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第一章 空间向量与立体几何
知识点一 空间向量的有关概念
1. 空间向量：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
2. 空间向量的长度(模)：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。
3. 空间向量的表示：空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||。
知识点二 特殊的空间向量
1. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0。
2. 单位向量：模为1的向量叫做单位向量。
3. 相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a。
4. 相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
5. 共线向量(平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。
6. 方向向量：在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线的方向向量。
【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向．
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同．
(3)空间向量不能比较大小．
知识点三 空间向量的线性运算
1.空间向量加减运算：
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形 叙述
平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形 叙述
减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形 叙述
2. 空间向量数乘运算
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0 λa与向量a的方向相反
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
3. 运算律
运算律 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(2)向量λa与向量a一定是共线向量．
知识点四 共线与共面向量
共线向量
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．
2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示．
【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性．
(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上．
证明空间三点共线的方法
对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
共面向量
1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．
2．共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明．
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
知识点五 空间向量的数量积
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量)．
2．空间向量的数量积
(1)定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
(2)空间两向量的数量积的性质
向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
共线 同向：a·b＝|a||b|
反向：a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝
3．向量的投影
(1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直线l投影如图2．
(3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．
【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab．
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π．
4．空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交换律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
知识点六 空间向量基本定理
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
【注意】(1)基底中不能有零向量．
(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
知识点七 空间直角坐标系及点的坐标
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
(2)有关概念
坐标轴 x轴、y轴、z轴
原点 点O
坐标向量 i，j，k
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0．
(2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系．
知识点八 空间向量的坐标
1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．
2．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
知识点九 空间向量的坐标运算
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量．
知识点十 空间向量平行、垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)
【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝．
知识点十一 空间向量夹角和距离的计算
1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝．
2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝．
【注意】(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈〉|．
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式．
知识点十二 空间中点、直线的向量表示
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
3．空间中平面的向量表示
(1)如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb．
(2)如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
(3)如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．
知识点十三 平面的法向量
按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量．
(3)列方程组：由列出方程组，并求解．
(4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(5)得结论：得到平面的一个法向量．
知识点十四 空间线、面位置关系的判定
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b，平面 的法向量分别为 u, v，则有：
线线平行： ，使得 a = kb。
线面平行:
面面平行： ，使得u=kv.
线线垂直:
线面垂直: , 使得 a = ku.
面面垂直:
知识点十五 利用空间向量研究空间距离
1．点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝．
【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
2．点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
知识点十六 利用空间向量研究空间角
1．两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
2．直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决．
(2)线面角的范围为．
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
3．两个平面的夹角
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
易错点1 对共面向量理解错误
易错提醒
1. 注意区别共面向量与共线向量，确保对共面向量的定义和性质有清晰的理解，掌握使用向量方程判断一组向量是否共面的方法。
【对点训练】1．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．，0
【答案】D
【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案.
【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足，
因为为空间任一点，所以，即，
因为，所以，解得，
因为存在三个不为的实数，使，
所以，所以，即，
所以.
综上，，
2．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________.
【答案】
【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可.
【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且，
所以，解得.
3．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．4
【答案】A
【详解】因为四点共面，则有，
由共面条件可得，，即，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立.
故选A.
4．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0
【答案】B
【分析】根据三点共线的推理即可求得，.
【详解】，B，C三点共线，，，解得，
又由，得，
由A，B，C三点共线知，，则.
故选：B
易错点2 忽略构成基底的向量满足的条件
易错提醒
1. 三个不共面的向量构成空间的一个基底，利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量。
【对点训练】5．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由基底的定义逐一判断即可.
【详解】，故A不是；
不存在，使得，故B是；
，故C不是；
，故D不是.
6．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于D选项，设，整理得，
由不共面，得 ，解得，只有零解，
则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底.
7．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】根据三个不共面的空间向量基底可以构成空间的一组基底，逐项判断即可.
【详解】对于A，设，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一组基底.所以选项A不正确；
对于B，设，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则B不正确；
对于C，设，所以，x，y无实数解，
所以，，不共面，能构成空间的一组基底，则C正确；
对于D，设，解得，
所以，，共面，不能构成空间的一组基底，则D不正确．
故选：C.
8．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可.
【详解】A：因为，
所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底；
B：假设是共面向量，
所以存在实数，使得成立，
因为为空间的一个基底，
所以有，显然方程组无实数解，因此假设不成立，
所以本选项向量能构成空间的一个基底；
C：因为，
所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底；
D：因为，
所以是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底，
故选：B
易错点3 忽略两个向量夹角条件
易错提醒
1.向量夹角，需两个向量起点相同。
【对点训练】9．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则________．
【答案】
【分析】根据向量的线性运算、数量积的运算即可求解.
【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E，
所以
.
故答案为：.
10．在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________.
【答案】0
【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解.
【详解】设向量，则，
所以，
又由，，
所以.
故答案为：.
11．在棱长为1的正四面体中，是的中点，则________.
【答案】/
【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可.
【详解】由题意可得
.
故答案为：.
12．在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解．
【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设点，即，
可得，即，
所以，
则，
则当时取得最小值，此时最小值为．
易错点4 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件
易错提醒
1. 没有掌握两向量的夹角为锐角或钝角的等价转化条件，在处理两向量的夹角为锐角或钝角的求参问题时，等价条件转化错误，导致结果错误。
【对点训练】13．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】若共线则存在实数使得，
则，
即，方程组无解，即不存在实数使得共线.
所以若与的夹角为锐角，则，解得.
故实数的取值范围是.
14．已知空间中三点,设,.
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可；
（2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况.
【详解】（1）解：(1)因为,
所以.
.
所以,
所以与的夹角余弦值为.
（2）,
因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0.
当与共线时，有,得,
故当时，与不共线.
,得,解得
综上，.
15．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据夹角为钝角，得到且不反向共线，得到不等式，求出答案.
【详解】与的夹角为钝角，故且不反向共线，
则，且，
解得且，
故选：A
16．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】向量的夹角为钝角，则，排除的情况即可.
【详解】由，得，
当时，，即，得，解得，
∴当向量的夹角为钝角时，的取值范围为．
故选：D.
易错点5 忽略异面直线夹角与向量夹角的关系
易错提醒
1. 异面直线所成角的取值范围是(0，]，两向量的夹角的取值范围是(0,π]，需要注意两者的区别
与联系。
【对点训练】17．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积；
(2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解；
法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可.
【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为.
（2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接.
因为，
所以则，所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示
由题意得，所以.
设异面直线与所成的角为，则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：

(1)的长；
(2)直线与AC所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值.
【详解】（1）设，由题意可得，，
所以
，
所以，即的长为；
（2）因为，
所以
，
又，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为.
19．如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题：
(1)用、、表示向量，并求；
(2)求直线和夹角的余弦值.
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解；
（2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦.
【详解】（1），
由已知可得，，
因此，.
（2）由（1）知，
因为，
所以，所以；
且 ，
所以.
即直线和夹角的余弦值为.
20．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围．
【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接；
因为是的中点，为的中点，故；
则即为直线与所成角；
设底面半径为，则，，；
因为，，故；
由余弦定理可知
由，
因为是底面圆周上一动点，故，则；
代入可得；
法二：取的中点，连接，与的中点，
由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径；
故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系；
因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则；
故，，，，设；
则，；
则；
则直线与所成角的余弦值为；
因为，则，．
易错点6 混淆线面夹角与向量夹角
易错提醒
1.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角
2.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值;
【对点训练】21．正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，将用坐标表示，再计算出面的法向量，最后根据平面与直线所成角的正弦值公式计算出结果
【详解】设正方体的边长为2，并以为z轴的正方向，以为x轴的正方向,
以为y轴的正方向，则，
因此，，，
设面的法向量，则，即，
令，解得，即，设直线与平面所成角为，
则.

22．三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）在平面内过A作，垂足为D，证明平面，根据题意算出，即可求解侧棱的长；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解.
【详解】（1）在平面内过A作，垂足为D，
因为侧面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为，所以，平面，平面 平面，
所以平面.
所以，解得，
因为，所以，所以；
（2）如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，.
因为，则，
故，
设平面的法向量为，
则,即，令，则，
故平面的一个法向量为，
设直线AE与平面所成角为，
则，
所以直线AE与平面所成角的正弦值为．
23．已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角.关键在于由底面直角三角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点和的坐标.最后，直线的方向向量与平面的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对值即为所求线面角的正弦值.
【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系.
则，，，斜边的中点为的外心.
由在底面的射影为，设，则.
侧棱长，
故
解得，取.
于是.
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则

,
故选A.
24．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)【证明】证法一：如图①所示，取棱 上一点，使得，
连接，因为，所以，且，
又因为四边形为菱形，且，所以且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
证法二:如图②所示，取棱上一点，使得，连接，
因为，，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为，所以，
因为四边形为菱形，所以，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
证法三：如图③所示，取的中点，连接，作，垂足为，
在菱形中，，所以为等边三角形，所以，
因为，平面 ，所以平面,
在中，，可得,
由余弦定理得，可得，
所以，即，
因为，所以，
又因为平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
所以平面，又因为平面，所以，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由，
所以，
因为平面，所以平面.
(2)
【分析】（1）解法一：取棱 上一点，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
解法二:取棱上一点，分别证得平面和平面，得到平面平面，即可证得平面；
解法三：取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再求得，结合，进而证得平面；
（2）由（1）中的坐标系，求得平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知：，且
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
易错点7 混淆两个平面的夹角与二面角
易错提醒
1.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角
2.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值;
【对点训练】25．如图， ，平面，平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)因平面，平面，平面平面,则；
(2)因平面，平面,则,
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，又因平面，故；
(3)
【分析】（1）利用线面平行的性质易证；
（2）利用线面垂直的判定定理与性质定理，以及面面垂直的性质定理即可得证；
（3）根据条件建系，求出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得.
【详解】（1）略
（2）略
（3）由（2）可得两两垂直，故可以点为坐标原点，
分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因，，则，
故得，
设平面的一个法向量为，
则，故可取；
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
则，
由图知是钝二面角，故二面角的余弦值为.
26．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)如图，设与的交点为，连接，
∵在三棱柱中，四边形是平行四边形，∴是的中点，
又∵为的中点，∴是三角形的中位线，
∴，又∵平面，平面，∴平面.
(2)
【详解】（1）略.
（2）∵，，，
平面，∴平面，
∴，又∵侧面为正方形，∴，
以为原点，分别以的方向为轴正方向，
建立空间直角坐标系，则，，
，，，

∵轴底面，∴取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，
，则，化简得，
令，则，即，
设二面角的平面角为，由图可判断为钝角，
则.
27．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)因为四边形为菱形，所以．
又因为，为的中点，所以．
又因为平面平面，
平面平面，
所以平面，因为平面，
所以．
(2)
【分析】（1）通过证明线面垂直得到线线垂直；
（2）利用向量法求解，求出两个平面的一个法向量，再求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值，即两个平面夹角的余弦值.
【详解】（1）略
（2）连结．因为，为的中点，
所以．
由（1）可知平面，
所以，．
设，则．
如图，建立空间直角坐标系．
所以．
所以，．
因为平面，
所以是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则，即，所以
令，则，．于是．
所以．
平面与平面夹角余弦值为．
28．如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)证法一：取中点N，连结，，，，
在直三棱柱中，，，，
所以，所以，所以，即，
因为为中点，可得，所以，
所以，且，
又因为，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以，
又因为，且平面，所以平面．
证法二：以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，因为，
可得，，，，，，，
所以，可得，，，
因为，，可得，，
即，，
又因为，且平面，所以平面．
(2)1
【分析】（1）证法一：取中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，证得，得到，进而证得平面；证法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，，得到，，进而证得平面．
（2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）略
（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
因为向量，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
设平面与平面所成二面角为，可得，
所以，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.
1．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可．
【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，，所以，
因为，所以,，
设平面的法向量为，
所以，所以，取，所以平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，所以.
2．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解.
【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
平面平面，而平面的一个法向量为，
因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角，
则，，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
3．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为四点共面，
所以，解得.
4．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可.
【详解】因为，，，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一的实数使得，
所以，解得，
所以.
故选：C.
5．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】A
【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A选项，假设、、共面，
则存在、使得 ，所以，，无解，
所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底；
对于B选项，因为，则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于C，因为，所以，、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底；
对于D，，则、、共面，
则、、不能作为空间的一组基底.
故选：A.
6．在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形特点建立空间直角坐标系，利用向量计算即可.
【详解】因为二面角为直二面角，为交线，
故平面平面，平面平面，又，平面，
所以底面，
以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，
所以为等腰直角三角形，
则，，，,
，,
设与所成的角为，
则.
7．在平行六面体中中，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设作为基底，利用向量数量积求出，再利用基底表示向量，利用向量法说明为平面的法向量，最后利用向量法求出线面角的正弦值即可.
【详解】由题意如图所示：
设两两夹角都是，
故，同理，
，
因为，
，
所以为平面的法向量，
由
，
，
，
设直线与平面所成角为，
则，
故选：D.
8．如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先分析可得点为的中点，延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，利用勾股定理逆定理得到，即可证明平面，则为平面和平面夹角，最后由锐角三角函数计算可得.
【详解】因为，即，，
又平面恰好将正三棱柱体积均分，所以点为的中点，
延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
因为，，，，，
所以，即，解得，所以；
，即，解得，所以，
在中由余弦定理
，
所以，
所以，即，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为平面和平面夹角，又，
所以，
即平面和平面夹角的余弦值为.
故选：A.
9．（多选）在以下命题中，不正确的命题是（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．是共线的充要条件
C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面
【答案】BCD
【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，故A正确；
若，同向共线，则，故B不正确；
若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确；
D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确．
10．（多选）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．向量、、一定共面
C．向量在基底下的坐标是
D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得
【答案】ACD
【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可.
【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若，
假设、、不全为零，不妨设，则，
所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对；
对于B，假设、、共面，
则存在、，使得，
即，
根据A可知，该方程组无解，假设不成立，
故向量、、不共面，B错；
对于C，向量在基底下的坐标是，C对；
对于D，由B可知，向量、、一定不共面，
则可作为空间向量的一组基底，
故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，
使得，D对.
11．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．的长为
D．与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】通过可判断A，通过，可判断B，由可判断C，对于D，法一：过作平面，确定
与平面所成角为，再通过向量的夹角公式可判断，法二：设底面正的中心为，求得，结合直角三角形即可求解.
【详解】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确；
B选项：
，
故，，即，，
又，且，平面，
由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确；
C选项：
，则，所以C不正确；
D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接．
由，且，得为等边三角形，则．
因为平面，所以，，由三角形全等可得，
故在的平分线上，因此与平面所成角为．
由，得，即．
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为；
法二（几何法）：
连接，，，由，
，可得，
即四面体为棱长为1的正四面体．
设底面正的中心为，则，
平面，平面，，
在中，．
设与平面所成角为，则，故D正确．
12．在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________．
【答案】
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.
【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则令，解得，，
所以是平面的一个法向量，，
设直线与平面所成角为，
则.

13．如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 _______．

【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，

则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
因为，所以，
又因为，，平面，
所以平面，所以是平面的一个法向量，
所以，
所以二面角的余弦值为.
故答案为：.
14．如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．
(1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，确定平面法向量，再结合向量夹角公式求解.
【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
得，，，，
由为的中点，得，
所以，，
所以，
故异面直线与夹角的余弦值为.
（2）由（1）得，，，，），，
则有，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则有，，
分别取，则有，，，，
即，，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
15．如图，在四棱锥中，，，，，平面．
(1)求证：；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．
【答案】(1)连接，，，
所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分．
又平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以．
(2)．
【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可；
（2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可.
【详解】（1）略
（2）设，交于，，，为正三角形，
，，
又，所以．
以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
因为，所以，则，，
设平面的法向量为，
则，设，则．
又，，
设平面的法向量为，
则，设，则．
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得．
故．
16．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)因为侧面是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可.
（2）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可.
方法二：根据平面平面得到直线在平面内的射影即直线，进而即为所求角，结合正弦定理求解即可.
【详解】（1）略
（2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得．
设直线与平面所成的角为θ，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
方法二：设与的交点为O，连接OB，

因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线，
则即为直线与平面所成的角．
因为，四边形是正方形，所以，．
又，
所以，．
所以．
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
即直线与平面所成角的正弦值为．
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第一章 空间向量与立体几何
知识点一 空间向量的有关概念
1. 空间向量：在空间，把具有_________和_________的量叫做空间向量。
2. 空间向量的长度(模)：空间向量的_________叫做空间向量的长度或_________。
3. 空间向量的表示：空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||。
知识点二 特殊的空间向量
1. 零向量：长度为0的向量叫做_________，记为0。
2. 单位向量：模为_________的向量叫做单位向量。
3. 相反向量：与向量a长度_________而方向_________的向量，叫做a的相反向量，记为－a。
4. 相等向量：方向_________且模_________的向量叫做相等向量．在空间，_________且_________的有向线段表示同一向量或相等向量。
5. 共线向量(平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_________，那么这些向量叫做_________．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0_________a。
6. 方向向量：在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线的方向向量。
【注意】(1)单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，不是没有方向．
(2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．但起点和终点未必相同．
(3)空间向量不能比较大小．
知识点三 空间向量的线性运算
1.空间向量加减运算：
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾_________相接，首指向尾为和
图形 叙述
平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形 叙述
减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连_________，方向指向_________向量
图形 叙述
2. 空间向量数乘运算
定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向_________ λa的长度是a的长度的_________倍
λ＜0 λa与向量a的方向_________
λ＝0 λa＝0，其方向是任意的
3. 运算律
运算律 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】(1)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．
(2)向量λa与向量a一定是共线向量．
知识点四 共线与共面向量
共线向量
1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_________．
2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取_________，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示．
【注意】(1)0与空间任意向量a都是共线向量，这一性质使共线向量不具有传递性．
(2)向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上．
证明空间三点共线的方法
对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
共面向量
1．向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA_________于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α．
2．共面向量
定义 平行于同一个_________的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_________的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
【注意】向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面(或四点共面)时，可以通过以下条件进行证明．
①＝x＋y；
②对于空间任意一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
(2)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
知识点五 空间向量的数量积
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则_________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 _________
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a_________b
【注意】两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量)．
2．空间向量的数量积
(1)定义已知两个非零向量a，b，则_________叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝_________．
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
(2)空间两向量的数量积的性质
向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b _________
共线 同向：a·b＝|a||b|
反向：a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝_________， |a|＝，|a·b|≤|a||b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝
3．向量的投影
(1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直线l投影如图2．
(3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．
【注意】(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab．
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π．
4．空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交换律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
知识点六 空间向量基本定理
1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝_________．
2．基底：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_________，且长度都为_________，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
(2)向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个_________的向量，叫做把空间向量进行_________．
【注意】(1)基底中不能有零向量．
(2)空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
知识点七 空间直角坐标系及点的坐标
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：_________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
(2)有关概念
坐标轴 x轴、y轴、z轴
原点 点_________
坐标向量 i，j，k
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_________的正方向，食指指向_________的正方向，如果中指指向_________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
【注意】(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0．
(2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系．
知识点八 空间向量的坐标
1．向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝_________，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组_________，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝_________．
2．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
知识点九 空间向量的坐标运算
1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa (λa1，λa2，λa3)
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝_________．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标_________起点坐标．
【注意】(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量．
知识点十 空间向量平行、垂直的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b) a∥b(b≠0) a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
垂直(a⊥b) a⊥b a·b＝0 _________＝0(a，b均为非零向量)
【注意】(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．
(2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b ＝＝．
知识点十一 空间向量夹角和距离的计算
1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝．
2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos 〈a，b〉＝＝．
【注意】(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈〉|．
(2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式．
知识点十二 空间中点、直线的向量表示
1．点的位置向量
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量．
2．空间直线的向量表示式
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝_________．
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝________．
(3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的________唯一确定．
【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
3．空间中平面的向量表示
(1)如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝________．
(2)如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝________．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个________向量唯一确定．
(3)如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的________．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行．
知识点十三 平面的法向量
按如下步骤求平面的法向量：
(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量．
(3)列方程组：由列出方程组，并求解．
(4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)．
(5)得结论：得到平面的一个法向量．
知识点十四 空间线、面位置关系的判定
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b，平面 的法向量分别为 u, v，则有：
线线平行： ，使得 a = kb。
线面平行:
面面平行： ，使得u=kv.
线线垂直:
线面垂直: , 使得 a = ku.
面面垂直:
知识点十五 利用空间向量研究空间距离
1．点到直线的距离
设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝．
【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．
2．点P到平面α的距离
如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝．
【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．
(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．
(3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．
知识点十六 利用空间向量研究空间角
1．两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝．
【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
2．直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．
【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决．
(2)线面角的范围为．
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
3．两个平面的夹角
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]．
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
易错点1 对共面向量理解错误
易错提醒
1. 注意区别共面向量与共线向量，确保对共面向量的定义和性质有清晰的理解，掌握使用向量方程判断一组向量是否共面的方法。
【对点训练】1．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．，0
2．已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________.
3．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．4
4．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0
易错点2 忽略构成基底的向量满足的条件
易错提醒
1. 三个不共面的向量构成空间的一个基底，利用空间的一个基底可以表示出空间所有向量。
【对点训练】5．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中，能构成空间的一组基底的是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
易错点3 忽略两个向量夹角条件
易错提醒
1.向量夹角，需两个向量起点相同。
【对点训练】9．已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则________．
10．在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________.
11．在棱长为1的正四面体中，是的中点，则________.
12．在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____．
易错点4 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件
易错提醒
1. 没有掌握两向量的夹角为锐角或钝角的等价转化条件，在处理两向量的夹角为锐角或钝角的求参问题时，等价条件转化错误，导致结果错误。
【对点训练】13．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
14．已知空间中三点,设,.
(1)求向量与夹角的余弦值；
(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.
15．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
易错点5 忽略异面直线夹角与向量夹角的关系
易错提醒
1. 异面直线所成角的取值范围是(0，]，两向量的夹角的取值范围是(0,π]，需要注意两者的区别
与联系。
【对点训练】17．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
18．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：

(1)的长；
(2)直线与AC所成角的余弦值.
19．如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题：
(1)用、、表示向量，并求；
(2)求直线和夹角的余弦值.
20．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错点6 混淆线面夹角与向量夹角
易错提醒
1.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角
2.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值;
【对点训练】21．正方体中，E、F分别为、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
22．三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为．
(1)求侧棱的长；
(2)若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值．
23．已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，.
(1)证明：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
易错点7 混淆两个平面的夹角与二面角
易错提醒
1.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角
2.误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值;
【对点训练】25．如图， ，平面，平面，平面平面.
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求二面角的余弦值.
26．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
27．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
28．如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．
1．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
6．在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体中中，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）在以下命题中，不正确的命题是（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．是共线的充要条件
C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面
10．（多选）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．向量、、一定共面
C．向量在基底下的坐标是
D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得
11．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．的长为
D．与平面所成角的正弦值为
12．在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________．
13．如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 _______．

14．如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．
(1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
15．如图，在四棱锥中，，，，，平面．
(1)求证：；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．
16．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
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