资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 空间向量的综合问题
常考题型·精准突破
题型1 立体几何中的翻折问题
题型2 立体几何中的最值（范围）问题
题型3 位置关系探究性问题
题型4 与空间角有关的探究性问题
题型5 与空间距离有关的探究性问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 立体几何中的翻折问题
(
解题贴士
：
翻折问题的解题策略
（
1
）
确定翻折前后变与不变的关系
：
画好翻折前后的平面图形与立体图形
，
分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变
.
一般地
，
位于
“
折痕
”
同侧的点、线、面之间的位置关系不变
，
而位于
“
折痕
”
两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化
；
对于不变的关系应在平面图形中处理
，
而对于变化的关系则要在立体图形中解决
；
（
2
）
确定翻折后关键点的位置
：
所谓的关键点
，
是指翻折过程中运动变化的点
.
因为这些点的位置移动
，
会带动与其相关的点、线、面的关系变化
.
只有分析清楚关键点的准确位置
，
才能以此为参照点
，
确定其他点、线、面的位置
，
进而进行有关的证明与计算
.
)
【例1】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值．
【解】（1）证明：由，得，
又，在中，
由余弦定理得，
所以，则，即，
又因为在平面ABCD中，，得，
又因为平面，平面，所以平面；
(2)证明：由（1）知，翻折后，
连接，由，则，
在中，因，得，则，
又平面，所以平面
（3）由（2）得平面，又平面，所以，则两两垂直，
建立如图空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
所以，
设直线EC平面PCD所成角为，则，
即直线EC与平面PCD所成角的正弦值为.　
【变式1】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．

(1)证明：平面平面；
(2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值．
【解】（1）在图中连接，，

由是正方形，则和都是等腰三角形，
又是正方形中心，所以，，
因为，且，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
（2）在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大，
此时平面平面，
因为，且平面平面，平面，
所以平面ABC，所以，，两两垂直．
则以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，

因为正方形的边长为，则，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
因为，即，
令，则，，得，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成的角的正弦值为．
【变式2】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．

(1)求证：平面；
(2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值．
【解】（1） 如上图，连接交于，连接，
由题可知：底面是正方形，所以为的中点，
又因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为底面是正方形，所以，由二面角为直二面角，
得平面平面，而平面平面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又，平面，平面，

以E为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间坐标系，直线与平面所成角为．
，，，，
由图可知为平面的法向量，
则，.
【变式3】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.

(1)求证：平面；
(2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值.
【解】（1）因为，，所以，
又因为，则，所以，翻折后，
又因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，建立如下所示空间直角坐标系，由几何关系知，
所以，则，
设平面的法向量，则，
令，则，
因为在线段上，且，则，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.

◆题型2 立体几何中的最值（范围）问题
(
解题贴士
：
立体几何中最值
（
范围
）
问题的解题策略
在动态变化过程中产生的体积最大
（
小
）
、距离最大
（
小
）
、角的范围等问题
，
常用的解题思路是
：
（
1
）
直观判断
：
在变化过程中判断点、线、面在何位置时
，
所求的量有相应最大、最小值
，
即可求解
；
（
2
）
函数思想
：
通过建系或引入变量
，
把这类动态问题转化为目标函数
，
从而利用代数方法求目标函数的最值
.
)
【例2】（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．

(1)求证：；
(2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．
【解】（1）底面，且底面，故，
又，故，
平面，且，
则平面，又平面，故．
（2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则，
点在上，设，
故，则，
故，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
，
令，
，故，
故，当时取最小值，
当时取最大值．
【变式1】（25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)证明：；
(3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长．
【解】（1）方法一：平面与平面的夹角也就是平面与平面的夹角．
过点作于，连接，
因为平面，平面,所以，
又因为平面,所以平面，
又平面，所以，所以是两个平面所成的角，
根据题意可知，，
在中，由等面积可得，则，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：根据题意可知，，
于是可以建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
利用点是的中点确定点的坐标为，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，故可取，
显然平面的法向量可以是，
设平面与平面的夹角大小为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（2）由题可知，分别是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，
所以，从而.
（3）方法一：由（2）可知，，于是可设，
即，又，则，，
设直线与平面所成角大小为，
则，
当时，取得最小值，则取得最大值．
此时，；
方法二：由（2）可知，平面，所以上所有点到平面的距离都相等，
设这个定距离为，也就是点到面的距离．
在中，，，由余弦定理，，，
在三棱锥中，，
设直线与平面所成角大小为，为锐角，则，
当最小时，最大，显然，即时，最小．
又，，
．
所以．
【变式2】（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点.
(1)若点为的中点，求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
【解】（1）证明：如图，取的中点，连接，.
因为是棱的中点，所以且.
因为且，所以且，
所以四边形为平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，.
因为是边长为2的等边三角形，所以，，.
因为，，为的中点，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，.
又，所以，所以.
又因为，所以平面.
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设，其中，
则.
设平面的法向量，所以，
令，得.
设平面的法向量，所以，
令，得.
设平面与平面的夹角为，则
，.
令，则.
令，当时，，当时，，
所以，所以，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.
【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点.
(1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：；
(2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值.
【解】（1）取线段的中点，连接，，由于，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，故.
（2）连接，交于点，因为底面为菱形，所以.
又平面，所以如图建立空间直角坐标系，
设，，则，，，，，
得，，.
设平面的法向量，
则，
所以点到平面的距离为，化简得，
因为，所以，即，当且仅当时，等号成立.
故，即四棱锥体积的最小值为．
◆题型3 位置关系探究性问题
【例3】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且．
(1)设平面平面，证明： ；
(2)证明：平面；
(3)线段上是否存在点，使得平面 若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
【解】(1)证明：因为四边形为矩形，
所以，
由平面，平面，
得平面．
又平面，平面平面，
所以
(2)证明：因为平面，
又平面，所以．
又底面为矩形，所以．
平面，，
所以平面．
又平面，所以．
在中，，，
所以,
,
在中，由余弦定理可得
,
所以,
因为，所以．
因为，，平面，，
所以平面．
(3)存在，证明如下：
如图：过作交于点，
过作交于点．
因为，平面，平面，
所以平面．
同理平面．
又平面，，
所以平面平面．
因为平面，所以平面,
由（2）知，，
又，则，
则,
因为，
所以，
所以点为线段上靠近的四等分点，．
【变式1】（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面.
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【解】（1）证明：因为，，则，即．
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．
（2）取中点，连接，取中点，连接.
由得平面，因为，所以平面，平面，
又因为，所以四边形均为矩形，
所以多面体为直三棱柱，
因为为等边三角形，平面平面，
所以平面平面，为等边三角形，即，
因为为的中点，平面平面，所以平面，
所以为直线与平面的夹角，
因为，所以，
所以，
即，所以直线与平面夹角余弦值为.
（3）存在，为线段的中点.
取中点，连接，设点在底面的投影为，连接，
由（2）可知，直线在底面上的投影为直线，所以点在线段上.
假设，所以平面，即，
在正方形中，当时，为对角线的交点，
即为线段的中点，所以为线段的中点
【变式2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)求点到平面的距离．
【解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为为正三角形，点为的中点，所以，
又因为，平面，所以平面；
（2）由（1）知平面，又平面，
所以平面平面，
在平面内过点作交于点，
又平面平面，所以平面，
于是点即为所要找的点，又，所以，
即有，于是，所以，
所以.
（3）取的中点，连接，因为点为的中点，
则，，
于是为平行四边形，即，而平面，
平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离,
又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
而由（2）知，当时，平面，，
设，则，
所以点到平面的距离.
【变式3】（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，.
(1)若平面，求二面角的大小；
(2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由.
【解】（1）因为，为的中点，所以，且．
又因为平面，平面，平面，
所以， ．
故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图：
由题意可得，， ， ，．
因为，即，
所以，
即． 易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
因 ，．
由，故可取故可取 ．
设二面角的大小为，由图可知为锐角，
则．
所以，即二面角的大小为．
（2）存在，点位于线段的延长线上，且满足.
理由如下： 设，则，
设平面的法向量为，，由（1）知，
由，故可取.
因为平面，，
由，可得，解得，即.
因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面．
◆题型4 与空间角有关的探究性问题
(
解题贴士
：
与空间角有关的探究性问题的解题策略
借助于空间直角坐标系
，
把几何对象上动点的坐标用参数
（
变量
）
表示
，
将几何对象坐标化
，
这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组
.
若方程或方程组在题设范围内有解
，
则通过参数的值反过来确定几何对象的位置
；
若方程或方程组在题设范围内无解
，
则表示满足题设要求的几何对象不存在
.
)
【例4】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)证明：平面；
(2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）连接并延长，交圆于点，连接，
则，，
所以四边形为矩形，所以，
因为，所以，
故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线，
因为为直径，所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，即平面.
（2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，
所以，，，，
，，
则，
设平面的法向量为，
则
解得，令，则，
故，又，
故，
解得，故，即直线上存在点，
使得直线与平面所成的角的正弦值为，且.
【变式1】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值；
(3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【解】（1）设，连接，
四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2）方法一：平面，平面，平面平面，；
，，平面,平面；
设为中点，则，平面，
平面，；
过作，，平面，平面，
连接，则，为二面角的平面角．
∽，，即，，
在中，，，，
，即二面角的余弦值为.
方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，；
设平面的法向量，则，
令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
，
又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
（3）方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下：
设在面上射影为，则为与平面所成角.
，，
，，，
，
，；
，，
若与平面所成角的正切值大小为，即，
则，
在中，由余弦定理知：，
解得：.
方法二：
假设存在点满足题意，
设，
，
设平面的一个法向量，则，
令，解得：，，，
记直线与平面所成角为，则，，
即，
整理可得：，解得：（舍）或，.
【变式2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解】（1）因为平面，平面，所以；
又，是的中点，所以；
因为，，平面，所以平面．
（2）由平面，得，，故，
设，以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建立坐标系，
，，，，，
设，，，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则：
，
解得，故存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，
此时．
【变式3】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解】（1）证明：记中点为，连接，，
则四边形为正方形，且根据勾股定理得，
所以，则，所以.
又，，，平面，
所以平面.
因为平面，所以，
易知，所以，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直．
以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面的法向量为．
则，令 ，
得.
设平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，，
则，解得．
所以．
◆题型5 与空间距离有关的探究性问题
(
解题贴士
：
与空间距离有关的探究性问题的解题策略
借助于空间直角坐标系
，
把几何对象上动点的坐标用参数
（
变量
）
表示
，
将几何对象坐标化
，
这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组
.
若方程或方程组在题设范围内有解
，
则通过参数的值反过来确定几何对象的位置
；
若方程或方程组在题设范围内无解
，
则表示满足题设要求的几何对象不存在
.
)
【例5】（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1
(1)证明：MP⊥BH；
(2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．
【解】（1）证明：因为在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1，
连接，所以，
所以四边形为菱形，故，
由长方体得，由，知,
由，得，
由，得.
（2）存在点满足条件，. 证明如下：
假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离，
则,
而，，
所以，
则，
另一方面，
故，
综上所述存在点满足条件，.
【变式1】（2026·河北邯郸·模拟）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，
（i）求平面与平面夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解】（1）取中点，连接，
因为为中点，所以，且，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，所以平面；
（2）（i）因为平面，且，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面平面，
所以平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
不妨取，则，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为；
（ii）存在点满足题意，
易知，
假设存在点满足题意，设，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以点到平面的距离，化简可得，
解得或（舍去），即.
【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【解】（1）证明如下：
连接交于点，，
，故为菱形，
故，由长方体得平面，
由平面，知；
由，平面，平面，
知平面，由平面，知.
（2）如图所示，连接，由（1）知，平面，
又由平面，平面平面，交线为，
故点在平面的投影必在直线上，
故直线与平面所成角即为，
在中，，
，，
故由余弦定理得，
即直线与平面所成角的余弦值为；
（3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离，
则，由（1）（2）知，
，故；则，
另一方面，
故，综上所述，存在符合题意的点，.
【变式3】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
【解】(1)证明：因底面底面，则，
又平面，则平面，
又平面，则平面平面.
(2)不存在，理由如下：
以为原点，建立空间直角坐标系，如图．
由，设，于是，
其中，
则．
由，可得．
假设存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等，
则，由，
可得．
又，
其判别式，故方程无解，
即线段上不存在一个点，使得点到点,,,的距离都相等．
AI
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面．
(1)证明：平面．
(2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
【解】（1），分别为，的中点，
，
∵四边形是边长为2的正方形，
，，
平面，平面，
平面．
（2）取的中点，连接，取中点，连接，
，，，，
∵平面平面，平面，平面平面，
平面．
∵四边形是边长为2的正方形，为中点，
，，
分别以，，所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
假设存在点到点，，，距离都相等，
解得，，即，
∴点存在，且点为与的交点；
（3）设平面、平面的法向量分别为，，
由（2）知，，，，
令，．
令，．
设平面、平面的夹角为，
，
平面与平面的夹角的余弦值为．
2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．

(1)证明：平面平面；
(2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
【解】（1）因为底面为正方形，所以，
又底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，为的中点，所以，
平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，则，则得，
则，，，，
设，
若A，E，G，F四点共面，则存在实数使得
即，得方程组：
，解得
即存在唯一的点F，使得A，E，G，F四点共面，此时，(F点在线段上靠近点的三等分点处).
（3）由（2）可知
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设平面的一个法向量为，
则故可取，
设平面与平面夹角为，则
，
当时，取得最大值，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是 .
3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是 若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
【解】（1）取的中点，连接，如下图：
因为为棱的中点，所以，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）由题意知平面，且，可知两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，
易知
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，可得，可得；
又，
设平面的一个法向量为，
可得，令，可得，即，
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，即，可得,
所以，
则点到平面的距离是，又，可得,
所以，，
即存在点到平面的距离是,.
4．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解】（1）连接,连接，
四边形为正方形，为中点，为BC的中点，，
平面，平面，平面；
（2）取的中点，的中点，连接，，
为等边三角形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
（3）假设在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设，
，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，，
则点到平面的距离为，
解得，或（舍），
在棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时.
5．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．

(1)求证：平面；
(2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由．
【解】（1）在圆柱中，母线底面，而底面，则，
由是圆的直径，得，而平面，
因此平面，又平面，则，
而平面，所以平面.
（2）假设在线段上存在一点，在平面内过作，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，
得，则，
，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设，则，
设平面的法向量为，则，
令，得，
由平面与平面BCD所成角的余弦值为，得，
解得，所以在线段上存在一点，满足题意，此时.
6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由．
【解】（1）因为与均为等腰直角三角形，，
所以，即，
所以，
设，则，则
所以，即，
连接AE，因为E为BC中点，，
所以四边形ADCE为正方形，则，
因为平面，平面，
所以，即两两垂直，
以A为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，
所以，
因为平面在面内，所以即为平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，则，
所以，而平面与平面的夹角为锐二面角或直角，
所以平面与平面的夹角的余弦值.
（2）由（1）得
假设存在点，设，
所以，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，则，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或1，
故存在点Q为端点P或端点B时，使直线与平面所成角的正弦值为
7．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）为的中点，
侧面底面.
侧面底面平面，
平面.
（2）∵底面为直角梯形，
其中，
，又平面，
∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立
如图所示的空间直角坐标系.
则，
，
设平面PAD的法向量.
设平面的法向量，
则，取，得.
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设线段上存在，
使得它到平面的距离为，
到平面的距离，
解得或（舍去），
则，则
8.（25-26高二下·浙江宁波·期末）在长方体中，，，E为棱上一动点.

(1)求证：；
(2)当平面时，求线段的长度；
(3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值.
【解】（1）因为长方体，且，
所以平面，且，
因为平面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，平面，所以 .
（2）以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
设（），则，，，，
设平面的法向量为，则，
令，解得，，故，
因为平面，所以，即，解得，
所以线段的长度为1 ；

（3）由（2）知，，，平面的法向量，
底面正方形的内切圆圆心为，半径.
设内切圆上的点，，则，
所以.
点P到平面距离，
设，，
则
，其中，，
当时，取最大值，为，
所以点P到平面距离的最大值为 .
9.（25-26高一下·重庆·期末）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与 ，如图2.

(1)设为中点，求证:平面；
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
【解】（1）取中点，连接，如图，
因为是中点，所以且，
又因为为的中点，则且，所以且，
所以是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）存在，使得直线与平面所成角的余弦值为，理由如下：
假设存在，使得直线与平面所成角的余弦值为，
在平行四边形中，，是中点，则，
又，所以是等边三角形，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，所以，
又，，平面，所以平面，
取中点，连接，则，，由平面得，
因为，平面，
所以平面，
以为原点，为轴，为轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，又，
所以，
设直线与平面所成角为，平面的一个法向量是，则
，所以，
所以,
解得（舍去）.
10．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
【解】（1）法一：证明：∵，平面，平面，
∴平面.
同理：平面.
∵，平面，平面，
∴平面平面.
又∵平面，
∴平面.
法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图），
则，，，，，
设，则.
依题意，是平面的一个法向量.
又因为，
∴，即.
∴.
又∵因为直线平面，
∴平面.
（2）
由（1）可得：，，，，，
∴，，，，
假设存在这样的点，且满足：，
∴.
∴.
设平面的法向量为，则
，即.
假设，则，，∴
设点到平面的距离为，
∴.
在△中，，.
.
∴.
∴.
∵，
∴，符合题意，
，即点为线段上靠近的三等分点.
11．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【解】（1）因为平面，平面，则，
在正方形中，，因平面，
则平面，因平面，则，
又，点是的中点，则，
因平面，故平面.
（2）由（1）平面，因平面，则，
因平面，平面，则，
又，平面，平面，
因平面，则，
因点是的中点，.，则，
因平面，则平面，
因平面，则，
因平面，则平面，
因平面，则，即.
由（1）平面，因平面，则，即，
又，则，则，
因为，， ，
则，即，即.
以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以， ，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
而平面的法向量可取为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以
即平面与平面的夹角的正弦值为.
（3）由（2）可得，则，
假设线段上存在一点，满足，
则，
所以，则，即，则，
由（2）已得平面的一个法向量为，
则点H到平面的距离，解得或，
则得或.
故在线段上是否存在一点或，使得点到平面的距离为.
12．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题：
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的最大正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【解】（1）因为平面平面，所以点到平面的距离等于，
所以，
所以.
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，
设，其中，
，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则
，
当且仅当时，直线与平面所成角的正弦值最大，且其最大值为.
（3）由（2）知、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，令，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
若平面平面，则，即，解得，
因此不存在这样的点使得平面平面.
13．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图1，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面.
(1)求证：；
(2)若点是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为.
【解】（1）在长方形中，，，为的中点，
则，平面平面，平面平面，
且平面，由，得，
则平面，又平面，所以.
（2）过点作平面的垂线，并以此线为轴，
以直线，分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
由点是线段上的一动点，
设，，
则
平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，
取，得，
由二面角的余弦值为，
得，
解得，点是线段靠近的三等分点，
所以点是线段靠近的三等分点时，二面角的余弦值为.
14.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.

(1)证明：；
(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围.
【解】（1）由已知，得；
又因为底面，底面，故；
因为，，，平面，
所以平面，平面，故.
（2）因为底面，底面，所以，
又因为，所以，因此两两垂直.
因此以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：

则.
在中，，，所以为等边三角形，所以.
又因为，，所以.
在中，，，，
所以，.
因此，因为是中点，故.
设平面的法向量为，，，
则，，令，得，
所以平面的法向量.
设平面的法向量为，，，
则，，令，则，
所以平面的法向量.
设平面与平面的夹角为，
则.
故平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设在上，设，且，
得，，
设平面的法向量为，，，
则，，
令，则，所以.
因为，平面的法向量为，
所以，
因为，所以，所以，因此，
若，则，得，，解得.
当时，，此时，所以的值不存在；
当时，，此时，所以，
所以，
得，
①时，，
因为函数在单调递减，且，，

所以，因此得；
②时，，
因为函数在单调递增，且，，

所以，因此得.
综上所述，当时，的值不存在；当时，.
因此的取值范围是或不存在.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 空间向量的综合问题
常考题型·精准突破
题型1 立体几何中的翻折问题
题型2 立体几何中的最值（范围）问题
题型3 位置关系探究性问题
题型4 与空间角有关的探究性问题
题型5 与空间距离有关的探究性问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 立体几何中的翻折问题
(
解题贴士
：
翻折问题的解题策略
（
1
）
确定翻折前后变与不变的关系
：
画好翻折前后的平面图形与立体图形
，
分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变
.
一般地
，
位于
“
折痕
”
同侧的点、线、面之间的位置关系不变
，
而位于
“
折痕
”
两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化
；
对于不变的关系应在平面图形中处理
，
而对于变化的关系则要在立体图形中解决
；
（
2
）
确定翻折后关键点的位置
：
所谓的关键点
，
是指翻折过程中运动变化的点
.
因为这些点的位置移动
，
会带动与其相关的点、线、面的关系变化
.
只有分析清楚关键点的准确位置
，
才能以此为参照点
，
确定其他点、线、面的位置
，
进而进行有关的证明与计算
.
)
【例1】（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值．
【变式1】（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心．

(1)证明：平面平面；
(2)翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值．
【变式2】（25-26高二下·四川凉山·期末）如图，为直角梯形，，，为的中点，现将沿折起使点至点处，得四棱锥，点为中点．

(1)求证：平面；
(2)当二面角为直二面角时，求：直线与平面所成角的正弦值．
【变式3】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使.

(1)求证：平面；
(2)若点M满足，求直线与平面所成角的正弦值.
◆题型2 立体几何中的最值（范围）问题
(
解题贴士
：
立体几何中最值
（
范围
）
问题的解题策略
在动态变化过程中产生的体积最大
（
小
）
、距离最大
（
小
）
、角的范围等问题
，
常用的解题思路是
：
（
1
）
直观判断
：
在变化过程中判断点、线、面在何位置时
，
所求的量有相应最大、最小值
，
即可求解
；
（
2
）
函数思想
：
通过建系或引入变量
，
把这类动态问题转化为目标函数
，
从而利用代数方法求目标函数的最值
.
)
【例2】（25-26高二下·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，，底面．

(1)求证：；
(2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．
【变式1】（25-26高二下·湖南·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，；分别延长，到，使得，；平面与平面的交线为．
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)证明：；
(3)点在上，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求出的长．
【变式2】（25-26高二下·河北·期末）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，，，，是棱上的点.
(1)若点为的中点，求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点.
(1)过，，三点的平面与线段交于点，求证：；
(2)若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值.
◆题型3 位置关系探究性问题
【例3】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，点在线段上，且．
(1)设平面平面，证明： ；
(2)证明：平面；
(3)线段上是否存在点，使得平面 若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
【变式1】（25-26高一下·湖南邵阳·阶段检测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面.
(1)证明：直线平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
【变式2】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，正三棱柱中，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)求点到平面的距离．
【变式3】（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，.
(1)若平面，求二面角的大小；
(2)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由.
◆题型4 与空间角有关的探究性问题
(
解题贴士
：
与空间角有关的探究性问题的解题策略
借助于空间直角坐标系
，
把几何对象上动点的坐标用参数
（
变量
）
表示
，
将几何对象坐标化
，
这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组
.
若方程或方程组在题设范围内有解
，
则通过参数的值反过来确定几何对象的位置
；
若方程或方程组在题设范围内无解
，
则表示满足题设要求的几何对象不存在
.
)
【例4】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线.
(1)证明：平面；
(2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式1】（25-26高一下·湖北咸宁·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值；
(3)在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．
【变式2】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）．
(1)证明：平面；
(2)若二面角的大小为，判断是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式3】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点．
(1)证明：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
◆题型5 与空间距离有关的探究性问题
(
解题贴士
：
与空间距离有关的探究性问题的解题策略
借助于空间直角坐标系
，
把几何对象上动点的坐标用参数
（
变量
）
表示
，
将几何对象坐标化
，
这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组
.
若方程或方程组在题设范围内有解
，
则通过参数的值反过来确定几何对象的位置
；
若方程或方程组在题设范围内无解
，
则表示满足题设要求的几何对象不存在
.
)
【例5】（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，，AD=4，，点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1
(1)证明：MP⊥BH；
(2)在棱FP上是否存在点Q，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM的距离相等？若存在，求出FQ的长；若不存在，说明理由．
【变式1】（2026·河北邯郸·模拟）如图，在四棱锥中，平面，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，
（i）求平面与平面夹角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【变式3】（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥中，底面，在四边形中，满足，，，．
(1)求证：平面平面；
(2)设，若线段上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）如图1，四边形是边长为2的正方形，中，，，分别为、的中点，将沿折起到位置（如图2），使平面平面．
(1)证明：平面．
(2)空间中是否存在一点，使到点、、、的距离都相等，若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
2．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点，F为线段上的动点．

(1)证明：平面平面；
(2)设点G是线段上的一点，且满足．在线段上是否存在点F，使得A，E，G，F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
3．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是 若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
4．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面为BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
5．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，点B是AC上一点，且,连接AB，BC，，过点A作于E．

(1)求证：平面；
(2)连接，在线段上是否存在一点D，使得平面与平面BCD所成角的余弦值为若存在，试确定点D的位置，若不存在，说明理由．
6．（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中， 与均为等腰直角三角形，为的中点．平面
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)问在线段上，是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求点Q的位置；若不存在，说明理由．
7．（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
8.（25-26高二下·浙江宁波·期末）在长方体中，，，E为棱上一动点.

(1)求证：；
(2)当平面时，求线段的长度；
(3)在（2）的条件下，求底面正方形的内切圆上点P到平面距离的最大值.
9.（25-26高一下·重庆·期末）如图1，在平行四边形中，，，为的中点，将沿折起，连接与 ，如图2.

(1)设为中点，求证:平面；
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
10．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，.
(1)证明：平面；
(2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.
11．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
12．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为，为对角线上的动点，、分别为、的中点，解答下列问题：
(1)求三棱锥的体积；
(2)求直线与平面所成角的最大正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
13．（25-26高三上·重庆·阶段检测）如图1，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面.
(1)求证：；
(2)若点是线段上的一动点，当点在何位置时，二面角的余弦值为.
14.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点.

(1)证明：；
(2)若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)设直线与平面所成角为，求的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑