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专题02 空间向量基底的综合运用
（题型突破·举一反三）
题型一：空间向量基底概念辨析
题型二：基底表示空间向量
题型三：基底法求向量模长
题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值
题型五：基底法证明共线、共面问题
题型六：基底法证明空间平行、垂直关系
题型七：基底法求线面角、二面角
空间向量基底解题核心：选定一组不共面的三个向量作为基底，将所有相关向量统一用基底线性表示，转化代数运算求解。
第一步合理选基底：优先选取从同一点出发、长度与夹角已知的三条棱向量，避免共面向量，简化夹角与模长计算；若存在垂直关系，优先选两两垂直向量，数量积直接简化为 0。
第二步线性分解向量：利用向量加减、数乘法则，把线段、法向量、动点向量全部拆解为基底的组合式，设出系数建立关系式。
第三步三类核心运算：1. 数量积，用于求线线、线面夹角、距离、垂直证明；2. 向量共线 / 共面判定，通过基底系数比例判断平行、四点共面；3. 设参求解动点，结合等式对应系数相等列方程求参数。
第四步规范证算结论：证垂直只需数量积为 0；求角取夹角余弦绝对值；求距离转化向量模长。全程无需建系，适合无垂直、不规则几何体，避开坐标系找点难点，步骤统一，思路清晰。
题型一：空间向量基底概念辨析
【典例1】（2026·高二·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底；
对于D选项，设，整理得，
由不共面，得 ，解得，只有零解，
则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底.
【变式1-1】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，共面，不可为基底；
对于B，，共面，不可为基底；
对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量，
这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底，
对于D，，共面，不可为基底.
【变式1-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，假设存在实数，，使得，
则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，
所以，，不共面，能构成一组基底.
对于B，假设存在实数，，使得，
则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，
所以，，不共面，能构成一组基底.
对于C，假设存在实数，，使得，
则，解得，即存在实数，使得上式成立，
所以，，共面，不能构成一组基底.
对于D，假设存在实数，，使得，
则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，
所以，，不共面，能构成一组基底.
【变式1-3】（2026·高二·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，设存在实数，使得，可得，
所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；
对于B，设存在实数，使得，可得，
所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；
对于C，向量，不存在实数使得，
所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；
对于D，设存在实数，使得，可得，
所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.
故选：B.
题型二：基底表示空间向量
【典例2】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，在平行六面体 中， .
又因为为底面平行四边形 对角线与的交点，
所以 .
在平行六面体中，， ， ，
所以 .
从而 .
【变式2-1】（2026·高二·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图可得，.
【变式2-2】（2026·高二·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，，
所以
.
【变式2-3】（2026·高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，，设，，
且，
，
因为，
所以
所以.
题型三：基底法求向量模长
【典例3】（2026·高二·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________．
【答案】
【解析】，
，
所以.
【变式3-1】（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____
【答案】
【解析】由题意得，
所以
，
故对角线.
【变式3-2】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；
【答案】
【解析】，
则，
，
所以.
故答案为：
【变式3-3】（2026·高二·云南·阶段检测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.

【答案】
【解析】如下图所示：
，
平行六面体棱长均为1，
，
又
，，，
．
故答案为：．
题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值
【典例4】（2026·高二·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．
(1)用表示，并求；
(2)求与的夹角．
【解析】（1）因为，且，
所以，
又因为底面ABCD是边长为1的正方形且，
所以
．
（2）因为底面是边长为1的正方形，且，，
又由，
所以，
所以，故与的夹角为．
【变式4-1】（2026·高二·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)为的中点，求直线与所成角的余弦值．
【解析】（1）设，，，则、、不共面，
由题意可得，，所以，
又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面.
（2）由题意可得，，
由空间向量数量积的定义可得，
，同理可得，
因为为的中点，所以，
，
所以，
故
，
，
，
所以，
因此直线与所成角的余弦值为.
【变式4-2】（2026·高二·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若．
(1)求的值；
(2)求．
【解析】（1）
平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点，
，，
，
．
（2），
，
，
，
．
【变式4-3】（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与直线AC所成角的余弦值．
【解析】（1）过点作交于点，如图所示，
由知，且，
又因为且，所以平面，
过点作交延长线于点，所以，
又因为，故平面，即为三棱锥的高，
由题知，，则，，，
所以；
（2）因为，，解得，所以，
同理可得，所以，，
由图知，
两边平方得：，所以，
又因为，
所以.
题型五：基底法证明共线、共面问题
【典例5】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面
【解析】证明：分别连接、、、交对边于、、、点.
因为、、、分别是所在三角形的重心.
所以、、、为所在边的中点，
所以，且，，且，
所以，，故四边形为平行四边形，
且有，，，，
所以，同理可得，
因为四边形是平行四边形，所以，所以，则，
故、、、四点共面.
【变式5-1】（2026·高二·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点.
(1)求线段的长；
(2)若，，求证：，，，四点共面.
【解析】（1）设，且，分别为，的中点.
所以.
则
，
所以.
（2）由题意知，，
因为，所以，
所以，，
，
不妨设，
即，解得.即 ，
根据共面向量定理，共面，即四点共面.
【变式5-2】 A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．
【解析】设，，，
，
，
，
，
因为，
所以，
又因为、有公共点C，
所以C、E、F三点共线．
【变式5-3】（3．1空间向量及其运算）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：

(1)、、；
(2)、、．
【解析】（1）
,
,
所以，所以、、三点共线.
（2）
,
,
所以，所以、、三点共线.
题型六：基底法证明空间平行、垂直关系
【典例6】（2026·高二·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且
(1)求证：
(2)当的值为多少时，平面？请给出证明.
【解析】（1）设，，， 因为底面 是菱形，
所以，且，
.
由题知 ，且 ，因此 ，
即，故.
（2）当时， 平面 ，证明如下：
设 ，，则 ，， ， ，
因为底面是菱形，所以，
又因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以 .
若 平面 ，需满足 ，
，，令 ，即 ，
展开整理： ，代入 ，得 ：
，
由于 ，，因此 ，即 .
此时 且 ，，平面 ，
故 平面 .
【变式6-1】（2026·高二·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记．
(1)用向量表示向量，并求的模长；
(2)用向量方法证明：．
【解析】（1）由题意得；
，
.
（2）由（1）得，
，
，．
【变式6-2】（2026·高二·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.

(1)求的长；
(2)证明：.
【解析】（1）以为一个基底，
由题意知，
又，
所以
，
所以；
（2）由（1）知，
在菱形中，，
所以
，
所以，即.
【变式6-3】中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
证明：；
【解析】D是的中点，翻折前，翻折后.
是的中点，翻折前，翻折后
翻折后，又，
且方向相同，.
又E是的中点，F是的中点，
翻折前、后，，
且方向相同，，
翻折后，在中，
；
题型七：基底法求线面角、二面角
【典例7】（2026·高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．
(1)求证：平面；
(2)设与平面所成角为，求的取值范围．
【解析】（1）作，交于点，设，则，
∵，∴，即，
∵且，连接，
所以四边形为平行四边形，∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
(2)．
（2）取中点，连接、、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，则，
∵是等边三角形，∴，
∵，∴平面，平面
∴平面平面，
在中，，，
作，交于点，因为平面平面，
所以平面，
则，∴，
∵平面，所以点到平面距离，
，
，
∴．
，
∵，∴，
∴．
【变式7-1】（2026·高三·江苏镇江·开学考试）在如图所示的平行六面体中，，．

(1)求的长度；
(2)求二面角的大小；
【解析】（1）根据图形可知：，
则
；
（2）
作，则等于二面角的一个平面角，
因为，，
则，
易知
，
所以，所以，
即二面角的大小为；
【变式7-2】已知平面，，求二面角的大小．
【解析】如下图所示：
根据题意可得，由二面角定义可得的夹角即为二面角的大小，
易知，又；
所以
，
可得，所以；
又，可得，
所以的夹角，也即二面角的大小为.
【变式7-3】（2026·高二·山西晋中·期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.

(1)用表示，并求出；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）连接并延长交于，则为中点，
则，
，
则
（2）根据题意，平面，因此，直线与平面所成角的正弦值
即为直线与直线所成角的余弦值的绝对值.
，
且
故.
则直线与平面所成角的正弦值为.
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专题02 空间向量基底的综合运用
（题型突破·举一反三）
题型一：空间向量基底概念辨析
题型二：基底表示空间向量
题型三：基底法求向量模长
题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值
题型五：基底法证明共线、共面问题
题型六：基底法证明空间平行、垂直关系
题型七：基底法求线面角、二面角
空间向量基底解题核心：选定一组不共面的三个向量作为基底，将所有相关向量统一用基底线性表示，转化代数运算求解。
第一步合理选基底：优先选取从同一点出发、长度与夹角已知的三条棱向量，避免共面向量，简化夹角与模长计算；若存在垂直关系，优先选两两垂直向量，数量积直接简化为 0。
第二步线性分解向量：利用向量加减、数乘法则，把线段、法向量、动点向量全部拆解为基底的组合式，设出系数建立关系式。
第三步三类核心运算：1. 数量积，用于求线线、线面夹角、距离、垂直证明；2. 向量共线 / 共面判定，通过基底系数比例判断平行、四点共面；3. 设参求解动点，结合等式对应系数相等列方程求参数。
第四步规范证算结论：证垂直只需数量积为 0；求角取夹角余弦绝对值；求距离转化向量模长。全程无需建系，适合无垂直、不规则几何体，避开坐标系找点难点，步骤统一，思路清晰。
题型一：空间向量基底概念辨析
【典例1】（2026·高二·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式1-1】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2026·高一·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-3】（2026·高二·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：基底表示空间向量
【典例2】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（2026·高二·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2026·高二·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2026·高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（ ）

A．1 B．2 C． D．
题型三：基底法求向量模长
【典例3】（2026·高二·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________．
【变式3-1】（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____
【变式3-2】（2026·高二·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______；
【变式3-3】（2026·高二·云南·阶段检测）如图，在棱长均为1的平行六面体中，，则______.

题型四：基底法求异面直线夹角及余弦值
【典例4】（2026·高二·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设．
(1)用表示，并求；
(2)求与的夹角．
【变式4-1】（2026·高二·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)为的中点，求直线与所成角的余弦值．
【变式4-2】（2026·高二·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若．
(1)求的值；
(2)求．
【变式4-3】（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与直线AC所成角的余弦值．
题型五：基底法证明共线、共面问题
【典例5】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面
【变式5-1】（2026·高二·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点.
(1)求线段的长；
(2)若，，求证：，，，四点共面.
【变式5-2】 A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线．
【变式5-3】（3．1空间向量及其运算）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：

(1)、、；
(2)、、．
题型六：基底法证明空间平行、垂直关系
【典例6】（2026·高二·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且
(1)求证：
(2)当的值为多少时，平面？请给出证明.
【变式6-1】（2026·高二·山西太原·期中）如图，三棱柱各棱的棱长都是1，若，点，分别是的中点，记．
(1)用向量表示向量，并求的模长；
(2)用向量方法证明：．
【变式6-2】（2026·高二·山西晋中·期中）如图，在四棱柱中，，四边形是边长为2的菱形，，为与的交点.

(1)求的长；
(2)证明：.
【变式6-3】中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得．
证明：；
题型七：基底法求线面角、二面角
【典例7】（2026·高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），．
(1)求证：平面；
(2)设与平面所成角为，求的取值范围．
【变式7-1】（2026·高三·江苏镇江·开学考试）在如图所示的平行六面体中，，．

(1)求的长度；
(2)求二面角的大小；
【变式7-2】已知平面，，求二面角的大小．
【变式7-3】（2026·高二·山西晋中·期末）如图所示，在棱长为2的正四面体中，为等边三角形的中心，分别满足.

(1)用表示，并求出；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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