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1.4.2 用空间向量研究距离和夹角
课标要点 1.理解点到直线、点到平面距离的向量推导过程，熟记两类距离计算公式。 2.掌握平行线、线面、平行平面距离向点距转化的解题思路与转化条件。 3.分清异面直线、线面、面面夹角定义，牢记对应向量计算公式与取值范围。 4.能结合空间直角坐标系，完整完成距离、空间角的向量计算类题型。
学习重难点 重点： 1.点到直线、点到平面距离向量公式，三类平行距离的等价转化方法。 2.异面直线、线面、两平面夹角的向量公式，角度取值范围与符号要求。 3.结合坐标运算，利用方向向量、法向量求解空间距离与各类夹角。 难点： 1.区分线面角公式正弦形式，易和异面直线夹角余弦公式发生混淆。 2.区分二面角与两平面夹角，判断法向量夹角取锐角还是钝角。 3.点到直线距离利用投影结合勾股定理推导，几何逻辑不易理清。
知识点一 空间距离的向量求法
1.点到直线的距离
设直线单位方向向量为，为直线外一点，在上，在上投影向量为，
点到直线距离公式：
2.点到平面的距离
设平面法向量为，为平面外一点，为平面内任意一点，
点到平面距离公式：
即学即练
1．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】建立如图空间直角坐标系，

则，
，.
故点到直线的距离.
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易得，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
则点到平面的距离为.
知识点二 空间角的向量求法
1.异面直线所成角
设异面直线方向向量为，夹角为，
公式：，说明：；异面直线夹角与向量夹角相等或互补，取锐角、直角。
2.直线与平面所成角
设直线方向向量，平面法向量，线面角为，
公式：，说明：；线面角是方向向量与法向量锐角的余角。
3.两平面的夹角（二面角锐角/直角）
两平面法向量，平面夹角为，
公式：，说明：；平面夹角为两法向量夹角或其补角，取较小角。
即学即练
3．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）
【答案】/
【详解】设直线l与平面所成的角为，
依题意，可得，所以，
即直线l与平面所成的角为.
4．如图，在三棱锥中，两两垂直，

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系；
，,；
设平面的一个法向量为，则，
令，得，即，
设直线与平面所成角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
易求平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，易知为锐角，则，
所以二面角的余弦值为.

题型01 求点到直线的距离
典｜例｜精｜析
【例1】已知，，，则点A到直线BC的距离为__________．
【答案】
【详解】已知，，，
所以，.
进而，.
，进而.
则点到的距离.
【例2】在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为平面，所以，又，所以.
可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
所以，
所以在方向上的投影为，
所以点到直线的距离为．
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，平面，，
因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系：
则，，，，，
直线 的方向向量， ，
点到直线的距离.
【变式1-2】在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．
【答案】
【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP.
由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直，
则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
因为，，所以，，
则，
所以，
则点到直线的距离是.
故答案为：.
【变式1-3】鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
因为，分别是棱，的中点，所以，.
因为点是线段的中点，所以.
所以，，
所以点到直线的距离为
.
故选：D.
题型02 求点到平面的距离
典｜例｜精｜析
【例3】已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，则，又平面的法向量为，
则点到平面的距离为.
【例4】如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.

(1)证明：四点共面；
(2)设平面与棱的交点为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
则，
于是，且向量不共线，
所以向量共面，又向量有公共点，
所以四点共面.
解法二：延长交于点，连接交于点，
因为，所以，且，
所以，所以，所以点与点重合，
故四点共面.

（2）解法一：设，则，由点平面，得，
即，
得，解得，，，即.
，而，则，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，所以.
设点到平面的距离为，
则，所以点到平面的距离为.
解法二：等体积法，连接，设点到平面的距离为，如图：

由解法一知，
所以，
.
由，所以，，
解得，点到平面的距离为.
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．
【答案】
【详解】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则
∴，，．
设平面的法向量为，
则即取，则，所以，
所以点C1到平面AD1C的距离为＝．
【变式2-2】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，
(1)求证：直线平面；
(2)求直线到平面的距离；
【答案】(1)证明：因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设，
因为
则，
又因为是的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则有，
所以是平面的一个法向量，
又因为，所以，
因为平面，所以直线平面．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为，
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，
又因为，所以直线到平面的距离为．
【变式2-3】如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．

(1)证明：平面；
(2)当为时，求点到平面的距离．
【答案】(1)在梯形中，，则四边形为平行四边形，
而，则是矩形，即
在四棱锥中，，
而平面，所以平面.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）解法一：已知，，则是正三角形，
取的中点，连接，，则有，

又平面，于是平面，
而，则平面，
又平面，则平面平面，
在平面内过作于，
而平面平面，因此平面，
又，平面，平面，所以平面，
于是点到平面的距离等于，
而，由（1）知，平面，
则平面，又平面，则，而，
则，，
所以点到平面的距离为.
解法二：已知，，则是正三角形，

取的中点，连接，，则有，
由（1）知，平面，
则平面，又平面，则，
如图建立空间直角坐标系，
则可得，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
取，
则
所以点B到平面的距离为
题型03 求异面直线所成角
典｜例｜精｜析
【例5】如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，，
因为，所以.
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面平面，所以.
如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
则.
因为是的中点，所以.
所以.
设直线与直线所成角为，
则
.
所以直线与直线所成角的余弦值为.
【例6】圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
【答案】
【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则由已知有，
连接，因为，所以，所以，
所以，
即.
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
则，，，.
∴，
，, .
设直线和所成角为，则，
所以.
【变式3-2】在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________．
【答案】
【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面，
故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.

设，可得，，，，.
因为为的中点，因此的坐标为.
则直线的方向向量，直线的方向向量.
设异面直线与所成角为，，
，
，；
所以.
因此直线与所成角的余弦值为.
【变式3-3】如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为.
（2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接.
因为，
所以则，所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示
由题意得，所以.
设异面直线与所成的角为，则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
题型04 求直线与平面所成的角
典｜例｜精｜析
【例7】如图，在三棱柱中，平面，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以，
又，，平面，得平面.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）以为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，可得，，，，，
则，，.
设平面的法向量为，
则有即
取，则，
记直线与平面所成的角为，
故.
【例8】如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)因为侧面是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得．
设直线与平面所成的角为θ，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
方法二：设与的交点为O，连接OB，

因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线，
则即为直线与平面所成的角．
因为，四边形是正方形，所以，．
又，
所以，．
所以．
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
即直线与平面所成角的正弦值为．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点．
(1)若，求，，的值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】
【详解】（1）不妨设正方体棱长为3.
如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
是、交点，故，
是靠近的三等分点，则，
向量，，，，
因为，
则，
即，解得.
则.
（2），，，设平面法向量，
则，
令，得，
设线面角为，满足，
因为，
，，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
【变式4-2】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)在三棱柱中，，，
，则.
又四边形是正方形，则，，所以.
又，平面，因此平面.
又平面，所以.
在等边中，为中点，则，
又，平面，所以平面.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）
取中点为，中点为，则，.
由（1）知，平面，平面，则.
又，故，，平面，
则平面，即两两垂直.
以为坐标原点，，，的方向为轴 轴 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)因为，分别是，的中点，所以，
又因面，面，所以面.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）过点作垂直直线于点，由题目可得为的中点，面，
则以为轴的正方向，以为轴的正方向，
过点作平行于且以为轴的正方向，
则由题可得，
故，
设面的法向量为，则，
即，令，
则解得，
设直线与平面所成角为，
则.
题型05 求平面与平面的夹角
典｜例｜精｜析
【例9】如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接，设交于点，则平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设底面边长为，则，
显然是平面的一个法向量，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设二面角为，则由图可知，为钝角，
所以.
【例10】如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证法一：取中点N，连结，，，，
在直三棱柱中，，，，
所以，所以，所以，即，
因为为中点，可得，所以，
所以，且，
又因为，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以，
又因为，且平面，所以平面．
证法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，
可得，，，，，，，
所以，可得，，，
因为，，可得，，
即，，
又因为，且平面，所以平面．
(2)1
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
因为向量，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
设平面与平面所成二面角为，可得，
所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、，则，，
设平面的一个法向量为，
所以，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
故平面与平面的夹角余弦值是.
【变式5-2】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．

(1)证明：平面；
(2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角．
【答案】(1)取的中点为，连接．
因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且，
又因为分别为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以平面；
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．

因为与底面所成角为，即，所以．
过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以．
又因为平面，平面，所以.
又因为平面，，
所以平面，平面，所以．
因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即。
又因为四边形是矩形，所以，所以，即．
设，则．
则，
设平面的法向量为，
则，即.
因为，即，则，令，则，所以；
设平面的法向量为，
则，即，即，
令，则，所以．
设平面与平面的夹角为，则，
所以，即平面与平面的夹角为．
【变式5-3】如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示．
(1)若平面平面ABCE，证明：平面；
(2)若二面角为120°，求二面角的余弦值．
【答案】(1)在平行四边形中，因为是的中点，
所以．
又，则，，
所以，．
又，则，即．
又平面平面，平面平面，
所以平面．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）分别取，的中点，，连接，．
由（1）知，．
因为，分别为，的中点，所以，则．
因为，所以，，
所以为二面角的平面角，则.
由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，
，，．
设平面的法向量为，所以
令，则．
设平面的法向量为，所以
令，则．
所以，
所以二面角的余弦值为．
题型06 已知夹角求参数
典｜例｜精｜析
【例11】已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______．
【答案】1
【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，设，则，
设平面BEF的法向量为，则即
令，则，所以，
解得，即．
故答案为：1.
【例12】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
(1)若，证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值．
【答案】(1)
如图连接交于点，连接
因为且，
所以，
因为，所以，
所以，所以 ，
又因为平面，平面,
所以平面
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）如图建立空间直角坐标系，则,，
则,，
因为，所以，
所以，
设平面的一个法向量，
则 ，即，令，得，
所以，解得或（舍）
所以的值为.
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______．
【答案】1
【详解】四棱锥的底面是正方形，底面，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，
设平面和平面的法向量分别为，
则，令，得；
，令，得，
依题意，解得，所以.
故答案为：1
【变式6-2】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）．
(1)求证：对任意的，都有；
(2)若二面角的大小为，求λ的值．
【答案】(1)证法1：证明：连接，由底面是正方形可得．
因为平面，平面，所以，
又因为,平面，
所以平面，
因为点E是上的点，所以平面，所以.
证法2：以D为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
，．
，
即对任意的，都有.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）解法1：平面，平面，．
又底面是正方形，
又，平面．
因为平面，所以，
过点D在平面内作于点F，连接，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
故是二面角的平面角，即．
在中，，，，
于是，．
在中，，
即．
由，得解．
解法2：为平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
则，，
，即
取，得
由，解得.
【变式6-3】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长.
【答案】(1)证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意，
因为和分别为和的中点，得，则；
平面的法向量为，；
因为直线平面，所以平面.
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）略
（2），，，
设为平面的法向量，则，
不妨设，可得；
设为平面的法向量，则，
不妨设，可得；
因此有，
平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）设，其中，则，从而，
又平面的法向量为，
设直线与平面夹角为，则：
整理得：，又，解得.
题型07 求夹角的取值范围
典｜例｜精｜析
【例13】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.

(1)证明：；
(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围.
【答案】(1)由已知，得；
又因为底面，底面，故；
因为，，，平面，
所以平面，平面，故.
(2)
(3)或不存在
【分析】
【详解】（1）略
（2）因为底面，底面，所以，
又因为，所以，因此两两垂直.
因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：

则.
在中，，，所以为等边三角形，所以.
又因为，，所以.
在中，，，，
所以，.
因此，因为是中点，故.
设平面的法向量为，，，
则，，令，得，
所以平面的法向量.
设平面的法向量为，，，
则，，令，则，
所以平面的法向量.
设平面与平面的夹角为，
则.
故平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设在上，设，且，
得，，
设平面的法向量为，，，
则，，
令，则，所以.
因为，平面的法向量为，
所以，
因为，所以，所以，因此，
若，则，得，，解得.
当时，，此时，所以的值不存在；
当时，，此时，所以，
所以，
得，
①时，，
因为函数在单调递减，且，，

所以，因此得；
②时，，
因为函数在单调递增，且，，

所以，因此得.
综上所述，当时，的值不存在；当时，.
因此的取值范围是或不存在.
【例14】如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．
(1)证明：；
(2)若，，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
【答案】(1)证明：因为为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面平面，所以，
因为，所以；
(2)（i）；（ii）．
【分析】
【详解】（1）略；
（2）（i）（法一：向量法）因为平面，且，所以，，两两互相垂直，
以为原点，、、分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由可得取，则，，
所以，
设直线与平面所成角为，
则；
（法二：几何法）补体成长方体，
过点作垂直于点，连接，，则平面，
所以为直线与平面所成角，
在中，，所以，
在中，，，
所以．
（ii）因为平面，平面，所以，
因为，所以，
又是四边形（不含边界）内的动点，则点在以为圆心，2为半径的圆上，
令，，则，
又，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则取，
设平面的法向量为，
则取，
故，
令，则，
因为函数在上单调递减，则，
则，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围为．
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接；
因为是的中点，为的中点，故；
则即为直线与所成角；
设底面半径为，则，，；
因为，，故；
由余弦定理可知
由，
因为是底面圆周上一动点，故，则；
代入可得；
法二：取的中点，连接，与的中点，
由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径；
故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系；
因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则；
故，，，，设；
则，；
则；
则直线与所成角的余弦值为；
因为，则，．
【变式7-2】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点.
(1)若点为的中点，求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，.
因为是棱的中点，所以且.
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
(2)
【分析】
【详解】（1）略.
（2）取的中点，连接，.
因为是边长为2的等边三角形，所以，，.
因为，，为的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，.
又，所以，所以.
又因为，所以平面.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设，其中，
则.
设平面的法向量，所以，
令，得.
设平面的法向量，所以，
令，得.
设平面与平面的夹角为，则
，.
令，则.
令，当时，，当时，，
所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.
【变式7-3】如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且.
(1)当时，证明；
(2)当时，求点到平面的距离；
(3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】
【详解】（1）因为平行四边形中，，，，
所以,在中， ，
则，
所以，.
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
当时，，所以.
所以，，
所以，
所以；
（2）由上可知，
设平面的一个法向量为，
则，取，即，
则点到平面的距离；
（3）由上知平面的一个法向量，
设，由，
得即，
所以，.
设平面的法向量，因为，即，
取，则，，
所以平面的一个法向量，
因为，所以.
因为，所以.
题型08 距离型探索性问题
典｜例｜精｜析
【例15】如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1
(1)证明：MP⊥BH；
(2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见详解
(2)存在点满足条件，.
【分析】
【详解】（1）证明：因为在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1，
连接，所以，
所以四边形为菱形，故，
由长方体得，由，知,
由，得，
由，得.
（2）存在点满足条件，. 证明如下：
假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离，
则,
而，，
所以，
则，
另一方面，
故，
综上所述存在点满足条件，.
【例16】如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点
【分析】
【详解】（1）连接，因为为线段的中点，所以，
由题意知面面，且面面，
又面，所以平面，取边的中点记为，则．
以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系，
易知，所以；
（2）由（1）可知，
所以，，，
记平面的一个法向量，
所以 ，不妨取，得，即，
记直线与平面所成角为，
则，
考虑到，有，从而，
所以直线与平面所成角的余弦值为．
（3）设，其中．
，
，
，记平面的一个法向量为，
则有，
不妨取，解得，即，
则点到平面的距离，
整理得：，即，
解得或（舍去），
所以当点位于线段的靠近点的三等分点时，
点到平面的距离为．
变｜式｜巩｜固
【变式8-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．

(1)求平面与平面的夹角余弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在满足题意的点，此时
【分析】
【详解】（1）由平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，有，故，
建立如图空间直角坐标系，
，得，
易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
，令，得，，
所以，
即平面与平面所成角的余弦值为；
（2）由（1）知，则，假设存在满足题意的点.
设，则，
得，即，所以，
故点到平面的距离为，
即，解得或（舍去），
所以存在满足题意的点.
此时，所以.
【变式8-2】如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，
（i）求平面与平面夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，所以平面；
(2)（i）（ii）存在，
【分析】
【详解】（1）略
（2）（i）因为平面，且，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为；
（ii）存在点满足题意，
易知，
假设存在点满足题意，设，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以点到平面的距离，化简可得，
解得或（舍去），即.
【变式8-3】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点
【分析】
【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以；
因为平面平面，又平面平面，又面，
所以平面；取边的中点记为，则；
以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，所以；
（2）由（1），，，，
所以，，，
记平面的法向量为，
所以，
不妨取，得，
所以为平面的一个法向量；
记直线与平面的所成角为，
则，
所以，直线与平面的所成角的正弦值为；
（3）设，其中，
，，
，，
，
记平面的一个法向量为，
则有，
不妨取，解得，
即；
则点到平面的距离，
整理得：即，
解得或（舍去），
所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为．
题型09 夹角型探索性问题
典｜例｜精｜析
【例17】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明：记中点为，连接，，
则四边形为正方形，且根据勾股定理得，
所以，则，所以.
又，，，平面，
所以平面.
因为平面，所以，
易知，所以，
又因为，，平面，
所以平面.
(2)存在，．
【分析】
【详解】（1）略．
（2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直．
以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面的法向量为．
则，令 ，
得.
设平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，，
则，解得．
所以．
【例18】如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为．
(1)求证：；
(2)求的长度；
(3)在线段上是否存在点E，使得二面角的大小为．若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)方法一（几何法）：
连结，在长方体中，
因为平面，且平面，所以，
因为，所以矩形为正方形，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以；
方法二（向量法）：
建立如图空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，
因为，所以；
(2)2
(3)存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为．
【分析】
【详解】（1）略
（2）设，
因为四边形是正方形，
所以小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点可能有两种途径．
如图甲的最短路程为，
如图乙的最短路程为，
因为，所以，
所以，解得，即的长度为．
（3）方法一（几何法）：：
假设存在满足条件的点E，连结，设，
过点D在平面内作，连结，
则为二面角的平面角，
所以，所以，
在内，，而，
即，解得，
即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为．
方法二（向量法）：
假设存在满足条件的点E，平面的法向量，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，解得，得，
由题意得，
解得或（舍去），
即存在E点，且与点B距离为时，二面角的大小为．
变｜式｜巩｜固
【变式9-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)设中点，连接，
，，，所以，
因为，所以有，则，
因为，为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)
(3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点.
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）可知，平面，因为，所以，
则.
（3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下：
由（1）得平面，因为平面，则，
过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意得，则,
因，则，故，
则，
设，由题可知，
，
设平面法向量为，
则，令，则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
因为平面与平面的夹角为30°，
所以，
化简得，即，又，则，
所以为上靠近的三等分点.
【变式9-2】如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)如图1，在梯形中，取边的中点，连接.
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，所以，所以，
因为，且，所以，
所以，
因为平面平面PAC，且，
所以平面
(2)
(3)侧棱上不存在点，使得二面角的余弦值为.
【分析】
【详解】（1）略
（2）如图2，取棱的中点，连接，
由（1）可知平面，且平面，则平面平面，
因为，且为线段的中点，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
则为三棱锥的高，
因为，所以，则
故三棱锥的体积.
（3）假设存在满足条件的点.
如图2，作，垂足为，作，垂足为.
由（2）可知平面平面，又，且平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，且平面，，所以平面.
因为平面，所以，
则为二面角的平面角.
由翻折知，，且，
在中，由余弦定理：
，
又，故，
设，在中：
，
因为，且，
所以，，
所以，则，故，
由题意可得，
所以，
因为平面，且平面，所以，
所以，则，解得，故.
因为侧棱线段总长，，
所以点落在的延长线上，线段上不存在满足条件的点，
所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为.
【变式9-3】如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值；
(3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【答案】(1)设，连接，
四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
(2)
(3)存在点，
【分析】
【详解】（1）略.
（2）方法一：平面，平面，平面平面，；
，，平面,平面；
设为中点，则，平面，
平面，；
过作，，平面，平面，
连接，则，为二面角的平面角．
∽，，即，，
在中，，，，
，即二面角的余弦值为.
方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，；
设平面的法向量，则，
令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，
又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
（3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下：
设在面上射影为，则为与平面所成角.
，，
，，，
，
，；
，，
若与平面所成角的正切值大小为，即，
则，
在中，由余弦定理知：，
解得：.
方法二：
假设存在点满足题意，
设，
，
设平面的一个法向量，则，
令，解得：，，，
记直线与平面所成角为，则，，
即，
整理可得：，解得：（舍）或，.
基础通关
一、单选题
1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ）
A．10 B．3
C． D．
【答案】D
【详解】由，，可得.
因为平面的一个法向量，点A在内，
所以到的距离为.
2．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设正方体的棱长为1，
如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以与所成角的余弦值是.
故选：C.
3．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】由题意，l与所成角的正弦值为，
于是，即，解得.
故选：B.
二、多选题
4．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的大小为
【答案】ABD
【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确；
设直线与平面所成角为，则，所以，故C错误；
若，则，所以，故D正确.
故选：ABD
5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
【答案】ABD
【详解】连接，因为，设，
由余弦定理得，
所以，则，
则，即，又底面，底面，
所以，
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，所以，，则，
所以，故A正确；
对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，
则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B正确；
对于C，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，
令二面角所成角为，则
则平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________.
【答案】2或4
【详解】因为，所以点到平面的距离，
解得或.
故答案为：2或4.
7．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______.
【答案】
【详解】如下图，连接，因为为BC中点，
所以，又平面底面，
平面底面平面，
所以平面，
又因为平面，所以，故两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图：
设，可得
由，可得，
所以，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，得，
设直线与平面夹角为，则，
所以直线与平面夹角的余弦值为.
故答案为：
8．在四面体中，，且.则二面角的平面角的余弦值为________.
【答案】/
【详解】在平面内过点作交于点.
因为，，平面，
所以平面，
如图以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，
又平面的一个法向量为，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，
所以二面角的平面角的余弦值为.
故答案为：
四、解答题
9．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)因为平面 ，平面 ，所以，
由底面 是正方形，可得，又，且 平面 ，
根据线面垂直的判定定理，可得 平面
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，则： ，即，
令，得，即平面的一个法向量为 ，
设直线与平面所成角为，则，
因为，，，
所以，又，所以.
10．如图，四棱锥中，底面是梯形，，.
(1)证明:平面平面；
(2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明：因底面是梯形，，，则，
又，平面，则平面，
又平面，故平面平面.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）取的中点为，连接，因，则，
由（1）得平面，平面，则，
又平面，则平面.
过点作的平行线，交于点，则，即两两垂直，
故可以分别为轴建立空间直角坐标系.
因，由，可得，
则，.
设平面的法向量为，
因，
则，故可取，
因平面，故平面的法向量可取为，
则，
设平面与平面所成二面角的平面角为，则，
即平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】
11．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．
【答案】(1)
连接，由正方体可知，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
．
(2)1；
【分析】
【详解】（1）略
（2）
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
设的长为a，则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，故可得；
设直线与平面所成角为，
则，解得，
， 故的长度为1；
，点到平面的距离．
12．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
【详解】（1）因为，，故，故.
因为平面平面，平面平面，
平面，故平面，而平面，
故.
（2）由（1）可得平面，而，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为，
故，所以，故，
而，设平面的法向量为，
则即，取，
故到平面的距离为.
13．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点．
(1)求直线与平面的夹角；
(2)若，平面与交于点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）方法一：连接，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，
所以即为直线与平面的夹角，
因为，所以．
又因为底面为等腰梯形，且，
所以，所以四边形为平行四边形，所以．
则，所以，
所以直线与底面的夹角为
方法二：连接，因为，所以，
又因为平面平面，平面交平面于，
所以平面，
所以即为直线与底面的夹角，
因为，所以．
又因为底面为等腰梯形，且，
所以，所以四边形为平行四边形，所以．
取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以，
由面，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，所以，
面的法向量为，所以，
所以直线与底面的夹角为；
（2）取的中点，连接，因为底面为等腰梯形，所以，
由（1）得面，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，
所以，
因为，所以，则，
同理，
设面的法向量为，所以，则，
不妨令，所以，则．
令，所以
因为点在面中，所以，所以，
所以，所以．
综上，线段的长度为．
14．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
【答案】(1)
证明：由正方体性质可知，因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以.
(2)1
【分析】
【详解】（1）略
（2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为，
则,
；
设平面的一个法向量为，则，
令，可得；
设直线与平面所成角为，则，
解得，即线段的长度为1.

素养提升
1．棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
由棱长为，所以，
所以，
设，
所以，
所以，
所以当时，的最小值为.
2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________．
【答案】/
【详解】以为坐标原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为正方形的边长为且两平面垂直，则各顶点的坐标为，
，，，，，，
因此，，该方向上的单位向量为，
由题意得，点坐标为，
同理，，该方向上的单位向量为，
故点坐标为，
则，
故当时，.
3．如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)因为平面，平面，所以；
又，是的中点，所以；
因为，，平面，所以平面．
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）略
（2）由平面，得，，故，
设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系，
，，，，，
设，，，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则：
，
解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，
此时．
4．如图，在三棱锥中，，底面．

(1)求证：；
(2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．
【答案】(1)底面，且底面，
故，
又，
故，
平面，且，
则平面，
又平面，
故．
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则，
点在上，设，
故，则，
故，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
，
令，
，故，
故，当时取最小值，
当时取最大值．
5．如图，三棱锥中，，平面平面．
(1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值；
(2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度．
【答案】(1)
(2)1．
【分析】
【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
为BC中点，，
如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，
，
设异面直线AC与BD所成的角为，
则，
所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为.
（2）设，
由（1）知，，
则，得，故．
设平面的法向量，
则，
令，得，即，
由直线AD与平面所成角大小为，
得．
，
所以线段DF的长度为1．
6．如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D．
(1)证明：；
(2)若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明：如图，连接交于点E，连接．
因为平面平面，平面平面，所以．
又因为四边形为平行四边形，所以E为的中点，
所以为的中位线，所以D为的中点．
又因为为等边三角形，所以．
(2)．
【分析】
【详解】（1）略
（2）过A作平面垂足为O，连接，
设，因为与底面所成角为，所以．
在中，因为，所以．
因为平面平面，所以．
又因为四边形为矩形，所以，
因为，所以．
因为平面平面，所以平面．
因为平面，所以．又因为，所以O为的中点．
以O为原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
则．
因为，所以，
因为，则得，
所以．
设平面的法向量为，
由，得，故可取．
设平面的法向量为，
由得故可取．
因，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
7．三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】
【详解】（1）在平面内过A作，垂足为D，
因为侧面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，平面，平面 平面，
所以平面.
所以，解得，
因为，所以，所以；
（2）如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，.
因为，则，
故，
设平面的法向量为，
则,即，令，则，
故平面的一个法向量为，
设直线AE与平面所成角为，
则，
所以直线AE与平面所成角的正弦值为．
迁移创新
1．如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）.
【答案】
【详解】
不妨设正方体的棱长为，
如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，，
因为点为对角线的三等分点，由正方体的对称性可知，无论靠近还是靠近，其到各顶点距离的取值集合相同，不妨设，
因为，所以，
设，则，解得，
所以，，
，，
，，
，，
综上点到各顶点的距离的不同取值有，共个不同的值．
2．如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ．
(1)当平面平面时，求θ的值；
(2)当时，求二面角的余弦值的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】
【详解】（1）因为，所以，
所以为二面角的平面角，则，
在中，，则，
如图，以O为原点，在平面内垂直于的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，．
设为平面的一个法向量，
由，得，
取，则．
因为平面的一个法向量为，由平面平面得，
所以，即．
（2）设二面角的大小为α，
由（1）得当时，；
当时，，
，
因为，所以，
所以，
故．
综上，二面角的余弦值的取值范围为．
3．如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)证明：；
(3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长．
【答案】(1)
(2)由题可知，分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以，从而.
(3)
【分析】
【详解】（1）方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角．
过点作于，连接，
因为平面，平面,所以，
又因为平面,所以平面，
又平面，所以，所以是两个平面所成的角，
根据题意可知，，
在中，由等面积可得，则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：根据题意可知，，
于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
利用点是的中点确定点的坐标为，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，故可取，
显然平面的法向量可以是，
设平面与平面的夹角大小为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）略.
（3）方法一：由（2）可知，，于是可设，
即，又，则，，
设直线与平面所成角大小为，
则，
当时，取得最小值，则取得最大值．
此时，；
方法二：由（2）可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等，
设这个定距离为，也就是点到面的距离．
在中，，，由余弦定理，，，
在三棱锥中，，
设直线与平面所成角大小为，为锐角，则，
当最小时，最大，显然，即时，最小．
又，，
．
所以．
4．如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与 ，如图2.

(1)设为中点，求证:平面；
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)取中点，连接，如图，
因为是中点，所以且，
又因为为的中点，则且，所以且，
所以是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
(2)存在，使得直线与平面所成角的余弦值为，证明见解析.
【分析】
【详解】（1）略
（2）存在，使得直线与平面所成角的余弦值为，理由如下：
假设存在，使得直线与平面所成角的余弦值为，
在平行四边形中，，是中点，则，
又，所以是等边三角形，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
取中点，连接，则，，由平面得，
因为，平面，
所以平面，
以为原点，为轴，为轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，又，
所以，
设直线与平面所成角为，平面的一个法向量是，则
，所以，
所以,
解得（舍去）.
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1.4.2 用空间向量研究距离和夹角
课标要点 1.理解点到直线、点到平面距离的向量推导过程，熟记两类距离计算公式。 2.掌握平行线、线面、平行平面距离向点距转化的解题思路与转化条件。 3.分清异面直线、线面、面面夹角定义，牢记对应向量计算公式与取值范围。 4.能结合空间直角坐标系，完整完成距离、空间角的向量计算类题型。
学习重难点 重点： 1.点到直线、点到平面距离向量公式，三类平行距离的等价转化方法。 2.异面直线、线面、两平面夹角的向量公式，角度取值范围与符号要求。 3.结合坐标运算，利用方向向量、法向量求解空间距离与各类夹角。 难点： 1.区分线面角公式正弦形式，易和异面直线夹角余弦公式发生混淆。 2.区分二面角与两平面夹角，判断法向量夹角取锐角还是钝角。 3.点到直线距离利用投影结合勾股定理推导，几何逻辑不易理清。
知识点一 空间距离的向量求法
1.点到直线的距离
设直线单位方向向量为，为直线外一点，在上，在上投影向量为，
点到直线距离公式：________
2.点到平面的距离
设平面法向量为，为平面外一点，为平面内任意一点，
点到平面距离公式：________
即学即练
1．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
知识点二 空间角的向量求法
1.异面直线所成角
设异面直线方向向量为，夹角为，
公式：，说明：________；异面直线夹角与向量夹角________或________，取锐角、直角。
2.直线与平面所成角
设直线方向向量，平面法向量，线面角为，
公式：，说明：________；线面角是方向向量与法向量锐角的________。
3.两平面的夹角（二面角锐角/直角）
两平面法向量，平面夹角为，
公式：，说明：________；平面夹角为两法向量________或其________，取较小角。
即学即练
3．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）
4．如图，在三棱锥中，两两垂直，

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值．
题型01 求点到直线的距离
典｜例｜精｜析
【例1】已知，，，则点A到直线BC的距离为__________．
【例2】在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________．
【变式1-3】鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
题型02 求点到平面的距离
典｜例｜精｜析
【例3】已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【例4】如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.

(1)证明：四点共面；
(2)设平面与棱的交点为，求点到平面的距离.
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．
【变式2-2】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，
(1)求证：直线平面；
(2)求直线到平面的距离；
【变式2-3】如图甲，在梯形中，，为中点．将沿折起到位置，连接，，得到如图乙所示的四棱锥．

(1)证明：平面；
(2)当为时，求点到平面的距离．
题型03 求异面直线所成角
典｜例｜精｜析
【例5】如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【例6】圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________．
【变式3-3】如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
题型04 求直线与平面所成的角
典｜例｜精｜析
【例7】如图，在三棱柱中，平面，，，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【例8】如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】如图，已知正方体，其中点为线段上靠近的三等分点，点为直线，的交点．
(1)若，求，，的值；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【变式4-2】如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值．
【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
题型05 求平面与平面的夹角
典｜例｜精｜析
【例9】如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例10】如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点分别为棱的中点．

(1)证明：平面；
(2)若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角．
【变式5-3】如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示．
(1)若平面平面ABCE，证明：平面；
(2)若二面角为120°，求二面角的余弦值．
题型06 已知夹角求参数
典｜例｜精｜析
【例11】已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则______．
【例12】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．
(1)若，证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值．
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为______．
【变式6-2】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是上的点，且（）．
(1)求证：对任意的，都有；
(2)若二面角的大小为，求λ的值．
【变式6-3】如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长.
题型07 求夹角的取值范围
典｜例｜精｜析
【例13】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.

(1)证明：；
(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围.
【例14】如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，且，设平面平面，且．
(1)证明：；
(2)若，，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）点是四边形（不含边界）内的动点，且，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点.
(1)若点为的中点，求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
【变式7-3】如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且.
(1)当时，证明；
(2)当时，求点到平面的距离；
(3)设平面与平面的夹角为，求的取值范围.
题型08 距离型探索性问题
典｜例｜精｜析
【例15】如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1
(1)证明：MP⊥BH；
(2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．
【例16】如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
变｜式｜巩｜固
【变式8-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．

(1)求平面与平面的夹角余弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式8-2】如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，
（i）求平面与平面夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式8-3】如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
题型09 夹角型探索性问题
典｜例｜精｜析
【例17】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【例18】如图所示，在长方体中，，，点E在棱上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点，所爬的最短路程为．
(1)求证：；
(2)求的长度；
变｜式｜巩｜固
【变式9-1】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
【变式9-2】如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【变式9-3】如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值；
(3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
基础通关
一、单选题
1．已知平面α的一个法向量，点在内，则到平面的距离为（ ）
A．10 B．3
C． D．
2．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（ ）
A． B． C．2 D．4
二、多选题
4．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线与平面所成角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的大小为
5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
三、填空题
6．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为，则__________.
7．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______.
8．在四面体中，，且.则二面角的平面角的余弦值为________.
四、解答题
9．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小．
10．如图，四棱锥中，底面是梯形，，.
(1)证明:平面平面；
(2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值.
11．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F．
(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离．
12．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
13．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为等腰梯形，且为的中点．
(1)求直线与平面的夹角；
(2)若，平面与交于点，求线段的长度．
14．如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.

(1)证明：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
素养提升
1．棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为__________．
2．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子P，Q分别在正方形对角线和上移动，且，则的最小值为________．
3．如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在三棱锥中，，底面．

(1)求证：；
(2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．
5．如图，三棱锥中，，平面平面．
(1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值；
(2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度．
6．如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点D．
(1)证明：；
(2)若与底面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值．
7．三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值．
迁移创新
1．如图，在正方体中，点为对角线的三等分点，点到正方体的各顶点的距离的不同取值的个数为______（个）.
2．如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ．
(1)当平面平面时，求θ的值；
(2)当时，求二面角的余弦值的取值范围．
3．如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)证明：；
(3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长．
4．如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与 ，如图2.

(1)设为中点，求证:平面；
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
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