆分向量完成无坐标形式的数量积计算。 3.掌握数量积五条核心性质，能运用性质求解向量模长、夹角，证明空间两向量互相垂直。 4.能结合立体图形分析投影向量几何意义，灵活利用数量积解决线段长度、空间垂直类几何问题。
学习重难点 重点： 1.空间向量数量积定义、三大运算律，熟练运用公式完成向量化简、数量积基础计算。 2.数量积核心性质，利用性质求向量模、夹角，借助证明空间线线垂直。 3.投影向量的几何定义，理解投影向量与原向量的共线关系，能简单分析投影的正负含义。 难点： 1.在立体图形中找准向量夹角，区分向量夹角与几何体表面角，避免夹角取值符号计算出错。 2.灵活拆分空间基底向量，结合运算律化简复杂向量式，处理多向量混合数量积运算。
知识点一 空间向量数量积定义
已知两个________，，过空间任意一点作，，则叫作向量与的________，记作，规定范围:。
1.当时，称；
2.空间两个非零向量，的数量积定义：________规定：零向量与任意向量的数量积为________。
数量积几何意义
等于的模与在方向上的________的乘积。
在方向上的投影向量：____________________________。________
即学即练
1如图，空间四面体的每条棱都等于1，点，，分别是，，的中点，则等于（ ）

A． B． C． D．
2．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．2
知识点二 空间向量数量积运算律
设为空间任意向量，：
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
常用公式：
1.________________________________ 2.________________________________
3.________________
即学即练
3．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（ ）
A． B． C． D．
知识点三 空间向量数量积的应用
1.求向量模长：，
2.求两向量夹角余弦：
3.判定向量垂直：
4.立体几何应用：证明线线垂直、求异面直线夹角、计算线段长度、求解空间距离与最值。
即学即练
4．已知是空间两两垂直的单位向量，空间向量，则向量的模为（ ）
A． B． C． D．
5．正四面体的棱长为2，设，，，则________.
题型01 求空间向量的数量积
典｜例｜精｜析
【例1】如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【例2】已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】如图，在正方体中，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，在三棱锥中，平面，则_______．
【变式1-3】在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________.
题型02 空间向量中的模（距离，长度）
典｜例｜精｜析
【例3】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【例4】设是的二面角内一点，，，、是垂足，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；
【变式2-2】如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（ ）

A．1 B． C．3 D．
【变式2-3】如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）.
题型03 空间向量的投影（投影向量）
典｜例｜精｜析
【例5】在正方体中，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例6】在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型04 利用数量积求夹角
典｜例｜精｜析
【例7】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【例8】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（ ）
A． B． C． D．90°
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________.
【变式4-3】如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．
(1)用表示，并求；
(2)求与的夹角．
题型05 利用数量积证明垂直问题
典｜例｜精｜析
【例9】在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
【例10】如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.

(1)若对角线的长度为时，求的值.
(2)求证：.
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．

(1)用，，表示向量，并求的模长；
(2)求证：，．
【变式5-2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．

(1)求的值；
(2)求证：；
【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为．
(1)求的长；
(2)求证：，，两两垂直．
题型06 求空间向量的数量积的最值或范围
典｜例｜精｜析
【例11】正多面体又称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知正四面体的棱的中点为，且（点为空间中一动点），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例12】如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】（多选）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（ ）
A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为
【变式6-2】在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______．
【变式6-3】已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______.
基础通关
1．对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．
C． D．若，则
2．已知空间单位向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．在棱长为1的正方体中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．在三棱锥中，若，，，则（ ）
A． B．1 C． D．0
5．在空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），P，Q分别为棱AB，AD的中点，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是钝角
C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
8．（多选）已知正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知是两两垂直的单位向量，则________________．
10．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示）点P是正方形的中心，则向量______．
11．已知正四面体的棱长为1，如图所示.若E，F分别是，的中点，求：
(1)；
(2)；
(3).
12．如图，在四面体中，，，.

(1)求的值；
(2)已知是线段中点，点满足，求线段的长.
素养提升
13．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（ ）
A．3 B． C． D．7
14．三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
16．若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
17．在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
18．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
19．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：
①是与都垂直的向量；
②三个向量构成右手系（如图1）；
③．
如图2，在长方体中，
，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．长方体的体积
20．已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
21．已知异面直线所成角为60°，直线垂直于直线且分别与直线交于、两点.点直线a，点直线b，，，，则 _____.
22．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是______．
迁移创新
23．如图，两条异面直线a、b所成的角为，在直线a，b上分别取点A′，E和点A，F，使且．已知，， ，线段的长为（ ）

A． B．
C．或 D．或
24．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________.
25．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，是的中点，，分别在棱上，且，，平面与交于点，则______，______．
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