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分层作业
2.2.2 直线的两点式方程
目 录
1
题型01 直线两点式方程及辨析 1
题型02直线截距式方程及辨析 3
题型03直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 5
题型04直线与坐标轴围成图形的面积问题 7
题型05已知直线垂直求参数 8
题型06已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析 10
12
15
17
题型01 直线两点式方程及辨析
1.（25-26高二下·河南平顶山·期末）经过抛物线与的两个交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线方程都可以表示为
B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为
C．方程表示过两点的一条直线
D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限
3.（24-25高二上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为
B．三点共线
C．过两点的直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
题型02直线截距式方程及辨析
4.（24-25高二上·广东江门·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示过点且斜率为k的直线
B．直线与y轴的交点为，其中截距
C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为
D．方程表示过任意不同两点，的直线
5.（24-25高二上·广东江门·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示过点且斜率为k的直线
B．直线与y轴的交点为，其中截距
C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为
D．方程表示过任意不同两点，的直线
6.（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型03直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
7.（25-26高二上·山东·阶段检测）不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．无法确定
8.（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
9.（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
题型04直线与坐标轴围成图形的面积问题
10.（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11.（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12.（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型05已知直线垂直求参数
13.（23-24高二上·广东广州·阶段检测）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（ ）
A． B． C．4 D．
14.（23-24高二上·广东广州·阶段检测）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（ ）
A． B． C．4 D．
15.（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，
C．若，则
D．直线的纵截距为a
题型06已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析
16.（25-26高二上·重庆渝北·期中）（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则
C．若直线在轴上的截距为1，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为
17.（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选题）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线与互相垂直，则实数
C．已知直线与平行，则或
D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或
18.（25-26高二上·广西梧州·阶段检测）（多选题）下列四个命题中正确的有（ ）
A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为，
B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为
D．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
1.（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．表示过点且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过点的直线方程为
2.（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5.（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
1.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
2.（24-25高二下·湖南·阶段检测）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （ ）
A． B．
C．或 D．或
1.（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（ ）
A． B．2 C． D．
2.．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知直线在轴上的截距为1，则（ ）
A． B．1 C． D．2
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2.2.2 直线的两点式方程
目 录
1
题型01 直线两点式方程及辨析 1
题型02直线截距式方程及辨析 3
题型03直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 5
题型04直线与坐标轴围成图形的面积问题 7
题型05已知直线垂直求参数 8
题型06已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析 10
12
15
17
题型01 直线两点式方程及辨析
1.（25-26高二下·河南平顶山·期末）经过抛物线与的两个交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】联立，得，即，解得或，
所以两抛物线的交点为，，
故过两个交点的直线方程为.
2.（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线方程都可以表示为
B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为
C．方程表示过两点的一条直线
D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限
【答案】C
【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为，
当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误；
对于B，直线在轴，轴的截距分别为，
当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误；
对于C，当时，直线的两点式方程为，
则可化为，
当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确；
对于D，若直线经过第一、二、四象限，则，
则点在第二象限，D错误，
故选：C
3.（24-25高二上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为
B．三点共线
C．过两点的直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B
【详解】对A，当时，的斜率不存在，当时，的斜率为，A错误；
对B，因为
且共点，所以三点共线，B正确；
对C，当或时，不能用两点式方程表示，C错误；
对D，当在轴和轴上截距都相等且不为零时，设方程为，
因为直线经过点，所以，解得，则直线方程为，
当在轴和轴上截距都相等且为零时，设方程为，
因为直线经过点，所以，直线方程为，
所以满足条件的直线方程为或，D错误；
故选：B.
题型02直线截距式方程及辨析
4.（24-25高二上·广东江门·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示过点且斜率为k的直线
B．直线与y轴的交点为，其中截距
C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为
D．方程表示过任意不同两点，的直线
【答案】D
【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确；
对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确；
对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确；
对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确.
故选：D.
5.（24-25高二上·广东江门·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．方程表示过点且斜率为k的直线
B．直线与y轴的交点为，其中截距
C．在x轴、y轴上的截距分别为a、b的直线方程为
D．方程表示过任意不同两点，的直线
【答案】D
【详解】对于A中，由表示过点且斜率存在，且不含点的直线，所以A不正确；
对于B中，直线与y轴交于一点，其中截距不是距离，截距为点的坐标，其值可正可负可为0，所以B不正确；
对于C中，当直线经过原点时，此时直线在坐标轴上的截距都是，不能表示为，所以C不正确；
对于D中，方程为直线的两点式方程的变形，可以表示过任意两点，的直线，所以D正确.
故选：D.
6.（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
若直线的斜率为，
当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，
当截距均不为时，设直线方程为，变形为，
得，，则能推出，必要性成立；
若，当截距都不为时，斜率为，
当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是，
所以不能推出，充分性不成立.
所以是的必要不充分条件.
题型03直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
7.（25-26高二上·山东·阶段检测）不过原点的直线在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】由题可设的方程为，化简得，
故的斜率为1，倾斜角为.
故选：A.
8.（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误；
②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确；
④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误；
故选：B.
9.（24-25高二上·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（ ）
①经过定点的直线都可以用方程表示；
②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；
④经过定点的直线都可以用方程表示．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误；
②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误；
③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确；
④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误；
故选：B.
题型04直线与坐标轴围成图形的面积问题
10.（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为，
因为直线过点，所以，
，所以，，
所以.
当且仅当时取面积最小值，所以.
故选：D.
11.（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，，
又点在直线上，所以，，
又三角形的面积为16，所以，，
所以，整理得；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.
故选：D.
12.（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，，
又点在直线上，所以，，
又三角形的面积为16，所以，，
所以，整理得；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.
故选：D.
题型05已知直线垂直求参数
13.（23-24高二上·广东广州·阶段检测）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【详解】直线AB的方程为，即，
因为直线与直线AB垂直，所以，解得.
故选：D
14.（23-24高二上·广东广州·阶段检测）已知点，直线与直线AB垂直，则实数（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】已知直线垂直求参数、直线两点式方程及辨析
【分析】求出直线AB的方程，根据直线垂直得到，求出答案.
【详解】直线AB的方程为，即，
因为直线与直线AB垂直，所以，解得.
故选：D
15.（24-25高二上·山东淄博·期末）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，
C．若，则
D．直线的纵截距为a
【答案】D
【详解】对于A，当时，直线，斜率，
则倾斜角为，故A错误；
对于B，等价于，解得，故B错误；
对于C，若，则，即，
解得，故C错误；
对于D，，当时，
所以直线 的纵截距为，故D正确.
故选：D.
题型06已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析
16.（25-26高二上·重庆渝北·期中）（多选题）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则
C．若直线在轴上的截距为1，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为
【答案】AC
【详解】当 时，，所以直线恒过定点，选项A正确；
若直线与直线垂直，则 解得，选项B错误；
直线在轴上的截距为1，则，解得，选项C正确；
若，则，必有，选项D错误；
故选：AC
17.（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选题）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线与互相垂直，则实数
C．已知直线与平行，则或
D．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或
【答案】BCD
【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误；
对B，若，则，解得，所以B正确；
对C，若，则有，即，解得或，
当时，，，所以符合题意，
当时，，所以符合题意，所以C正确；
对D，当直线过原点时，方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为：，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，所以D正确.
故选：BCD
18.（25-26高二上·广西梧州·阶段检测）（多选题）下列四个命题中正确的有（ ）
A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为，
B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为
D．“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
【答案】BD
【详解】对于A，过点在轴和轴上的截距绝对值相等的直线还有过原点的直线，其方程为，A错误；
B选项，直线，恒过定点，
直线，的斜率分别为，，
又直线的斜率为，所以或，
解得或，故实数的取值范围为，B正确；
对于C，当直线，平行时，解得，
当直线，平行时，解得，
显然直线，交于点，
当点在直线时，，
实数的取值集合为，故 C错误；
对于D，由直线与直线互相垂直，
可得：解得：或，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，正确，
故选：BD
1.（25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．表示过点且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过点的直线方程为
【答案】AD
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D．
【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确；
在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误；
直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；
无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确.
故选：AD.
2.（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】由直线的两点式即可写出直线.
【详解】根据直线的两点式方程公式可得，化简可得，
故选：D.
3.（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化
【分析】计算出点及点关于坐标原点的对称点的坐标，然后由两点式求解即可.
【详解】因为直线过点，代入得，即，
则点关于坐标原点的对称点为．
又直线过两点，
所以直线的方程为，
即．
故选：A.
4.（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可.
【详解】由题可得，解得，
即，．
将点坐标代入两点式方程可得，
即．
故选：D.
5.（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线两点式方程及辨析
【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，，
又点在直线上，所以，，
又三角形的面积为16，所以，，
所以，整理得；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
当时，方程变为，解得或满足题意，
将和分别代入，解得对应的分别为；
综上所述：满足题意的直线为：，共有4条.
故选：D.
6.（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、基本不等式求积的最大值
【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值.
【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，
由基本不等式可得，可得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故，即面积的最小值为.
故选：B.
1.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的点斜式方程及辨析
【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积.
【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为，
令，得，令，得，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为.
故选：B
2.（24-25高二下·湖南·阶段检测）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、基本不等式求积的最大值
【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，
所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则，
由基本不等式可得，可得，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的面积的最小值为.
故选：C.
3.（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线的点斜式方程及辨析
【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积.
【详解】依题意得直线的方程为，即，
则直线与坐标轴的交点分别为，
所以．
故选：B
4.（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为，
当截距都不为零，设直线方程为，则，
所以直线方程为，即.
综上直线方程为：或.
故选：C
1.（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】，令，解得值，即为所求
【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为.
故选：C
2.．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知直线在轴上的截距为1，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】利用直线截距的定义求解即可.
【详解】直线在轴上的截距为1，则直线过点，
所以，解得：;
故选：C
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