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专题03 空间向量及其运算的坐标表示
常考题型·精准突破
题型1 空间直角坐标系及相关概念
题型2 空间向量的坐标表示
题型3 空间点的对称问题
题型4 空间向量运算的坐标表示
题型5 空间向量平行的坐标表示
题型6 空间向量垂直的坐标表示
题型7 空间夹角的计算
题型8 空间距离的计算
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 空间直角坐标系及相关概念
(
解题贴士
：
求空间一点
P
的坐标的两种方法
（
1
）
利用点在坐标轴上的投影求解
；
（
2
）
利用单位正交基底表示向量
，
的坐标就是点
P
的坐标
.
)
【例1】已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，若＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　）
A.（12，14，10） B.（10，12，14）
C.（14，10，12） D.（4，2，3）
【答案】A　
【解析】＝8（i＋j）＋6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k，故点A的坐标为（12，14，10）.
【变式1】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标.
【解】因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以底面正方形的对角线长为4，
正四棱锥的高为2.所以正四棱锥各顶点的坐标分别为A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），D（0，－2，0），P（0，0，2）.
【变式2】如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.
（1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
（2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标.
【解】（1）在正方形ABCD中，AB＝6，
∴AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3.
（2）∴各点坐标分别为A（3，0，0），B（0，3，0），C（－3，0，0），D（0，－3，0），O（0，0，0），O1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，3，4），C1（－3，0，4），D1（0，－3，4），M（0，3，2），N（－3，0，3）.
同理，A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），D（0，0，0），A1（6，0，4），B1（6，6，4），C1（0，6，4），D1（0，0，4），O（3，3，0），O1（3，3，4），M（6，6，2），N（0，6，3）.
◆题型2 空间向量的坐标表示
(
解题贴士
：
用坐标表示空间向量的步骤
)
【例2】（25-26高二上·山东德州·开学考试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，所以，，所以．故选D
【变式1】棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标：
(1)；
(2)．
【解】（1），
，，．
（2），；
，
，．
【变式2】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.

【解】易知的中线长为，则，
，
设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为，则，
..

【变式3】已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
【解】因为，所以可设．由于是的中点，
所以，
又因为是的中点，
所以，所以．
◆题型3 空间点的对称问题
(
解题贴士
：
空间点的对称问题的解题策略
（
1
）
空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题
，
要掌握对称点的变化规律
，
才能准确求解
；
（
2
）
对称点的问题常常采用
“
关于谁对称
，
谁保持不变
，
其余坐标相反
”
这个结论
.
)
【例3】（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点，，所以线段的中点，点关于平面对称的点的坐标为.
【变式1】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点关于点的对称点的坐标是，即.故选：A
【变式2】（25-26高二上·四川·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据空间直角坐标系的特征，可得点关于x轴对称的点坐标是.
故选：A.
【变式3】已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
【答案】（2，－3，1）
【解析】点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）.
◆题型4 空间向量运算的坐标表示
(
解题贴士
：
空间向量坐标运算的规律及注意点
（
1
）
由点的坐标求向量坐标
：
空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定
；
（
2
）
直接计算问题
：
首先将空间向量用坐标表示出来
，
然后代入公式计算
；
（
3
）
由条件求向量或点的坐标
：
把所求向量或点的坐标设出来
，
通过解方程
（
组
），
求出其坐标
.
)
【例4】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知，，，分别计算三个坐标：
坐标： 坐标：
坐标：因此.
【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由向量，
可得，，
所以向量在向量上的投影向量为.
【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（ ）
A．21 B．8 C．68 D．-3
【答案】B
【详解】根据题意，，则.
◆题型5 空间向量平行的坐标表示
(
解题贴士
：
向量平行的应用
（
1
）
已知向量平行
，
可构造方程
（
组
）
求参数
；
（
2
）
利用向量法证明空间线面的平行关系
（
3
）
证明平行的关键是构造向量之间的线性关系
；
)
【例5】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量，，若，则（ ）
A．6 B．8 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，，所以．
【变式1】（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，，因为，所以存在实数，使得，
故，解得，，，所以.
【变式2】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由，得，使得，
则， ，解得.解得：，故.
【变式3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因，则，
又，且，则＝＝，解得．
◆题型6 空间向量垂直的坐标表示
(
解题贴士
：
向量垂直的应用
（
1
）
已知向量垂直
，
可构造方程
（
组
）
求参数
；
（
2
）
利用向量法证明空间线面的垂直关系
（
3
）
证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理
，
将垂直问题转化为线线垂直
，
然后利用向量的数量积为零证明
.
)
【例6】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，即.
【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【解析】由 可得：，
展开得： ①，
已知 ，
则，，，
代入①可得： ，解得：.
【变式2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知，，
则，；
由与互相垂直，可得 ，
代入坐标计算得： 整理得，解得.
【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】已知向量，，则，，
，由与互相垂直，
则，解得，故D正确.
◆题型7 空间夹角的计算
(
解题贴士
：
利用空间向量的坐标运算解决夹角问题的一般步骤
第一步
，
建系
：
根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
；
第二步
，
求坐标
：①
求出相关点的坐标
；②
写出向量的坐标
；
第三步
，
计算
：
结合公式进行计算
；
第四步
，
转化
：
转化为夹角问题
.
)
【例7】（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有，
，
解得，由题得，故.故选：B
【变式1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，，得，
又均不为，所以与的夹角为．
【变式2】（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为1，
如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，所以，，
所以与所成角的余弦值是.故选：C.
【变式3】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）已知，，，，.
(1)求，，；
(2)求与所成角的余弦值.
【解】（1）因为，，，
若，则存在实数，使得，
可得，解得，
即，，
若，则，解得，即.
（2）因为，，，
则，，
可得，，，
所以与所成角的余弦值为.
◆题型8 空间距离的计算
(
解题贴士
：
利用空间向量的坐标运算解决距离问题的一般步骤
第一步
，
建系
：
根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
；
第二步
，
求坐标
：①
求出相关点的坐标
；②
写出向量的坐标
；
第三步
，
计算
：
结合公式进行计算
；
第四步
，
转化
：
转化为距离问题
.
)
【例8】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】由向量加法得，所以.
【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（ ）
A．±1 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为向量，，
所以,又因为，所以，故，故选：B
【变式2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知向量.
(1)求；
(2)求的最小值.
【解】（1）由题意得，
则.
（2）由题意得，则，
，则，当时取等号，
即时，取得最小值.
【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，．
(1)若且，求实数；
(2)求向量与向量的夹角的余弦值．
【解】（1），
所以，
则，
解得．
（2）因为，，所以，
又，，
所以，
即向量与向量的夹角的余弦值为
综合攻坚·知能拔高
1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，设顶点的坐标为，
因为，所以，所以，.
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点关于平面Oxy对称的点的坐标为.
3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:，
又因为，， 所以， ，
，所以向量在向量上的投影向量：，故A正确.
4．已知向量，，若，则的值为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．7
【答案】B
【解析】因为，所以，解得，所以.
5．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．6 D．－6
【答案】C
【解析】由，
得.
因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得，
所以，解得.故的值为.
6．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由，，，构成梯形，得四点共面，
则存在唯一实数对，使得，
即，
得，解得.
当时，，
所以，且，所以空间四点构成梯形.所以.
7．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
又，
所以，所以.
8．已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】A
【解析】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
所以，
则，
当且仅当时等号成立，则的最小值为0.故选：A
9．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ）
A．点关于轴的对称点是
B．点关于平面的对称点是
C．点关于轴的对称点是
D．点关于原点的对称点是
【答案】ABD
【解析】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是，
点关于平面的对称点是，
点关于轴的对称点是，
点关于原点的对称点是.
所以选项ABD正确，选项C错误.
10．（多选）已知空间向量，则（ ）
A． B．向量不是共面向量
C． D．
【答案】AC
【解析】，A正确；
设，即，解得，
即，所以是共面向量，B错误；
，所以，C正确；
，D错误.
11．（多选）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ）
A．向量的模长为2 B．向量的坐标为
C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为
【答案】CD
【解析】对于A，因为正方体的棱长为，则，所以A错误，
对于B，因为题设没有给定确定的空间直角坐标系，建系不一样，的坐标不同，
建立如图所示的空间直角坐标系，易知，所以，故B错误，
对于C，由正方体的性质知平面，所以C正确，
对于D，由正方体的性质知平面，又平面，则，
所以异面直线与所成角为，故D正确.
12．（多选）在棱长为4的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则（ ）
A．平面 B．M，N，P，四点共面
C． D．三棱锥的体积为
【答案】ACD
【解析】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

已知正方体棱长为4，M，N，P分别为棱，，的中点，
则，
，设平面的法向量为，
则，令，则，
，
即平面的法向量，且平面，
故平面，故A正确；
平面，平面，且平面平面，
若M，N，P，四点共面，则，
则，即，显然不存在唯一的使得成立，
不平行于，故M，N，P，四点不共面，故B错误；
，
，故，故C正确；
，
则，，
，
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设点到平面的距离为，则，
，故D正确．
13．在空间直角坐标系中，，，，且，则___________．
【答案】1
【解析】在空间直角坐标系中，，，，则，
又因为，所以，所以.
14．已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由，，，
则，
因为是锐角，
所以，且不共线，
则，解得且，
则实数a的取值范围为.
15．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________．
【答案】
【解析】在直三棱柱中，平面，且，所以两两垂直，
因此，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意，可知，
又因为是的中点，所以的坐标为，
点满足，所以，
所以的坐标为，
从而．
16．已知，，，，．
(1)求；
(2)若与互相垂直，求实数k的值．
【解】（1）因为、、，，，
所以，，
则．
（2）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
17．已知空间四点，，，.
(1)若、、、四点共面，求的值；
(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.
【解】（1）由题意，得，,
，，，四点共面，
存在实数使得，
即，
则，解得，，，
故的值为.
（2），，
设直线和直线的夹角为，
，
因为，，所以，所以，
所以两直线和的夹角余弦值的范围是 .
18．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且.
(1)求的长度；
(2)若，，求的值.
【解】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
由题意，可设点P的坐标为，因为3＝，
所以，所以，解得，
所以点P的坐标为，所以，
所以，即的长度为.
（2）由题意可设点Q的坐标为，
因为，所以＝0，
所以·＝0，即，解得 ，
所以点Q的坐标为，
因为，所以＝λ，
所以，故.
19．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上．
(1)证明：平面；
(2)若平面，求线段PM长度．
【解】（1）因为与都是等腰直角三角形，，，
所以，
中，，
故，即
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示
，
，，
设，则，
因为平面，，所以可由和线性表示，
设，则，解得
所以，所以
20．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围．
【解】（1）连接，因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
则，，．
因为点在侧面内（含边界），所以可设，，，
则，所以．
由，得，
即，即，所以，
由，得，则．
，
因为，所以，则，所以，
所以，所以长度的取值范围为．
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专题03 空间向量及其运算的坐标表示
常考题型·精准突破
题型1 空间直角坐标系及相关概念
题型2 空间向量的坐标表示
题型3 空间点的对称问题
题型4 空间向量运算的坐标表示
题型5 空间向量平行的坐标表示
题型6 空间向量垂直的坐标表示
题型7 空间夹角的计算
题型8 空间距离的计算
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 空间直角坐标系及相关概念
(
解题贴士
：
求空间一点
P
的坐标的两种方法
（
1
）
利用点在坐标轴上的投影求解
；
（
2
）
利用单位正交基底表示向量
，
的坐标就是点
P
的坐标
.
)
【例1】已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，若＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A的坐标为（　　）
A.（12，14，10） B.（10，12，14）
C.（14，10，12） D.（4，2，3）
【变式1】已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，建立空间直角坐标系如图所示，试写出各顶点的坐标.
【变式2】如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3.
（1）以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
（2）以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标.
◆题型2 空间向量的坐标表示
(
解题贴士
：
用坐标表示空间向量的步骤
)
【例2】（25-26高二上·山东德州·开学考试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【变式1】棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标：
(1)；
(2)．
【变式2】（25-26高二上·山东聊城·阶段检测）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.

【变式3】已知垂直于正方形所在的平面，分别是的中点，并且．在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
◆题型3 空间点的对称问题
(
解题贴士
：
空间点的对称问题的解题策略
（
1
）
空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题
，
要掌握对称点的变化规律
，
才能准确求解
；
（
2
）
对称点的问题常常采用
“
关于谁对称
，
谁保持不变
，
其余坐标相反
”
这个结论
.
)
【例3】（25-26高一下·吉林长春·期末）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·福建福州·阶段检测）点关于点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·四川·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为 .
◆题型4 空间向量运算的坐标表示
(
解题贴士
：
空间向量坐标运算的规律及注意点
（
1
）
由点的坐标求向量坐标
：
空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定
；
（
2
）
直接计算问题
：
首先将空间向量用坐标表示出来
，
然后代入公式计算
；
（
3
）
由条件求向量或点的坐标
：
把所求向量或点的坐标设出来
，
通过解方程
（
组
），
求出其坐标
.
)
【例4】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（ ）
A．21 B．8 C．68 D．-3
◆题型5 空间向量平行的坐标表示
(
解题贴士
：
向量平行的应用
（
1
）
已知向量平行
，
可构造方程
（
组
）
求参数
；
（
2
）
利用向量法证明空间线面的平行关系
（
3
）
证明平行的关键是构造向量之间的线性关系
；
)
【例5】（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量，，若，则（ ）
A．6 B．8 C．2 D．
【变式1】（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式2】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式3】（25-26高二下·四川成都·阶段检测）已知，若，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆题型6 空间向量垂直的坐标表示
(
解题贴士
：
向量垂直的应用
（
1
）
已知向量垂直
，
可构造方程
（
组
）
求参数
；
（
2
）
利用向量法证明空间线面的垂直关系
（
3
）
证明垂直的关键是根据线线、线面、面面垂直的判定定理
，
将垂直问题转化为线线垂直
，
然后利用向量的数量积为零证明
.
)
【例6】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【变式2】（25-26高二下·江苏镇江·期末）已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知向量，，且与互相垂直，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
◆题型7 空间夹角的计算
(
解题贴士
：
利用空间向量的坐标运算解决夹角问题的一般步骤
第一步
，
建系
：
根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
；
第二步
，
求坐标
：①
求出相关点的坐标
；②
写出向量的坐标
；
第三步
，
计算
：
结合公式进行计算
；
第四步
，
转化
：
转化为夹角问题
.
)
【例7】（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量，向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·天津西青·期末）如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）已知，，，，.
(1)求，，；
(2)求与所成角的余弦值.
◆题型8 空间距离的计算
(
解题贴士
：
利用空间向量的坐标运算解决距离问题的一般步骤
第一步
，
建系
：
根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
；
第二步
，
求坐标
：①
求出相关点的坐标
；②
写出向量的坐标
；
第三步
，
计算
：
结合公式进行计算
；
第四步
，
转化
：
转化为距离问题
.
)
【例8】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（ ）
A．±1 B． C．1 D．
【变式2】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）已知向量.
(1)求；
(2)求的最小值.
【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，．
(1)若且，求实数；
(2)求向量与向量的夹角的余弦值．
综合攻坚·知能拔高
1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，若，则的值为（ ）
A．14 B．10 C．8 D．7
5．在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（ ）
A．4 B．1 C．6 D．－6
6．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
7．在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．1
9．（多选）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ）
A．点关于轴的对称点是
B．点关于平面的对称点是
C．点关于轴的对称点是
D．点关于原点的对称点是
10．（多选）已知空间向量，则（ ）
A． B．向量不是共面向量
C． D．
11．（多选）在正方体 中，设棱长为，则下列结论正确的有（ ）
A．向量的模长为2 B．向量的坐标为
C．直线与平面垂直 D．异面直线与所成角为
12．（多选）在棱长为4的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，则（ ）
A．平面 B．M，N，P，四点共面
C． D．三棱锥的体积为
13．在空间直角坐标系中，，，，且，则___________．
14．已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________．
15．如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为_________．
16．已知，，，，．
(1)求；
(2)若与互相垂直，求实数k的值．
17．已知空间四点，，，.
(1)若、、、四点共面，求的值；
(2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围.
18．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且.
(1)求的长度；
(2)若，，求的值.
19．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上．
(1)证明：平面；
(2)若平面，求线段PM长度．
20．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)设是侧面内（含边界）一点，且，求长度的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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