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第一章 空间向量与立体几何能力提升卷
数学·全解全析
（考试时间：120分钟，分值：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，
而C中，．
2.已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】向量，，共面，，使得，
，解得，
，．
3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-13
【答案】C
【解析】直线 的方向向量 ，
平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
因为：所以，即，所以，
又因为，所以，
即，所以，所以.故选：C.
4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，可得，
因为四边形为平行四边形，所以，
所以，
因为点、分别为、的中点，所以，，
所以，
因为、、不共面，所以，所以，故.
5．已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，所以，
所以向量在向量上投影向量的模为，
，
所以点到直线的距离为.
6．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对
【答案】C
【解析】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴，
根据已知边长，，，写出各点坐标：
，是中点，得；
是中点，得,
求向量： ,
计算向量的数量积可得：，
由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直.
7．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】设，则，，
由可得，，
整理得：.
所以点轨迹是以为球心，以为半径的球面.
因为点到轴的距离为，
所以点到轴距离的最大值为.
8．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【解析】
因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
为中点，故，
在上，且，向量，
，
因此的坐标为：，
在上，设，则：.
接着求平面的法向量，设法向量为，
，，，
令，则，.
因为平面，所以，
化简得：，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【解析】由题意可知若，则，存在实数，使得，
所以，解得，选项A正确；
若，则，存在实数，使得，
所以，解得，选项B错误；
若，则，所以，选项C正确.
若，则，所以，所以或者，选项D错误.
10．平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
【答案】AD
【解析】设，，，
由题意得：，三个向量两两夹角为，
因此两两点积，
选项A， ，则 ，
因此，A正确；
选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误；
选项C ，，
因此，C错误；
选项D ， ，
；
即；
因此，D正确.
11．如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A．直线与是平行直线
B．直线与是异面直线
C．平面与平面所成角的余弦值为
D．M，N，B，四点共面
【答案】BCD
【解析】设正方体棱长为，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为：.
A：，若两直线平行，则，即，方程组无解，直线与不平行，A错.
B：平面，交平面于点，点不在直线上，所以与是异面直线，B对.
C：因为平面是底面，所以易得平面的法向量；设平面法向量，，，
取，得，设平面与平面所成角为，，C对.
D：，，所以，一组平行线确定一个平面，故四点共面，D对.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________.
【答案】6
【解析】由题意知，，，，
而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，，
使得，则应有，解得，，．
13．已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】以为轴，为轴，底面上与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设圆锥的高为，则，设，则，
，由得，
所以的取值范围为

14．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

【答案】
【解析】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则,，
设面的一个法向量,
则,即，
令得，
因为平面，所以,即，
所以得，
,所以，
因为，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，.
(1)求点到平面的距离.
(2)求直线与平面所成角的正弦值
【解】（1）因为平面，
，所以， ……→……→…………1分
以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得 ，，，， ……→……→…………3分
过点作于点，则四边形为矩形，所以，，
在中，，所以，因为，所以，
所以 。 则 ，， ……→……→…………5分
设平面 的法向量为 ， 则 ，
取，得，所以 ， ……→……→…………7分
又 ，. ……→……→………9分
（2）由（1）可知，平面的一个法向量 ， …→……→………10分
设直线与平面所成角为， 则 …→…………12分
所以直线与平面所成角正弦值为 . …→……→…………13分
16．（本小题满分15分）如图，为圆柱底面圆的内接三角形，为圆的直径，是母线.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.
【解】（1）因为为圆的直径，
所以, ……→……→…………1分
因为是圆柱的母线，
所以平面，平面，
所以, ……→……→…………3分
又，平面，平面，
所以平面 ……→……→…………4分
又平面，
所以平面平面. ……→……→…………6分
（2）如图所示，以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，
所以，，， ……→……→…………8分
所以，， ……→……→…………9分
设平面法向量为，
则，即，
令，则平面的一个法向量为， ……→……→………11分
因为平面，则平面的一个法向量为， ……→……→………12分
设二面角为，， ……→……→…………14分
所以二面角的余弦值为. ……→……→…………15分
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．

(1)若为线段的中点，在线段上是否存在点，使得、、、四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，说明理由.
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【解】（1）存在点，使得、、、四点共面 ……→……→…………1分
证明如下：取的中点为，连接，则， ……→……→…………2分
又，所以， ……→……→…………3分
故、、、四点共面． ……→……→…………4分
（2）连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面，
而平面，故，而， ……→……→…………6分
故建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ……→……→…………8分
则 ……→……→…………9分
平面的一个法向量可取为， ……→……→…………10分
设平面的法向量为，
则由可得，取， ……→……→…………12分
故， ……→……→…………14分
故平面与平面夹角的余弦值为． ……→……→…………15分
18．（本小题满分17分）如图，某智慧快递物流仓库搭建直三棱柱钢制立体货架，底座托盘满足．竖直支撑立柱，搭载自主导航升降分拣小车沿立柱上下停靠，停靠位置记为，设，四面体为存放异形快件的封闭式储物仓．
(1)证明：平面平面；
(2)设四面体的表面积为，写出解析式，并求的取值范围；
(3)分拣小车沿立柱上下工作时，为了安全，需从定点引出吊装钢索，钢索另一端点连在线段上，并且满足，求钢索的长度的取值范围.
【解】（1）因为平面，平面，所以， ……→……→…………2分
又，，平面，
平面，所以平面， ……→……→…………4分
平面，所以平面平面成立. ……→……→…………5分
（2）作于点.
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，即为棱锥的高. ……→……→…………7分
因为，所以，
解得. ……→……→…………8分
因为，所以，
解得. ……→……→…………9分
故表面积.
由此可知单调递增，因为，，.
所以. ……→……→…………11分
（3）
建立如图空间直角坐标系，
可知，，，，， ……→……→…………13分
所以，，，，
因为，所以，. ……→……→…………14分
又，设，所以，.
解得，， ……→……→…………15分
，
所以
， ……→……→…………16分
因为，所以 ……→……→…………17分
19．（本小题满分17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．

(1)求的长；
(2)若为线段的中点，求二面角的正弦值；
(3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值．
【解】（1）因为底面为矩形，所以，
因为平面，底面，所以.
又平面，所以，
因为，所以为直线与所成的角， ……→……→…………2分
设，则.
在中，.
又，所以，
解得或（舍去），所以. ……→……→…………5分
（2）在平面内，过点作交的延长线于点，连接.
因为底面，底面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角. ……→……→…………7分
因为为的中点，，四边形为矩形，
所以，所以，所以。
所以，设二面角的平面角为，则，
所以，所以.
所以二面角的平面角的正弦值为. ……→……→…………10分

（3）存在符合条件的点，依题意得，，
又，所以.
又，所以，
又平面，所以平面. ……→……→…………12分
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，得，
又平面，所以平面， ……→……→…………14分
在平面内过点作交于点，在上取点，使得.
连接，所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，易知，所以， ……→……→…………16分
所以. ……→……→…………17分

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第一章 空间向量与立体几何能力提升卷
数学·全解全析
（考试时间：120分钟，分值：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．6
3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-13
4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对
7．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
8．直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（ ）
A．1 B．2
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
11．如图所示，在正方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）．
A．直线与是平行直线
B．直线与是异面直线
C．平面与平面所成角的余弦值为
D．M，N，B，四点共面
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________.
13．已知圆锥的半径为3，点为底面圆周上任意一点，点为圆锥侧面（不含边界）上任意一点，则的取值范围为___________．
14．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，.
(1)求点到平面的距离.
(2)求直线与平面所成角的正弦值
16．（本小题满分15分）如图，为圆柱底面圆的内接三角形，为圆的直径，是母线.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．

(1)若为线段的中点，在线段上是否存在点，使得、、、四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，说明理由.
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（本小题满分17分）如图，某智慧快递物流仓库搭建直三棱柱钢制立体货架，底座托盘满足．竖直支撑立柱，搭载自主导航升降分拣小车沿立柱上下停靠，停靠位置记为，设，四面体为存放异形快件的封闭式储物仓．
(1)证明：平面平面；
(2)设四面体的表面积为，写出解析式，并求的取值范围；
(3)分拣小车沿立柱上下工作时，为了安全，需从定点引出吊装钢索，钢索另一端点连在线段上，并且满足，求钢索的长度的取值范围.
19．（本小题满分17分）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为线段上一点，．

(1)求的长；
(2)若为线段的中点，求二面角的正弦值；
(3)请问线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值．
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