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1.2 空间向量基本定理
课标要点 1.理解空间向量基本定理，掌握空间基底、基向量概念，能写出向量在基底下的分解式。 2.掌握单位正交基底定义，会对任意空间向量进行正交分解，明确正交分解形式。 3.熟练运用向量共线、共面充要条件，将空间平行、共面几何问题转化向量运算。 4.熟记向量夹角、垂直、模长公式，区分向量夹角与异面直线夹角的取值范围。
学习重难点 重点： 1.空间向量基本定理与正交分解，能准确选取基底并完成空间向量分解运算。 2.向量共线、共面的充要条件，利用向量证明线线平行、多点共面等几何题型。 3.向量点积相关公式，包括夹角、垂直判定、模长计算，用于求解空间距离。 难点： 1.灵活选取合适基底分解向量，区分普通基底与单位正交基底的使用场景。 2.分清向量夹角和异面直线所成角范围，计算时正确转换角度取值。 3.几何问题向向量语言转化，借助共线、共面条件推理证明空间位置关系。
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式.
空间向量的正交分解
（1）单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示．
（2）正交分解
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解．
即学即练
1．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，共面，不可为基底；
对于B，，共面，不可为基底；
对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量，
这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底，
对于D，，共面，不可为基底.
2．在四面体中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，
是的中点，故，
故．
知识点二 证明平行、共面问题
1.向量共线判定
对空间任意向量（），的充要条件：存在实数，满足。
2.向量共面判定
若向量不共线，则向量与共面的充要条件：存在唯一一组实数，满足。
3.几何转化思路
直线平行、多点共线问题，可转化为向量共线证明；
多点、多直线共面问题，可转化为向量共面证明。
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3．已知空间的一组基，，．若向量与共线，则__________，__________．
【答案】 2
【详解】因为与共线，所以存在实数，使，
即．
所以解得
故答案为：2；.
知识点三 夹角、垂直、距离问题
1.向量夹角公式
设为向量与的夹角，则。
2.向量垂直判定
若为非零向量，则。
3.向量模长
，线段长度、空间距离均可通过向量模长求解。
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4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．9
【答案】C
【详解】因为四点共面，则有
由共面定理可得，，即，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故选：C.
题型01 空间向量基底的判断
典｜例｜精｜析
【例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，故A不是；
不存在，使得，故B是；
，故C不是；
，故D不是.
【例2】（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【详解】选项A：，.
设，整理得，
因，，不共面，则系数全为0，所以，
故三个向量线性无关，可构成基底，A正确.
选项B：，，
三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误.
选项C：，.
设，整理得，
解得，线性无关，故可构成基底，C正确.
选项D：，.
设，整理得，
解得，线性无关，故可构成基底，D正确.
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】对于A，假设存在实数，，使得，
则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，
所以，，不共面，能构成一组基底.
对于B，假设存在实数，，使得，
则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，
所以，，不共面，能构成一组基底.
对于C，假设存在实数，，使得，
则，解得，即存在实数，使得上式成立，
所以，，共面，不能构成一组基底.
对于D，假设存在实数，，使得，
则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，
所以，，不共面，能构成一组基底.
【变式1-2】已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，因为，所以是共面向量，
故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意；
对于B，因为，所以是共面向量，
故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意；
对于C，若共面，
则存在实数，使得，
因为为空间中的一组基底，所以，无解，
所以不共面，
所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意；
对于D，因为，
所以是共面向量，
所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意.
故选：C.
【变式1-3】已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于D选项，设，整理得，
由不共面，得 ，解得，只有零解，
则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底.
题型02 用空间基底表示向量
典｜例｜精｜析
【例3】在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意，在平行六面体 中， .
又因为为底面平行四边形 对角线与的交点，
所以 .
在平行六面体中，， ， ，
所以 .
从而 .
【例4】如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可得，.
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得，，设，，
且，
，
因为，
所以
所以.
【变式2-2】已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，，
又，则，所以.
【变式2-3】三棱锥中，，，，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，且，则，整理得，因此，
由，知是的中点，则，
由，则.
题型03 由空间向量基本定理求参数
典｜例｜精｜析
【例5】已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
依题意可得
，
因为，所以，解得.
故选：D.
【例6】在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数______.
【答案】3
【详解】如图，连接，
则，
故，
而，故．
故答案为：3．
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数______．
【答案】
【详解】由F为BE的中点，
得，又，
所以，
由，得，
即，
所以．
故答案为：.
【变式3-2】如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______．
【答案】
【详解】，所以．
故答案为：．
【变式3-3】在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则__________．
【答案】/
【详解】由已知可得，.由题知四点共面，
可设，则，
所以
，
整理可得，.
又不共面，所以有，解得.
故答案为：

【点睛】方法点睛：若是空间一组基底，则空间任意一个向量，都有，且的值唯一，这是空间向量的基本定理.在具体应用时，可将已知或求转化为等量关系式，然后根据系数的对应关系来对问题进行求解.
题型04 利用空间向量基本定理证明平行、共面问题
典｜例｜精｜析
【例7】已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由点四点共面，且，
根据共面向量的基本定理，可得，解得．
【例8】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)若、、三点共线，求实数的取值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】
【详解】（1）依题意，
.
（2）因为，
点在对角线上，且，
所以，
则，
因为、、三点共线，所以，
即，
又、、不共面，所以、、可以作为空间中的一组基底，
所以，解得.
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】C
【详解】因为向量，
又因为，且，
可得，则，解得，
所以.
故选：C.
【变式4-2】如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______.
【答案】
【详解】由题知，设，
则，
又，
且
，
因为，，，四点共面，
所以，
即，
又因为，则，
即，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得，
故，所以.
故答案为：
【变式4-3】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面
【答案】证明：分别连接、、、交对边于、、、点.
因为、、、分别是所在三角形的重心.
所以、、、为所在边的中点，
所以，且，，且，
所以，，故四边形为平行四边形，
且有，，，，
所以，同理可得，
因为四边形是平行四边形，所以，所以，则，
故、、、四点共面.
【详解】略
题型05 利用空间向量基本定理解决垂直、夹角问题
典｜例｜精｜析
【例9】如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．
(1)以为基底表示向量、；
(2)若，求证：；
(3)若，求．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）在正三棱柱中，，，，
则，
.
（2）由题意可知，，，，
，，
∴，
故.
（3），
，
，
故，
解得，
【例10】如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）．
（2）假设存在点，使，
设，
显然，
因为，所以，
即，
所以
．
设，
又，，
所以，
即，
解得，
所以当时，．
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，，，，
，
，
，，，
，
，
．
故选：A.
【变式5-2】如图，在平行六面体中，，．设，，．

(1)用基底表示向量，，；
(2)证明：平面．
【答案】(1)，，．
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）已知，，，
得：，，．
（2）设，
又，
则，且，
则，
得，
即，
同理可得，
因为，，平面，平面，且，
所以平面．
【变式5-3】在平行六面体中，，，设，，．
(1)若点，满足，，试用，，表示；
(2)求与夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1），，
，，
又，，
．
（2）
，
，
，
，
．
题型06 利用空间向量基本定理解决距离（长度）问题
典｜例｜精｜析
【例11】在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
所以
，
所以体对角线的长为.
【例12】如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：

(1)；
(2)．
【答案】(1)23
(2)7
【分析】
【详解】（1）依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图：

，
，
由，则，
由，则，
，，
.
（2）由（1）知，
因此
，
所以.
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】已知线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由，线段，在平面内，得，，又，
所以，
，从而，
故选：C．
【变式6-2】在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________.
【答案】
【详解】在平行六面体中，，
.
因为，，
，
所以，即.
【变式6-3】如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， .
(1)用向量，，表示和;
(2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度.
【答案】(1)，
(2)
【分析】
【详解】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，，
所以，
所以
，
所以
（2）由正四面体的棱长为4，可知，且两两夹角为.
由（1）知
.
基础通关
一、单选题
1．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接，如图所示，
∵E是CD的中点，，，
∴，
在中，，
又，∴．
2．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由，得，由，得，
所以，
对于A，假设共线，则，无解，A错误；
对于B，，
所以与共线，B正确；
对于C，假设共线，则，无解，C错误；
对于D，假设共线，则，无解，D错误；
3．已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】选项A：因为，
所以，，共面，不能构成基底；
选项B：因为，
所以，，共面，不能构成基底；
选项C：设存在，，使得，
所以，故方程组无解，故不存在实数的值使得，
所以，，不共面，
故可作为空间的一个基底；
选项D：，所以，，共面，不能构成基底．
故选：C．
4．设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，
则，
所以，
所以解得：
所以，
故选：A.
5．已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为与三点共面，且，
根据空间向量的共面定理得推论，可得，解得.
故选：C．
6．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】由题可知，，且，
故，，
则，
所以，即的长为.
故选：A.
二、多选题
7．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】A：，所以本选项正确；
B：，所以本选项不正确；
C：，所以本选项不正确；
D：
，所以本选项正确.
故选：AD
8．以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确；
对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确；
对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误；
对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
9．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______.
【答案】
【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
可得，故在基底下的坐标为.
故答案为：
10．在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________．
【答案】1
【详解】因为E是棱PC上一点，且，即E是棱PC的中点，
所以，
则.
故答案为：1
11．已知为空间中不共线的四点，且向量，向量，则在、、中一定与、共面的是__________.
【答案】
【详解】因为，故与、共面，
若与、共面，则，
整理得到：，
因为为空间中不共线的四点，故不共面，
故，无解，故与、不共面；
若与、共面，则，
整理得到：，
同理可得，无解，故与、不共面；
故答案为：.
四、解答题
12．如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，

(1)用表示；
(2)求．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1），
.
（2）由题意可知，，，
，
所以．
所以
=.
13．如图，在直三棱柱中，，，.
(1)用表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1），
故
；
（2）由（1）知，，两边平方得
因为三棱柱为直三棱柱，，
所以，故，
，
所以，
故.
因为，故，
设直线与直线所成角为，
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
14．如图，平行六面体中，与相交于，设，，.
(1)用表示；
(2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
（2）由题意：，，，
，
所以.
素养提升
1．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【详解】由题意得，，
所以，，.
又因为，
所以
，故，
2．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
设，
，
，
显然不是共线向量.
因为平面AEF与棱CD交于点G，所以四点共面，
因此有
，
因为彼此两两不互相共线，
所以有，
所以.
3．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
【答案】
【详解】方法一：因为，所以.
因为，所以，
所以，
因为不平行，所以，所以.
方法二：因为，，两两不平行，
所以，.
若不共面，所以，矛盾，
所以共面，可设，
所以，
所以.
因为，可设，
所以，，
所以，，
，所以.
4．已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________．
【答案】
【详解】因为，，，
，
所以，
即，
两边同时乘以得，
因为，所以在平面内存在一点，使得成立，
所以，即，
.
故答案为：.
5．在直三棱柱中，，，则该三棱柱的体积的最大值为__________．
【答案】2
【详解】取为空间中一组基底，记为，易知，，
则，即，
所以，不妨设，则，
该三棱柱的体积为，
当且仅当时取得最大值.
故答案为：2
6．如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点.
(1)求线段的长；
(2)若，，求证：，，，四点共面.
【答案】(1)
(2)由题意知，，
因为，所以，
所以，，
，
不妨设，
即，解得.即 ，
根据共面向量定理，共面，即四点共面.
【详解】（1）设，且，分别为，的中点.
所以.
则
，
所以.
（2）略
7．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若对角线，求的最大值；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设基向量，
则，
因为，
所以，
因为三点共线，设，
则，
所以，得.
（2）因为，且，
所以，
得，即，
故，即，所以的最大值为.
迁移创新
1．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】取的中点为，
则，，
因为，所以，
故点在以为球心，为半径的球面上，
所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆，
则6个圆的总周长为.

2．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．

(1)用，表示；
(2)若点为的中点，求的值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)1
(3)或．
【详解】（1）在中，，
，
．
（2）设，
由（1）可知，，
，，
，，三点共线，
，，
，
，
由余弦定理可得，
，
．
（3）设，由余弦定理可得，
由正四面体得，
，
，
化简得，
解得或，
或．
3．在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得,,
所以
.
由,得,
所以.
故选：A.
4．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________.
【答案】/
【详解】因，
则，即，
因不共线，则共面，则平面，
则的最小值是到平面的距离，
因正方体棱长为，则等边三角形的边长为，
因，则，
则，
故的最小值.

故答案为：.
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1.2 空间向量基本定理
课标要点 1.理解空间向量基本定理，掌握空间基底、基向量概念，能写出向量在基底下的分解式。 2.掌握单位正交基底定义，会对任意空间向量进行正交分解，明确正交分解形式。 3.熟练运用向量共线、共面充要条件，将空间平行、共面几何问题转化向量运算。 4.熟记向量夹角、垂直、模长公式，区分向量夹角与异面直线夹角的取值范围。
学习重难点 重点： 1.空间向量基本定理与正交分解，能准确选取基底并完成空间向量分解运算。 2.向量共线、共面的充要条件，利用向量证明线线平行、多点共面等几何题型。 3.向量点积相关公式，包括夹角、垂直判定、模长计算，用于求解空间距离。 难点： 1.灵活选取合适基底分解向量，区分普通基底与单位正交基底的使用场景。 2.分清向量夹角和异面直线所成角范围，计算时正确转换角度取值。 3.几何问题向向量语言转化，借助共线、共面条件推理证明空间位置关系。
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量不________,那么对任意一个空间向量,存在________的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个________, 都叫做________．如果,则称为在基底下的分解式.
空间向量的正交分解
（1）单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两________,且长度都为________,常用表示．
（2）正交分解
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两________的向量,叫做把空间向量正交分解．
即学即练
1．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
2．在四面体中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点二 证明平行、共面问题
1.向量共线判定
对空间任意向量（），的充要条件：存在实数，满足________。
2.向量共面判定
若向量不共线，则向量与共面的充要条件：存在________一组实数，满足。
3.几何转化思路
直线平行、多点共线问题，可转化为向量共线证明；
多点、多直线共面问题，可转化为向量共面证明。
即学即练
3．已知空间的一组基，，．若向量与共线，则__________，__________．
知识点三 夹角、垂直、距离问题
1.向量夹角公式
设为向量与的夹角，则________。
2.向量垂直判定
若为非零向量，则________。
3.向量模长
，线段长度、空间距离均可通过向量模长求解。
即学即练
4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．9
题型01 空间向量基底的判断
典｜例｜精｜析
【例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-2】已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
题型02 用空间基底表示向量
典｜例｜精｜析
【例3】在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【变式2-2】已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】三棱锥中，，，，且，，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型03 由空间向量基本定理求参数
典｜例｜精｜析
【例5】已知四面体中，，，，，为中点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【例6】在四面体中，点为的重心， ，，分别为，，的中点，且，则实数______.
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数______．
【变式3-2】如图，点为所在平面外一点，点为的中点，若与同时成立，则实数的值为______．
【变式3-3】在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则__________．
题型04 利用空间向量基本定理证明平行、共面问题
典｜例｜精｜析
【例7】已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（ ）
A． B． C． D．
【例8】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)若、、三点共线，求实数的取值．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A． B． C．6 D．5
【变式4-2】如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______.
【变式4-3】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面
题型05 利用空间向量基本定理解决垂直、夹角问题
典｜例｜精｜析
【例9】如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．
(1)以为基底表示向量、；
(2)若，求证：；
(3)若，求．
【例10】如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点．
(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由．
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，．则的值（ ）.
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，在平行六面体中，，．设，，．

(1)用基底表示向量，，；
(2)证明：平面．
【变式5-3】在平行六面体中，，，设，，．
(1)若点，满足，，试用，，表示；
(2)求与夹角的余弦值．
题型06 利用空间向量基本定理解决距离（长度）问题
典｜例｜精｜析
【例11】在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【例12】如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：

(1)；
(2)．
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】已知线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-2】在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________.
【变式6-3】如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， .
(1)用向量，，表示和;
(2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度.
基础通关
一、单选题
1．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量是空间的一个基底，下列能构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是平面外任意一点，点在面内，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题
7．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8．以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______.
10．在四棱锥中，底面是平行四边形，且，若，则________．
11．已知为空间中不共线的四点，且向量，向量，则在、、中一定与、共面的是__________.
四、解答题
12．如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，

(1)用表示；
(2)求．
13．如图，在直三棱柱中，，，.
(1)用表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
14．如图，平行六面体中，与相交于，设，，.
(1)用表示；
(2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求．
素养提升
1．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
4．已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________．
5．在直三棱柱中，，，则该三棱柱的体积的最大值为__________．
6．如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点.
(1)求线段的长；
(2)若，，求证：，，，四点共面.
7．如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若对角线，求的最大值；
迁移创新
1．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．

(1)用，表示；
(2)若点为的中点，求的值；
(3)若，求的值．
3．在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________.
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