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专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的简单运用
（题型突破·举一反三）
题型一：向量锐、钝角判定求参数范围
题型二：四点共面坐标求解问题
题型三：空间向量夹角与模长计算
题型四：空间直角坐标系建立技巧
题型五：空间平行、垂直位置关系判定
题型六：空间点坐标精准求解
空间向量坐标法是立体几何的核心解题方法，核心思路为建立空间直角坐标系，用坐标量化向量，将几何位置关系与度量问题转化为代数运算，规避几何作图与推理难点。
解题首要步骤是建系，优先选取几何体两两垂直的棱为坐标轴，保证坐标简洁准确，再利用中点公式、向量相等、数乘运算标注所有关键点坐标。其次依托向量坐标运算解决各类题型：通过向量数量积正负判定夹角锐钝角、求解参数范围；利用向量共面条件解决四点共面问题；借助向量模长、夹角公式完成空间度量计算。
同时可依据向量坐标比例、数量积为0，精准判定空间线线、线面的平行与垂直关系。解题易错点为锐角需排除向量共线同向情况，钝角排除共线反向情况，规范运算即可高效解决绝大多数立体几何问题。
题型一：向量锐、钝角判定求参数范围
【典例1】（2026·高二·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________．
【变式1-1】（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________．
【变式1-2】（微主题一利用坐标法数学机械化）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为______．
【变式1-3】（2026·高三·辽宁·期中）已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的值为______．
题型二：四点共面坐标求解问题
【典例2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为的中点.
设，且，，，四点共面，求实数的值.
【变式2-1】已知空间四点：，判断四点是否共面．
【变式2-2】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：
(1)；
(2)，，共面．
【变式2-3】（2026·高二·上海浦东新·期末）给定点与点．
(1)求在上的投影向量；
(2)判断四点是否共面？
题型三：空间向量夹角与模长计算
【典例3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知向量.
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)若与垂直，求实数t的值．
【变式3-1】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【变式3-2】（2026·高三·上海·阶段检测）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上．
(1)证明：平面；
(2)若平面，求线段PM长度．
【变式3-3】（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知空间四点，，，.
(1)若、、、四点共面，求的值；
(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.
题型四：空间直角坐标系建立技巧
【典例4】（2026·高二·云南·阶段检测）在三棱锥中，两两垂直，，底面，点在平面的下方，且.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)直接写出四点的坐标；
(2)求；
(3)求与平面所成角的正弦值.
【变式4-1】（2026·高二·河北邢台·开学考试）在底面半径为1，高为的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点处有一只蚂蚁M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁N（视为质点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面Oxy的距离为．
(1)当经过秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值；
(2)当经过秒时，，求t的取值范围．
【变式4-2】（2026·高二·北京顺义·期中）如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）.
①直接写出，的坐标；
②求异面直线与所成角的余弦值.
【变式4-3】（2026·高二·上海·期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标.
(2)求.
题型五：空间平行、垂直位置关系判定
【典例5】（2026·高二·陕西榆林·阶段检测）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且.
(1)建立适当的坐标系并求点坐标；
(2)求证：.
【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：．
【变式5-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；
【变式5-3】（2026·高二·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
题型六：空间点坐标精准求解
【典例6】（2026·高二·河南·阶段检测）已知正方体的棱长为2，且P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，现以A为坐标原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向，为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)证明：；
(2)判断直线PQ与直线DF是否相交？若相交，求出交点坐标；若不相交，请说明理由．
【变式6-1】（2026·高三·天津·开学考试）在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2026·高三·上海·开学考试）如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过的平面交于E，交于Q.若点Q是的中点，且.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若平面上有一点H满足平面，求点H的坐标.
【变式6-3】（2026·高二·天津西青·阶段检测）在如图所示的多面体中， EA平面ABC， DB平面ABC， ACBC， 且， M是AB的中点.
(1)求证: CMEM；
(2)求平面EMC与平面BCD所成角的正弦值；
(3)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题03 空间向量与坐标法在立体几何中的简单运用
（题型突破·举一反三）
题型一：向量锐、钝角判定求参数范围
题型二：四点共面坐标求解问题
题型三：空间向量夹角与模长计算
题型四：空间直角坐标系建立技巧
题型五：空间平行、垂直位置关系判定
题型六：空间点坐标精准求解
空间向量坐标法是立体几何的核心解题方法，核心思路为建立空间直角坐标系，用坐标量化向量，将几何位置关系与度量问题转化为代数运算，规避几何作图与推理难点。
解题首要步骤是建系，优先选取几何体两两垂直的棱为坐标轴，保证坐标简洁准确，再利用中点公式、向量相等、数乘运算标注所有关键点坐标。其次依托向量坐标运算解决各类题型：通过向量数量积正负判定夹角锐钝角、求解参数范围；利用向量共面条件解决四点共面问题；借助向量模长、夹角公式完成空间度量计算。
同时可依据向量坐标比例、数量积为0，精准判定空间线线、线面的平行与垂直关系。解题易错点为锐角需排除向量共线同向情况，钝角排除共线反向情况，规范运算即可高效解决绝大多数立体几何问题。
题型一：向量锐、钝角判定求参数范围
【典例1】（2026·高二·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由，，，
则，
因为是锐角，
所以，且不共线，
则，解得且，
则实数a的取值范围为.
【变式1-1】（2026·高二·天津武清·阶段检测）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】若，则，
当时，则，解得，此时，方向相同，
故的夹角为锐角时，且，
故答案为：
【变式1-2】（微主题一利用坐标法数学机械化）设动点在棱长为的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围为______．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
则，,,
所以，
，
．
因为不共线，
所以为钝角,等价于，即，
从而，得．
故答案为：.
【变式1-3】（2026·高三·辽宁·期中）已知动点在正方体的对角线（不含端点）上．设，若为钝角，则实数的值为______．
【答案】
【解析】以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，点，
则，
所以，
因为，可得，可得，
所以，即，
因为点与点不重合，所以，所以为钝角，等价于，
所以，
解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
题型二：四点共面坐标求解问题
【典例2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为的中点.
设，且，，，四点共面，求实数的值.
【解析】方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）
在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，
，，
又分别为的中点，
，，
，，
，
共面，存在实数，使得，
即，
，解得，
故实数的值为；
方法二：坐标法（利用法向量）
在平面内作，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，，，
，，，，
，，
，
又分别为的中点，
，，
，，
设平面的法向量为，
，，令得，
，
又，，共面，
，解得，
故实数的值为；
方法三：几何法：延长交于，连接，
，分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
又平面平面，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，，
过作交于，，
又，
，
故实数的值为.
【变式2-1】已知空间四点：，判断四点是否共面．
【解析】，
则，
因此，，说明四点都在直线上，而一条直线上的所有点必然共面，因此四点共面.
【变式2-2】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：
(1)；
(2)，，共面．
【解析】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
由、分别是、的中点，
则，，
，，
，
，
即；
（2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，，
，，
又，
，
，，共面．
【变式2-3】（2026·高二·上海浦东新·期末）给定点与点．
(1)求在上的投影向量；
(2)判断四点是否共面？
【解析】（1）因为，，
所以，
所以在上的投影向量为.
（2）四点不共面，理由如下：
因为，，，
设，即，该方程组无解，
所以四点不共面.
题型三：空间向量夹角与模长计算
【典例3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知向量.
(1)求；
(2)求与的夹角；
(3)若与垂直，求实数t的值．
【解析】（1）因为，
所以,
所以；
（2）因为，
所以，
所以，
，，
设与的夹角为，
则，
又，得；
（3）因为，
所以，，
因为与垂直，所以，
故，解得.
【变式3-1】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【解析】（1）由题意得，.
（2），则.
（3），则.
【变式3-2】（2026·高三·上海·阶段检测）如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上．
(1)证明：平面；
(2)若平面，求线段PM长度．
【解析】（1）因为与都是等腰直角三角形，，，
所以，
中，，
故，即
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示
，
，，
设，则，
因为平面，，所以可由和线性表示，
设，则，解得
所以，
所以
【变式3-3】（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知空间四点，，，.
(1)若、、、四点共面，求的值；
(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.
【解析】（1）由题意，得，,
，，，四点共面，
存在实数使得，
即，
则，解得，，，
故的值为.
（2），，
设直线和直线的夹角为，
，
因为，，所以，所以，
所以两直线和的夹角余弦值的范围是 .
题型四：空间直角坐标系建立技巧
【典例4】（2026·高二·云南·阶段检测）在三棱锥中，两两垂直，，底面，点在平面的下方，且.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)直接写出四点的坐标；
(2)求；
(3)求与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）.
（2）因为，
所以.
（3）依题意可得是平面的一个法向量，
，
所以与平面所成角的正弦值为.
【变式4-1】（2026·高二·河北邢台·开学考试）在底面半径为1，高为的圆柱OP中建立如图所示的空间直角坐标系．在点处有一只蚂蚁M（视为质点）沿z轴正方向以每秒1个单位长度的速度爬行，同时在点处有一只蚂蚁N（视为质点）沿着圆柱的表面逆时针匀速螺旋爬行，经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面Oxy的距离为．
(1)当经过秒时，求平面OMN与平面Oxy夹角的余弦值；
(2)当经过秒时，，求t的取值范围．
【解析】（1）由题知，当经过秒时，，则，
设平面的法向量为，
则，令，得，则，
易知平面的一个法向量为，
记平面与平面夹角为，
则.
（2）因为经过秒，蚂蚁N第一次爬到A的正上方的位置，此时蚂蚁N到平面的距离为，
所以蚂蚁沿轴正方向移动的速度为，绕着圆柱旋转的角速度为，
所以当经过秒时，，
又，所以，
所以，即，
又，即，所以，解得.
【变式4-2】（2026·高二·北京顺义·期中）如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）.
①直接写出，的坐标；
②求异面直线与所成角的余弦值.
【解析】（1）证明：在菱形中，，又，，
所以平面，平面，所以，
侧面为菱形，对角线，相交于O，
所以O为的中点，因为，所以，
又，所以平面.
(2)①，；②.
（2）由（1）可知，，所以，，，
所以，又，所以为等边三角形，
所以，的中点为D，，
所以，，，，，，
故，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为：.
【变式4-3】（2026·高二·上海·期中）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，设半正多面体的棱长为，将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求正方体的棱长，并写出A，B，C，D，F点的坐标.
(2)求.
【解析】（1）由题意可知，半正多面体的棱长为，
则正方体的棱长为，
所以，，，，；
（2），，
所以，，
则，则，
设直线与直线所成角为，
则，
即，解得或（舍），
即的值为.
题型五：空间平行、垂直位置关系判定
【典例5】（2026·高二·陕西榆林·阶段检测）如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且.
(1)建立适当的坐标系并求点坐标；
(2)求证：.
【解析】（1）因为平面，且平面，
所以，，
在正方形中，，
所以两两垂直，
如图，以为原点，方向为轴，建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1的正方形，2，
则，，
设，
由，可得，
解得，即.
（2）证明:因为，
所以，，则，
所以，.
【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：．
【解析】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．
所以，，，，则，．
因为，
所以，即．
【变式5-2】如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：；
【解析】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
又，，，分别是棱，，，的中点，．
所以，，，．
所以，，
则，而点直线，所以．
【变式5-3】（2026·高二·吉林·期中）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，点是上一点，且．
(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；
(2)求证：．
【解析】（1）因平面，底面是边长为1的正方形，则两两互相垂直，
故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图，易得，，，.
设，则，
由代入坐标，可得，
解得，故点的坐标为.
（2）由（1）易得，
因，故.
题型六：空间点坐标精准求解
【典例6】（2026·高二·河南·阶段检测）已知正方体的棱长为2，且P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，现以A为坐标原点，为x轴的正方向，为y轴的正方向，为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)证明：；
(2)判断直线PQ与直线DF是否相交？若相交，求出交点坐标；若不相交，请说明理由．
【解析】（1）证明：由题意可得，，，，，
，，，
由于P，Q分别为线段AE与线段BC的中点，故，，
则，，
则，即，
故．
（2）不相交，理由如下：
由（1）知， ，，，
假设PQ与DF相交，设实数t，s，则直线PQ上的点的坐标为，
直线DF上的点的坐标为，
若直线PQ与直线DF相交，则存在t，s，使，
即，该方程组无解，故PQ与DF不相交.
【变式6-1】（2026·高三·天津·开学考试）在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1），是的中点，，
又平面，平面，，
，平面，平面，
平面，而平面，.
（2）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，则，
取，，，所以.
设平面的法向量为，则，
取，，，所以.
，
设平面与平面所成的角为，而，
，
所以平面与平面所成的角的正弦值为.
（3）在棱上存在一点，设，且，，
，
，，，
，
若直线与平面所成的角是，
则，解得，
所以符合条件的点存在，为棱的中点.
【变式6-2】（2026·高三·上海·开学考试）如图，在长方体中，，点F是的中点，点P在上，若过的平面交于E，交于Q.若点Q是的中点，且.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若平面上有一点H满足平面，求点H的坐标.
【解析】（1）如图，以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设，
由于平面平面，平面平面，
且平面与平面，平面的交线分别为
平面与平面，平面的交线分别为，
因此，故四边形为平行四边形，
∴，则有，
解得，，，
∴，，，
∴，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2）设平面ABCD上一点，
因为，则，，，
由平面，则可以作为平面的一个法向量，
则有，
解得，，∴.
【变式6-3】（2026·高二·天津西青·阶段检测）在如图所示的多面体中， EA平面ABC， DB平面ABC， ACBC， 且， M是AB的中点.
(1)求证: CMEM；
(2)求平面EMC与平面BCD所成角的正弦值；
(3)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60°，若存在，写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明如下：
，是的中点，
，
又平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，平面，
.
（2）
以为原点，分别以，为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，则，
取，，，所以.
设平面的法向量为，则，
取，，，所以.
，
设平面与平面所成的角为，
，
所以平面与平面所成的角的正弦值为.
（3）在棱上存在一点，设，且，，
，
，，，
，
若直线与平面所成的角是60°，
则，解得，
所以符合条件的点存在，为棱的中点.
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