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专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系
常考题型·精准突破
题型1 直线的方向向量
题型2 平面的法向量
题型3 直线与直线平行
题型4 直线和平面平行
题型5 平面与平面平行
题型6 平行关系中的探索性问题
题型7 直线与直线垂直
题型8 直线与平面垂直
题型9 平面与平面垂直
题型10 垂直关系中的探索性问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直线的方向向量
(
解题贴士
：
求直线的方向向量关键是找到直线上两点
，
用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量
，
其难点是向量的运算
.
)
【例1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ）
A．或1 B． C． D．1
【变式1】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______.
【变式3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______.
◆题型2 平面的法向量
(
解题贴士
：
求平面法向量的步骤
)
【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　）
A.平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0）
B.平面A1BC的一个法向量为（1，1，1）
C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
◆题型3 直线与直线平行
(
解题贴士
：
证明两直线平行的两种思路
)
【例3】 （25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，且，则（ ）
A． B．1 C．0 D．无法确定
【变式1】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（ ）
A．3，1 B．4， C．3， D．1，1
【变式3】（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
◆题型4 直线和平面平行
(
解题贴士
：
利用空间向量证明线面平行的三种方法
（
1
）
先求直线的方向向量
，
然后求平面的法向量
，
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直
；
（
2
）
证明直线的方向向量与平面内某一向量共线
，
转化为线线平行
，
利用线面平行判定定理得证
；
（
3
）
证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面
，
即可用平面内的一个基底表示
.
)
【例4】（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（ ）
A．1 B．2
C． D．
【变式1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．l与α相交但不垂直 D．或
【变式2】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A． B．
C． D．与相交但不垂直
【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F分别为，的中点，.若平面BCD，则AD的长为___________.
◆题型5 平面与平面平行
(
解题贴士
：
证明面面平行的方法
（
1
）
转化为相应的线线平行或线面平行
；
（
2
）
分别求出这两个平面的法向量
，
然后证明这两个法向量平行
.
)
【例5】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式1】（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为2
【变式2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【变式3】（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．以上都不对
◆题型6 平行关系中的探索性问题
(
解题贴士
：
有关是否存在一点
，
使得直线、平面满足平行关系的探索性问题
，
解答时
，
一般先假设存在这样的点
，
再建立空间直角坐标系
，
设出该点的坐标
，
将直线、平面的平行关系转化为直线的方向向量、平面的法向量的关系
，
利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程
（
组
）.
若方程
（
组
）
有解
，
则点存在
；
否则
，
点不存在
.
)
【例6】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，AC与BD相交于点O，且A1在底面ABCD上的投影为O.在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
【变式1】（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）设，，为不同的平面，m，n为不同的直线，则的一个充分条件是（ ）
A．， B．，，
C．内有无数条直线与平行 D．内有不共线的三点到的距离相等
【变式2】（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____.
【变式3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
◆题型7 直线与直线垂直
(
解题贴士
：
证明两直线垂直的方法及步骤
（
1
）
坐标法
：
建立空间直角坐标系
→
写出点的坐标
→
求直线的方向向量
→
证明向量垂直
→
得到两直线垂直
；
（
2
）
基向量法
：
确定基向量
→
表示直线的方向向量
→
证明向量垂直
→
得到两直线垂直
.
)
【例7】（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【变式1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知．若，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或1
【变式2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知空间向量，若，其中，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
◆题型8 直线与平面垂直
(
解题贴士
：
用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤
基向量法
把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示
，
分别证明它们垂直
坐标法
利用线
线垂直
（
1
）
建系后
，
将直线的方向向量用坐标表示
；
（
2
）
找出平面内两条相交直线
，
并用坐标表示它们的方向向量
；
（
3
）
分别计算两组向量的数量积
，
得到数量积为
0
利用平面
的法向量
（
1
）
建系后
，
将直线的方向向量用坐标表示
；
（
2
）
求出平面的法向量
；
（
3
）
判断直线的方向向量与平面的法向量平行
)
【例8】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高三·全国·中职高考）已知正方体中，点M在棱上，直线平面，则点M的位置是（ ）
A．点D B．点 C．的中点 D．不存在
【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为_______．
◆题型9 平面与平面垂直
(
解题贴士
：
向量法证明面面垂直的两种思路
（
1
）
证明两个平面的法向量互相垂直
；
（
2
）
根据面面垂直的判定定理
，
证明一个平面内的向量垂直于另一个平面
.
)
【例9】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式2】（25-26高二下·江苏南京·开学考试）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　）
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________.
◆题型10 垂直关系中的探索性问题
(
解题贴士
：
有关是否存在一点
，
使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题
，
解答时
，
一般先假设存在这样的点
，
再建立空间直角坐标系
，
设出该点的坐标
，
将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系
，
利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程
（
组
）.
若方程
（
组
）
有解
，
则点存在
；
否则
，
点不存在
.
)
【例10】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【变式1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，______.
【变式3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点.
（1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？
（2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
7．（25-26高二上·四川攀枝花·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（ ）

A．至多与之一垂直 B．是的公垂线
C．与相交 D．与异面
9．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若，且，则 D．若且，则
10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则
B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D． ， ，则在上的投影向量为
12．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　）
A．BC⊥平面ACD
B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD
C．存在λ，使得PQ∥平面BCD
D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则
13．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________.
14．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______．
15．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形．
17．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：．
18．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证：
(1)；
(2)平面平面.
19．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；
(2)若点D满足，，试确定点D的坐标．
20．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图，和所在平面垂直，且，，点分别在直线和上移动，
(1)证明：；
(2)当的长最小时，求点到直线的距离．
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专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系
常考题型·精准突破
题型1 直线的方向向量
题型2 平面的法向量
题型3 直线与直线平行
题型4 直线和平面平行
题型5 平面与平面平行
题型6 平行关系中的探索性问题
题型7 直线与直线垂直
题型8 直线与平面垂直
题型9 平面与平面垂直
题型10 垂直关系中的探索性问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直线的方向向量
(
解题贴士
：
求直线的方向向量关键是找到直线上两点
，
用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量
，
其难点是向量的运算
.
)
【例1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ）
A．或1 B． C． D．1
【答案】B
【解析】依题意，向量共线，则，所以.故选：B
【变式1】（25-26高二上·山西·阶段检测）已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，直线的一个方向向量为，所以有向量与向量为共线，
所以，解得，，所以，故选：A.
【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______.
【答案】(时，均可)
【解析】点，点在直线上，
则直线的一个方向向量为，时，也都是直线的方向向量.
【变式3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则______.
【答案】4
【解析】由题得，设，则，解得.
◆题型2 平面的法向量
(
解题贴士
：
求平面法向量的步骤
)
【例2】（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，，
设平面ABC的法向量为，则，
令，则，则是平面ABC的一个法向量.故选：D
【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，,.
设平面的法向量为.
则，令，则.
平面的一个法向量
【变式2】（25-26高二上·广东·期末）点，平面的一个法向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设平面的一个法向量，
，
则，不妨取，则，
，即平面的一个法向量为．故选：B．
【变式3】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是（　AC　）
A.平面CDD1C1的一个法向量为（0，1，0）
B.平面A1BC的一个法向量为（1，1，1）
C.平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1）
D.平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1）
【答案】AC
【解析】对于A，由AD⊥平面CDD1C1，知＝（0，1，0）是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC，知＝（1，0，1）是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1，知＝（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1，知＝（0，－1，1）是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误.故选A、C.
◆题型3 直线与直线平行
(
解题贴士
：
证明两直线平行的两种思路
)
【例3】 （25-26高二上·全国·课后作业）已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，且，则（ ）
A． B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【解析】因为，即，则，所以.故选：A
【变式1】（25-26高一下·河北承德·期末）已知空间向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由，得，使得，
则， ，解得.
【变式2】（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知，且，则的值分别为（ ）
A．3，1 B．4， C．3， D．1，1
【答案】C
【解析】已知，，且，
则存在实数使得,
即：，解得：.
【变式3】（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【解析】设向量 ，，
由于 ，， 共线，存在 使 ，
由 ，解得 ，代入得 ，解得 ，
所以，解得 ，因此，.
◆题型4 直线和平面平行
(
解题贴士
：
利用空间向量证明线面平行的三种方法
（
1
）
先求直线的方向向量
，
然后求平面的法向量
，
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直
；
（
2
）
证明直线的方向向量与平面内某一向量共线
，
转化为线线平行
，
利用线面平行判定定理得证
；
（
3
）
证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面
，
即可用平面内的一个基底表示
.
)
【例4】（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【解析】因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，则，，，，，，
为中点，故，
在上，且，向量，
，
因此的坐标为：，
在上，设，则：.
接着求平面的法向量，设法向量为，
，，，
令，则，.
因为平面，所以，
化简得：，
所以.
【变式1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A． B．
C．l与α相交但不垂直 D．或
【答案】A
【解析】，，所以，所以，故选：A
【变式2】（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（ ）
A． B．
C． D．与相交但不垂直
【答案】A
【解析】因为直线l经过点，
所以，又因为平面的一个法向量为，
且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，则，；故选：A.
【变式3】（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在正三棱柱中，D为棱上的点，E，F分别为，的中点，.若平面BCD，则AD的长为___________.
【答案】2
【解析】在正三棱柱中，在平面内过点作，由平面，
得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面BCD的法向量，
则，令，得，
由平面BCD，得，则，解得，
所以AD的长为2.
◆题型5 平面与平面平行
(
解题贴士
：
证明面面平行的方法
（
1
）
转化为相应的线线平行或线面平行
；
（
2
）
分别求出这两个平面的法向量
，
然后证明这两个法向量平行
.
)
【例5】（25-26高二下·河南·阶段检测）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，，所以，解得，所以.故选：A.
【变式1】（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（ ）
A．最大值为2 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为2
【答案】B
【解析】因为，所以，
则存在唯一实数，使得，
即，
所以，所以，
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.故选：B.
【变式2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，所以，所以，故选：B
【变式3】（25-26高二·全国·课后作业）已知平面内的三点，，，平面的一个法向量为，且与不重合，则（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．以上都不对
【答案】A
【解析】，，
，
，
，，也为的一个法向量，
又与不重合，因此，.故选：A.
◆题型6 平行关系中的探索性问题
(
解题贴士
：
有关是否存在一点
，
使得直线、平面满足平行关系的探索性问题
，
解答时
，
一般先假设存在这样的点
，
再建立空间直角坐标系
，
设出该点的坐标
，
将直线、平面的平行关系转化为直线的方向向量、平面的法向量的关系
，
利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程
（
组
）.
若方程
（
组
）
有解
，
则点存在
；
否则
，
点不存在
.
)
【例6】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，AC与BD相交于点O，且A1在底面ABCD上的投影为O.在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
解：因为四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都等于2，则底面四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又因A1在底面ABCD上的投影为O.则A1O⊥平面ABCD，
所以OA1，OB，OC两两互相垂直.
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，），C1（0，2，）.
假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P（x，y，z），则（x，y－1，z）＝λ（0，1，）.
从而有P（0，1＋λ，λ），＝（－，1＋λ，λ）.
设平面DA1C1的法向量为n＝（x1，y1，z1），则
又＝（0，2，0），＝（，0，），则取n＝（1，0，－1），
因为BP∥平面DA1C1，
则n⊥，即n·＝－－λ＝0，解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.
【变式1】（25-26高三上·陕西汉中·阶段检测）设，，为不同的平面，m，n为不同的直线，则的一个充分条件是（ ）
A．， B．，，
C．内有无数条直线与平行 D．内有不共线的三点到的距离相等
【答案】B
【解析】选项A，直棱柱的侧面都与底面垂直，但相邻侧面是相交的，A错；
选项B，由，知直线的方向向量是平面的一个法向量，直线的方向向量是平面的一个法向量，
且，即直线的方向向量平行，也即平面的法向量平行，因此这两个平面平行，B正确；
选项C，当这无数条直线是平行线时，平面与可能相交，C错；
选项D，不共线的三点在内，当平面过这三点确定的三角形的中位线时，三角形的三个顶点到平面的距离相等，此时平面相交，D错，
故选：B．
【变式2】（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____.
【答案】/
【解析】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
则，，，
设，因，可得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，即，
又因为平面，则，解得.
【变式3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明.
【解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，＝λ，则＝λ（0≤λ≤1），
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），R（1，λ，0），＝（0，－1，1），＝（－1，－1，0），＝（0，1，0），
由＝＝，得＝，＝，得Q（0，，），P（，，0），
则＝（－1，－λ，），＝（－，－λ，0），
设平面PQR的法向量为n＝（x，y，z），则
令y＝，则n＝（－λ，，－λ），
易知平面A1D1DA的一个法向量为＝（0，1，0），
若平面PQR∥平面A1D1DA，则n＝k，
即解得λ＝，故＝时，平面PQR∥平面A1D1DA.
◆题型7 直线与直线垂直
(
解题贴士
：
证明两直线垂直的方法及步骤
（
1
）
坐标法
：
建立空间直角坐标系
→
写出点的坐标
→
求直线的方向向量
→
证明向量垂直
→
得到两直线垂直
；
（
2
）
基向量法
：
确定基向量
→
表示直线的方向向量
→
证明向量垂直
→
得到两直线垂直
.
)
【例7】（25-26高二下·江苏扬州·期中）设，向量，且，则（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【答案】A
【解析】因为，所以，解得
【变式1】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知．若，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或1
【答案】C
【解析】若，则，则，解得或3.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知空间向量，若，其中，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
又因为，所以，故选：B
【变式3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则，
设，则，
因为，则，即，
所以，
而，
由二次函数的单调性可知，
当时，，则.故选：B.
◆题型8 直线与平面垂直
(
解题贴士
：
用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤
基向量法
把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示
，
分别证明它们垂直
坐标法
利用线
线垂直
（
1
）
建系后
，
将直线的方向向量用坐标表示
；
（
2
）
找出平面内两条相交直线
，
并用坐标表示它们的方向向量
；
（
3
）
分别计算两组向量的数量积
，
得到数量积为
0
利用平面
的法向量
（
1
）
建系后
，
将直线的方向向量用坐标表示
；
（
2
）
求出平面的法向量
；
（
3
）
判断直线的方向向量与平面的法向量平行
)
【例8】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示：
由正方体的棱长为1，可得.
设，
则，
因为平面，所以,
即，解得，
所以，所以，
所以，
因为，结合复合函数单调性可得在单调递增.
故.故选：D.
【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知直线平面，所以，因为，则设，所以，
又因为是单位向量，所以，解得，
所以，故B正确.故选：B.
【变式2】（25-26高三·全国·中职高考）已知正方体中，点M在棱上，直线平面，则点M的位置是（ ）
A．点D B．点 C．的中点 D．不存在
【答案】A
【解析】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，，
，
，
∵，∴，
∵直线平面，平面，
∴，∴，
∴，解得，此时点M与点D重合．
故选：A．
【变式3】（25-26高二上·浙江·期中）空间中，其中，且平面ABC，则的值为_______．
【答案】/1.5
【解析】因为，
所以，
设平面ABC的法向量为，
所以，令，则，所以
因为平面ABC，所以，设，，
所以，解得，所以，
◆题型9 平面与平面垂直
(
解题贴士
：
向量法证明面面垂直的两种思路
（
1
）
证明两个平面的法向量互相垂直
；
（
2
）
根据面面垂直的判定定理
，
证明一个平面内的向量垂直于另一个平面
.
)
【例9】（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设平面的法向量为，因为平面平面，所以，
因为，
，
，
.
所以平面的法向量的坐标可以是.
【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则x的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】由于，可得：，即，
解得：.故选：B
【变式2】（25-26高二下·江苏南京·开学考试）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　）
A．－3 B．6
C．－6 D．－12
【答案】B
【解析】因为两平面的法向量分别为，且，
所以，所以.故选：B
【变式3】（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________.
【答案】1
【解析】【详解】因为直线平面，所以，又，
所以存在实数使得，
即，所以，
解得，所以．
◆题型10 垂直关系中的探索性问题
(
解题贴士
：
有关是否存在一点
，
使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问题
，
解答时
，
一般先假设存在这样的点
，
再建立空间直角坐标系
，
设出该点的坐标
，
将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向量之间关系
，
利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程
（
组
）.
若方程
（
组
）
有解
，
则点存在
；
否则
，
点不存在
.
)
【例10】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩形，所以F为BD的中点，
假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD.
取CD的中点为O，连接PO，FO，
因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD，
而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC.
因为PC＝PD＝，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，PO 平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，故PO⊥平面ABCD，
故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），
设＝λ（λ∈[0，1]），M（x，y，z），则＝λ，
即（x，y，z－1）＝λ（0，－1，－1），则可得M（0，－λ，1－λ），
故＝（－1，1－λ，1－λ），＝（－1，－2，0），
因为AM⊥BD，故·＝0，即1－2（1－λ）＝0，解得λ＝，即在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时＝.
【变式1】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ,
所以，
由,可得，
所以,平面,
所以,
所以,
即，解得，
当为线段上靠近的四等分点时，平面.故选:.
【变式2】在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时，______.
【答案】
【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，
设，则，，
因为，所以，
即，解得，
所以.
【变式3】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点.
（1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？
（2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？
【解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），E（，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
＝（0，－1，－1），＝（－，0，－1）.
假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，设N（1，b，c），
则因为＝（1，b，c－1），
所以解得
故平面AA1B1B上存在点N（1，，），使D1N⊥平面B1AE.
（2）假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ，λ，1），
则＝（λ－1，λ，1），＝（λ－，λ－1，1），
设平面AEP的法向量为n＝（x，y，z），
则
即
令x＝1，则n＝（1，，1－λ），
又平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），
由平面PAE⊥平面ABCD，得n·＝0，
即1－λ＝0，解得λ＝，
故在B1D1上存在点P（，，1），使平面PAE⊥平面ABCD.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直，
即且，设，
则，，
由第二个方程得，代入第一个方程有，
令，则，即．
故选：B．
2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线经过点，，，
与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
选项A：假设向量与共线，则，
由得，得，故不存在唯一的，使得成立，
故向量不是该直线的方向向量；
选项B：假设向量与共线，则，解得，
故向量是该直线的方向向量；
选项C：假设向量与共线，则，解得，
故向量是该直线的方向向量；
选项D：假设向量与共线，则，解得，
故向量是该直线的方向向量．
故选：A．
3．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，，
由题意可得，解得.
4．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，所以，即.
5．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面的一个法向量为，平面平面，
设平面的法向量为，
平面的法向量，
选项A，，与不平行，故选项A错误；
选项B，，与不平行，故选项B错误；
选项C，，与平行，故选项C正确；
选项D，，与不平行，故选项D错误.
6．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：，
设，则．
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
因为平面，则，
即，解得，即点坐标为．
故选：B.
7．（25-26高二上·四川攀枝花·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在直三棱柱中，底面，
以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点、，
，，
由于，则，可得，
，则，
.
故选：C.
8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，分别在上，且，则（ ）

A．至多与之一垂直 B．是的公垂线
C．与相交 D．与异面
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
由，则，
所以，
因为，所以，又与无公共点，所以，故C，D错误；
由，
且，
所以，故A错误，B正确.
9．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．若，且，则 D．若且，则
【答案】ABC
【解析】已知在空间直角坐标系中，，，原点，
则 ，，.
选项A：的模长， 因此A正确；
选项B：，因此B正确；
选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确；
选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误.
10．（25-26高二下·河南平顶山·期末）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

设，到平面的距离为，
则，
则，，，，，，
又E，F，G，H分别为，，，的中点，
则，，，，
对于A，由，，则，故A正确；
对于B，由，，则，故B正确；
对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确；
对于D，由，，，得与不垂直，故D错误．
11．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）以下命题正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则
B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D． ， ，则在上的投影向量为
【答案】BC
【解析】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误；
对于B，因为，，
所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确；
对于C，假设存在实数使得，
因为是空间的一个基底，所以线性无关，
则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确；
对于D，，，
则在上的投影向量为，故D错误．
12．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　）
A．BC⊥平面ACD
B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD
C．存在λ，使得PQ∥平面BCD
D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则
【答案】ACD
【解析】因为平面，平面，所以；
因为，，与相交于点且都在平面上，所以平面；
故选项A正确.
因为直线，，两两垂直，所以，，可构成空间的一组基
进而化简得
若要使得与平面垂直，等价于与平面的法向量共线
即且同时成立，显然不存在这样的
故选项B错误.
要使与平面平行，等价于与平面的法向量垂直
当时，，即与平面平行
故选项C正确.
要使与平面垂直，等价于且
则，可得；
，将代入
得，即
故选项D正确.
13．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】由直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，所以，
即，解得，所以.
14．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______．
【答案】(答案不唯一)
【解析】因为，，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
因为平面，所以，
因为，所以，所以，
故点的坐标满足即可，可取，
故答案为：(答案不唯一).
15．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点，是线段上的一点，且满足平面，则________

【解】如图，由已知，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则,，
设面的一个法向量,
则,即，
令得，
因为平面，所以,即，
所以得，
,所以，
因为，所以．
16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形．
【解】证明：连接，，因为分别为的中点，所以且，
同理且，在正方体中，四边形为平行四边形，
所以且，所以，且，
故四边形为平行四边形．
17．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：．
【解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则．
所以，，，，则，．
因为，
所以，即．
18．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证：
(1)；
(2)平面平面.
【解】(1)取的中点为，连接，
因为，所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
又因为四棱锥的底面是直角梯形，
所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，
所以，，
所以，即.
(2)，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，可以求得面的一个法向量；
设平面的法向量为，则，
令，则，，可以求得面的一个法向量，
又因为，所以，平面平面.
19．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）如图，已知在三棱锥中，，，OA，OB，OC两两垂直．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)若OA，OC的中点分别为E，F，试判断EF与OB之间的位置关系；
(2)若点D满足，，试确定点D的坐标．
【解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由于OA，OC的中点分别为E，F．
因此，，得．
又，所以，即，
故EF与OB垂直．
（2）设，则，，
，，
由，，，
因此存在实数，，使得，，
即．
即点D的坐标为．
20．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图，和所在平面垂直，且，，点分别在直线和上移动，
(1)证明：；
(2)当的长最小时，求点到直线的距离．
【解】（1）依题意，由平面平面，得以点为坐标原点，以所在直线为轴，
分别在平面、平面内过点作垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，
，，，，
，，
则，所以，故．
（2）设，，则，
则，，
，
当，即时，的长最小值为，
此时，，
，即，
故，又点在直线上，
因此当的长最小时，点到直线的距离为．
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