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第二章　直线和圆的方程
复习要点 掌握直线倾斜角、斜率与各类方程， 熟记平行垂直判定及三类距离公式； 分清圆标准、一般方程，利用圆心距判断线圆、圆圆位置关系， 掌握弦长、切线、对称及最值计算，留意斜率不存在等易错情形。
复习重难点 重点： 直线位置关系、距离公式，圆方程，线圆 / 圆圆位置、弦长与切线计算。 难点： 斜率范围、对称问题、弦中点点差法，圆相关几何最值，易漏斜率不存在的讨论。
知识点 直线的倾斜角和斜率
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
3．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
4．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
要点速测
1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
知识点直线的五种方程
名称 条件 方程 图形 适用范围
点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不表示垂直于轴的直线
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 不表示垂直于轴的直线
两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 不表示垂直于坐标轴的直线
截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b ＋＝1 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式 A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 任何位置的直线
要点速测
1．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点，且一个法向量为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
知识点 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
注：（1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
要点速测
1．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知点，且直线MN与直线平行，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
2．（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
知识点两直线的交点坐标及两点间的距离公式
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
3．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
要点速测
1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（ ）
A． B． C． D．
知识点 圆的方程
一、圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
二、圆的标准方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
要点速测
1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·北京房山·一模）若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ）
A． B．
C． D．
知识点 直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二、直线与圆相交的相关问题
1．解决圆的弦长问题的方法
几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
3．设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为
三、直线与圆相切的相关问题
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
6.设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为
四、直线与圆相离的相关问题
设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
要点速测
1．（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·广西贵港·三模）直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
3．（2026·海南海口·模拟预测）直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（ ）
A．1 B． C． D．2
知识点7 圆与圆的位置方程
一、圆与圆位置关系的判定
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
二、圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
三、圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条 有2条外公切线和1条内公切线，共3条； 只有2条外公切线 只有1条外公切线 无公切线
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
要点速测
1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．内切
2．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型1 直线的倾斜角与斜率
▌例1 （25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练1（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练2（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练3（25-26高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型2 两直线的平行与垂直
▌例2 （25-26高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
▌迁移练1（25-26高二上·山东临沂期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
▌迁移练2（25-26高二上·江西九江期中）若直线：与直线：平行，则实数为（ ）
A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1
▌迁移练3（25-26高二上·安徽泉州期中）已知，直线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型3 两直线的交点与距离问题
▌例3 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练1（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，则坐标原点O到直线l的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
▌迁移练2（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线与直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练3（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ）
A．或1 B．或 C．或 D．或1
题型4 求圆的方程
▌例4 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
▌迁移练1（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
▌迁移练2（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
▌迁移练3（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型5 弦长问题
▌例5 （25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
▌迁移练1（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
▌迁移练2（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知直线被圆所截得的弦长为4，则（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练3（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型6 切线问题
▌例6 （25-26高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
▌迁移练1（25-26高二下·安徽六安·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
▌迁移练2（25-26高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练3（25-26高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
题型7 圆与圆的位置关系
▌例7 圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
▌迁移练1（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
▌迁移练2（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．内含
▌迁移练3（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外离 C．相切 D．相交
题型8 与圆有关的轨迹问题
▌例8 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
▌迁移练1（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练2（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
▌迁移练3（25-26高二下·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______
难点一 对称问题
1.解决点关于点对称问题的方法
点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标公式求得，由得
2.解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的求法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0.
3.解决点关于直线对称问题的方法
已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步：
第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）；
第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
4.解决直线关于直线对称问题的方法
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程：
（1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m；
（2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程.
难点精练
1.（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（ ）
A．5 B．1 C． D．
2.（25-26高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
3.（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ）
A． B． C． D．
4.（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________．
7.（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______．
8.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
难点二 与圆有关的最值问题
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
难点精练
1．（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．16
2．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·湖北黄石·一模）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知实数，满足，则的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．7
5．（辽宁省五校2025-2026学年高二上学期期末考试数学学科试题）已知点，动点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
基础达标
1．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．0
2．已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1
4．圆与圆的公切线有且仅有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
5．若复数的实部为，则点的轨迹是（ ）
A．直径为2的圆 B．实轴长为2的双曲线
C．直径为1的圆 D．虚轴长为2的双曲线
6．已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．已知点，若点在圆：上，则（ ）
A．点在直线上 B．点可能在圆上
C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1
9．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ）
A．直线与圆C相离 B． 的面积为12
C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为
10．若圆：与圆：的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．过点作圆：的切线方程为
D．若实数，满足圆：，则的最大值为2
11．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条．
12．如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ．
13．如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 .
14.已知直线：与直线：的交点为M．
(1)求点M关于直线的对称点N；
(2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．
15．已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程.
能力进阶
1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）直线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
3．（25-26高二下·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
5．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定
6．（25-26高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
8．（25-26高二下·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（ ）
A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为
B．若直线被圆截得的弦长为2，则
C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1
D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或
9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ）
A．直线的方程为 B．线段的长为
C．直线过定点 D．的最小值是
10．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________.
11．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____.
12．（2026·安徽·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点.
(1)求a，r的值；
(2)设，M为曲线C上的动点，求的最小值.
13．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足.
(1)求点的轨迹方程.
(2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值 若存在，求的值;若不存在，请说明理由.
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第二章　直线和圆的方程
复习要点 掌握直线倾斜角、斜率与各类方程， 熟记平行垂直判定及三类距离公式； 分清圆标准、一般方程，利用圆心距判断线圆、圆圆位置关系， 掌握弦长、切线、对称及最值计算，留意斜率不存在等易错情形。
复习重难点 重点： 直线位置关系、距离公式，圆方程，线圆 / 圆圆位置、弦长与切线计算。 难点： 斜率范围、对称问题、弦中点点差法，圆相关几何最值，易漏斜率不存在的讨论。
知识点 直线的倾斜角和斜率
1．倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角
②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线
3．斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.
4．斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．
要点速测
1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解．
【详解】设直线的倾斜角为，
由题可知，直线斜率为，则，
又，
所以直线的倾斜角是．
2．（25-26高二上·广东广州·期末）经过，两点的直线的一个方向向量为，则实数t的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出t的值.
【详解】由题意，，则.
故选：C
知识点直线的五种方程
名称 条件 方程 图形 适用范围
点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不表示垂直于轴的直线
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 不表示垂直于轴的直线
两点式 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 不表示垂直于坐标轴的直线
截距式 在x轴上截距a，在y轴上截距b ＋＝1 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线
一般式 A，B，C为系数 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 任何位置的直线
要点速测
1．（25-26高二·全国·暑假作业）经过点，且一个法向量为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点法式方程求解即可.
【详解】由点法式方程得，即．
2．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线经过点和，则的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意写出直线的两点式方程，化简可得直线的一般式方程.
【详解】由直线的两点式方程得，，整理得.
所以直线的一般式方程为.故选：D.
3．（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设与直线平行的直线方程为，
因为点在直线上，所以，解得，
所以所求直线方程为．
知识点 两条直线平行和垂直
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2.
注：（1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．
（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.
2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2 k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
（3）判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
3．利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
4．若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．　
5．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
6．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．
（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；
②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.
要点速测
1．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知点，且直线MN与直线平行，则（ ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【分析】求得直线MN的斜率，结合题意可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
又直线MN与直线平行，所以，解得.
故选：B.
2．（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于直线与垂直，故，解得．
知识点两直线的交点坐标及两点间的距离公式
1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解．
2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
3．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
要点速测
1．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】直线方程变形得，所以点到直线的距离为.故选：A.
2．（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两条平行直线间的距离求解.
【详解】变形为，与之间的距离.故选：D.
知识点 圆的方程
一、圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
二、圆的标准方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.
3．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
要点速测
1．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程.
【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为.
2．（2026·北京房山·一模）若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，所以，解得．
知识点 直线与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二、直线与圆相交的相关问题
1．解决圆的弦长问题的方法
几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到
2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．
3．设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为
三、直线与圆相切的相关问题
1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线）
2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程．
3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程
代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出
4.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
5.切线长公式
记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求；
6.设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为
四、直线与圆相离的相关问题
设圆心到直线的距离为，圆的半径为；当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为；
要点速测
1．（山东德州市宁津县第一中学2026届高三下学期模拟演练数学试题）若直线与圆心为的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆心到直线的距离，
因为直线与圆相离，所以该圆的半径的取值范围是.
2．（2026·广西贵港·三模）直线与圆相交于两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】借助点到直线距离公式与圆的弦长公式计算即可得.
【详解】圆的圆心为，半径，
则到直线的距离，
则.
3．（2026·海南海口·模拟预测）直线l：x+y+1＝0与圆C：相切，则实数m＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【详解】对圆方程变形得，，即圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为直线与圆相切，所以，即.
知识点7 圆与圆的位置方程
一、圆与圆位置关系的判定
1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
2．判定方法
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含
二、圆与圆位置关系的应用
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
三、圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
有2条外公切线和2条内公切线，共4条 有2条外公切线和1条内公切线，共3条； 只有2条外公切线 只有1条外公切线 无公切线
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
要点速测
1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，所以，所以两圆相交.
2．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程：
;
两式相减可得公共弦方程：.即.
题型1 直线的倾斜角与斜率
▌例1 （25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围.
【详解】如图所示：
，而，
故直线的取值范围为.故选：A.
▌迁移练1（25-26高二上·广东惠州·阶段练习）已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两点坐标求出直线斜率，进而求倾斜角即可.
【详解】因为直线经过点和两点，
所以直线斜率存在，斜率，
设直线的倾斜角为，则，解得，故选：A
▌迁移练2（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以．故选：D
▌迁移练3（25-26高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可.
【详解】直线恒过定点，又，
直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得.故选：A.
题型2 两直线的平行与垂直
▌例2 （25-26高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【分析】根据直线的斜率来进行判断.
【详解】，
由图可知不共线，所以．
故选：B

▌迁移练1（25-26高二上·山东临沂期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【答案】A
【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
即，所以或重合.故选：A
▌迁移练2（25-26高二上·江西九江期中）若直线：与直线：平行，则实数为（ ）
A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1
【答案】B
【详解】由题意可得：，
解得：，
当时，直线：与直线：平行，
当时，直线：即，与直线：，重合，舍去，
故，故选：B
▌迁移练3（25-26高二上·安徽泉州期中）已知，直线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，
化简得，解得或（舍去）
又，得，故选：B
题型3 两直线的交点与距离问题
▌例3 （25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）直线，直线，则直线与间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线，直线平行，
则直线与间的距离为.
▌迁移练1（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，则坐标原点O到直线l的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】直接利用点到直线的距离公式即可得到答案.
【详解】坐标原点O到直线l的距离为.故选：B.
▌迁移练2（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）直线与直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解.
【详解】直线与直线平行，它们之间的距离为.
故选：C
▌迁移练3（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ）
A．或1 B．或 C．或 D．或1
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式求解.
【详解】到直线：的距离为，
到直线：的距离为，
，两点到直线：的距离相等，
，，，
，或，
或.故选：C.
题型4 求圆的方程
▌例4 （25-26高二上·江苏南京·期末）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出圆的半径，进而得圆的标准方程，再化为圆的一般方程即可求解.
【详解】由圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，
所以圆心坐标为，圆的直径为，
所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为：，即，故选：B.
▌迁移练1（25-26高二上·北京东城·期末）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径，
所以圆的方程为.故选：A.
▌迁移练2（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆心及圆上一点求出半径，再利用圆的标准方程即可求解.
【详解】，所以圆的半径，又以为圆心，
所以圆的标准方程为：.故选：C
▌迁移练3（25-26高二上·甘肃酒泉·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案.
【详解】设圆的方程为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即，
所以.故选：A
题型5 弦长问题
▌例5 （25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【详解】圆的圆心为，在直线上，
圆的半径为，两平行直线与的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线被圆C截得的弦长.
▌迁移练1（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【详解】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，所以．
▌迁移练2（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知直线被圆所截得的弦长为4，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离公式、圆的标准方程、弦心距公式求解即可.
【详解】圆可化为，
圆心坐标为，半径为.
圆心到直线的距离为.
由弦心距公式可知，，即，解得.
▌迁移练3（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可.
【详解】直线，
令，即，所以直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为，
且，即点P在圆内，
当时，圆心C到直线l的距离最大为，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为.故选：A.
题型6 切线问题
▌例6 （25-26高二上·北京·阶段练习）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可.
【详解】由题可知圆的圆心，半径 ，
设直线的动点为，切点为则切线长
所以要使切线长最小，则最小；
显然的最小值为到直线的距离为
所以此时切线长.故选：A
▌迁移练1（25-26高二下·安徽六安·阶段检测）已知圆与直线相切，则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】首先将圆的方程化成标准方程，再利用直线与圆相切的条件即可求解.
【详解】将圆的方程化成标准方程为，
因为圆与直线相切，
则有，解得.
▌迁移练2（25-26高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系求解.
【详解】由题意可知，点在圆外，
则，得，
故的取值范围为.故选：B
▌迁移练3（25-26高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离.
【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则.
根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，
设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.
由勾股定理，当取最小值时，最小，
此时.故选：B.
题型7 圆与圆的位置关系
▌例7 圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
【答案】C
【详解】因为圆，所以，
因为圆，所以圆，所以，
所以，
又因为，所以，所以两圆相外切，故选：C.
▌迁移练1（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
【答案】C
【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案.
【详解】化简，则其圆心，半径，
化简，则其圆心，半径，
则，而，
则，故两圆相交.
▌迁移练2（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．内含
【答案】A
【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案
【详解】由，得，
所以圆的圆心，半径，
由，得，
所以圆的圆心，半径，
所以，所以两圆内切，故选：A
▌迁移练3（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外离 C．相切 D．相交
【答案】D
【分析】根据两圆方程求出圆心距，并与两圆半径之和、之差进行比较，即可得出结论.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，因，即两圆相交，故选：D.
题型8 与圆有关的轨迹问题
▌例8 （25-26高二上·重庆北碚·期末）已知圆，是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出弦心距，再结合两点间距离公式求解即可.
【详解】圆，圆心，半径.
设弦的中点为，连接.
在中，，，
所以.
是点到圆心的距离，
所以，即.故选：D.
▌迁移练1（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程.
【详解】设动点，圆上点，
因为是在轴上的投影，则易得，
，，
因为 ，所以，解得， （*），
因为是圆上，所以，
将（*）代入得，即，
则点的轨迹方程为.
▌迁移练2（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】法一：使用两点间距离公式结合条件可得的轨迹为圆，进而可得轨迹所围成的面积；法二：由题意得的轨迹为存在一条直径位于轴上的圆，由此求出圆的端点，进而可得半径与面积.
【详解】法一：因为，，设，由得，
平方并整理得，化简并整理得，
故点的轨迹是圆，其半径为，故其面积为.
法二：因为，，，所以的轨迹为一条直径位于轴上的圆，
设此直径的端点坐标为，则或
所以或，所以的轨迹所围成的面积为.
▌迁移练3（25-26高二下·上海·阶段检测）若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______
【答案】
【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程.
【详解】设，，
由于是线段的中点，
所以，
将代入圆，
得
整理得.
难点一 对称问题
1.解决点关于点对称问题的方法
点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标公式求得，由得
2.解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的求法求出对称点，再由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B（－y）＋C＝0.
3.解决点关于直线对称问题的方法
已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'（x'，y'）可以分三步：
第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）；
第二步，PP'的中点在直线l上，即（，）满足直线方程Ax＋By＋C＝0，得到A·＋B·＋C＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
4.解决直线关于直线对称问题的方法
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于直线l2的对称直线的方程：
（1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m；
（2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确定所求直线方程.
难点精练
1.（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案.
【详解】由与关于坐标原点对称，则，
所以.
故选：B
2.（25-26高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到.
【详解】因为点关于直线的对称点在轴上，
设点关于直线的对称点为，
则有 ，解得.
故选：B.
3.（25-26高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求.
【详解】直线的方程可化为，由得，
所以，直线过定点，点关于点的对称点为，
因此，直线恒过的定点.
故选：C.
4.（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果.
【详解】由题意得，直线，
∴两直线与直线间的距离相等，
∵方程可化为：，，
∴，解得.
故选：C.
5.（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程.
【详解】设点关于直线的对称点，则，
解得，即点，故所求直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即.
故选：A
6.（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________．
【答案】
【分析】先根据圆的方程得出圆心及半径，再得出对称点，进而得出圆的标准方程.
【详解】圆圆心为半径为1，
所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1，
所以圆关于原点对称的圆的方程为.
故答案为：.
7.（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______．
【答案】
【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设对称圆的圆心坐标为，
由题意得，，解得，
对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为．
故答案为：．
8.（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解.
【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，
则，即，解得，即，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，
故的最小值为.
难点二 与圆有关的最值问题
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题
难点精练
1．（2026·江西·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．1 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可.
【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上，
两圆心距，则两圆内含，
，，
则．
2．（25-26高二下·广东深圳·期中）如果实数满足等式，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解.
【详解】中，解得，
由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为，
同一坐标系内画出草图，
由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为，
则，解得或，
所以的最小值是.
3．（2026·湖北黄石·一模）若实数满足，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】设，将原问题转化为直线和圆相切问题，根据圆心到直线的距离等于半径，列方程求解，即得答案.
【详解】由题意知实数满足，即点在圆上，
则可看作点和点的连线的斜率，设点为P，设，
则，即，
当和圆相切时，k取最大值或最小值；
由圆心到直线的距离为，
得，解得或，
故的最大值是0，最小值是.
4．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知实数，满足，则的最大值是（ ）
A．5 B．4 C． D．7
【答案】A
【分析】令 ，变形为，此时问题转化为在半圆()上找一点，使得直线的纵截距最小.
【详解】可化为，设，则.
由图可知，当直线过点时，取得最大值5.

故选：A
5．（辽宁省五校2025-2026学年高二上学期期末考试数学学科试题）已知点，动点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意求出动点的轨迹方程，再根据的几何意义，将原问题转化为直线与圆的交点问题.
【详解】因为点，动点满足，
所以，整理得，
即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又因为表示点与点连线的斜率，记为，
设过点的直线方程为，即，
则直线与圆有交点，
所以，解得，
即的取值范围是.故选：D
基础达标
1．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】直线的斜率为，所以，
解得，故选C.
2．已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为
又过点，所以直线方程为，整理可得，故选D.
3．若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或-1
【答案】A
【解析】因为直线与直线互相平行，
所以有且，解得，故选：A
4．圆与圆的公切线有且仅有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
【答案】A
【解析】圆：，所以，.
圆：，所以，.
因为，，所以.
所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线，故选：A
5．若复数的实部为，则点的轨迹是（ ）
A．直径为2的圆 B．实轴长为2的双曲线
C．直径为1的圆 D．虚轴长为2的双曲线
【答案】A
【解析】因为，所以，即，
所以点的轨迹是直径为2的圆，故选A.
6．已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设所求圆的方程为，
则，解得，所以圆的方程为，故选D.
7．从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】圆化为，圆心为，半径为1，
直线上的点向圆引切线，设切点为，
则，
要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，.
所以切线长的最小值为，故选：B.
8．已知点，若点在圆：上，则（ ）
A．点在直线上 B．点可能在圆上
C．的最小值为1 D．圆上至少有2个点与点的距离为1
【答案】AC
【解析】对于选项A：点，代入直线得，故点在直线上，A正确
对于选项B：圆心到直线的距离为，
故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆上，故B错误.
对于选项C：结合选项B可知，，故C正确
对于选项D：由选项C可知圆上只有1个点与点的距离为1，故D错误.
故选：AC
9．已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ）
A．直线与圆C相离 B． 的面积为12
C．当最小时， D．点P到直线距离的最大值为
【答案】AC
【解析】由圆，可得圆心为，半径为，
对于A中，圆心坐标到直线的距离为，
所以直线与圆相离，所以A正确；
对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误；
对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确；
对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误．
故选：AC.
10．若圆：与圆：的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．线段中垂线方程为
C．过点作圆：的切线方程为
D．若实数，满足圆：，则的最大值为2
【答案】AD
【解析】易知圆：的圆心为，半径为；
圆：的圆心为，半径为；
对于A，两圆心距为，此时，两圆相交；
所以两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，即A正确；
对于B，由圆的性质可知，线段中垂线即为即为直线，其方程为，
化简可得，所以B错误；
对于C，易知点在圆：外，
当切线斜率不存在时，直线方程为，不合题意；
当切线斜率存在时，设直线方程为，
因此圆心到直线的距离为，
解得，所以切线方程为，即C错误；
对于D，令，代入圆的方程整理可得，
该方程有解，故，解得，
即的最大值为2，所以D正确.故选：AD
11．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条．
【答案】3
【解析】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线，
故设直线为或或，
若直线过点，则，得直线为；
若直线过点，则，得直线为；
若直线过点，则，得直线为；
所以满足条件的直线有3条；
12．如图，赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面时，水面宽，当水面的宽度为时，水面下降了 ．
【答案】/
【解析】建系如图，设抛物线方程为，
则根据题意可知图中坐标为，
，，
抛物线方程为，
令，可得，
则水面下降了米
13．如图所示是放在平面直角坐标系中的太极图，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】依题意，表示点与定点确定直线的斜率，
令，得直线：，
观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小，
此时，因此，解得，所以的最小值为.
14.已知直线：与直线：的交点为M．
(1)求点M关于直线的对称点N；
(2)求点到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程．
【解】（1）由，解得，则点，
设点关于直线的对称点，
则，解得，所以点.
由（1）知，点，
则，直线斜率，
以点为圆心，为半径的圆与直线始终有公共点，
当时，直线与该圆相切，点到直线的距离；
当与直线不垂直时，直线与该圆相交，点到直线的距离，
因此点到直线的距离的最大值为，此时直线的斜率为，
方程为，即，
所以点到经过点M的直线l距离的最大值为，此时直线的方程为.
15．已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程.
【解】（1）因为圆心在射线上，设，其中.
设圆的标准方程为，其中
圆经过点，所以，化简得
圆心到直线的距离.
该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得.
故，解得.
故圆的方程为.
（2）点距离圆心的距离为，所以点在圆外.
过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线.
设过点作圆的另一条切线方程为，变形得.
圆心到该直线的距离为，即，解得.
故该切线方程为，即.
综上，过点作圆的切线方程为或.
能力进阶
1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）直线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误；
选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确；
选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误；
选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误.
2．（25-26高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解.
【详解】当时，直线的斜率不存在，此时；
当时，直线的斜率，即，解得；
当时，直线的斜率，即，解得；
综上可得实数的取值范围是.
3．（25-26高二下·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为，
又由直线的方向向量为，设，
当时，可得，此时，
所以，即充分性成立；
反之：若，可得，所以，
解得，所以必要性成立，
综上可得，“”是“”的充要条件.
4．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值.
【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5.
5．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，那么直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离或相切 B．相交或相切 C．一定相交 D．不能确定
【答案】B
【分析】比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断二者位置关系即可.
【详解】由题意可知，圆心到直线的距离，
由辅助角公式可知，，其中，
所以，即，
由于圆的半径，所以圆心到直线的距离，
当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；
所以直线与圆的位置关系是相交或相切，故B正确.
6．（25-26高二上·湖南株洲·期末）一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】求出点的对称点，数形结合得到所求最短路径为到圆上一点的最小值
【详解】关于的对称点设为，
则，解得，故，
光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径
为到圆上一点的最小值，
的圆心为，半径，
连接，则即为最小值，即.
7．（25-26高一下·北京·期末）在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值.
【详解】因为，，，
所以由余弦定理可得：，所以，
又因为，所以，
所以建立如图所示的平面直角坐标系，，
因为点为所在平面内的一个动点，且，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
取的中点，则，
而，
所以.
8．（25-26高二下·广东·期末）已知的顶点坐标分别为，，，为的中点，且圆的方程为：，则（ ）
A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为
B．若直线被圆截得的弦长为2，则
C．存在，使圆上有三个点到直线的距离都为1
D．若圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，则或
【答案】ABD
【分析】先由切线长公式将表示为的平方根，配方法直接得最小值即可判断A；再由弦长为直径推出直线过圆心，代入方程得从而判断B；接着利用圆的对称性，圆与两条平行线的交点个数只能为偶数，不可能出现3个，从而否定C；最后，圆上恰有2个点到直线距离为2，等价于圆心到直线距离满足，代入距离公式解绝对值不等式即可判断D.
【详解】解：由题意，在圆中，，半径，
对于A选项，过作圆的切线，切点为，
所以，在中，由勾股定理得，
所以当时，取最小值，，故A正确；
对于B选项，由中点为，则，所以直线的方程为，
又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心，
所以，即，B正确；
对于C选项，圆上有三个点到直线距离等于，由于圆半径是，这等价于圆与两条距离直线为的平行线有三个交点，
但两条平行线关于对称，圆与它们的交点要么成对出现，要么没有，不可能出现奇数个交点，所以不存在，故C错误；
对于D选项，因为圆上有且只有两个点到直线的距离都为2，
所以圆心到直线即的距离大于1小于3．
即，解得：或，故D正确．
9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ）
A．直线的方程为 B．线段的长为
C．直线过定点 D．的最小值是
【答案】BC
【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D.
【详解】对于A选项，联立两式相减，得到即为直线的方程，
故A错误；
对于B选项，联立，可得联立或，
则，故B正确；
对于C选项，设，，因为，为圆的切点，
所以直线的方程为，
直线的方程为，设，则，
所以直线的方程为，
又因为，所以，
由，得到，
即直线过定点，故C正确；
对于D选项，因为，所以当最小时，最小，
且的最小值为，此时，故D错误.
10．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知圆：，直线：，圆与圆外切，且圆与直线相切，记圆心的轨迹为，若直线MN经过点，且与曲线交于M、N两点，则的最小值为________.
【答案】8
【分析】先设圆心的坐标与圆的半径，利用圆与圆外切、与直线相切的条件推导出圆心的轨迹为抛物线，再结合过原点的直线与抛物线相交的性质计算弦长的最小值.
【详解】设点到直线的距离为，设，点到直线的距离为，
据题意知．又因为
（点在直线下方，故，
所以），
所以，根据拋物线的定义知，点的轨迹是抛物线，
记该抛物线为，其中点为的焦点，直线为的准线，
易得拋物线的焦准距.
则的最小值是通径．
11．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过的定点坐标为____.
【答案】
【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解．
【详解】圆的圆心为，设，
则以为直径的圆的方程为，
即，
又圆，代入上式可得，即
即，令，解得，
所以直线经过定点．
12．（2026·安徽·模拟预测）如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线C称为“羽毛球曲线”，曲线C与x轴有A，B两个交点，且经过点.
(1)求a，r的值；
(2)设，M为曲线C上的动点，求的最小值.
【解】（1）∵将点的坐标代入，可得a=1，∴抛物线.
又∵的图象与x轴交于点，∴，
把点A，B的坐标代入半圆，可得r=1.
（2）设，∵，∴.
∵当时，，∴，
∴当时，；
∵当时，，∴，
∴当时，.∵<，∴的最小值为.
13．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足.
(1)求点的轨迹方程.
(2)设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值 若存在，求的值;若不存在，请说明理由.
【解】（1）设点.由，
可得，整理可得，
化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为；
（2）由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值，
则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆，
当分别位于和时，满足为定值，
可得，解得 (舍去)或，所以.
设点，因为，
，
所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足，
故存在点，使得为定值，此时.
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