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2026-2027学年选择性必修一数学单元自测
空间向量与立体几何·基础通关卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．的长为
D．与平面所成角的正弦值为
11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ）
A．对任意点，四边形是平行四边形
B．对任意点，
C．存在点，使截面为菱形
D．存在点，使是直角三角形
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______.
13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________
14．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知向量，.
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)若与垂直，求实数的值.
16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
17．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)设，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ．
(1)当平面平面时，求θ的值；
(2)当时，求二面角的余弦值的取值范围．
19．（本小题满分17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成夹角的大小；
(3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长．
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2026-2027学年选择性必修一数学单元自测
空间向量与立体几何·基础通关卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在平行六面体中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】点关于轴对称的点的坐标为．
3．如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，
∵M为的中点，，，
，
．
4．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线与平面所成的角为，
则.
5．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，即，解得.
6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，，设，，
且，
，
因为，
所以
所以.
7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
.
又因为，，，
所以
设，则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，所以.
因为点在平面上，所以，
即，解得.
所以.
8．已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】设平面的法向量为，
则，则，
则点到平面的距离为，
又，，
则点到直线的距离为，
则，
故三棱锥的体积为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是空间的一个基底，那么下列选项中可作为基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量基底的性质，判断正确结果；
【解析】由题意得向量不共面，
则向量不共面，向量不共面，向量不共面；所以A，C，D正确；
因为与共面，所以B错误；
故选：ACD.
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，下列说法中正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．的长为
D．与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】A选项：由平行六面体的定义，，平面，平面，由线面平行的判定定理，得平面，所以A正确；
B选项：
，
故，，即，，
又，且，平面，
由线面垂直的判定定理，得平面，所以B正确；
C选项：
，则，所以C不正确；
D选项：法一（向量法）：过作平面，垂足为，连接．
由，且，得为等边三角形，则．
因为平面，所以，，由三角形全等可得，
故在的平分线上，因此与平面所成角为．
由，得，即．
，
，
故直线与平面所成角的正弦值为；
法二（几何法）：
连接，，，由，
，可得，
即四面体为棱长为1的正四面体．
设底面正的中心为，则，
平面，平面，，
在中，．
设与平面所成角为，则，故D正确．
11．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ）
A．对任意点，四边形是平行四边形
B．对任意点，
C．存在点，使截面为菱形
D．存在点，使是直角三角形
【答案】ABC
【解析】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
设，，
则截面与棱的交点，
则且等长；
且等长.
故四边形是平行四边形，A正确；
长方体体积，截面的对角线与交于
长方体中心，即截面过几何中心.
因此截面将长方体平分为两个全等部分，故，B正确；
，令其相等解得，
此时，满足，
四边形是平行四边形且邻边相等，
故截面是菱形，C正确；
三边平方为：
，
若，则，不符合；
若或，解得，不符合.
故无满足条件的点，使是直角三角形，D错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【解析】根据向量坐标的计算公式，，
根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为，
即.
13．已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________
【答案】
【解析】根据向量线性运算的三角形法则，，
则，即，
因为，，，四点共面，所以，解得.
14．如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______.
【答案】
【解析】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
设，，,
因为，所以，得，
此时，，所以
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知向量，.
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)若与垂直，求实数的值.
【解】（1）因为，，
所以，
. ……→……→…………3分
（2），
，
，
所以与的夹角为； ……→……→………8分
（3），
，
因为与垂直，所以，
即，解得，
此时，与均为非零向量，所以. ……→……→………13分
16．（本小题满分15分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
【解】（1）因为，，
故，故. ……→……→…………2分
因为平面平面，平面平面，
平面，故平面， ……→……→…………4分
而平面，故. ……→……→…………6分
（2）由（1）可得平面，而，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ……→……→…………8分
因为，
故，所以，故， ……→……→…………10分
而，设平面的法向量为， ……→……→…………11分
则即，取， ……→……→…………13分
故到平面的距离为. ……→……→…………15分
17．（本小题满分15分）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，．
(1)求证：，，，四点共面；
(2)设，求平面与平面夹角的余弦值．
【解】（1）由平面 平面， ，得 平面， ……→……→………2分
以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
设，
则， ……→……→…………4分
故，，
共面. ……→……→…………7分
（2）设，故， ……→……→…………8分
设平面 的法向量为，
由，
得，取，可得；
， ……→……→…………10分
设平面的法向量为，
由，
得，取 ，所以，
， ……→……→…………12分
设平面 与平面夹角为
, ……→……→…………14分
即平面 与平面夹角的余弦值. ……→……→…………15分
18．（本小题满分17分）如图，已知，，，，D为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为θ．
(1)当平面平面时，求θ的值；
(2)当时，求二面角的余弦值的取值范围．
【解】（1）因为，所以，
所以为二面角的平面角，则， ……→……→…………2分
在中，，则， ……→……→…………4分
如图，以O为原点，在平面内垂直于的直线为x轴，，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，． ……→……→…………6分
设为平面的一个法向量，
由，得，
取，则． ……→……→…………8分
因为平面的一个法向量为，由平面平面得，
所以，即． ……→……→…………10分
（2）设二面角的大小为α，
由（1）得当时，； ……→……→…………11分
当时，，
， ……→……→…………13分
因为，所以，
所以， ……→……→…………15分
故．
综上，二面角的余弦值的取值范围为． ……→……→…………17分
19．（本小题满分17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为矩形．四边形中，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成夹角的大小；
(3)点在线段上，当与平面所成角的大小为时，求的长．
【解】（1）由四边形为矩形，得， ……→……→…………1分
而平面平面，
平面平面平面，则平面， ……→……→…………3分
又平面，所以平面平面. ……→……→…………5分
（2）由平面，得直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则， ……→……→…………7分
，则，
因此是平面的一个法向量，而是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
解得，所以平面与平面的夹角大小为. ……→……→…………10分
（3）由（2）得，由点在线段上，，
即，则点，而， ……→……→………11分
设平面的法向量为，则，
取，得， ……→……→…………13分
而，直线与平面所成角的大小为，
因此，解得， ……→……→…………15分
即点与点重合，所以 ……→……→…………17分
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