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专题01 空间向量线性运算及其综合运用
（题型突破·举一反三）
题型 1：空间向量线性运算相关计算
题型 2：空间向量共线判定问题
题型 3：空间向量共面判定问题
题型 4：共线向量定理推论及其应用
题型 5：共面向量定理推论及其应用
题型 6：空间向量数乘运算的实际运用
题型 7：空间向量数量积综合类问题
空间向量线性运算是将立体几何问题代数化的核心工具，解题核心在于向量的分解转化与定理的精准应用，常用解题方法如下：
一是基底分解法。选取空间中三个不共面的向量作为一组基底，利用三角形法则、平行四边形法则与数乘运算规则，将待求向量拆解为基向量的线性组合，把未知向量的运算转化为已知基向量的加减、数乘计算，这是线性运算最基础的解题思路。该方法适用于无明确垂直关系的几何体，无需建立坐标系，通过线性运算即可完成长度推导、平行关系验证等问题。
二是定理判定法。针对共线、共面类题型，直接套用共线向量定理与共面向量定理：证明两向量共线只需证存在实数λ使得二者满足倍数关系；证明三点共线或四点共面，可利用定理推论，通过系数和为 1 的线性表达式快速判定，解题时通过列方程求解参数即可完成验证。
题型01 空间向量线性运算相关计算
【典例1】（2026·高二·福建福州·期中）已知正方体为上底面的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2026·高二·辽宁·期中）已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2026·高二·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式1-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型02 空间向量共线判定问题
【典例2】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）下列说法中正确的是（ ）
A．是，共线的充要条件
B．若，共线，则
C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件
D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
【变式2-1】（2026·高三·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2026·高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（ ）
A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上
C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对
【变式2-3】（2026·高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 空间向量共面判定问题
【典例3】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2026·高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2026·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A．四点共面 B．四点共面
C．四点共面 D．五点共面
【变式3-3】（2026·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
题型04 共线向量定理推论及其应用
【典例4】（2026·高二·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（ ）

A． B． C．2 D．
【变式4-1】（2026·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0
【变式4-3】（2026·高二·安徽池州·期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________.
题型05 共面向量定理推论及其应用
【典例5】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______．
【变式5-1】（2026·高二·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______.
【变式5-2】（2026·高二·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.

【变式5-3】（2026·高二·河南新乡·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．

题型06 空间向量数乘运算的实际运用
【典例6】（2026·高二·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____.
【变式6-1】（2026·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为________．
【变式6-2】（2026·高二·陕西·阶段检测）在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________．

【变式6-3】（2026·高二·北京·期中）三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则________．
题型07 空间向量数量积综合类问题
【典例7】（2026·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．”
(1)请将该命题类比到空间中，并证明．
(2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足．
①求的值；
②求的值．
【变式7-1】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
【变式7-2】（2026·高二·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，．
(1)试用，，表示向量，并求向量的长度；
(2)求；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
【变式7-3】（2026·高二·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．

(1)求点Q的轨迹围成图形的面积；
(2)求的最大值．
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专题01 空间向量线性运算及其综合运用
（题型突破·举一反三）
题型 1：空间向量线性运算相关计算
题型 2：空间向量共线判定问题
题型 3：空间向量共面判定问题
题型 4：共线向量定理推论及其应用
题型 5：共面向量定理推论及其应用
题型 6：空间向量数乘运算的实际运用
题型 7：空间向量数量积综合类问题
空间向量线性运算是将立体几何问题代数化的核心工具，解题核心在于向量的分解转化与定理的精准应用，常用解题方法如下：
一是基底分解法。选取空间中三个不共面的向量作为一组基底，利用三角形法则、平行四边形法则与数乘运算规则，将待求向量拆解为基向量的线性组合，把未知向量的运算转化为已知基向量的加减、数乘计算，这是线性运算最基础的解题思路。该方法适用于无明确垂直关系的几何体，无需建立坐标系，通过线性运算即可完成长度推导、平行关系验证等问题。
二是定理判定法。针对共线、共面类题型，直接套用共线向量定理与共面向量定理：证明两向量共线只需证存在实数λ使得二者满足倍数关系；证明三点共线或四点共面，可利用定理推论，通过系数和为 1 的线性表达式快速判定，解题时通过列方程求解参数即可完成验证。
题型01 空间向量线性运算相关计算
【典例1】（2026·高二·福建福州·期中）已知正方体为上底面的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为，
所以.
故选：A
【变式1-1】（2026·高二·辽宁·期中）已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在正四面体ABCD中，连接并延长交于，由O为的重心，得是的中点，
而M为棱BD的中点，则
.
故选：A
【变式1-2】（2026·高二·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在平行六面体中，
连接，如图所示：
因为点为的中点，，
所以
，
故选：A.
【变式1-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵G是的重心，∴.
，
.
故选：B
题型02 空间向量共线判定问题
【典例2】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）下列说法中正确的是（ ）
A．是，共线的充要条件
B．若，共线，则
C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件
D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
【答案】D
【解析】对于A，当同向时，，
当反向时，，故A错误；
对于B，若共线，则或四点共线，故B错误；
对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1，
比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误；
对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若，
因为，所以可知四点共面，故D正确，
故选：D
【变式2-1】（2026·高三·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，故，
所以，而共起点，故三点共线，
若三点共线，则存在实数，使得，
故，故，
因为不共线，则不共线，故，
故，
故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件，
故选：C.
【变式2-2】（2026·高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（ ）
A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上
C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】因为，所以，而，
故，所以，
所以，则点一定在直线上，故A正确.
故选：A
【变式2-3】（2026·高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误；
对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误；
对于C，，则、、三点共线，选项C正确；
对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误；
故选：C.
题型03 空间向量共面判定问题
【典例3】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若在平面内，则存在实数，使得,即，
整理得：，令，则，
即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和；
对于 A：系数和，不满足共面条件，
对于B：系数和，不满足共面条件，
对于 C：系数和，满足共面条件，
对于 D：系数和，不满足共面条件.
【变式3-1】（2026·高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，假设，即，
则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误；
对B，因为，所以共面，故B正确；
对C，假设，即，
则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误；
对D，假设，即，
则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误；
故选：B.
【变式3-2】（2026·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（ ）
A．四点共面 B．四点共面
C．四点共面 D．五点共面
【答案】B
【解析】由，可得，
即，根据平面向量的基本定理，可得共面，
又因为三个向量有公共点，所以四点共面.
故选：B.
【变式3-3】（2026·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
【答案】C
【解析】若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.
故选：C
题型04 共线向量定理推论及其应用
【典例4】（2026·高二·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（ ）

A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】以为空间向量的一组基底，
则
，
因为，则，
因为四点共面，所以，故．
故选：B.
【变式4-1】（2026·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接,
因为平面，平面，设，则，
又平面，所以平面，故K为与平面的交点，
又因为与平面交于点F，所以F与K重合，
又E为的中点，G为平面的重心，
因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则，
,
所以，解得，即，故.
故选：C.
【变式4-2】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0
【答案】B
【解析】，B，C三点共线，，，解得，
又由，得，
由A，B，C三点共线知，，则.
故选：B
【变式4-3】（2026·高二·安徽池州·期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________.
【答案】
【解析】由题意可知，
，
所以，所以.
故答案为：.
题型05 共面向量定理推论及其应用
【典例5】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______．
【答案】
【解析】，
因为四点共面，所以，解得．
【变式5-1】（2026·高二·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______.
【答案】
【解析】因为四点共面，所以，解得.
故答案为：
【变式5-2】（2026·高二·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.

【答案】
【解析】由题知，设，则，
又，且
，
因为，，，四点共面，所以，
即，
又因为，则，即，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得，
故，所以，所以.
故答案为：
【变式5-3】（2026·高二·河南新乡·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．

【答案】24
【解析】如图，设的中点为，连接．
因为点为的重心，所以点在线段上．
因为
，
所以，
所以．
若四点共面，则，解得．
故答案为：
题型06 空间向量数乘运算的实际运用
【典例6】（2026·高二·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____.
【答案】
【解析】
在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，，
所以，
又因为，所以.
故答案为：.
【变式6-1】（2026·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为________．
【答案】
【解析】由空间内一点满足，
可得，
因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点，
使得，所以，即点为的中点，
可得，所以三棱锥和的体积比值为.
故答案为：.
【变式6-2】（2026·高二·陕西·阶段检测）在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________．

【答案】/0.75
【解析】如图所示：
连接，设，平面平面，
因为平面，且平面，
所以；
因为四棱台底面为正方形，且，，
所以，，
从而，
又因为，，
所以，
，
因为，
所以.
故答案为：.
【变式6-3】（2026·高二·北京·期中）三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则________．
【答案】
【解析】由题设，可得如下三棱锥的示意图，且，
又，即△为边长为的等边三角形.
若为中点，由，，则，
∴.
故答案为：
题型07 空间向量数量积综合类问题
【典例7】（2026·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．”
(1)请将该命题类比到空间中，并证明．
(2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足．
①求的值；
②求的值．
【解析】（1）类比到空间中，该命题为：
若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是：
存在实数、 、 ，满足，且．
证明：①若点平面 ，
由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得，
由向量加减法得，
整理得，
令，，，则，其中．
②反之，若已知，且．
则，
整理得，
即，
根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面，
所以点 在平面 内．
综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是：
存在实数、 、，满足，且．
（2）①由（1）的结论知，从而，
从而，
由已知，，得
，
②因为
，
所以．
【变式7-1】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)求的长．
【解析】（1）.
（2）证明：因为
，
所以.
（3）因为，
所以，
.
所以.
【变式7-2】（2026·高二·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，．
(1)试用，，表示向量，并求向量的长度；
(2)求；
(3)求异面直线与所成角的余弦值．
【解析】（1）由平行六面体的性质可知，
是的中点，
，
，
，
，
．
（2）．
（3），，
，
又，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
【变式7-3】（2026·高二·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．

(1)求点Q的轨迹围成图形的面积；
(2)求的最大值．
【解析】（1）因为，∴点在平面上，
如图，分别取，，的中点，
连接
因为分别为，的中点，故，
又由正方体可得，，，，
故，，故四边形为平行四边形，故，
故，故四点共面，同理可证四点共面，
故五点共面，同理可证四点共面，
故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形．
故点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为，
所以点的轨迹围成图形的面积是．
（2）如图，根据向量数量积的几何意义可得
当位于时，此时在上的投影最大，
故
，
∴的最大值为12．
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