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分层作业
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
目 录
1
题型01 由空间向量共线求参数或值 1
题型02空间向量模长的坐标表示 3
题型03求空间向量的数量积 4
题型04空间向量夹角余弦的坐标表示 5
题型05空间向量垂直的坐标表示 7
题型06空间向量平行的坐标表示 8
题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 9
10
12
14
题型01 由空间向量共线求参数或值
1.（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
2.（25-26高二上·北京海淀·期末）已知，，若，以下向量中可以作为的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
题型02空间向量模长的坐标表示
4.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
5.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
6.（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（ ）
A．若向量，则
B．若向量，则
C．若向量，则在上的投影向量是
D．若向量，则与共线的单位向量是
题型03求空间向量的数量积
7.（25-26高二上·安徽·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8.（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（ ）
A．-5 B． C． D．或
9.（25-26高二上·安徽·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（ ）
A． B．
C． D．
题型04空间向量夹角余弦的坐标表示
10.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
11.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
12.（24-25高二上·江西抚州·期末）（多选题）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
题型05空间向量垂直的坐标表示
13.（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．3
14.（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　）
A．3 B． C． D．
15.（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　）
A．3 B． C． D．
题型06空间向量平行的坐标表示
16.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（ ）
A． B． C．3 D．
17.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（ ）
A． B． C．3 D．
18.（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示
19.（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
20.（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
21.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
1.（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
2.（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
4.（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5.（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
6.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．7
1.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为钝角，则
D．若在上的投影向量为，则
4.（25-26高二下·福建福州·期中）（多选题）已知空间中三点，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量是
C．是平面的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
1.（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二上·山东济南·期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量的模为 D．的面积为
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分层作业
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
目 录
1
题型01 由空间向量共线求参数或值 1
题型02空间向量模长的坐标表示 3
题型03求空间向量的数量积 4
题型04空间向量夹角余弦的坐标表示 5
题型05空间向量垂直的坐标表示 7
题型06空间向量平行的坐标表示 8
题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 9
10
12
14
题型01 由空间向量共线求参数或值
1.（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】B
【解析】因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以，所以，
所以，
故选：B.
2.（25-26高二上·北京海淀·期末）已知，，若，以下向量中可以作为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，各选项中的向量均不与向量共线，只需考虑、不共线的情形，
作，，如下图所示：
作，，则、是分别与向量、同向的单位向量，
以、为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，且平分，
由向量加法的平行四边形法则可知，且有，
因为，且，则，设，即，
因为、不共线，则，所以，故，
A选项合乎题意，
故选：A.
3.（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】B
【解析】因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以，所以，
所以，
故选：B.
题型02空间向量模长的坐标表示
4.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】由，，，，
，解得，
又，则，解得，
所以，，
则，可得.
故选：C
5.（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】由，，，，
，解得，
又，则，解得，
所以，，
则，可得.
故选：C
6.（25-26高二下·浙江·期中）下列命题错误的是（ ）
A．若向量，则
B．若向量，则
C．若向量，则在上的投影向量是
D．若向量，则与共线的单位向量是
【答案】D
【解析】对于A：因为，所以，所以，A正确；
对于B：因为，所以，B正确；
对于C：因为，所以，
，所以在上的投影向量是，C正确；
对于D：因为，所以，
所以与共线的单位向量是，D错误.
题型03求空间向量的数量积
7.（25-26高二上·安徽·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得．
故选：A.
8.（25-26高二上·广东湛江·期末）已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（ ）
A．-5 B． C． D．或
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，，
又向量与夹角的余弦值为，
所以，显然，解得.
故选:B.
9.（25-26高二上·安徽·期中）已知，则在上的投影向量坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得．
故选：A.
题型04空间向量夹角余弦的坐标表示
10.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
【答案】C
【解析】对于A：因为，且，所以，
即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B错误；
对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；
对于D：因为，，
若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；
故选：C
11.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则
【答案】C
【解析】对于A：因为，且，所以，
即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；
对于B：若，则，解得，故B错误；
对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；
对于D：因为，，
若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；
故选：C
12.（24-25高二上·江西抚州·期末）（多选题）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】BD
【解析】A：，则，可得，错；
B：，则，可得，对；
C：，可得或，错；
D：，则，故，则，对.
故选：BD
题型05空间向量垂直的坐标表示
13.（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【解析】由向量，，
因为，可得，解得，
所以，则.
故选：D.
14.（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以，所以，
所以.
故选：C
15.（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以，所以，
所以.
故选：C
题型06空间向量平行的坐标表示
16.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题可得.
因，则.故选：B
17.（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题可得.
因，则.故选：B
18.（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示
【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。
【解析】
，
即，得，所以，
，.
故答案选：
题型07空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示
19.（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】向量在向量上的投影向量为
故选：A.
20.（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】向量在向量上的投影向量为
故选：A.
21.（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】由向量加法得，
所以.
1.（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】
，
即，得，所以，
，.
故答案选：
2.（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量，
因为，可得，解得，即，
则，且，
所以向量在上的投影数量为.
故选：B.
3.（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为向量，，
所以，
因为，
所以，解得.
故选：C.
4.（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为向量，，
所以，
因为，
所以，解得.
故选：C.
5.（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，解得：，
故.
6.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．7
【答案】B
【解析】因为，所以，解得，所以.
1.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上的投影向量为
.
故选：C
2.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上的投影向量为
.
故选：C
3.（24-25高二上·云南玉溪·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为钝角，则
D．若在上的投影向量为，则
【答案】D
【解析】因为向量，，
对于A选项，若，则，解得，A错；
对于B选项，若，则，解得，B错；
对于C选项，若为钝角，则且，
解得且，C错；
对于D选项，若在上的投影向量为，
即，则，解得，D对.
故选：D.
4.（25-26高二下·福建福州·期中）（多选题）已知空间中三点，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量是
C．是平面的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
【答案】CD
【解析】对于选项A，，，故A错误；
对于选项B，,方向上的单位向量是，故B错误；
对于选项C，，由于共面且不共线，
,
所以，是平面的一个法向量，故C正确；
对于选项D, ,
在上的投影向量的模为,故D正确.
1.（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】向量在法向量上的投影向量为
，
设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得，
故.
2.（25-26高二上·山东济南·期末）（多选题）在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量的模为 D．的面积为
【答案】BD
【解析】，故A错误；
，，，故B正确；
设，的夹角为，
在方向上的投影向量的模为，
故C错误；
，
又，所以，
所以的面积为，
故D正确.
故选：BD.
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