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分层作业
2.4.2 圆的一般方程
目 录
2
题型01 圆的一般方程与标准方程之间的互化 2
题型02由圆的一般方程确定圆心和半径 3
题型03求圆的一般方程 4
题型04由圆心（或半径）求圆的方程 6
题型05轨迹问题——圆（阿波罗尼斯圆/中点轨迹） 7
题型06定点到圆上点的最值（范围） 8
题型07圆的对称性的应用（直线为对称轴） 11
题型08圆过定点问题 12
13
16
18
题型01 圆的一般方程与标准方程之间的互化
1.（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
题型02由圆的一般方程确定圆心和半径
4.（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型03求圆的一般方程
7.（贵州省县中新学校计划项目2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
8.（贵州省县中新学校计划项目2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
9.（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（ ）
A． B． C． D．
题型04由圆心（或半径）求圆的方程
10.（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________．
11.（2026·宁夏银川·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______.
12.（2026·宁夏银川·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______.
题型05轨迹问题——圆（阿波罗尼斯圆/中点轨迹）
13.（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
14.（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
15.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型06定点到圆上点的最值（范围）
16.（24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆及点，则下列说法错误的是（）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
17.（24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆及点，则下列说法错误的是（）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
18.（25-26高二上·陕西·阶段检测）（多选题）已知点和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．圆心，半径为
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8
题型07圆的对称性的应用（直线为对称轴）
19.（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
20.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
21.（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
题型08圆过定点问题
22.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
23.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
24.（21-22高二上·安徽·阶段检测）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
1.（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，b B．，
C．， D．，
5.（25-26高二上·安徽宿州·期中）圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
6.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
1.（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线表示圆，则圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．3
3.（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知圆的方程，则该圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
4.（25-26高二上·青海西宁·期中）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
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2.4.2 圆的一般方程
目 录
2
题型01 圆的一般方程与标准方程之间的互化 2
题型02由圆的一般方程确定圆心和半径 3
题型03求圆的一般方程 4
题型04由圆心（或半径）求圆的方程 6
题型05轨迹问题——圆（阿波罗尼斯圆/中点轨迹） 7
题型06定点到圆上点的最值（范围） 8
题型07圆的对称性的应用（直线为对称轴） 11
题型08圆过定点问题 12
13
16
18
题型01 圆的一般方程与标准方程之间的互化
1.（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【详解】方程可化为，因为该方程表示圆，
故，，A正确．
2.（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解.
【详解】将圆化成标准方程，可得，
由，解得.
因为点在圆的外部，
所以，解得.
综上可得.
3.（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【详解】因为方程表示圆，所以，解得或.
当时，方程化为，此时，方程不表示圆；
当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为.
综上，圆心坐标为.
题型02由圆的一般方程确定圆心和半径
4.（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】把一般方程转化为标准方程即可求解.
【详解】方程可化为，所以圆的半径为2.
故选：B
5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求出圆心半径，由题意即可求解.
【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得.
故选：C
6.（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标.
【详解】圆，即，
所以圆心为．
故选：C．
题型03求圆的一般方程
7.（贵州省县中新学校计划项目2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解.
【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为.
故选：A.
8.（贵州省县中新学校计划项目2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解.
【详解】因为，，所以圆心为， 即，，所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为.
故选：A.
9.（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求圆的一般方程
【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可.
【详解】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由题意可知、、，
设圆弧所在圆的方程为，
将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得，
所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为，
故该圆的半径为.
故选：C.
题型04由圆心（或半径）求圆的方程
10.（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________．
【答案】
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可.
【详解】线段的中点，直线的斜率为，
则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为，
即，由，解得，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
11.（2026·宁夏银川·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______.
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、由圆心（或半径）求圆的方程
【详解】圆的圆心，半径，
则的面积，
当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高.
12.（2026·宁夏银川·模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，点O到直线l的距离为______.
【答案】
【知识点】三角形面积公式及其应用、由圆心（或半径）求圆的方程
【详解】圆的圆心，半径，
则的面积，
当且仅当时取等号，此时点到直线的距离即为等腰斜边上的高.
题型05轨迹问题——圆（阿波罗尼斯圆/中点轨迹）
13.（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积.
【详解】设，因为定点，，
，化简得：，即.
点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：.
故选：B
14.（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积.
【详解】设，因为定点，，
，化简得：，即.
点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：.
故选：B
15.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程.
【详解】设点，由，得为线段中点，则点，
而点在圆上，因此，即，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
题型06定点到圆上点的最值（范围）
16.（24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆及点，则下列说法错误的是（）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
【答案】B
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、判断点与圆的位置关系、已知两点求斜率
【分析】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；选项，把点坐标代入，求出的值，进而求出直线的钭率；C选项，求出的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；选项，由选项求出点在圆外，是圆上任一点，所以的长度满足，求出的取值范围.
【详解】对于A,将化为,
所以圆心C坐标为，,故A正确；
对于B，因为点在圆上，所以，
所以，即.所以直线的斜为，故B错误，
对于C，因为两点之间的距离为,
所以点在圆外，故C正确；
对于D，因为圆心，半径，所以，
即，故D正确.
故选：B.
17.（24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆及点，则下列说法错误的是（）
A．圆心的坐标为
B．若点在圆上，则直线的斜率为
C．点在圆外
D．若是圆上任一点，则的取值范围为．
【答案】B
【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、判断点与圆的位置关系、已知两点求斜率
【分析】A选项，把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标；选项，把点坐标代入，求出的值，进而求出直线的钭率；C选项，求出的长度，与半径相比，判断点与圆的位置关系；选项，由选项求出点在圆外，是圆上任一点，所以的长度满足，求出的取值范围.
【详解】对于A,将化为,
所以圆心C坐标为，,故A正确；
对于B，因为点在圆上，所以，
所以，即.所以直线的斜为，故B错误，
对于C，因为两点之间的距离为,
所以点在圆外，故C正确；
对于D，因为圆心，半径，所以，
即，故D正确.
故选：B.
18.（25-26高二上·陕西·阶段检测）（多选题）已知点和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．圆心，半径为
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8
【答案】ABD
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用、定点到圆上点的最值（范围）、判断点与圆的位置关系
【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项.
【详解】圆心，半径为，A选项正确；
点在圆外，B选项正确；
∵圆心不在直线上，
∴圆关于直线不对称，C选项错误；
，圆半径，
，即，D选项正确.
故选：ABD.
题型07圆的对称性的应用（直线为对称轴）
19.（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值
【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为，
圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即，
因为，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为4.
20.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】D
【知识点】圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题可得直线过已知圆圆心，则，然后由基本不等式可得答案.
【详解】由题可得圆方程可化为：，则圆心坐标为.
因圆关于对称，则过圆心，从而.
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D
21.（24-25高二上·北京·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的对称性的应用
【分析】根据直线过圆心可求参数的值.
【详解】圆的标准方程为：，故圆心为，
因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上，
故即，
故选：A.
题型08圆过定点问题
22.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆经过原点，则（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】B
【知识点】圆过定点问题
【分析】将代入圆的方程进行求解．
【详解】将代入圆的方程中，得，即，
方程为，满足，
故,
故选：B.
23.（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆过定点问题
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
故选：D．
24.（21-22高二上·安徽·阶段检测）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【知识点】圆过定点问题
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
故选：A．
1.（25-26高二上·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求圆的一般方程
【分析】设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程，解方程组，即可得答案.
【详解】设圆的一般方程为,
将，，代入方程得，
解得，满足，
故圆的方程为，
故选：A
2.（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】求圆的一般方程
【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程.
【详解】由题意，设所求圆的一般方程为，
因为圆过点，，，
可得，解得，
所以所求圆的一般方程为.
故选：B.
3.（25-26高二上·河南驻马店·开学考试）过点，，的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】用圆的一般方程，该圆经过三个点可列出三个方程，并求解，最后用配方法变成标准方程，求出圆心坐标
【详解】设圆的方程为.
因该圆过点，，，所以，解得.
因此圆的方程为.
化简得.
因此该圆的圆心为.
故选：C
4.（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，b B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】将圆的方程化为标准形式，确定圆心和半径即可.
【详解】由且化为标准形式，故圆心为，半径为.
故选：C
5.（25-26高二上·安徽宿州·期中）圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】将圆的方程整理为标准方程，进而得到圆心坐标.
【详解】圆的方程可整理为：，圆心坐标为.
故选：B.
6.（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、求过已知三点的圆的标准方程
【分析】利用待定系数法、配方法进行求解即可.
【详解】设的外接圆方程为，
因为的三个顶点分别为，
所以有，
配方得，
故选：C
1.（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点
【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可.
【详解】，
因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为，
因为圆心和圆心关于直线对称，
所以有，即圆的圆心坐标为，
因为圆和圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，
所以圆的方程为，
故选：B
2.（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线表示圆，则圆的半径为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】先根据圆的方程特征求出参数的值，代入方程化为标准形式求半径.
【详解】曲线表示圆，
则，解得或.
当时，，不符合题意舍去.
∴，此时圆的方程可化为.
∴圆的半径为1.
故选：B
3.（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知圆的方程，则该圆的半径为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
【答案】B
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】将圆的一般方程变形为标准方程后可得.
【详解】圆的方程，即，所以半径为2.
故选：B.
4.（25-26高二上·青海西宁·期中）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】根据圆的一般方程成立的条件求解．
【详解】若方程表示圆，
则，
整理得，解得．
故选：B．
1.（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程.
【详解】设点，由，得为线段中点，则点，
而点在圆上，因此，即，
所以点的轨迹方程为.
故选：B
2.（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】求圆的一般方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案.
【详解】设经过，，三个点的圆的方程为
，
由题意可得，解得，
且满足，
所以经过，，三个点的圆的方程为，
即为.
故选：C.
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