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分层作业
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
目 录
1
题型01 由斜率判断两条直线平行 1
题型02由斜率判断两条直线垂直 3
题型03已知直线平行求参数 4
题型04已知直线平行求参数 6
题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用 7
题型06直线过定点问题 10
题型07已知两点求斜率 11
13
15
17
题型01 由斜率判断两条直线平行
1.（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（ ）
A．若，的斜率相等，则，平行
B．若，则，的倾斜角相等
C．若，的斜率乘积等于，则，垂直
D．若，则，的斜率乘积等于
【答案】D
【解析】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确.
由，可得，的倾斜角相等，B正确.
由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确.
当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误.
故选：D.
2.（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　）
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
【答案】D
【解析】由， ，，，
，，
，与不平行，
则四边形为梯形，
又
，
四边形为直角梯形，
故选：D.
3.（24-25高二上·广西玉林·阶段检测）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④
【答案】B
【解析】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确；
当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误；
根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确；
当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直，
但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误.
故选：B
题型02由斜率判断两条直线垂直
4.（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线斜率为；
对A：可化为，故两直线重合，故A错误；
对B：斜率为，故两直线平行，故B错误；
对C：斜率为，故两直线平行，故C错误；
对D：可化为，斜率为，
则两直线相交，故D正确.
故选：D.
5.（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】D
【解析】因为直线经过点和，所以直线的斜率，
又直线的斜率，且，
所以与相交但不垂直.
故选：D
6.（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】D
【解析】因为直线经过点和，所以直线的斜率，
又直线的斜率，且，
所以与相交但不垂直.
故选：D
题型03已知直线平行求参数
7.（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由直线与直线平行，得，
所以.
8.（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】直线：，直线：，
当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行，
当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行，
设直线方程为，直线方程为，
若，则，即，
化简可得，即，解得，，
当时，代入可得：，：，
两直线重合，所以舍去，
当时，代入可得：，：，
和的斜率都为，所以，
因此是的充要条件.
9.（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性：若直线和平行，则有，解得或，
当时，，不成立，无意义，舍去，
故两直线平行必有，必要性成立；
充分性：时，直线为，直线为，
因为，且，所以两直线平行，充分性成立；
综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件．
题型04已知直线平行求参数
10.（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，两直线方程为和，
可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行，
所以“”是“直线和直线平行”的充分条件；
若直线和直线平行，
若，则，解得.
当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；
当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；
若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行；
所以若直线和直线平行，则或.
综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
11.（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，两直线方程为和，
可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行，
所以“”是“直线和直线平行”的充分条件；
若直线和直线平行，
若，则，解得.
当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；
当时，两直线方程为和，斜率相等，平行；
若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行；
所以若直线和直线平行，则或.
综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
12.（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当时，直线，直线，此时，即可以推出，
当时，由，得到或，
又时，，，显然有，所以推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用
13.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定
【答案】C
【解析】由正弦定理，得，
又两条直线的方程分别为，，
因为两直线的系数满足，所以两直线垂直．
故选：C.
14.（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）

A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线
【答案】A
【解析】设正方形的边长是，则点的坐标是，
设点的坐标是，点的坐标是，
，
，
①，
，
，
②，
把①代入②，可得，
整理,可得，
，，
，
，
，
∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段.
故选:A.
15.（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）

A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线
【答案】A
【解析】设正方形的边长是，则点的坐标是，
设点的坐标是，点的坐标是，
，
，
①，
，
，
②，
把①代入②，可得，
整理,可得，
，，
，
，
，
∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段.
故选:A.
题型06直线过定点问题
16.（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选题）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则
C．若，则 D．当时，始终不过第三象限
【答案】ABD
【解析】对于A，直线：，
由，得，，始终过定点，故A正确；
对于B，若，则有，解得，故B正确；
对于C，，则，解得或，故C错误；
对于D，当时，始终过，
因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确．
故选：ABD．
17.（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选题）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为 B．动直线恒过定点
C．若与垂直，则或 D．若与平行，则或
【答案】BC
【解析】因为直线的斜率恒存在，直线才会垂直于轴，故选项A错误；
已知，化简得：，
由解得直线经过点，故选项B正确；
由题可得，，若则，解得，
当时，，，此时直线，故选项C正确；
若，则，化简得，或，
当，与的方程均为，两直线重合非平行，故D选项错误.
故选：BC
18.（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选题）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则
C．若，则 D．当时，始终不过第三象限
【答案】ABD
【解析】对于A，直线：，
由，得，，始终过定点，故A正确；
对于B，若，则有，解得，故B正确；
对于C，，则，解得或，故C错误；
对于D，当时，始终过，
因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确．
故选：ABD．
题型07已知两点求斜率
19.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【解析】由题意，
所以，且经过不在的点，
所以.
20.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【解析】由题意，
所以，且经过不在的点，
所以.
21.（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合
【答案】C
【解析】由直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为：，
又直线经过，
所以直线的斜率为：，
所以，
所以直线与直线平行或重合.
故选：C.
1.（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（ ）
A． B．经过点和
C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点
【答案】AD
【解析】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意；
对于B : 经过点和，所以斜率为，
所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意；
对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意；
对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意；
故选：AD.
2.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】由斜率判断两条直线垂直、垂直关系的向量表示、已知两点求斜率
【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个.
【解析】设.显然直线斜率都存在.
若为直角，则，所以，解得；
若为直角，则，所以，解得；
若为直角，则，所以，解得.
故有三个满足要求的直角三角形.
故选：C
方法二：若为直角，则，解得；
若为直角，则，解得；
若为直角，则，解得.
故有三个满足要求的直角三角形.
故选：C
方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形；
若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求.
故有三个满足要求的直角三角形.
故选：C
3.（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】由两直线的斜率关系即可判断.
【解析】直线和直线的斜率分别为，
因为，所以．
故选：A．
4.（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（ ）时候垂直？
A．斜率之积为-1时
B．两条直线有1个公共点的时候
C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候
D．以上答案均不正确
【答案】A
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.
【解析】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确
对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误
对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误
对于D：错误
故选：A
5.（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知直线垂直求参数
【解析】由于直线与垂直，故，解得．
6.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
【答案】C
【知识点】已知直线垂直求参数
【解析】已知直线：，：，若，
则有，
化简方程得：，
解得或，C正确.
1.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数
【解析】由两条直线垂直的充要条件得，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
2.（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知直线垂直求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可.
【解析】直线的斜率，直线的斜率，
由，得，
故.
故选：B.
3.（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角、已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的倾斜角与斜率的关系即可求得答案.
【解析】由：可得直线的斜率为，
因，则直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
又，则.
故选：D.
4.（24-25高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线的截距为
②向量是直线的一个法向量
③过点与直线平行的直线方程为
④若直线，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由斜率判断两条直线垂直、求直线的方向向量（空间中）、直线平行、垂直的判定在几何中的应用
【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④.
【解析】对于①,令,则;令,则,故①错误;
对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确;
对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确;
对于④, 直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确,
所以结论正确的个数为3，
故选: B.
1.（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行
【解析】由，若，则、重合，充分性不成立，
由，则必有，必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
2.（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或1
【答案】A
【知识点】已知直线平行求参数
【解析】因为直线：和直线：互相平行，
所以，解得.
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分层作业
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
目 录
1
题型01 由斜率判断两条直线平行 1
题型02由斜率判断两条直线垂直 3
题型03已知直线平行求参数 4
题型04已知直线平行求参数 6
题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用 7
题型06直线过定点问题 10
题型07已知两点求斜率 11
13
15
17
题型01 由斜率判断两条直线平行
1.（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（ ）
A．若，的斜率相等，则，平行
B．若，则，的倾斜角相等
C．若，的斜率乘积等于，则，垂直
D．若，则，的斜率乘积等于
2.（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　）
A．矩形 B．菱形
C．等腰梯形 D．直角梯形
3.（24-25高二上·广西玉林·阶段检测）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④
题型02由斜率判断两条直线垂直
4.（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5.（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
6.（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
题型03已知直线平行求参数
7.（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（ ）
A．3 B． C． D．
8.（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9.（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型04已知直线平行求参数
10.（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11.（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12.（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用
13.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定
14.（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）

A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线
15.（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）

A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线
题型06直线过定点问题
16.（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选题）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则
C．若，则 D．当时，始终不过第三象限
17.（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选题）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为 B．动直线恒过定点
C．若与垂直，则或 D．若与平行，则或
18.（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选题）已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则
C．若，则 D．当时，始终不过第三象限
题型07已知两点求斜率
19.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
20.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
21.（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合
1.（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（ ）
A． B．经过点和
C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点
2.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
4.（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（ ）时候垂直？
A．斜率之积为-1时
B．两条直线有1个公共点的时候
C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候
D．以上答案均不正确
5.（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
6.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
1.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2.（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4.（24-25高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（ ）
①直线的截距为
②向量是直线的一个法向量
③过点与直线平行的直线方程为
④若直线，则
A． B． C． D．
1.（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（ ）
A． B．3 C．或3 D．或1
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