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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
课标要点 1.掌握空间直角坐标系搭建规则，理解坐标向量、坐标平面、卦限等基础概念。 2.熟记空间点与空间向量坐标定义，分清坐标轴、坐标平面上点的坐标特征。 3.熟练掌握向量加减、数乘、数量积等坐标运算，会用坐标判定平行与垂直。 4.灵活运用向量坐标、两点距离、中点公式，计算线段长度与向量夹角。
学习重难点 重点： 1.空间直角坐标系概念，点与向量坐标的定义，特殊位置点的坐标书写规律。 2.空间向量各类坐标运算公式，利用坐标判断向量共线、垂直的判定条件。 3.空间两点距离公式、向量模长与夹角公式，能结合坐标完成计算题型。 难点： 1.区分点坐标与向量坐标，正确推导两点构成向量的坐标表达式。 2.向量夹角范围易混淆，计算异面直线夹角时不会对余弦值取绝对值转换。 3.结合坐标综合证明平行、垂直，综合运用多个公式解决几何计算问题。
知识点一 空间直角坐标系
在空间选定一点和单位正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向、模长为单位长度，建立轴、轴、轴三条坐标轴，记作空间直角坐标系。
：坐标原点；：坐标向量；
坐标平面：两条坐标轴确定一个平面，分为三个坐标平面，将空间分为八个卦限；
画图规范：轴、轴夹角画或，轴竖直向上。
1.空间点的坐标
对空间任意一点，存在唯一有序实数组，满足，有序数组称为点的坐标，记作。
：横坐标，：纵坐标，：竖坐标。
坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z)
2.空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．
即学即练
1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ）
A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是
C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是
【答案】C
【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误；
选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误；
选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确；
选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误.
2．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为，
因为，所以，所以，
所以的坐标为.
知识点二 空间向量的运算及坐标的关系
设向量,那么
向量运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
共线
垂直
向量长度
向量夹角公式
即学即练
3．已知空间向量，向量，则__________．
【答案】
【详解】由题设.
4．已知空间向量，，若，则实数的值为_________．
【答案】/
【详解】因为，所以，解得.
知识点三 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,设．
（1）；
（2）；
（3）若则
即学即练
5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【详解】由向量加法得，
所以.
题型01空间向量的坐标表示
典｜例｜精｜析
【例1】已知点，点，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由点，点，得.
故选：C
【例2】在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，，
因为，
所以，解得，则.
故选：A
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】已知、、，若，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设点坐标为，则，
因为、，所以，，
所以，，，，则点的坐标为．
故选：A．
【变式1-2】已知点，点，则线段中点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，，根据中点坐标公式可得：线段中点坐标为.
故选：B.
【变式1-3】已知，，且，则点的坐标为______．
【答案】
【详解】因为，，设，
所以，，
因为，所以，
解得，得到.
故答案为：
题型02空间向量的坐标运算
典｜例｜精｜析
【例3】已知向量，且与垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可知：，则，
又与垂直，
则，得.
【例4】已知，，且，则（ ）
A．-5 B．1 C．3 D．5
【答案】A
【详解】已知，，且，
所以.
解得.
故选：A.
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】已知空间向量，若共面，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】因为共面，所以存在，使得，
即，解得，
所以．
【变式2-2】已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，.
故选：C.
【变式2-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______.
【答案】
【详解】由已知与的夹角为锐角，则，
即，解得.
若与的夹角为0°，则存在，使.
所以，所以，.
综上，若与的夹角为锐角，则且.
故t的取值范围是.
故答案为：.
题型03坐标形式解决空间向量的数量积
典｜例｜精｜析
【例5】《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，，
，
.
方法二：由题意得，
，
，
堑堵为直三棱柱，且，
．
故选：B.
【例6】如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个.
【答案】5
【详解】解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
正方体中，棱长为分别为各棱的中点，
,,,,
,,,
,,,,
,
则，，，，，，，，
，，，，，
故，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的值为共种不同的值.
故答案为：.
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】如图，棱长为1的正方体中，（ ）

A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以.
故选：B

【变式3-2】已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】连接，交于点，连接，，
因为正四棱锥与正四棱锥，
所以平面，平面，
因为，，
所以，，，
以为原点，分别为轴的正向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，，
所以.
故选：D.
【变式3-3】在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____.
【答案】
【详解】因为点，，，
所以，
则.
故答案为：.
题型04坐标形式解决空间向量数量积的最值范围问题
典｜例｜精｜析
【例7】已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有，
因此，，
于是得，
则当时，有最小值，此时，点．
故选：C
【例8】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______．
【答案】
【详解】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，，
因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直，
以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，设，则，，
所以．
因为，，所以当时，取得最小值；
当或1，或1时，取得最大值4．则的最小值与最大值的和为．
故答案为：
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，令且，，
所以，
当且仅当时取等号，则的最小值为.
故选：B
【变式4-2】已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是______.
【答案】
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且，

由正六边形的性质可得，，
设，其中，
所以，，
所以，所以的取值范围.
故答案为：.
【变式4-3】如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________.
【答案】3
【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
，
则，
因为，所以当时，取最大值，最大值为3.
故答案为：3.
题型05坐标形式解决空间向量的模（距离，长度）
典｜例｜精｜析
【例9】已知空间直角坐标系中的三点，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【详解】由题可得，
经计算，，所以是等边三角形．
故选：D.
【例10】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（ ）
A． B．2.5 C． D．2.6
【答案】C
【详解】设三棱锥的侧棱长为，
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
设单位向量是平面的一个法向量，由空间向量基本定理知，
存在唯一的有序实数组，使得，
依题意，在上的投影向量的长度为2，则，
即，即，解得，
同理得，因，
又因三点在平面的同一侧，于是或，
由，解得.
故选：C.
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】设，，，，且，，____ ．
【答案】
【详解】因为⊥，所以，
解得，可得，
又因为，且，
所以，解得，，则，
又因为，所以，
由模长公式得．
【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
又，，
则，，
所以，，
即，，
故选：A.
【变式5-3】定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（ ）
A． B．130 C． D．
【答案】B
【详解】
由在基底下的坐标为，则，
如图建立空间直角坐标系，由正六棱柱，其中，,
可得：，
则，
所以，
即
，
故选：B
题型06坐标形式解决空间向量模的最值（范围）问题
典｜例｜精｜析
【例11】如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】连接，在中，易得，．
以点为坐标原点，以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，．
设平面平面，因为，平面，平面，
所以平面，又因为平面平面，所以，
当时，可得点在平面内，可得，，
又，所以，，所以即为平面与平面所成角的平面角，
又因为平面平面，所以，所以，．
又因为，，即．，
当时，，其中；
当时，，其中；
的取值范围为，
故选：A．
【例12】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，，其中，，
则，，
，，
据此可得，，，
由空间中两点之间距离公式可得
，
当时，，当时，，
结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.
故选：B.
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】

依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，
所以，
即，所以，
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.
故选：B
【变式6-2】在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则,
所以，
所以，
所以，
所以，又，
所以，
将其看作关于的二次式，，
则当时最小值为，
则当时取得最小值，此时.
故选：A.
【变式6-3】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，P是直线上一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在长方体中，，
可得，则点关于点的对称点为，
所以，可得，
因为，所以.
故选：D.
题型07坐标形式解决空间向量的夹角问题
典｜例｜精｜析
【例13】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，
设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
为的中点，
，
，
，
，
设异面直线与所成的角为，
，
即与所成的角的余弦值为.
故选：C
【例14】设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________．
【答案】
【详解】因为是单位向量，所以有，
因为与的夹角等于，
所以，
所以有，
，
故答案为：
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【详解】因为，且，
所以，所以，
故选：A.
【变式7-2】已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，
又直线的方向向量为，
所以直线与所成的角的余弦值为
.
故选：B.
【变式7-3】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知，均为单位向量，可知，
又，则；
同理，则，
代入，
即，解得，
则，
故选：C.
题型08坐标形式解决空间向量的投影向量
典｜例｜精｜析
【例15】在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．与t有关
【答案】A
【详解】因为向量在面上的投影向量为，则.
因为在向量上的投影向量为，
则，所以.
而，可得向量的夹角为.
故选：A.
【例16】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．
【答案】
【详解】已知，，
则 ，
.
故向量在向量上的投影向量为.
变｜式｜巩｜固
【变式8-1】已知，在的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得：，因为在的投影向量为，
所以，即：，且，
代入，，化简得：，解得：，
所以.
【变式8-2】已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.
【答案】
【详解】由，，，共面，则可设，
即有，解得，即，
则，
故在上的投影向量的模为.
【变式8-3】空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________．
【答案】
【详解】由向量，得，，
因此在上的投影向量，所以.
故答案为：
题型09坐标形式解决空间向量的平行关系
典｜例｜精｜析
【例17】已知向量，,则___________．
【答案】
【详解】因为，，
所以，，
因为，所以，解得.
故答案为：.
【例18】已知空间三点.
(1)求的面积；
(2)若向量，且，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】
【详解】（1）设向量的夹角为，由空间三点，
可得，
，
可得，
因为，所以，
所以三角形的面积为.
（2）因为，所以，其中，
因为，可得，
所以，
于是或，
即点的坐标为或.
变｜式｜巩｜固
【变式9-1】已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不存在
【答案】A
【详解】已知，则，
因为，，所以，解得.
故选：A
【变式9-2】正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________．
【答案】
【详解】因为正四棱台，如图建立空间直角坐标系，
则.
因为，所以棱台的高为.
所以.
因为是的中点，所以.
设，因为.
所以.
因为三点共线，所以满足.
因为，，
则有，解得.
所以，所以.
故答案为：.
【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】选择作为基底，；
，由已知点在平面内，即与，共面，可得，
又由是的中点，可得，代换可得：
；
与共线，即，可得：，即
，解得.
故选：C
题型10坐标形式解决空间向量的垂直关系
典｜例｜精｜析
【例19】已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】由，可得：，
因，则，即：，解得：
【例20】已知空间三点，，．若，分别与，垂直，则向量______．
【答案】或
【详解】解：由题意，．
设向量，则有，
解得，，或，，，
则向量或．
故答案为：或．
变｜式｜巩｜固
【变式10-1】已知点，向量与向量互相垂直，则实数的值为多少？
【答案】
【详解】∵，，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了两个向量垂直则两个向量的数量积为，以及向量的坐标运算，解题的关键是熟练运用向量的坐标运算的公式．
【变式10-2】给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________．
【答案】或
【详解】因为，所以，
设，因为向量与向量都垂直，
所以，所以，
因为，所以，解得，
所以的坐标为或，
故答案为：或.
【变式10-3】在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【详解】，，，
，，即，，平面,
平面，又，
，即，
，
故选：A．
基础通关
一、单选题
1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为点M在z轴上，所以设点M的坐标为，
因为点M到点与到点的距离相等，
所以，
两边同时平方，解得，所以点M的坐标为.
2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为点，，所以线段的中点，
点关于平面对称的点的坐标为.
3．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】因为，，
所以，，，
又向量与夹角的余弦值为，
所以，解得.
故选：B.
4．已知向量满足，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【详解】由，，得，
由得，，得，则，
得，
故选：C
5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【详解】方法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，，，，，
，，
．
方法二：由题意可知，
，
．
堑堵为直三棱柱，且，
，
．
故选：B.
二、多选题
6．已知空间向量，则（ ）
A． B．向量不是共面向量
C． D．
【答案】AC
【详解】，A正确；
设，即，解得，
即，所以是共面向量，B错误；
，所以，C正确；
，D错误.
7．在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ）
A．向量的模长为2 B．向量的坐标为
C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为
【答案】CD
【详解】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误，
对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误，
对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确，
对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则，
所以异面直线与所成角为，故D正确.
三、填空题
8．已知向量，向量，若，则__________．
【答案】4
【详解】，，，
，即，
解得．
9．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．
【答案】/
【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线，
根据共面向量定理，存在实数，使得，
将各向量坐标代入，得，
根据向量相等，对应坐标相等，
得，解得.
10．在正四棱台中，，，，_________．
【答案】
【详解】由正四棱台中，，，，
在侧面中得，由，，
设，
，
，
故：．
故答案为：
四、解答题
11．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标；
【答案】，，，，
【详解】由题可知，，，，，.
12．已知向量.
(1)求向量的坐标；
(2)求与夹角的正弦值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】
【详解】（1）因为，且，
所以，解得，所以；
因为，所以，
解得，所以.
（2）由（1）得，
则，
，
所以，
所以.
13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．

【答案】证明见解析
【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，四边形ABCD是矩形，
∴，
∴|PB|＝，
∴|PB|＝|BC|，又F为PC的中点，∴PC⊥BF，
∵|PE|＝，
|CE|＝，
∴|PE|＝|CE|，又F为PC的中点，∴PC⊥EF．
素养提升
1．已知，，若，以下向量中可以作为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，各选项中的向量均不与向量共线，只需考虑、不共线的情形，
作，，如下图所示：
作，，则、是分别与向量、同向的单位向量，
以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，且平分，
由向量加法的平行四边形法则可知，且有，
因为，且，则，设，即，
因为、不共线，则，所以，故，
A选项合乎题意，
故选：A.
2．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________．
【答案】
【详解】设点，则
，
是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得，
重心坐标为，即．
该点在平面上，符合要求．
3．如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.

(1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标；
(2)在（1）的条件下，在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.
【答案】(1)，.
(2).
【分析】
【详解】（1）因为，所以，又，设，
则，解得，所以点P的坐标为，
故点P关于y轴的对称点的坐标为.
（2）由得，
故设线段上一点M的坐标为，，
则有，
当时，最小，所以点M的坐标为.
4．已知空间三点，，．
(1)求线段中点的坐标，和线段的长度；
(2)求直线和直线夹角的余弦值；
(3)若点在直线上，且，求点的坐标．
【答案】(1)线段中点的坐标为，线段的长度为，
(2)直线和直线夹角的余弦值为，
(3)点的坐标为.
【分析】
【详解】（1）因为，，
所以线段中点的坐标为，
由已知，
所以，
所以线段的长度为，
（2）因为，，，
所以，，
所以，
所以直线和直线夹角的余弦值为，
（3）因为，，，
所以，
因为点在直线上，
设，
，
，
因为，所以，
所以，
解得：，故，
所以点的坐标为.
5．已知空间四点，，，.
(1)若、、、四点共面，求的值；
(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）由题意，得，,
，，，四点共面，
存在实数使得，
即，
则，解得，，，
故的值为.
（2），，
设直线和直线的夹角为，
，
因为，，所以，所以，
所以两直线和的夹角余弦值的范围是 .
6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且.
(1)求的长度；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
由题意，可设点P的坐标为，因为3＝，
所以，所以，解得，
所以点P的坐标为，所以，
所以，即的长度为.
（2）由题意可设点Q的坐标为，
因为，所以＝0，
所以·＝0，即，解得 ，
所以点Q的坐标为，
因为，所以＝λ，
所以，故.
7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．

(1)求证：；
(2)若为线段上一动点，，求的最小值．
【答案】(1)∵分别是的中点，，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面∴平面.
∵平面，∴.
(2)6
【分析】
【详解】（1）略
（2）因为，，与相交于点，且平面，平面.
所以平面.
因为平面，所以.
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

则，，.
设，
.
所以的最小值为6.
迁移创新
1．已知正方体的棱长为，点为棱的中点．若动点在正方体内部或表面上，且，则动点的轨迹所形成区域的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】空间中到两点距离相等的点的轨迹是两点连线的垂直平分面，表示点在垂直平分面靠近D的一侧，
以为原点建立空间直角坐标系，，则中点
，设动点，对展开化简： ，
消去同类项后得：，即满足条件的点都在该平面一侧，，
在平面的正方形中，的区域是四边形，顶点为，由梯形面积公式得： ，
方向长度为，体积.
2．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，．
(1)写出，写出（用含x的式子表示）；
(2)当，写出的最小值及此时x的值．
【答案】(1),；
(2)的最小值为4，.
【分析】
【详解】（1）由题可知：
,.
（2），
，.
在同一个坐标系中作出的图像如下图所示：
因为，
则函数的图像是图中加粗部分折线，
由，得，则，
由，得，则，
由图可知，当时，有最小值4.
3．设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；.
(1)设，，若，求向量；
(2)对于V中的任意单位向量，求的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】
【详解】（1）依题意得：，设，
则，或；
（2）设与的夹角为，则，
则，
故最大值为.
4．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面.
【答案】证明见解析
【详解】证明：由，且，
取的中点，连接，则，且，
所以，
又是以为直角的等腰直角三角形，所以.
过点作，垂足为，则点为的中点，且，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
故以所在的直线分别为轴，轴，过点作垂直于平面的轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
因为为棱的中点，所以，又因为点在棱上，且，
所以，则，，，
令，
则，
则，解得，
故，则共面，且向量有公共点，
所以四点共面.
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1.3 空间向量及其运算的坐标表示
课标要点 1.掌握空间直角坐标系搭建规则，理解坐标向量、坐标平面、卦限等基础概念。 2.熟记空间点与空间向量坐标定义，分清坐标轴、坐标平面上点的坐标特征。 3.熟练掌握向量加减、数乘、数量积等坐标运算，会用坐标判定平行与垂直。 4.灵活运用向量坐标、两点距离、中点公式，计算线段长度与向量夹角。
学习重难点 重点： 1.空间直角坐标系概念，点与向量坐标的定义，特殊位置点的坐标书写规律。 2.空间向量各类坐标运算公式，利用坐标判断向量共线、垂直的判定条件。 3.空间两点距离公式、向量模长与夹角公式，能结合坐标完成计算题型。 难点： 1.区分点坐标与向量坐标，正确推导两点构成向量的坐标表达式。 2.向量夹角范围易混淆，计算异面直线夹角时不会对余弦值取绝对值转换。 3.结合坐标综合证明平行、垂直，综合运用多个公式解决几何计算问题。
知识点一 空间直角坐标系
在空间选定一点和________正交基底，以为原点，分别以的方向为正方向、模长为单位长度，建立轴、轴、轴三条坐标轴，记作空间直角坐标系。
：坐标原点；：坐标向量；
坐标平面：两条坐标轴确定一个平面，分为________________三个坐标平面，将空间分为八个卦限；
画图规范：轴、轴夹角画________或________，轴竖直向上。
1.空间点的坐标
对空间任意一点，存在唯一有序实数组，满足，有序数组称为点的坐标，记作________。
：横坐标，：纵坐标，：竖坐标。
坐标轴、坐标平面上点的坐标特征：
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 ________ (0,y,0) ________
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y,0) ________ (x,0，z)
2.空间向量的坐标
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在________的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．
即学即练
1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（ ）
A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是
C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是
2．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点二 空间向量的运算及坐标的关系
设向量,那么
向量运算 坐标表示
加法 ________
减法
数乘 ________
数量积
共线
垂直 ________
向量长度 ________
向量夹角公式 ________
即学即练
3．已知空间向量，向量，则__________．
4．已知空间向量，，若，则实数的值为_________．
知识点三 向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,设．
（1）________；
（2）________；
（3）若则________
即学即练
5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
题型01空间向量的坐标表示
典｜例｜精｜析
【例1】已知点，点，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例2】在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】已知、、，若，则的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知点，点，则线段中点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】已知，，且，则点的坐标为______．
题型02空间向量的坐标运算
典｜例｜精｜析
【例3】已知向量，且与垂直，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知，，且，则（ ）
A．-5 B．1 C．3 D．5
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】已知空间向量，若共面，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式2-2】已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围是______.
题型03坐标形式解决空间向量的数量积
典｜例｜精｜析
【例5】《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
【例6】如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有__________个.
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】如图，棱长为1的正方体中，（ ）

A．0 B．1 C． D．2
【变式3-2】已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
【变式3-3】在空间直角坐标系中，已知点，，，则_____.
题型04坐标形式解决空间向量数量积的最值范围问题
典｜例｜精｜析
【例7】已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【例8】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知正六棱柱的底面边长为，是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是______.
【变式4-3】如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________.
题型05坐标形式解决空间向量的模（距离，长度）
典｜例｜精｜析
【例9】已知空间直角坐标系中的三点，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【例10】已知正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形，过点作一平面，使得三点在平面的同一侧，且三点到该平面的距离分别为，则三棱锥的侧棱长为（ ）
A． B．2.5 C． D．2.6
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】设，，，，且，，____ ．
【变式5-2】如图，在棱长为的正方体中，，分别在，上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为在基底下的坐标.正月十五赏花灯是元宵节重要的习俗之一，某花灯的主体为正六棱柱，其中，.若在基底下的坐标为，则的模为（ ）
A． B．130 C． D．
题型06坐标形式解决空间向量模的最值（范围）问题
典｜例｜精｜析
【例11】如图，四棱锥中，，平面平面．若，，且，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【例12】在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．
【变式6-2】在长方体中，，，向量，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，P是直线上一动点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
题型07坐标形式解决空间向量的夹角问题
典｜例｜精｜析
【例13】在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例14】设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________．
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】已知空间内三点，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B． C．7 D．
【变式7-2】已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（ ）
A． B． C． D．
题型08坐标形式解决空间向量的投影向量
典｜例｜精｜析
【例15】在空间直角坐标系中，向量在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．与t有关
【例16】已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为__________．
变｜式｜巩｜固
【变式8-1】已知，在的投影向量为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.
【变式8-3】空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________．
题型09坐标形式解决空间向量的平行关系
典｜例｜精｜析
【例17】已知向量，,则___________．
【例18】已知空间三点.
(1)求的面积；
(2)若向量，且，求点的坐标.
变｜式｜巩｜固
【变式9-1】已知空间两点，向量满足，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不存在
【变式9-2】正四棱台是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为__________．
【变式9-3】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型10坐标形式解决空间向量的垂直关系
典｜例｜精｜析
【例19】已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．3
【例20】已知空间三点，，．若，分别与，垂直，则向量______．
变｜式｜巩｜固
【变式10-1】已知点，向量与向量互相垂直，则实数的值为多少？
【变式10-2】给定空间三点．若向量与向量都垂直，且，则向量的坐标为___________．
【变式10-3】在空间直角坐标系中，已知，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
基础通关
一、单选题
1．已知点M在z轴上，且点M到点与到点的距离相等，则点M的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知向量满足，，，则（ ）
A． B．2 C． D．4
5．《九章算术》中将底面为直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．如图，已知在堑堵中，，则（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
6．已知空间向量，则（ ）
A． B．向量不是共面向量
C． D．
7．在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ）
A．向量的模长为2 B．向量的坐标为
C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为
三、填空题
8．已知向量，向量，若，则__________．
9．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______．
10．在正四棱台中，，，，_________．
四、解答题
11．如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．写出，，，，五点的坐标；
12．已知向量.
(1)求向量的坐标；
(2)求与夹角的正弦值.
13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．

素养提升
1．已知，，若，以下向量中可以作为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________．
3．如图，在棱长为1的正方体中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系.

(1)若点P在线段上，且满足，试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点的坐标；
(2)在（1）的条件下，在线段上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.
4．已知空间三点，，．
(1)求线段中点的坐标，和线段的长度；
(2)求直线和直线夹角的余弦值；
(3)若点在直线上，且，求点的坐标．
5．已知空间四点，，，.
(1)若、、、四点共面，求的值；
(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.
6．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且.
(1)求的长度；
(2)若，，求的值.
7．如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．

(1)求证：；
(2)若为线段上一动点，，求的最小值．
迁移创新
1．已知正方体的棱长为，点为棱的中点．若动点在正方体内部或表面上，且，则动点的轨迹所形成区域的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，．
(1)写出，写出（用含x的式子表示）；
(2)当，写出的最小值及此时x的值．
3．设全体空间向量组成的集合为，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因变量”也是向量的“向量函数”；.
(1)设，，若，求向量；
(2)对于V中的任意单位向量，求的最大值.
4．如图四棱锥，且，平面平面，且是以为直角的等腰直角三角形，其中为棱的中点，点在棱上，且.求证：四点共面.
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