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专题05 用空间向量研究距离、夹角问题
常考题型·精准突破
题型1 点到直线的距离
题型2 点到平面的距离
题型3 直线、平面到平面的距离
题型4 两异面直线所成的角
题型5 直线与平面所成的角
题型6 两个平面的夹角
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 点到直线的距离
(
解题贴士
：
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（
1
）
建立空间直角坐标系
；
（
2
）
求直线的单位方向向量
u
；
（
3
）
计算所求点与直线上某一点所构成的向量
a
；
（
4
）
利用公式
d
＝
计算点到直线的距离
.
)
【例1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______．
◆题型2 点到平面的距离
(
解题贴士
：
用向量法求点面距的步骤
（
1
）
建系
：
建立恰当的空间直角坐标系
；
（
2
）
求点坐标
：
写出
（
求出
）
相关点的坐标
；
（
3
）
求向量
：
求出相关向量的坐标
（
，
平面
α
的法向量
n
）；
（
4
）
求距离
d
＝
.
)
【例2】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式2】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．
◆题型3 直线、平面到平面的距离
(
解题贴士
：
求直线、平面到它的平行平面的距离
，
先在直线、平面上找到一点
，
然后转化为求点到平面的距离
，
且这个点要适当选取
，
以求解最简便为准则
.
)
【例3】（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．

【变式3】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求线段到平面的距离．．
◆题型4 两异面直线所成的角
(
解题贴士
：
求异面直线所成的角的方法
（
1
）
基底法
：
在一些不适合建立坐标系的题目中
，
经常采用取定基底的方法
，
在两异面直线
a
与
b
上分别取点
A
，
B
和
C
，
D
，
则
与
可分别作为
a
，
b
的方向向量
，
则
cos
θ
＝
，
根据条件可以把
与
用基底表示
，
再进行计算
；
（
2
）
坐标法
：
根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系
，
写出各相关点的坐标
，
进而利用公式求解
.
利用坐标法求线线角
，
避免了传统找角或作角的步骤
，
使过程变得更简单
.
)
【例4】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________．
◆题型5 直线与平面所成的角
(
解题贴士
：
向量法求直线与平面所成角的步骤
（
1
）
建立空间直角坐标系
；
（
2
）
求直线的方向向量
；
（
3
）
求平面的法向量
n
；
（
4
）
设线面角为
θ
，
则
sin
θ
＝
.
)
【例5】（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____.
【变式2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点.
(1)证明:平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【变式3】（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值．
◆题型6 两个平面的夹角
(
解题贴士
：
向量法求两平面夹角的步骤
（
1
）
建立适当的坐标系
，
写出相应点的坐标
；
（
2
）
求出两个平面的法向量
n
1
，
n
2
；
（
3
）
设两平面的夹角为
θ
，
则
cos
θ
＝｜
cos
＜
n
1
，
n
2
＞｜.
)
【例6】（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.

【变式3】（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
5．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）下列说法中，正确的有（ ）
A．若平面的法向量，则四点共面
B．若平面的法向量，则与平面所成的角为
C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2
D．若，且是钝角，则实数的取值范围是
10．（多选）（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．异面直线EF与所成角余弦值为
C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为
11．（多选）（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（）
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的余弦值为
12．（多选）（25-26高二下·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______．
14．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______
15．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______.
16．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．
(1)证明：平面；
(2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求；
17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形．
(1)证明：平面平面．
(2)若，底面，求平面与平面之间的距离．
18．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值；
19．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)证明：平面；
(2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20.（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
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专题05 用空间向量研究距离、夹角问题
常考题型·精准突破
题型1 点到直线的距离
题型2 点到平面的距离
题型3 直线、平面到平面的距离
题型4 两异面直线所成的角
题型5 直线与平面所成的角
题型6 两个平面的夹角
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 点到直线的距离
(
解题贴士
：
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（
1
）
建立空间直角坐标系
；
（
2
）
求直线的单位方向向量
u
；
（
3
）
计算所求点与直线上某一点所构成的向量
a
；
（
4
）
利用公式
d
＝
计算点到直线的距离
.
)
【例1】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】由题，所以点到直线的距离为.
【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为点，，，
所以，所以.
所以点到直线的距离为.故选：A.
【变式2】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图空间直角坐标系，

则，，.
故点到直线的距离.
【变式3】（25-26高二上·湖北·期末）如图，三棱锥中，底面为直角三角形，为直角，面，且，为棱上一个动点，则到直线的距离的最小值为______．
【答案】/
【解析】以为原点，以所在直线为轴，如图建系，
则，设，则，
在方向上投影向量长度为，
故到直线的距离，
当时，，
◆题型2 点到平面的距离
(
解题贴士
：
用向量法求点面距的步骤
（
1
）
建系
：
建立恰当的空间直角坐标系
；
（
2
）
求点坐标
：
写出
（
求出
）
相关点的坐标
；
（
3
）
求向量
：
求出相关向量的坐标
（
，
平面
α
的法向量
n
）；
（
4
）
求距离
d
＝
.
)
【例2】（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易得，，
设平面的法向量为，则，令，则，
则点到平面的距离为.
【变式1】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的法向量为，所以，
令，则，可得.因为，所以点A到平面PMN的距离.
【变式2】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）已知三棱柱的棱长均为2，在底面内的射影为的中心，则到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由三棱柱的所有棱长均为，
可得为边长为的等边三角形，侧棱.
设在底面内的投影为，则平面，
由的边长，可得高， 则到顶点的距离.
在中，.
如图所示，取的中点为原点，以直线为轴，直线为轴，
过点且垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系，
可得，，，，
故，，.
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以到平面的距离.
【变式3】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______．
【答案】
【解析】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则∴，，．
设平面的法向量为，则即
取，则，所以，所以点C1到平面AD1C的距离为＝．
◆题型3 直线、平面到平面的距离
(
解题贴士
：
求直线、平面到它的平行平面的距离
，
先在直线、平面上找到一点
，
然后转化为求点到平面的距离
，
且这个点要适当选取
，
以求解最简便为准则
.
)
【例3】（25-26高二下·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，可得，
因为，可知，
且平面，平面，所以平面，
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
则点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
【变式1】（25-26高二上·广东广州·期末）在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
则，即，又平面，则平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
则到平面的距离为，所以直线到平面的距离为.故选：D
【变式2】（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面与平面的距离为________．

【答案】
【解析】正方体中，，故四边形为平行四边形，
所以 ，平面，平面，
所以平面，同理平面，且
所以平面平面.
以D为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则 ，
所以，，，
设平面 的法向量为，
则 ，所以 ，
令，则，则为平面的一个法向量，
所以点 到平面的距离d，
则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离，
所以平面与平面间的距离为．
【变式3】（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求线段到平面的距离．
【解】（1）取的中点，连接，，
因为点是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由于，分别为正方体的棱，的中点，
所以，，所以四边形为平行四边形，即，
因为平面，平面，所以平面，
由于，平面，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）如图建立空间直角坐标系，
则、、，，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，
所以，令，则，所以，
设点到平面的距离为，则，
由（1）知，∥平面，
则线段到平面的距离即为点到平面的距离，
故线段到平面的距离为．
◆题型4 两异面直线所成的角
(
解题贴士
：
求异面直线所成的角的方法
（
1
）
基底法
：
在一些不适合建立坐标系的题目中
，
经常采用取定基底的方法
，
在两异面直线
a
与
b
上分别取点
A
，
B
和
C
，
D
，
则
与
可分别作为
a
，
b
的方向向量
，
则
cos
θ
＝
，
根据条件可以把
与
用基底表示
，
再进行计算
；
（
2
）
坐标法
：
根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系
，
写出各相关点的坐标
，
进而利用公式求解
.
利用坐标法求线线角
，
避免了传统找角或作角的步骤
，
使过程变得更简单
.
)
【例4】（25-26高一下·天津红桥·期末）如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，则与所成角的余弦值为：.
【变式1】（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设正方体棱长为，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
，，，，，，
所以，
所以与夹角的余弦值为．
【变式2】（25-26高一下·河南郑州·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，
因为，所以.
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面平面，所以.
如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
则.
因为是的中点，所以. 所以.
设直线与直线所成角为， 则
.
所以直线与直线所成角的余弦值为.
【变式3】（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________．
【答案】/0.8
【解析】由题意知在直三棱柱中，，
故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，则，
故，设直线与所成角为，
则.
◆题型5 直线与平面所成的角
(
解题贴士
：
向量法求直线与平面所成角的步骤
（
1
）
建立空间直角坐标系
；
（
2
）
求直线的方向向量
；
（
3
）
求平面的法向量
n
；
（
4
）
设线面角为
θ
，
则
sin
θ
＝
.
)
【例5】（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，所以，，所以，
因为，所以,，
设平面的法向量为，
所以，所以，取，所以平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，所以.
【变式1】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，在正方体中，点是棱的中点，则与平面所成角的正弦值_____.
【答案】/
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示：
设正方体边长为2，可得
所以，
设平面的一个法向量为，
可得，
令，可得，即，
所以与平面所成角的正弦值为，
【变式2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点.
(1)证明:平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解】（1）由题意，是边长为2的等边三角形，
过点作于点，连接，
则，又，则，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则.
【变式3】（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
(1)求证：平面；
(2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值．
【解】（1）在三棱柱中，，，
，则.
又四边形是正方形，则，，所以.
又，平面，因此平面.
又平面，所以.
在等边中，为中点，则，
又，平面，所以平面.
（2）
取中点为，中点为，则，.
由（1）知，平面，平面，则.
又，故，，平面，
则平面，即两两垂直.
以为坐标原点，，，的方向为轴 轴 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面所成角为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
◆题型6 两个平面的夹角
(
解题贴士
：
向量法求两平面夹角的步骤
（
1
）
建立适当的坐标系
，
写出相应点的坐标
；
（
2
）
求出两个平面的法向量
n
1
，
n
2
；
（
3
）
设两平面的夹角为
θ
，
则
cos
θ
＝｜
cos
＜
n
1
，
n
2
＞｜.
)
【例6】（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设二面角的大小为，由，
得，，
则，
而，由对角线与所成角的余弦值为，得，
解得，又，解得，
所以二面角的大小为.
【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知两两垂直，
则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．
∴，，
由，
设平面的法向量，
则，取，得，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【变式2】（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.

【答案】
【解析】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则，
所以，若平面的一个法向量为，

所以，取，则，
而是平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【变式3】（25-26高二下·重庆渝中·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形， ,是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值.
【解】（1）证明：取中点，连接，
因为是中点，则，且，又，且，
所以，且，则四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，故平面.
（2）因为平面，底面是直角梯形，
故可以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
由题意，可得，
所以，
设平面的一个法向量为，
由，故可取，
设平面的一个法向量为，
由，故可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，则，又平面的法向量为，
则点到平面的距离为.
2．（25-26高二下·江苏南京·期中）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线与平面所成角为，则.
3．（25-26高二下·江苏苏州·期中）直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
，，，，，，
，即，与所成的角为.
4．（25-26高二下·辽宁·开学考试）如图，在直三棱柱中，，且为的中点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意可知，
又因为是的中点，所以的坐标为，
点满足，所以的坐标为，
从而．
5．（25-26高二上·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，，
所以，，
所以点到直线的距离为.
故选：A.
6．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，平面，，
因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系：
则，，，，，
直线 的方向向量， ，
点到直线的距离.
7．（2026·安徽蚌埠·二模）已知正方体中，是的中点，则平面与平面的夹角余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、，则，，
设平面的一个法向量为，
所以，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
故平面与平面的夹角余弦值是.
8．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，为线段上的点，且，过的平面交于点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以点D为坐标原点，直线分别为x轴 y轴 z轴建
立空间直角坐标系，如图所示.
则，
，
，则.
又平面平面平面EFGH.
到平面EFGH的距离，即为点到平面EFGH的距离.
设平面的法向量为，则即
令，则，
又点到平面EFGH的距离，
∴直线到平面EFGH的距离为.
故选：A
9．（多选）（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）下列说法中，正确的有（ ）
A．若平面的法向量，则四点共面
B．若平面的法向量，则与平面所成的角为
C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2
D．若，且是钝角，则实数的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于A，，故，、、、四点共面，故A正确；
对于B，，故，平面ABC，PA与平面ABC所成角为，故B正确；
对于C，点到平面ABC的距离，故C错误；
对于D，因为是钝角，所以，解得，但时与反向共线，为平角，不满足钝角，故D错误．
故选：AB．
10．（多选）（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．异面直线EF与所成角余弦值为
C．三棱锥的体积为 D．直线EF与平面ABCD所成角正弦值为
【答案】BC
【解析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系.
对于A，，，，，从而，，
，则不与垂直，故A错误；
对于B，，EF与所成角余弦值为，故B正确；
对于C，，由题可得为，从而，故C正确；
对于D，平面的法向量可取，则EF与ABCD所成角正弦值为，故D错误.
11．（多选）（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知长方体，，则（）
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得各点坐标：，，，，，，，.
选项A：，，所以，故，A正确.
选项B：，，异面直线所成角的余弦值为，B正确.
选项C：向量，，
设平面的法向量为，则，取，则.
设线面角为，则，
，C错误.
选项D：平面的一个法向量为，设线面角为，则，
故，，D正确.
12．（多选）（25-26高二下·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】A选项， ，,正确；
B选项，设平面的法向量为，则，
取，则为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，那么，
所以B错误；
C选项，点到平面的距离为，正确；
D选项，设平面法向量，而，
故，
取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
，D选项正确.
13．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______．
【答案】
【解析】，则，
又因为，，
所以.
14．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______
【答案】/
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
,
则，
令，则，
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为.
15．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______.
【答案】
【解析】因为底面是矩形，平面，所以，
故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，
因为点是线段上一点，设，
设平面的法向量为，则，，
令，则.平面的法向量为.
因为平面与平面的夹角为，
所以，
所以，解得（舍去），所以.
此时，，
所以点到平面的距离.
16．如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．
(1)证明：平面；
(2)已知二面角是，，点到平面的距离为．求；
【解】（1）过点作的垂线，设垂足为，即有，
因为，平面，
平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，因为四边形是矩形，所以，
所以，因为，，
，平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以，又因为，
所以是二面角的平面角，即，
所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由已知得，，设，，
则，，且由得.
设平面的法向量为，而,
则有即有，
令，则，，所以，又，
所以点到平面的距离.
即，又因为，
所以可解得，因此.
17．（25-26高二下·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形．
(1)证明：平面平面．
(2)若，底面，求平面与平面之间的距离．
【解】（1）证明：，分别是，的中点，
平面，平面，平面
且，四边形是平行四边形，．
平面，平面，平面．
又，平面，平面，
平面平面．
（2）因为底面，底面，所以.
又因为底面是正方形，所以.
故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量是，
则，，
取，得，，则．
所以点到平面的距离为.
故平面与平面之间的距离为．
18．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面，，且为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面NMF与平面DMF所成角的余弦值；
【解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，
所以，显然平面的法向量可以为，
所以，即，又平面，所以平面；
（2）因为，设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
因为平面，所以平面的法向量可以为，
则设两平面所成角为，则，
为锐角，所以两平面所成角的余弦值为.
19．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)证明：平面；
(2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）连接并延长，交圆于点，连接，
则，，
所以四边形为矩形，所以，
因为，所以，
故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线，
因为为直径，所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，即平面.
（2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，，，，
，，
则，
设平面的法向量为，
则
解得，令，则，
故，又，
故，
解得，故，即直线上存在点，
使得直线与平面所成的角的正弦值为，且.
20.（25-26高二下·海南·期末）如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
【解】（1）因为侧面是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）方法一：如图，以C为坐标原点，CA，，CB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得．
设直线与平面所成的角为θ，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
方法二：设与的交点为O，连接OB，

因为平面平面，所以直线在平面内的射影即直线，
则即为直线与平面所成的角．
因为，四边形是正方形，所以，．
又，
所以，．
所以．
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
即直线与平面所成角的正弦值为．
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