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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
课标要点 1.掌握空间直线、平面的向量表达式，能利用向量判断点在直线、平面内。 2.理解平面法向量定义，熟练掌握直接寻找、待定系数两种求法向量的方法。 3.熟记线线、线面、面面平行的向量判定条件，规范书写证明补充条件。 4.掌握三类空间垂直的向量判定，能结合基底法、坐标法完成几何证明。
学习重难点 重点： 1.直线与平面的向量参数式，平面内点的充要向量关系式，公式熟练运用。 2.平面法向量的求解方法，利用法向量判定空间平行、垂直位置关系。 3.线线、线面、面面平行与垂直的向量等价条件，证明规范书写要求。 难点： 1.区分直线、平面向量表达式的适用场景，灵活选用参数形式表示动点。 2.待定系数法求平面法向量，联立方程组计算易出错，步骤逻辑难梳理。 3.证明平行、垂直时容易遗漏直线不在平面、平面不重合等关键限制条件。
知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间直线的向量表示
设点为直线上定点，为直线的方向向量，，为直线上任意一点，为空间任意定点。
（1）点在直线上的充要条件：存在实数，满足
（2）点在直线上的充要条件（两点式）：存在实数，满足
2.空间平面的向量表示
（1）共起点双基底形式
设平面内交于一点的两条直线方向向量为，为平面内任意一点，存在唯一实数，使得：
（2）平面通用向量表达式
取空间任意一点，点在平面内的充要条件：存在实数，满足，该式称作平面的向量表示式。
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1．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线经过点，，，
与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
选项A：假设向量与共线，则，
由得，得，故不存在唯一的，使得成立，
故向量不是该直线的方向向量；
选项B：假设向量与共线，则，解得，
故向量是该直线的方向向量；
选项C：假设向量与共线，则，解得，
故向量是该直线的方向向量；
选项D：假设向量与共线，则，解得，
故向量是该直线的方向向量．
故选：A．
2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确.
知识点二 平面的法向量
1.平面法向量定义
直线平面，取直线的方向向量，则称为平面的法向量。
给定平面内一点与法向量，可唯一确定一个平面，平面可表示为集合：
2.平面法向量两种求法
（1）直接寻找法
几何图形中存在垂直平面的线段，只需证明该线段对应向量垂直平面内两条相交直线，即可直接作为法向量。
（2）待定系数法
若无现成垂线，建立空间直角坐标系，求出平面内两条相交直线的方向向量，设平面法向量，联立数量积为0的方程组求解。
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3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，
，
设平面ABC的法向量，
则，令，则，
因为ABCD四个选项中，只有B中坐标与坐标成比例，
故平面ABC的一个法向量是.
故选：B
知识点三 空间平行关系的向量表示
设分别为直线的方向向量；分别为平面的法向量。
1.线线平行
判定条件：存在实数，使得
补充说明：仅向量共线不足以证明直线平行，必须额外说明两条直线无重合部分。
证明思路：
①基底法：用基底表示两条直线方向向量，利用向量共线充要条件证明；
②坐标法：建系写出向量坐标，通过分量成比例判定平行。
2.线面平行
判定条件：，即
补充说明：必须明确直线在平面外，否则直线在平面内，不属于线面平行。
核心逻辑：直线方向向量与平面法向量垂直，则直线与平面无交点。
3.面面平行
判定条件：存在实数，使得
补充说明：需说明两平面不重合，避免两平面完全重合的特殊情况。
证明思路：
①法向量法：证明两个平面的法向量互相平行；
②转化法：将面面平行转化为两组相交直线分别平行，再用向量共线证明。
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4．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可得，所以，即.
5．已知平面的法向量分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，平面的法向量分别为，，
，，
，，
，，，.
故选：B.
知识点四 空间垂直关系的向量表示
设分别为直线的方向向量；分别为平面的法向量。
1.线线垂直
判定条件：
补充说明：相交垂直、异面垂直均可统一用该条件判定；
证明思路：基底法或坐标法，只需证明两直线方向向量数量积等于0。
2.线面垂直
判定条件：存在实数，使得
证明思路：
①基底法：证明直线方向向量与平面内两条不共线向量数量积均为0；
②坐标法：建系计算向量坐标，验证直线向量与平面内两相交向量点积均为0；
③法向量法：证明直线方向向量与平面法向量共线。
3.面面垂直
判定条件：
证明思路：
①转化法：依据面面垂直判定定理，转化为线面垂直、线线垂直证明；
②法向量法：直接证明两个平面的法向量互相垂直，数量积为0即可。
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6．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知：
由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”，
所以“”是“”的充分必要条件，故C正确.
7．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.
(1)证明：；
(2)证明：平面.
【答案】(1)
如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
所以，
所以.
(2)
方法一：
由（1）知，，
设平面的一个法向量为，
由且，
得，
令得，
所以，
可得：，
所以：平面.
方法二：
由（1）可知：，
有，
所以，
因为平面，平面，且，
所以平面.
【分析】
【详解】（1）略
（2）略
题型01平面的法向量及其求法
典｜例｜精｜析
【例1】已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图
以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，，
，
设平面的法向量为，则 且，
即
化简得，，
令，则，，即法向量为.
故选：A.
【例2】在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，
，
且
设平面的一个法向量，则，
所以，
所以，
所以，取，则.
故选：A
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________.
【答案】9
【详解】由点，得，
由是平面的一个法向量，且点，得，
因此，所以.
故答案为：9
【变式1-2】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解析：因为，，所以.
平面的法向量，则，
所以，即.
故选：A.
【变式1-3】（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】，
由为平面的一个法向量，得
得
解得，故AC正确，BD错误.
故选：AC.
题型02利用向量方法证明线线平行、垂直
典｜例｜精｜析
【例3】已知，且，则的值分别为（ ）
A．3，1 B．4， C．3， D．1，1
【答案】C
【详解】已知，，且，
则存在实数使得,
即：，解得：.
【例4】（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设，到平面的距离为，
则，
则，，，，，，
又E，F，G，H分别为，，，的中点，
则，，，，
对于A，由，，则，故A正确；
对于B，由，，则，故B正确；
对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确；
对于D，由，，，得与不垂直，故D错误．
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设正方形的边长为2，取中点O点，连接，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，又，
故可以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
，，，
A：因为和之间并没有倍数关系，所以和不共线，则AB与CD不平行，A错误；
B：因为和之间并没有倍数关系，所以和不共线，则AD与BC不平行，B错误；
C：，所以与不垂直，则AB与CD不垂直，C错误；
D：因为，所以，所以，D正确．
故选：D
【变式2-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；
【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
又，，，分别是棱，，，的中点，．
所以，，，．
所以，，
则，而点直线，所以．
【详解】略.
【变式2-3】如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设，则，
因为，则，即，
所以，
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.
故选：B.
题型03利用向量方法证明线面平行
典｜例｜精｜析
【例5】已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】当时，直线与平面平行或直线在平面内，
因此，“”不能推出“直线与平面平行”，所以充分性不成立.
如果直线与平面平行，那么直线的方向向量与平面的一个法向量一定垂直，
所以“直线与平面平行”可以推出“”，因此必要性成立.
综上，“”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.
故选：B
【例6】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知：，
设，则．
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
因为平面，则，
即，解得，即点坐标为．
故选：B.
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
(1)写出点，，的坐标；
(2)求平面的一个法向量；
(3)证明：直线平面．
【答案】(1)；；
(2)（答案不唯一）
(3)
由（1）可知，，所以，
由（2）可知，平面的法向量为，
所以，所以，因为平面，
所以直线平面.
【分析】
【详解】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
且正方体的棱长为，所以，，.
（2）因为，，，
所以，，设平面的法向量为，
所以，得，
令，所以，所以平面的一个法向量为.
（3）略
【变式3-2】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)若是的中点，证明：平面；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）.
（2）由题意，以原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如下图：
所以
，
所以，
设平面的法向量，则，
令，则，
因为，所以，
且平面，则平面.
【变式3-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.
【答案】证明：如图，
因为H，P分别是BC，AB的中点，所以，
因为，可得，又因为平面ABC，
以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，，，，，
所以向量，且平面的法向量为，
则，所以，
又因为平面，所以平面.
【详解】略.
题型04利用向量方法证明面面平行
典｜例｜精｜析
【例7】已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
又因为，所以，
存在一个非零实数，使得，
即，有，解得.
故选：B
【例8】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，，．

由正方体的性质，知平面，
所以为平面的一个法向量．
由于，
则，
所以．
又平面，
所以平面．
（2）证明：因为为平面的一个法向量，
由于，，
则，
即也是平面MNP的一个法向量，
所以平面平面．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为__________.
【答案】1
【详解】解： ， ，
存在实数使得
，解得
故答案为：
【变式4-2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则．
所以，，，，
设是平面EFG的法向量，
则，，即，得，
令，则，，所以，
设是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，则，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
【变式4-3】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB．
【答案】证明见解析
【详解】因为为正方形，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，且平面，则，
所以为二面角的平面角，即，
又因为平面∥平面QBC，∥，
所以平面，且平面，则，
所以为二面角的平面角，即，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以∥，
且平面，平面，所以∥平面，
又因为∥，平面，平面，所以∥平面，
因为，平面，
所以平面∥平面QAB．
题型05利用向量方法证明线面垂直
典｜例｜精｜析
【例9】如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.

(1)求点的坐标.
(2)证明：四点共面.
(3)证明：平面.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意可得的坐标为，的坐标为，
的坐标为.
（2）连接，

由题意可得
则
所以，所以，
故四点共面.
（3）由题意可得
则
所以，
因为平面平面，且，所以平面.
【例10】如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面；
【答案】证明见解析
【详解】证明：在直三棱柱中，，显然射线两两垂直，
以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
因为，，D为BC的中点，E为上的点，且，
则，，
于是，即，
而平面，
所以平面.
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】直三棱柱中，，，，分别是的中点．

(1)求的值；
(2)求证：⊥平面．
【答案】(1)
(2)证明：求得，．
∴，，，
∴，，
∴，，即，
又平面，平面，，
∴⊥平面．
【分析】
【详解】（1）直三棱柱中，平面，又，
以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意得，，
∴，，，，，
所以；
（2）略
【变式5-2】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．

【答案】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，
，
设平面的一个法向量为，
则即，
令，则，
所以，故直线平面．
【详解】略
【变式5-3】如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
(1)证明：，，，四点共面；
(2)若点在棱，且平面，求的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】
【详解】（1）证明：连接，，，
因为，，，分别为棱，，，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，
所以，所以，，，四点共面.
（2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别为棱，，，的中点，
可得，，，，
则，，
设，即，则，
由平面，故，
即，解得，
所以.
题型06利用向量方法证明面面垂直
典｜例｜精｜析
【例11】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面
【答案】证明见解析
【详解】由题意易知两两互相垂直.
如图，以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系.设.
依题意有，
则，
所以，
，
即，
又，平面，
故平面.又平面，
所以平面平面.
【例12】如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【详解】由题意得两两垂直，以B为原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
设平面AEC1的一个法向量为，
则，
令，得，所以，
因为，
所以，所以平面平面.
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE；
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为底面ABCD是菱形，所以，
因为平面ABCD，平面，
所以，
所以BO，CO，PO互相垂直，
所以以点O为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
由，，可知相关点坐标如下：
，，，，，
因为平面，
所以平面
所以平面PBD的一个法向量为，
因为，所以，
故平面PBD，
因为平面，
所以平面平面ACE.
【变式6-2】在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，.
，即.
又平面平面，所以平面.
（2）证明：由（1）可知，，
因为，
所以，即.
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【变式6-3】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证：
(1)；
(2)平面平面.
【答案】(1)取的中点为，连接，
因为，
所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
又因为四棱锥的底面是直角梯形，
所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，
所以，，
所以，即.
(2)，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，可以求得面的一个法向量；
设平面的法向量为，则，
令，则，，可以求得面的一个法向量，
又因为，所以，平面平面.
【分析】
【详解】（1）略
（2）略
题型07利用向量方法探索平行、垂直问题
典｜例｜精｜析
【例13】如图，在长方体中，.

(1)求证：平面平面.（使用向量方法）
(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为线段的中点
【分析】
【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，
则.
设平面的法向量为，
则，所以，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，所以，取，则，
所以平面的一个法向量为，
因为，即，所以平面平面.
（2）设线段上存在点，使得平面，
设，
由（1）得，平面的一个法向量为，
所以，
令，解得，
所以当为线段的中点时，平面.
【例14】如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．

【答案】存在，，理由见解析
【详解】存在，理由如下：
由题意可知，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴可建立如图所示的空间直角坐标系，

则,
因点P，Q分别是棱BB1，DD1的中点，则，
则，
设，则，
若平面，则，
得，
故存在点，使得平面.
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点，
(1)求证：平面 ；
(2)求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】
【详解】（1）
如图，连接交于点，连接，由正方形可得：
因是的中点， 则，
又因平面，平面，
故平面.
（2）因则,
故有,因平面，故平面.
（3）
由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，因E是的中点，则，
设，解得，则得,,
设平面的法向量为，则
故可取.由平面可得，
即，解得，即存在点时，满足平面，
此时，.
【变式7-2】在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）由题得，
则，
设平面的法向量为，则;
令，则，则平面的一个法向量为.
（2）由题意得，
则，
设，则.
因为平面，所以为平面的一个法向量，
则，解得
所以存在点，使得平面.
【变式7-3】平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）取中点，连接，如图，

又为的中点，
，由，则，
又为等腰直角三角形，，，
，又，平面，
平面，又平面，
（2）平面平面，平面平面，，平面，
平面，平面，故，
故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，
，
则，，，
若存在使得平面平面，且，，
则，解得，，
则，，
设为平面的一个法向量，则，
令，即，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，
，可得．
存在使得平面平面，此时
基础通关
一、单选题
1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．或 B．
C． D．与斜交
【答案】A
【详解】由，得，
所以或.
2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，得，则，故B正确；
令，则，即不符合题意，故A错误；
令，则，即不符合题意，故C错误；
令，则，即不符合题意，故D错误.
故选：B．
3．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，，，是中点，则，
因此，
对于A选项，，不是法向量，A错；
对于B选项，，是法向量，B正确；
对于C选项，，不是法向量，C错；
对于D选项，，不是法向量，D错；
故选：B．
二、多选题
4．直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，，故可为平面的法向量；
对于B，若，则，无解，故不为平面的法向量；
对于C，，故可为平面的法向量；
对于D，若，则，无解，故不为平面的法向量；
故选：AC.
5．如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BCD
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
对于A，，显然与没有倍数关系，
故不平行，即与不平行，故A错误；
对于B，平面的一个法向量为，
，故，又平面，故平面，故B正确；
对于C，因，，
则，所以，故C正确；
对于D，，，
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
因，则与平行，故平面，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
6．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且，则_____________.
【答案】4
【详解】由题意得，则，得，，所以.
故答案为：4.
7．平面的法向量分别为，请在①，②中选择一个填在横线上，并写出答案，若选___________，则___________．
【答案】 答案见解析 答案见解析
【详解】若选①：由，得，显然，则，
解得；
若选②：由，得，则，则，
解得.
故答案为：①，；或②，2
8．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______.
【答案】
【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
设，，,
因为，所以，得，
此时，，所以
四、解答题
9．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
(2)
由（1）易得，
因，故.
【分析】
【详解】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图，易得，，，.
设，则，
由代入坐标，可得，
解得，故点的坐标为.
（2）略
10．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面；
【答案】证明见解析
【详解】在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，
则，
平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
11．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．
【答案】证明见解析
【详解】
如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系.
又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，
则, ,
于是，不妨设平面PCD的法向量为，
则有令，故可取，
因，则平面PCD.
12．已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF．
【答案】
证明：如图，以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

建立空间直角坐标系，则，，，
，，，．
于是，，，．
设是平面AMN的法向量，则
取，得，，则．
设是平面BDEF的法向量，
则
取，得，，则．
又平面AMN与平面BDEF不重合，
故平面平面BDEF．
【详解】略
13．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？

【答案】答案见解析
【详解】

如图所示，以A为原点，所在直线分别为横、纵、竖轴建立空间直角坐标系，则，即,
由条件易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则有，
令，则，即平面的一个法向量为，
，故平面与平面不可能垂直．
素养提升
1．（多选）如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（ ）
A． B．平面
C． D．
【答案】ABD
【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.
由题意得，，，；二面角的平面角为，，故.
对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确.
对选项B，由，，，得平面，
又，故平面，故B正确.
对选项C，，平面的法向量为，
因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误.
对选项D，，，即，故D正确.
2．在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】设正方体的棱长为2，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以
，所以，，
设平面的法向量为，则，即，
令，解得，所以.
在正方体的8个顶点中任取两点，可以得到12条棱，12条对角线，4条体对角线.
欲求与平面平行的直线，应满足直线的方向向量与平面的法向量垂直，
因为棱的方向向量分别是，显然与都不垂直；
面对角线的方向向量，
显然满足题意，同理可验证只有，，
直线显然都在面外，所以满足题意，
同理体对角线均不满足题意，
所以满足条件的直线有
故选：C
3．已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球的表面积为______．
【答案】
【详解】如图：

取中点，中点，连接，，则，，
分别以，为，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，设，则，，
因为，所以，，又，
所以，所以，．
设球心的坐标为，球半径为，
由得，
所以，，所以球的表面积．
故答案为：
4．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

【答案】
【详解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则,，
设面的一个法向量,
则,即，
令得，
因为平面，所以,即，
所以得，
,所以，
因为，所以．
故答案为：．
5．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面；
【答案】解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
于是，且向量不共线，
所以向量共面，又向量有公共点，
所以四点共面.
解法二：延长交于点，连接交于点；
因为，所以；
又，所以，而，所以点与点重合，
故四点共面.
【分析】
【详解】略
6．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求．
【答案】(1)因为平面平面 ，所以 ．
因为平面，所以 平面 ．
因为 平面，所以平面平面 ．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）（方法一）如图，连接并延长，与的延长线交于点，连接．
因为平面平面 ，
平面平面，所以．
因为是 的中点，所以是的中点，所以．
过点作，交于点 ，因为是的中点，所以，
因为是的中点，所以，所以．
因为，所以，
因为是的中点，，所以
所以，
则在直角 中，可得，所以．
（方法二）以为坐标原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，
是的中点，是的中点，所以．
设，
所以．
因为平面 的法向量平面 ，所以，
所以，即，所以，所以．
7．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.

(1)若，证明：平面OCE；
(2)若，平面平面PBC，求λ的值．
【答案】(1)
取中点F，设与交于点G，连接，，
由知D为中点，且F为中点，则，
则E为中点，且G为中点，
因为O为中点，则，
且平面，平面，
所以平面．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）因为C在圆周上，为直径，则，同时，由圆锥知平面，
则以C为原点，、、过C与平行的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因，
则，，，，．
可得，，，，
设平面的一个法向量，则，
令，则，可得；
设平面的一个法向量，则。
令，则，可得，
若平面平面，则，解得．
故的值为．
迁移创新
1．为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______.
【答案】/
【详解】如图，设单位正方体顶点坐标A为坐标原点，以所在直线为轴所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则
设因为所以
所以即.
面可表示为所以无解
面可表示为所以无解;
面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度；
面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度；
面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为；
面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为；
所以点的轨迹总长度：
故答案为：.
2．在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______.
【答案】/
【详解】如图，分别以方向为轴建立空间直角坐标系可得：
，
，
设平面的法向量，则，得，
令，即.
由于直线与平面平行，则，得：，
即：.
，
，
可知，由于，当时，取得最小值，最小值为.
故答案为：.
3．（多选）在正方体中，点分别满足，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点与点到平面的距离相等
D．当时，总有
【答案】ACD
【详解】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系，如图，
，
对于A，，A正确；
对于B，，，，
则与不垂直，因此与平面不垂直，B错误；
对于C，当时，是线段的中点，点与点到平面的距离相等，C正确；
对于D，，，而，则，D正确.
故选：ACD
4．在长方体中，已知，，点在平面上的射影为．
(1)设，求，的值；
(2)已知，，其中．若平面，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
设，则，
点在平面上的射影为，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，⊥，
，
由得
，
即，
，
由得，
故，则，
将其代入中，可得，
整理得，解得，
（2），
设，，
因为，，所以，
所以，，
所以，，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，其中．
故，
若平面，则，即，
故，
其中，故，
上式可化简得，
若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去，
故，解得
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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
课标要点 1.掌握空间直线、平面的向量表达式，能利用向量判断点在直线、平面内。 2.理解平面法向量定义，熟练掌握直接寻找、待定系数两种求法向量的方法。 3.熟记线线、线面、面面平行的向量判定条件，规范书写证明补充条件。 4.掌握三类空间垂直的向量判定，能结合基底法、坐标法完成几何证明。
学习重难点 重点： 1.直线与平面的向量参数式，平面内点的充要向量关系式，公式熟练运用。 2.平面法向量的求解方法，利用法向量判定空间平行、垂直位置关系。 3.线线、线面、面面平行与垂直的向量等价条件，证明规范书写要求。 难点： 1.区分直线、平面向量表达式的适用场景，灵活选用参数形式表示动点。 2.待定系数法求平面法向量，联立方程组计算易出错，步骤逻辑难梳理。 3.证明平行、垂直时容易遗漏直线不在平面、平面不重合等关键限制条件。
知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间直线的向量表示
设点为直线上定点，为直线的方向向量，，为直线上任意一点，为空间任意定点。
（1）点在直线上的充要条件：存在实数，满足
（2）点在直线上的充要条件（两点式）：存在实数，满足
2.空间平面的向量表示
（1）共起点双基底形式
设平面内交于一点的两条直线方向向量为，为平面内任意一点，存在唯一实数，使得：
（2）平面通用向量表达式
取空间任意一点，点在平面内的充要条件：存在实数，满足，该式称作平面的向量表示式。
即学即练
1．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（ ）
A． B． C． D．
知识点二 平面的法向量
1.平面法向量定义
直线平面，取直线的方向向量，则称为平面的法向量。
给定平面内一点与法向量，可唯一确定一个平面，平面可表示为集合：
2.平面法向量两种求法
（1）直接寻找法
几何图形中存在垂直平面的线段，只需证明该线段对应向量垂直平面内两条相交直线，即可直接作为法向量。
（2）待定系数法
若无现成垂线，建立空间直角坐标系，求出平面内两条相交直线的方向向量，设平面法向量，联立数量积为0的方程组求解。
即学即练
3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，.则平面ABC的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
知识点三 空间平行关系的向量表示
设分别为直线的方向向量；分别为平面的法向量。
1.线线平行
判定条件：存在实数，使得
补充说明：仅向量共线不足以证明直线平行，必须额外说明两条直线无重合部分。
证明思路：
①基底法：用基底表示两条直线方向向量，利用向量共线充要条件证明；
②坐标法：建系写出向量坐标，通过分量成比例判定平行。
2.线面平行
判定条件：，即
补充说明：必须明确直线在平面外，否则直线在平面内，不属于线面平行。
核心逻辑：直线方向向量与平面法向量垂直，则直线与平面无交点。
3.面面平行
判定条件：存在实数，使得
补充说明：需说明两平面不重合，避免两平面完全重合的特殊情况。
证明思路：
①法向量法：证明两个平面的法向量互相平行；
②转化法：将面面平行转化为两组相交直线分别平行，再用向量共线证明。
即学即练
4．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面的法向量分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
知识点四 空间垂直关系的向量表示
设分别为直线的方向向量；分别为平面的法向量。
1.线线垂直
判定条件：
补充说明：相交垂直、异面垂直均可统一用该条件判定；
证明思路：基底法或坐标法，只需证明两直线方向向量数量积等于0。
2.线面垂直
判定条件：存在实数，使得
证明思路：
①基底法：证明直线方向向量与平面内两条不共线向量数量积均为0；
②坐标法：建系计算向量坐标，验证直线向量与平面内两相交向量点积均为0；
③法向量法：证明直线方向向量与平面法向量共线。
3.面面垂直
判定条件：
证明思路：
①转化法：依据面面垂直判定定理，转化为线面垂直、线线垂直证明；
②法向量法：直接证明两个平面的法向量互相垂直，数量积为0即可。
即学即练
6．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点.
(1)证明：；
(2)证明：平面.
题型01平面的法向量及其求法
典｜例｜精｜析
【例1】已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【例2】在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（ ）
A． B．
C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则__________.
【变式1-2】已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ）
A． B．
C． D．
题型02利用向量方法证明线线平行、垂直
典｜例｜精｜析
【例3】已知，且，则的值分别为（ ）
A．3，1 B．4， C．3， D．1，1
【例4】（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】若将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；
【变式2-3】如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型03利用向量方法证明线面平行
典｜例｜精｜析
【例5】已知是空间中直线的方向向量，是平面的一个法向量，那么“”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例6】如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系．
(1)写出点，，的坐标；
(2)求平面的一个法向量；
(3)证明：直线平面．
【变式3-2】如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)若是的中点，证明：平面；
【变式3-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面.
题型04利用向量方法证明面面平行
典｜例｜精｜析
【例7】已知平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例8】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：

(1)平面；
(2)平面平面．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为__________.
【变式4-2】如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【变式4-3】如图，在八面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面∥平面QBC，二面角与二面角的大小都是，，．证明：平面∥平面QAB．
题型05利用向量方法证明线面垂直
典｜例｜精｜析
【例9】如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴 轴 轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.

(1)求点的坐标.
(2)证明：四点共面.
(3)证明：平面.
【例10】如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面；
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】直三棱柱中，，，，分别是的中点．

(1)求的值；
(2)求证：⊥平面．
【变式5-2】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．

【变式5-3】如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
(1)证明：，，，四点共面；
(2)若点在棱，且平面，求的长度.
题型06利用向量方法证明面面垂直
典｜例｜精｜析
【例11】如图，四边形为正方形，平面，，.证明：平面平面
【例12】如图所示，在直三棱柱中，，，，E为的中点，证明：平面平面.
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE；
【变式6-2】在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
【变式6-3】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证：
(1)；
(2)平面平面.
题型07利用向量方法探索平行、垂直问题
典｜例｜精｜析
【例13】如图，在长方体中，.

(1)求证：平面平面.（使用向量方法）
(2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【例14】如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别是棱的中点．在底面ABCD内是否存在点M，满足平面？若存在，请说明点M的位置，若不存在，请说明理由．

变｜式｜巩｜固
【变式7-1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点，
(1)求证：平面 ；
(2)求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由.
【变式7-2】在长方体中，是上靠近点的三等分点.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)在平面上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式7-3】平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．

(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
基础通关
一、单选题
1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A．或 B．
C． D．与斜交
2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．直的一个方向向量为，若，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
三、填空题
6．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且，则_____________.
7．平面的法向量分别为，请在①，②中选择一个填在横线上，并写出答案，若选___________，则___________．
8．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______.
四、解答题
9．如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
10．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面；
11．如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．
12．已知正方体的棱长为a，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．求证：平面平面BDEF．
13．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，底面，且，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量，判断平面与平面是否有可能垂直？

素养提升
1．（多选）如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（ ）
A． B．平面
C． D．
2．在正方体中，分别为中点，则在正方体的八个顶点中任取两个顶点确定的直线中，与平面平行的条数有（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，四边形是边长为2的正方形，是等边三角形，，则球的表面积为______．
4．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

5．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面；
6．如图，在四面体中，平面，．是的中点，是的中点，点在线段上．
(1)求证：平面平面；
(2)若平面，求．
7．如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B），，.

(1)若，证明：平面OCE；
(2)若，平面平面PBC，求λ的值．
迁移创新
1．为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______.
2．在长方体中，，分别是棱的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______.
3．（多选）在正方体中，点分别满足，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点与点到平面的距离相等
D．当时，总有
4．在长方体中，已知，，点在平面上的射影为．
(1)设，求，的值；
(2)已知，，其中．若平面，求的值．
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