资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
分层作业
2.3.2 两点间的距离公式
目 录
1
题型01 求平面两点间的距离 1
题型02直线过定点问题 3
题型03将军饮马问题求最值 5
题型04求点关于直线的对称点 9
题型05由顶点坐标判断三角形的形状 11
题型06用两点间的距离公式求函数最值 12
题型07求点到直线的距离 15
18
24
30
题型01 求平面两点间的距离
1.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
2.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
3.（25-26高二上·陕西西安·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
题型02直线过定点问题
4.（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6.（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
题型03将军饮马问题求最值
7.（河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（ ）
A． B．4 C．5 D．
8.（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
9.（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
题型04求点关于直线的对称点
10.（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（ ）
A． B． C．4 D．5
11.（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
12.（25-26高二上·江西·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（ ）
A．4 B．5
C． D．
题型05由顶点坐标判断三角形的形状
13.（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（ ）
A．以为直角顶点的等腰直角三角形
B．以为直角顶点的非等腰直角三角形
C．以为直角顶点的等腰直角三角形
D．等边三角形
14.（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
15.（22-23高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
题型06用两点间的距离公式求函数最值
16.（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17.（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
18.（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
题型07求点到直线的距离
19.（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20.（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
21.（25-26高二上·浙江温州·期中）（多选题）已知直线，则下列选项中正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线与直线平行，则
C．若直线不经过第二象限，则
D．原点到直线的距离可能为2
1.（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
2.（25-26高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
3.（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点与交于点，则（ ）
A．点坐标为
B．
C．与的方向向量的数量积为1
D．面积的最大值为
4.．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选题）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
5.（24-25高二上·贵州铜仁·期末）（多选题）已知直线：；直线：，则（ ）
A．当时，的一个方向向量为 B．若，则
C．若，则 D．点到距离的最大值为5
6.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（ ）
A．对任意三点，都有
B．点满足，则点组成的图形面积为4
C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点
D．点.到直线的“切比雪夫距离”
1.（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．6
2.（25-26高三上·陕西·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）．
A．曲线E是中心对称图形
B．曲线E与直线仅有一个公共点
C．曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）
D．若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为
3.（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（ ）
A．对任意三点，都有
B．点满足，则点组成的图形面积为4
C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点
D．点.到直线的“切比雪夫距离”
1.（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选题）对于直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1
C．若直线不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线的距离的最大值为
2.．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选题）已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与过同一个定点
C．若，则与关于轴对称
D．若与交于点，则为定值
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分层作业
2.3.2 两点间的距离公式
目 录
1
题型01 求平面两点间的距离 1
题型02直线过定点问题 3
题型03将军饮马问题求最值 5
题型04求点关于直线的对称点 9
题型05由顶点坐标判断三角形的形状 11
题型06用两点间的距离公式求函数最值 12
题型07求点到直线的距离 15
18
24
30
题型01 求平面两点间的距离
1.（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】B
【知识点】求平面两点间的距离
【详解】因为点表示数，所以，由，得，
点表示数，向右平移个单位后，点表示的数为，
所以，解得或，
又因为、在原点两侧，所以，故舍去，即可得.
2.（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】求平面轨迹方程、直线斜率的定义、求平面两点间的距离
【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到，
利用换元法令 ，求解得到.
【详解】设 ，
因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，
所以，
化简得到点 M 的轨迹方程， ，
由，将代入得到
，
令得到且，
所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴
当时，，所以.
故选：A.
3.（25-26高二上·陕西西安·期中）直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、基本不等式求积的最大值
【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足
,即，
,
由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，则的最大值为4.
故选：A.
题型02直线过定点问题
4.（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围、求平面两点间的距离
【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果.
【详解】直线方程可化为：，
令得：，直线恒过定点，
由得：，
当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示，
，，由直线斜率不为，
直线的斜率，
.
故选：B.
5.（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦
【分析】根据弦长公式判断最值并求解.
【详解】直线，即，所以直线恒过点，
圆，即，圆心为，半径，
当最小时，点到直线的距离应最大，
即时，最小，此时，．
故选：C．
6.（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】直线过定点问题、直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦
【分析】根据弦长公式判断最值并求解.
【详解】直线，即，所以直线恒过点，
圆，即，圆心为，半径，
当最小时，点到直线的距离应最大，
即时，最小，此时，．
故选：C．
题型03将军饮马问题求最值
7.（河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版））“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【知识点】将军饮马问题求最值
【分析】作点关于直线对称的点，则“将军饮马”的总路程最短距离即为，求出即可．
【详解】设点关于直线对称的点为，
则有，解得，即，
所以“将军饮马”的总路程最短为．
故选：D．
8.（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BC
【知识点】将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】设点B关于直线l对称的点为，
则，解得，即.
连接，与直线l交于点M，如图所示
当点P与点M重合时，，
，
当点P与点M不重合时，，
综上，的最小值为，故A错误，B正确.
连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示
当点P与点N重合时，，
，
当点P与点N不重合时，，
综上，，即的最大值为，故C正确，D错误.
故选：BC
9.（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选题）已知，，P是直线上的动点，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BC
【知识点】将军饮马问题求最值、求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】先求出B关于直线l对称的点为坐标，分析可得当三点共线时，的最小值，计算即可判断A、B的正误；当三点共线时，有最大值，计算即可判断C、D的正误，即可得答案.
【详解】设点B关于直线l对称的点为，
则，解得，即.
连接，与直线l交于点M，如图所示
当点P与点M重合时，，
，
当点P与点M不重合时，，
综上，的最小值为，故A错误，B正确.
连接AB并延长，交直线l于点N，如图所示
当点P与点N重合时，，
，
当点P与点N不重合时，，
综上，，即的最大值为，故C正确，D错误.
故选：BC
题型04求点关于直线的对称点
10.（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程.
【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接，
则，光线从到所经过的路程为.
故选：D.
11.（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值.
【详解】表示点到点和到点距离的和.
设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：,
如图：

由对称的性质可得:,所以的最小值就是.
所以.
故选：C
12.（25-26高二上·江西·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（ ）
A．4 B．5
C． D．
【答案】D
【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点
【分析】先求点关于x轴的对称点为，利用对称得到，利用两点间距离公式计算求解.
【详解】由题意得关于x轴的对称点为，
所以.
故选：D.
题型05由顶点坐标判断三角形的形状
13.（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（ ）
A．以为直角顶点的等腰直角三角形
B．以为直角顶点的非等腰直角三角形
C．以为直角顶点的等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】A
【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由斜率判断两条直线垂直
【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解.
【详解】由题意得，
所以，
所以，即，
联立，解得，即，
联立，解得，即，
联立，解得，即，
则，
所以，
所以是以为直角顶点的等腰直角三角形.
故选：A．
14.（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状、求平面两点间的距离
【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.
【详解】，,
，
，所以三角形为直角三角形，
，
故选：A.
15.（22-23高二上·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是
【答案】C
【知识点】由顶点坐标判断三角形的形状
【分析】计算出，由此确定三角形的形状.
【详解】，
，
，
，
所以三角形是直角三角形.
故选：C
题型06用两点间的距离公式求函数最值
16.（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】求二次函数的值域或最值、用两点间的距离公式求函数最值
【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值.
【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得：
，
故当时，.
故选：A
17.（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值
【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论.
【详解】因为表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
设，，，，
则表示的长度的和，
如图所示：

当四点共线时，和最小为，
故的最小值是.
故选：D．
18.（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值
【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论.
【详解】因为表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
表示点到点的距离，
设，，，，
则表示的长度的和，
如图所示：

当四点共线时，和最小为，
故的最小值是.
故选：D．
题型07求点到直线的距离
19.（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、求平面两点间的距离
【分析】分析可得直线恒过定点，记点为点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式，计算可得结果.
【详解】由得，
令，则，解得，
故直线恒过定点，
记点为点，当与直线垂直时，
点到直线的距离有最大值，
最大值为.
故选：D
20.（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、三角形面积公式及其应用、求平行线间的距离
【分析】先求出两点间距离和直线的方程，再利用平行线间距离公式求出两直线间距离，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】
，
，
，则直线所在方程为，整理得，
直线与直线平行，
直线与直线间距离为，
，故B正确．
故选：B．
21.（25-26高二上·浙江温州·期中）（多选题）已知直线，则下列选项中正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线与直线平行，则
C．若直线不经过第二象限，则
D．原点到直线的距离可能为2
【答案】ABD
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、已知直线平行求参数
【分析】选项A，将直线整理成，则有，
解出这个方程组的解就是直线恒过的定点；选项B，求出直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线平行得到，代入和计算得解；选项C，第一种情况：当直线存在斜率时，求出直线的斜率为和在轴上的截距，由不过第二象限，得到且在轴上的截距小于等于0，计算得到的范围；第二种情况：当直线不存在斜率时，，，不经过第二象限，符合题意，这两种情况求并集得到的范围；选项D，利用点到直线的距离求出原点到直线的距离，这个距离等于2，得到的一元二次方程，利用判别式与0的大小关系判断这个一元二次方程是否有解，得到判断.
【详解】选项A，，
，，
，直线恒过定点，故选项A正确；
选项B，的斜率为，
直线的斜率为，这两条直线平行，
，，，故选项B正确；
选项C，第一种情况：当直线存在斜率时，
，当时，，
在轴上的截距为，
不过第二象限，
，，，
第二种情况：当直线不存在斜率时，
，
，，不经过第二象限，符合题意，
综上，若直线不经过第二象限，则，故选项C错误；
选项D，，
原点到直线的距离为
，，，
有根，原点到直线的距离可能为2，故选项D正确.
故选：ABD.
1.（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】令，根据题意可化为二次函数，即可求出结果.
【详解】根据题意，直角距离，
令，则，，
线段长度， 由，得，代入得：
，
当时，取最小值为，此时，即，满足条件.
故选：A
2.（25-26高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】设动点，根据两点之间距离列得等式，结合方程有根解得范围.
【详解】设动点，因为，所以，
两边平方得，化简得，
即，将该式看作关于的一元二次方程：
，
因为点存在，所以该关于的方程必有非负实数解，
其判别式，
解得，所以，故的纵坐标的最大值为.
故选：C.
3.（24-25高二上·辽宁·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点与交于点，则（ ）
A．点坐标为
B．
C．与的方向向量的数量积为1
D．面积的最大值为
【答案】BD
【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、基本（均值）不等式的应用
【分析】根据直线方程确定定点坐标，结合两点距离公式判断A、B；由直线垂直的判定得，进而可得两直线方向向量的数量积，即可判断C；根据分析得，由勾股定理得，再应用基本不等式求三角形面积的最大值判断D.
【详解】对于A，由显然恒过，错误；
对于B，将化为恒过定点，故，正确；
对于C，由，则两条直线垂直，垂足为，故，
故与的方向向量的数量积为0，错误；
对于D，由A、B分析有，由勾股定理知，
故的面积，当且仅当时等号成立，正确．
故选：BD
4.．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多选题）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
【答案】ACD
【知识点】求平面两点间的距离、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断.
【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率，
，即，为直角三角形，A正确；
对于B，直线的斜率，点共线，B错误；
对于C，在中，，，
，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD

5.（24-25高二上·贵州铜仁·期末）（多选题）已知直线：；直线：，则（ ）
A．当时，的一个方向向量为 B．若，则
C．若，则 D．点到距离的最大值为5
【答案】AD
【知识点】直线过定点问题、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、求直线的方向向量（平面中）
【分析】对A，求出直线的斜率判断；对B，根据两直线平行的充要条件求解判断；对C，根据两直线垂直的充要条件求解判断；对D，求出直线过定点，当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大，得解.
【详解】对于A，当时，直线，其斜率为，
所以的一个方向向量为，故A正确；
对于B，若，则，解得或，经检验均合题意，
所以或，故B错误；
对于C，若，则，即，
解得或，故C错误；
对于D，由，即，
令，解得，
所以直线过定点，
当点与点连线垂直直线时，此时点到直线的距离最大，
距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.
6.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（ ）
A．对任意三点，都有
B．点满足，则点组成的图形面积为4
C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点
D．点.到直线的“切比雪夫距离”
【答案】ABD
【知识点】求平面轨迹方程、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题、求平面两点间的距离
【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D.
【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、，
如下图，结合三角形相似可得或，或，或，
若，则，，
若，则，，
所以；

若、或、对调，可得；
若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
；
则对任意的三点、、，都有，故A正确；

对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确；
对于C，定点、，动点，满足，
可得不在上，在线段间成立，可得，解得.
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误.
对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值，
联立直线方程，
所以；
同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值，
联立直线方程，
所以，故D正确.

故选：ABD.
1.（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、基本不等式求积的最大值、由一般式方程判断直线的垂直
【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线方程求得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得．
【详解】由题意直线过定点，
直线可变为，
令，得，所以该直线过定点，
所以．
又，
所以直线与直线互相垂直，且交点为，
所以，
所以，即，
当且仅当时取等号，
所以，，即面积的最大值是．
故选：B．
2.（25-26高三上·陕西·期末）（多选题）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）．
A．曲线E是中心对称图形
B．曲线E与直线仅有一个公共点
C．曲线E经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）
D．若点M，N在曲线E上，且M，N分别在直线两侧，则的最小值为
【答案】ABD
【知识点】基本不等式求和的最小值、判断两曲线交点的个数、由方程研究曲线的性质
【分析】A：根据奇函数的性质、结合函数图象变换的性质进行判断即可；B：通过解方程组进行求解判断即可；C：根据分式的性质进行求解判断即可；D：根据函数的图象的对称性，结合基本不等式进行求解判断即可.
【详解】对于A，方程可化为，
则曲线E可由函数的图象向右和向上各平移1个单位长度得到，
而是奇函数，其图象关于原点中心对称，
所以曲线E关于点中心对称，故A正确；
对于B，将代入中，
得，解得，则，
故曲线E与直线仅有一个公共点，故B正确；
对于C，在方程中，要使x，y均为整数，
只有或，
故曲线E只经过2个横坐标和纵坐标均为整数的点，分别为，，故C错误；
对于D，设，，其中，
当有最小值时，M，N关于点对称，
则令，则，原式，
当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：ABD

3.（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、利用函数单调性求最值或值域、距离新定义
【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值.
【详解】设，，
，
当时，取等号，
当时，，
当时，，所以．
所以的最小值是3.
故选：C
4.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（ ）
A．对任意三点，都有
B．点满足，则点组成的图形面积为4
C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点
D．点.到直线的“切比雪夫距离”
【答案】ABD
【知识点】求平面轨迹方程、求点到直线的距离、直线围成图形的面积问题、求平面两点间的距离
【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D.
【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、，
如下图，结合三角形相似可得或，或，或，
若，则，，
若，则，，
所以；

若、或、对调，可得；
若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形，
；
则对任意的三点、、，都有，故A正确；

对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则；
若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确；
对于C，定点、，动点，满足，
可得不在上，在线段间成立，可得，解得.
由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足，即为，为射线，
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，
则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误.
对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值，
联立直线方程，
所以；
同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值，
联立直线方程，
所以，故D正确.

故选：ABD.
1.（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）（多选题）对于直线，下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1
C．若直线不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线的距离的最大值为
【答案】AD
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题、直线过定点问题、直线截距式方程及辨析、求平面两点间的距离
【分析】求出过的定点判断A，当时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据的取值情况判断C；求出原点到定点的距离即判断D.
【详解】可变形为，
由，得所以直线l恒过点，故A正确；
当时，直线方程为，在x，y轴上的截距分别为1，1，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B不正确；
当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确．
故选：AD
2.．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选题）已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与过同一个定点
C．若，则与关于轴对称
D．若与交于点，则为定值
【答案】ACD
【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据系数关系判断直线垂直判断A，计算直线定点判断B，判断直线关于轴对称判断C，应用垂直关系得出定值判断D.
【详解】直线，，，
对于A：因为，所以，A选项正确；
对于B：直线过定点，过定点，与不过同一个定点，B选项错误；
对于C：若，，，则与关于轴对称，C选项正确；
对于D：若与交于点，直线过定点，过定点，
因为，则，为定值，D选项正确；
故选：ACD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑