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专题02 空间向量基本定理
常考题型·精准突破
题型1 基底的判定
题型2 用基底表示空间向量
题型3 由基本定理求参
题型4 求数量积
题型5 证明空间位置关系
题型6 求空间角
题型7 求距离（长度）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 基底的判定
(
解题贴士
：
判断基底的基本思路
（
1
）
判断一组向量能否构成空间的一个基底
，
实质是判断这三个向量是否共面
，
若不共面
，
就可以构成一个基底
；
（
2
）
判断基底时
，
常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体
，
用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底
，
并在此基础上构造其他向量进行相关的判断
.
)
【例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
◆题型2 用基底表示空间向量
(
解题贴士
：
用基底表示向量的步骤
)
【例2】（25-26高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高二上·广东清远·期末）在平行六面体中，与交于点，记，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高二上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（ ）

A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A． B． C． D．
◆题型3 由基本定理求参
【例3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式3】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　）
A． B． C． D．
◆题型4 求数量积
【例4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式1】（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【变式2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（ ）
A．12 B． C．16 D．
【变式3】（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（ ）
A．8 B．6 C．0 D．
◆题型5 证明空间位置关系
(
解题贴士
：
用向量方法证明平行、垂直问题的思路
（
1
）
利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行
；
（
2
）
把要证的线面垂直转化为线线垂直
，
再转化为两直线的方向向量的数量积为
0
.
)
【例5】（2026·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　）
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
【变式1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　）
A.重合 B.垂直
C.平行 D.异面
【变式2】在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝－1.
【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PCD.
◆题型6 求空间角
(
解题贴士
：
基向量法求空间角的基本思路
将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角
（
或其补角
），
再用基向量表示两方向向量
，
并借助向量的运算求出角
.
)
【例6】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【变式1】如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.

（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【变式2】（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
◆题型7 求距离（长度）
(
解题贴士
：
求空间距离
（
长度
）
问题的步骤
（
1
）
选取空间基向量
，
将待求线段对应的向量用基向量线性表示
；
（
2
）
求该向量的模
，
利用空间向量的数量积运算求得线段的长度
.
)
【例7】如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．

【变式1】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．

【变式3】如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．

综合攻坚·知能拔高
1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图，在平行六面体中，，，则（ ）

A． B．
C． D．
4．（25-26高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
6．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）
A．基底中的向量可以为任意向量
B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使
C．向量可以共面
D．也可以构成空间的一组基底
8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( )
A．，，共面 B．中至少有三点共线
C．与共线 D．四点共面
10．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（ ）
A．
B．
C．在平面内的投影向量为
D．在平面内的投影向量为
11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为
12．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.

13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正三棱锥中，是的中心，，则______________．
14．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______.
15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取．
(1)用表示；
(2)若分别为的中点，用表示．
16．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，.
(1)用表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
17．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设.
(1)用表示向量；
(2)若，求的值．
18．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点．
(1)化简，并在图中标出化简结果
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值．
19．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记.
(1)将用表示出来；
(2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值.
20．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．
(1)若为的中点，用向量法证明：；
(2)若，问是否存在点使得，并说明理由．
21．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
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专题02 空间向量基本定理
常考题型·精准突破
题型1 基底的判定
题型2 用基底表示空间向量
题型3 由基本定理求参
题型4 求数量积
题型5 证明空间位置关系
题型6 求空间角
题型7 求距离（长度）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 基底的判定
(
解题贴士
：
判断基底的基本思路
（
1
）
判断一组向量能否构成空间的一个基底
，
实质是判断这三个向量是否共面
，
若不共面
，
就可以构成一个基底
；
（
2
）
判断基底时
，
常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体
，
用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底
，
并在此基础上构造其他向量进行相关的判断
.
)
【例1】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，共面，不可为基底；
对于B，，共面，不可为基底；
对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量，
这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底，
对于D，，共面，不可为基底.
【变式1】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在正方体中，向量，，
因此向量，，分别与向量共面，ABC不能；
而平面，即向量不共面，D能，故选D
【变式2】（25-26高二上·上海青浦·阶段检测）在平行六面体中，设．下列选项中，可以作为空间中的一组基的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在平行六面体中，为不共面向量.
A，因中的可以表示为的和，即三个向量共面，不能作为基底，不合题意；
B，对于，因，即为共面向量，不合题意；
C，对于，因，即为共面向量，不合题意；
D，假设为共面向量，
则存在唯一的，满足，
则，该方程显然无解，故假设不成立，即可以作为空间中的一组基，故选D.
【变式3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，设存在实数，使得，可得，
所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；
对于B，设存在实数，使得，可得，
所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；
对于C，向量，不存在实数使得，
所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；
对于D，设存在实数，使得，可得，
所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.
故选：B.
◆题型2 用基底表示空间向量
(
解题贴士
：
用基底表示向量的步骤
)
【例2】（25-26高二下·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，

∵N是的中点，，，，
．
【变式1】（25-26高二上·广东清远·期末）在平行六面体中，与交于点，记，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由.
故选：A
【变式2】（25-26高二上·四川巴中·期末）在三棱柱中，是的中点，且，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
.故选：B
【变式3】（25-26高二上·内蒙古包头·期末）如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
.故选：A
◆题型3 由基本定理求参
【例3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在空间四边形中，，，
则，又，
且不共面，因此，所以.
【变式1】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，，
又，则，所以.
【变式2】（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为点、分别是棱、的中点，
所以
，
又，、、不共面，
所以，所以.
【变式3】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为为的中点，所以，
又因为，，且，
即
，
显然、、不共面，所以，解得，故.
故选：C.
◆题型4 求数量积
【例4】（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】在直四棱柱中，，，
,
.
【变式1】（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】分别是的中点，且，即，
又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°，
，故选：A.
【变式2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【解析】由平面，平面，得，
由题可知，
.
故选：B
【变式3】（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（ ）
A．8 B．6 C．0 D．
【答案】A
【解析】令，，，
由题意可知，，
则，
，
，
即，
则，
整理得.故选：A.
◆题型5 证明空间位置关系
(
解题贴士
：
用向量方法证明平行、垂直问题的思路
（
1
）
利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行
；
（
2
）
把要证的线面垂直转化为线线垂直
，
再转化为两直线的方向向量的数量积为
0
.
)
【例5】（2026·南京质检）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　）
A.A1M∥D1P
B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1
D.A1M∥平面D1PQB1
【答案】ACD　
【解析】依题意可知PQ∥BD∥B1D1，所以P，Q，B1，D1四点共面.因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝，则A1M∥D1P，结合线面平行的判定定理可知A、C、D正确.而B1Q与D1P不平行，所以B不正确.故选A、C、D.
【变式1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中点，则AC1与CE的位置关系是（　　）
A.重合 B.垂直
C.平行 D.异面
【答案】B　
【解析】设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，＝a＋b＋c，＝＋＝c－a－b，设正方体的棱长为1，则·＝（a＋b＋c）·（c－a－b）＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0，故⊥，即AC1与CE垂直.
【变式2】在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ＝－1.
【答案】－1　
【解析】设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底.设AB＝1，因为BD⊥AN，所以·＝0，因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb，所以（b－a）·（c＋λb）＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1.
【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点，用向量方法证明：
（1）EF∥平面PAD；
（2）EF⊥平面PCD.
【证明】（1）连接PF（图略），因为E，F分别为PC，BD的中点，则＝－＝（＋）－＝＋（－）＝＋＝＋，所以向量，，共面，
又EF 平面PAD，DA 平面PAD，PD 平面PAD，所以EF∥平面PAD.
（2）因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD 平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，
又PA 平面PAD，所以CD⊥PA.
因为PA＝PD＝AD，
所以PA⊥PD，
所以·＝（＋）·＝·＝0，
·＝（＋）·＝·＝0，
所以EF⊥PD，EF⊥CD，
又PD 平面PCD，CD 平面PCD，PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.
◆题型6 求空间角
(
解题贴士
：
基向量法求空间角的基本思路
将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角
（
或其补角
），
再用基向量表示两方向向量
，
并借助向量的运算求出角
.
)
【例6】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)求．
【解】（1）
（2）由题意知，，，，
则，
，
所以
【变式1】如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.

（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【解】（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
【变式2】（25-26高二上·安徽宿州·期末）已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.
（1）证明：；
（2）求异面直线与夹角的余弦值.
【解】设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
（1）由
所以即证.
（2）由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为.
◆题型7 求距离（长度）
(
解题贴士
：
求空间距离
（
长度
）
问题的步骤
（
1
）
选取空间基向量
，
将待求线段对应的向量用基向量线性表示
；
（
2
）
求该向量的模
，
利用空间向量的数量积运算求得线段的长度
.
)
【例7】如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，求的长．

【答案】
【解析】设，
则，，，，
因为，
所以．
【变式1】（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在平行六面体中，，
由为平行四边形，与交于点，
所以为与的中点，
所以
，
故选：D.
【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．求线段的长．

【答案】
【解析】设，，，
则，，，
，
∵，
∴
．
∴线段的长为．
【变式3】如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．

【解】令，，方向上的单位向量分别为，，，则是单位正交基底．
因为
，
所以，
所以的长度为．
综合攻坚·知能拔高
1．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，若共面，则有，
即，则该方程无解，故不共面；
对于B，若共面，则有，
即，显然无解，故不共面；
对于C，若共面，则有，显然该等式不成立，
故不共面；
对于D，易知，即共面.
故选：D
2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为中点，
所以
.故选：A
3．（25-26高二上·四川眉山·期末）如图，在平行六面体中，，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为在平行六面体中，，
所以，
故选：A
4．（25-26高二上·湖南常德·期中）已知正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，取中点，连接，
因为是的重心，，
所以
，所以.故选：B
5．（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（ ）
A． B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】由题意，在平行六面体 中，，，
由点P是与的交点，得，
而，因此
.故选：B
6．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，则线段的长度为．
故选：A．
7．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）
A．基底中的向量可以为任意向量
B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使
C．向量可以共面
D．也可以构成空间的一组基底
【答案】BD
【解析】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误，
对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量，
存在唯一有序实数组，使，所以B正确，
对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误，
对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使，
即，所以，无解，所以不共面，故D正确，
故选：BD.
8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确；
故选：BD
9．（25-26高二上·贵州黔西南·阶段检测）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有( )
A．，，共面 B．中至少有三点共线
C．与共线 D．四点共面
【答案】AD
【解析】∵向量，，不能构成空间的一组基底，∴，，共面，
∵向量，，有共同的点，∴四点共面.故选：AD
10．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（ ）
A．
B．
C．在平面内的投影向量为
D．在平面内的投影向量为
【答案】BD
【解析】对于AB，由题知，，
，故A错误，B正确；
对于CD，设点在平面的投影为点，
由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱，
所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，
则，所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确．
11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．三棱锥的体积为
【答案】AB
【解析】A选项，因为两两垂直，所以，
故，A正确；
B选项，
，B正确；
C选项，
，
，
由勾股定理得，
所以与的夹角余弦为，
故与的夹角为，C错误；
D选项，，
因为，
所以三棱锥的体积为，
由于，D错误.
故选：AB
12．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.

【答案】
【解析】由题意知，
因为，所以，则.
13．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正三棱锥中，是的中心，，则______________．
【答案】16
【解析】如图：
首先：，.
又.
.
14．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______.
【答案】
【解析】由题知，设，
则，
又，
且
，
因为，，，四点共面，
所以，
即，
又因为，则，
即，
所以，
所以，
所以
，
所以，解得，
故，所以.
15．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取．
(1)用表示；
(2)若分别为的中点，用表示．
【解】（1）.
（2）．
16．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，.
(1)用表示；
(2)求直线与直线所成角的余弦值.
【解】（1），
故
；
（2）由（1）知，，两边平方得
因为三棱柱为直三棱柱，，
所以，故，
，
所以，
故.
因为，故，
设直线与直线所成角为，
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
17．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设.
(1)用表示向量；
(2)若，求的值．
【解】（1）因为，
所以
，
.
（2）由题意易知，
所以，
，
则
.
18．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知是平行六面体，、分别为棱和的中点．
(1)化简，并在图中标出化简结果
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上靠近的四等分点，设，试求的值．
【解】（1）取的中点，则
.
（2）因为是底面的中心，则，
因为是侧面对角线上靠近的四等分点，
所以，
则，
又，则，
所以.
19．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记.
(1)将用表示出来；
(2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值.
【解】（1）由图知，
.
（2）由题意，
由（1）
，
所以当时有最小值即有最小值；
此时，，
故，
且，
设与的夹角为，则.
20．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．
(1)若为的中点，用向量法证明：；
(2)若，问是否存在点使得，并说明理由．
【解】（1）当为的中点时，
，
，
所以．
（2）设，则
，
由于，，
所以
，
即，故不存在点使得．
21．（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
【解】（1）．
（2），，
，共面．
（3）当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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