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2.1.1 直线的倾斜角与斜率
课标要点 1.掌握直线倾斜角定义与取值范围，能根据直线图像快速判断倾斜角大小，理解倾斜角的唯一性。 2.理解斜率概念k=tan，分清倾斜角为90°时无斜率，熟记斜率随倾斜角变化的增减规律。 3.熟练运用两点坐标斜率公式计算斜率，区分横坐标、纵坐标相等带来的两种特殊直线情况。 4.能结合倾斜角、斜率完成基础计算，利用斜率判断直线倾斜趋势，解决简单求值问题。
学习重难点 重点： 1.倾斜角的定义、取值范围，四种直线形态对应的倾斜角分类。 2.斜率定义k=tan，清晰掌握倾斜角不同区间内斜率正负与单调变化规律。 3.两点式斜率公式，掌握两种特殊直线斜率的判定方法。 难点： 1.根据斜率反向求解倾斜角，区分正负斜率对应锐角、钝角，严格控制角度取值区间。 2.区分跨90°区间倾斜角与斜率大小关系，避免直接用倾斜角判断斜率数值大小。 3.含参数两点求斜率，准确讨论分母为0的特殊情形，排除斜率不存在的增根。
知识点一 直线的倾斜角
1、倾斜角的定义
当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．
2、倾斜角的范围
当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表.
倾斜角
直线 平行/重合于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降
图示
3、直线倾斜角的含义
（1）几何作用：直线的倾斜角能够直观反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度。
（2）存在唯一性：平面直角坐标系内，任意一条直线都对应唯一确定的倾斜角。
（3）辨析要点：若两条直线倾斜角相等，无法判定两条直线重合，二者可能为平行线。
即学即练
1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　）
A． B．
C． D．0
【答案】A
【详解】∵直线的方程为，
∴直线与轴垂直. 因此直线的倾斜角是.
2．（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为
C．倾斜角为的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则
【答案】AC
【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确；
对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误；
对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确；
对选项D：当时，；当时，，错误.
故选：AC
知识点二 直线的斜率
1、斜率的概念
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率．
2、斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为,斜率为
的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180°
k的范围 k=0 不存在
k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大
即学即练
3．下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角：
②任何一条直线都有唯一的斜率：
③倾斜角为90°的直线不存在：
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】B
【详解】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确；
命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误；
命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误；
命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误.
综上，正确的命题有1个.
故选：B
4．图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由图象可得，倾斜角，
故，
又在上单调递增，
故.
故选：A.
知识点三 直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式：
即学即练
5．若过点的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为直线的斜率为，所以，解得.
6．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】直线经过，两点，直线斜率为，
设直线的倾斜角为，则，得，
即直线的倾斜角为.
题型01 求直线的倾斜角
典｜例｜精｜析
【例1】在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
【答案】A
【详解】因为轴是水平的直线，所以其倾斜角为0，
故选：A．
【例2】下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，直线的斜率，则倾斜角；
对于B，直线的倾斜角；
对于C，直线的斜率，则倾斜角；
对于D，直线的倾斜角，
所以直线的倾斜角最大.
故选：C.
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】倾斜角为钝角的直线l一定经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第二、三象限
【答案】B
【详解】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负，
由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限.
故选：B.
【变式1-2】下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于A，由，可知斜率，则倾斜角为钝角；
对于B，由，可知斜率，则倾斜角为锐角；
对于C，由，可知倾斜角；
对于D，由，可知倾斜角．所以倾斜角最大的直线为．
故选：A．
【变式1-3】已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为，
，，
直线绕原点顺时针旋转得到直线，
又倾斜角的取值范围为，
直线的倾斜角为，故D正确．
故选：D．
题型02 根据定义求直线的斜率
典｜例｜精｜析
【例3】（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为.
【答案】BCD
【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确；
钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误；
若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误；
分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误；
故选:BCD.
【例4】（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为
C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为
【答案】ABC
【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示），
则，所以直线的斜率为，故A正确；
因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确；
边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确；
边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误.
故选：ABC
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以直线的斜率为.
故选：C
【变式2-2】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设的倾斜角为，则，且，
如图，由正切函数的性质知.
故选：C.
【变式2-3】若正方形的一条对角线所在直线斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______．
【答案】 / /
【详解】如图，
在正方形中，对角线所在直线的斜率为，
设对角线所在直线的倾斜角为，则，
由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
故，
，
故答案为：，
题型03 斜率与倾斜角的变化关系
典｜例｜精｜析
【例5】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，，则.
故选：A
【例6】（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下：
因为，
所以，
所以A不正确；B正确；C正确；D不正确；
故选：BC
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当时，；当时，；当时，.
综上所述，的倾斜角取值范围是.
故选：C.
【变式3-2】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选：D.
【变式3-3】若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线 的倾斜角分别为，
则，
由图可知：，，
所以.
故选：D
题型04 已知两点求斜率
典｜例｜精｜析
【例7】已知点，，则直线AB的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为点，，所以直线的斜率为，
所以直线的倾斜角.
故选：A.
【例8】已知三点，，在同一条直线上，则（ ）
A．12 B．24 C．6 D．10
【答案】C
【详解】因为、、三点共线，所以，
即，
解得.
故选：C．
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】.
【变式4-2】如图所示的直线的斜率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图可得直线上两个点的坐标，
所以直线的斜率，
故选：D
【变式4-3】已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】直线PQ的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，
所以.
故选：B
题型05 已知斜率求参数
典｜例｜精｜析
【例9】已知斜率为的直线经过点，，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【详解】由题设，可得.
故选：B
【例10】过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为______.
【答案】（满足的一个值即可）
【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以，
则，解得．
故答案为：（满足的一个值即可）
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，整理得，解得.
【变式5-2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______.
【答案】或
【详解】由，得，即.
所以，得，即.
或，经验证均符合题意，故的值是或.
故答案为：或.
【变式5-3】已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为________．
【答案】
【详解】设，显然，则，
解得，所以.
故答案为：
题型06 斜率公式的应用
典｜例｜精｜析
【例11】已知，，，不能构成三角形，则______．
【答案】/
【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线，
因为斜率存在，所以，即，即,
因为，所以，即.
故答案为：
【例12】已知函数，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率，
画出函数的图象，如图，
直线的斜率分别为，，，而，
所以，，的大小关系是.
故选：A
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意三点共线，设，因为，，
所以，解得，所以.
故选：B
【变式6-2】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
【变式6-3】将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（　　）
A． B．4 C．1 D．
【答案】A
【详解】设直线l上任意一点，将直线l沿x轴正方向平移2个单位，则P点移动后为，再沿y轴负方向平移3个单位，则点移动后为．
∵都在直线l上，∴直线l的斜率．
故选：A．
题型07 由直线与线段的相交关系求斜率范围
典｜例｜精｜析
【例13】已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】直线过定点，且直线与线段相交，
由图象知，或，则斜率的取值范围是．
故选：A
【例14】已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如下图所示：
将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转，
当的倾斜角为锐角时，且当直线从靠近轴的位置旋转至直线时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则；
当的倾斜角为钝角时，且当直线从直线的位置旋转至靠近轴的位置时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则，
当直线与轴重合时，.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】（多选）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】ACD
【详解】如图

当直线l过点B时，设直线的斜率为，则；
当直线l过点A时，设直线的斜率为，则.
故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点，
则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，.
故选：ACD
【变式7-2】已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，求点P的坐标；若过点的直线l与线段MN总有交点，求直线l的斜率的取值范围.
【答案】点P的坐标为，直线l的斜率的取值范围为
【详解】由题意，设点，
因为直线PM和PN的斜率分别为2和，，，
可得，解得，所以点的坐标为.
由斜率公式，可得，
因为过的直线与线段总有交点，
则直线的斜率需满足或，
即直线的斜率的取值范围.

【变式7-3】设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可知，.
令，且.
则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率.
如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是.
所以，或.
所以的取值范围是.
故选：A.
基础通关
一、单选题
1．已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设的倾斜角为，
则由题可得直线斜率为.
故选：C
2．过点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【详解】因为斜率，所以，
故选：D.
3．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为；
对于B，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为；
对于C，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为；
对于D，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为.
因，故倾斜角最大的直线为.
故选：D.
4．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图，
直线对应的倾斜角为钝角，则，
直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则，
所以．
故选：C
5．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
【答案】A
【详解】因为直线过点和，且倾斜角为135°，
所以，得，
因为点在第一象限，所以，
所以，得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A
6．已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】直线的倾斜角为，可得，由，可得或，
则直线的斜率为或，所以充分性不成立；
反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立，
所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件.
故选：B.
二、多选题
7．下列叙述中正确的有（ ）
A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为
B．若直线斜率，则它的倾斜角为
C．已知点，，则直线的倾斜角为
D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
【答案】BCD
【详解】对于A，当时，斜率不存在，故A错误；
对于B，当直线斜率时，它的倾斜角为，故B正确；
对于C，由，，则直线轴，倾斜角为，故C正确；
对于D，因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，
由于，因此这条直线必过点，故D正确.
故选：BCD
8．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，
对于：，所以，故正确；
对于：，所以，故正确；
对于：，所以，故错误；
对于：，所以，故错误.
故选：.
三、填空题
9．经过两点的直线的倾斜角为___________．
【答案】/
【详解】∵，∴，
设过的直线的倾斜角为，则，∴．
10．已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为__________.
【答案】/
【详解】设直线的倾斜角为，其中，
因为，，可得直线的斜率为，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题
11．已知直线过点
(1)若直线的倾斜角为，求实数的值；
(2)求直线的斜率.
【答案】(1)；
(2)且.
【分析】
【详解】（1）由题设，可得，即；
（2）由题设，当时，直线不存在斜率，
所以，则.
12．已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
【答案】．
【详解】设．．．
又，
，即．
又，垂直于轴．
直线的倾斜角为．
13．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角.
【答案】
【详解】设直线的倾斜角为，结合图形及三角形外角与内角的关系，
得，
所以直线的倾斜角为.
素养提升
1．如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为______.
【答案】/60°
【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为.
∵直线的斜率分别为二次方程的两个根
且
∴，
∴
∵
∴，
故答案为：.
2．如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，
设点为直线上任意一点，则平移后得到，而直线平移后位置没变，故的斜率，
直线的斜率．
故选：C．
3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由题意两直线均有斜率，所以，
当时，取，则，
但，即充分性不成立；
当时，取，则，
但，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________.
【答案】
【详解】因为，，，，
所以或，
所以斜率的取值范围是；
当时，.
5．若，则经过两点，的直线的倾斜角为______．
【答案】
【详解】因为，
所以
又因为，
且，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
6．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____.
【答案】
【详解】表示线段上的点与连线的斜率，
因为，
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：.
7．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】依题意，上靠近的三等分点的坐标为，

直线的斜率存在，所以直线的斜率为，
由题可得，解得，即．
故答案为：
迁移创新
1．已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因在直线l上，
则直线的斜率.
当时，，当且仅当时，等号成立，则，即；
当时，，当且仅当时，等号成立，则，即.
综上，直线的斜率的取值范围是.
故选：C
2．已知点，点，则直线的倾斜角为_______．
【答案】
【详解】设直线的倾斜角为，
则
，
所以直线的倾斜角为；
故答案为：.
3．在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
由题意得直线斜率为2，有，则，
依题意有或，
当时，，
即，解得，即直线的斜率为；
当时，，
即，解得，即直线的斜率为；
综上所述，直线的斜率为或.
故选：B．
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2.1.1 直线的倾斜角与斜率
课标要点 1.掌握直线倾斜角定义与取值范围，能根据直线图像快速判断倾斜角大小，理解倾斜角的唯一性。 2.理解斜率概念k=tan，分清倾斜角为90°时无斜率，熟记斜率随倾斜角变化的增减规律。 3.熟练运用两点坐标斜率公式计算斜率，区分横坐标、纵坐标相等带来的两种特殊直线情况。 4.能结合倾斜角、斜率完成基础计算，利用斜率判断直线倾斜趋势，解决简单求值问题。
学习重难点 重点： 1.倾斜角的定义、取值范围，四种直线形态对应的倾斜角分类。 2.斜率定义k=tan，清晰掌握倾斜角不同区间内斜率正负与单调变化规律。 3.两点式斜率公式，掌握两种特殊直线斜率的判定方法。 难点： 1.根据斜率反向求解倾斜角，区分正负斜率对应锐角、钝角，严格控制角度取值区间。 2.区分跨90°区间倾斜角与斜率大小关系，避免直接用倾斜角判断斜率数值大小。 3.含参数两点求斜率，准确讨论分母为0的特殊情形，排除斜率不存在的增根。
知识点一 直线的倾斜角
1、倾斜角的定义
当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．
2、倾斜角的范围
当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表.
倾斜角
直线 平行/重合于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降
图示
3、直线倾斜角的含义
（1）几何作用：直线的倾斜角能够直观反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度。
（2）存在唯一性：平面直角坐标系内，任意一条直线都对应唯一确定的倾斜角。
（3）辨析要点：若两条直线倾斜角相等，无法判定两条直线重合，二者可能为平行线。
即学即练
1．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　）
A． B．
C． D．0
2．（多选）下列命题中，正确的是（ ）
A．任意一条直线都有唯一的倾斜角
B．一条直线的倾斜角可以为
C．倾斜角为的直线有无数条
D．若直线的倾斜角为，则
知识点二 直线的斜率
1、斜率的概念
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率．
2、斜率与倾斜角的关系
设直线的倾斜角为,斜率为
的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180°
k的范围 k=0 不存在
k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大
即学即练
3．下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角：
②任何一条直线都有唯一的斜率：
③倾斜角为90°的直线不存在：
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
4．图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ）

A． B． C． D．
知识点三 直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式：
即学即练
5．若过点的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
题型01 求直线的倾斜角
典｜例｜精｜析
【例1】在平面直角坐标系中，轴的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．不存在
【例2】下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B．
C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式1-1】倾斜角为钝角的直线l一定经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第二、三象限
【变式1-2】下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
题型02 根据定义求直线的斜率
典｜例｜精｜析
【例3】（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为.
【例4】（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为
C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为
变｜式｜巩｜固
【变式2-1】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】若正方形的一条对角线所在直线斜率为，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______．
题型03 斜率与倾斜角的变化关系
典｜例｜精｜析
【例5】设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】（多选）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式3-1】已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）

A． B． C． D．
题型04 已知两点求斜率
典｜例｜精｜析
【例7】已知点，，则直线AB的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
【例8】已知三点，，在同一条直线上，则（ ）
A．12 B．24 C．6 D．10
变｜式｜巩｜固
【变式4-1】在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式4-2】如图所示的直线的斜率等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
题型05 已知斜率求参数
典｜例｜精｜析
【例9】已知斜率为的直线经过点，，则（ ）
A． B． C．1 D．0
【例10】过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为______.
变｜式｜巩｜固
【变式5-1】若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______.
【变式5-3】已知，若直线与直线的斜率分别为和，则点的坐标为________．
题型06 斜率公式的应用
典｜例｜精｜析
【例11】已知，，，不能构成三角形，则______．
【例12】已知函数，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式6-1】台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【变式6-3】将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（　　）
A． B．4 C．1 D．
题型07 由直线与线段的相交关系求斜率范围
典｜例｜精｜析
【例13】已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例14】已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变｜式｜巩｜固
【变式7-1】（多选）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式7-2】已知点和点，若直线PM和PN的斜率分别为2和，求点P的坐标；若过点的直线l与线段MN总有交点，求直线l的斜率的取值范围.
【变式7-3】设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
基础通关
一、单选题
1．已知直线经过点和点，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．过点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．下列直线中，倾斜角最大的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
6．已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．下列叙述中正确的有（ ）
A．若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为
B．若直线斜率，则它的倾斜角为
C．已知点，，则直线的倾斜角为
D．若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点
8．若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．经过两点的直线的倾斜角为___________．
10．已知a，b，c是两两不等的实数，则过，两点的直线的倾斜角大小为__________.
四、解答题
11．已知直线过点
(1)若直线的倾斜角为，求实数的值；
(2)求直线的斜率.
12．已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角．
13．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向之间所成的角为，如图所示，求直线的倾斜角.
素养提升
1．如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为______.
2．如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设直线的倾斜角，则其斜率的取值范围是____________；若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是____________.
5．若，则经过两点，的直线的倾斜角为______．
6．在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是_____.
7．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______．
迁移创新
1．已知.在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，点，则直线的倾斜角为_______．
3．在平面直角坐标系中，正方形的其中一条对角线的斜率为2，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．或 C． D．或
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