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2026-2027学年选择性必修一数学单元自测
第二章　直线和圆的方程·基础通关卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线，
根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为.
2．若直线与互相垂直，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．
【答案】D
【详解】因为直线与互相垂直，
所以，解得．
3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，则线段的垂直平分线的方向向量为，
又线段中点为，则线段的垂直平分线为.
4．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．12 B． C． D．6
【答案】A
【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是，
所以，解得，
即直线为：，即，
又两条直线之间的距离是，
所以有：，解得：或（舍去），
所以．
5．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】配方得到圆的充要条件即可判断.
【详解】方程配方得，
若方程表示圆，则，解得，
则“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
6．已知圆截轴所得的弦长为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再结合圆截轴所得的弦长，利用垂径定理建立关于半径的方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，所以圆的圆心为，
因为圆截轴所得的弦长为，

所以，即.
7．如果实数满足等式，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解.
【详解】中，解得，
由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为，
同一坐标系内画出草图，
由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为，
则，解得或，
所以的最小值是.
8．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据点在圆上得出最小时只需往直线作垂线所得垂线段为直径，利用点到直线的距离公式可得.
【详解】因为是直径，，所以点在圆上，
过作垂直直线，垂足为，
因为圆与直线相切，所以最小，只需为圆的直径即可，
到直线的距离，
则的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线经过第一、二、三象限
C．直线与直线之间的距离是
D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
【答案】ABC
【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确；
对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为，
故直线经过第一、二、三象限，故B正确；
对于C，直线与直线，即间的距离为
，故C正确；
对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
把点代入直线，得，所以直线方程为；
当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得，
直线方程为，故D错误.
10．已知点和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．圆心，半径为
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8
【答案】ABD
【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项.
【详解】圆心，半径为，A选项正确；
点在圆外，B选项正确；
∵圆心不在直线上，
∴圆关于直线不对称，C选项错误；
，圆半径，
，即，D选项正确.
故选：ABD.
11．（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】ABD
【详解】解法1：对于A，∵点在圆上，∴，
则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故A正确；
对于B，∵点在圆内，，
则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相离，故B正确；
对于C，∵点在圆外，∴，
则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相交，故C错误；
对于D，∵点在直线上，∴，
则圆心到直线的距离为，∴直线与圆相切，故D正确．
解法2：（极点极线），若此点为极点，则对应极线刚好是：．
如果极点在圆内，则极线在圆外，与圆相离；如果极点在圆外，则极线在圆内，与圆相交；
如果极点在圆上，则极线与圆相切，因此ABD正确．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ .
【答案】
【详解】因为直线l的一个方向向量为，
所以直线l的斜率为
13．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解.
【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为，
则，即，解得，即，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，
故的最小值为.

14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________．
【答案】
【详解】圆：的圆心为，半径，
与圆：的标准形式为，
圆心为，半径为，，即，
圆心距为：，
已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则：
，故，即，
两边平方得，解得．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知 顶点、、.
(1)边上的中线所在直线方程及中线的长度；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
【解】（1）由点、得的中点为 ,……………………1分
中线长度， , ……………………3分
， , ……………………5分
中线所在直线方程为，化简得. ,……………………7分
（2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点，
但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； ,……………………8分
若直线过坐标原点，则其斜率为，
此时直线的方程为，符合题意； , ……………………10分
若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为，
由直线过点，得，解得，直线的方程为 ………………12分
综上所述，直线的方程为或 …………………13分
16．（本小题满分15分）已知直线：，：．
(1)求证：对，与的交点在一个定圆上；
(2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的．
【解】（1）证明：直线过定点，直线过定点. , ……………………1分
当时，，则，且交点不可能为和.
所以与的交点必在以线段为直径的圆上． , …………………3分
设，由，得，即．
当时，：，：，此时交点，也在圆上. , ………………5分
所以，交点的轨迹方程为（除点）.
综上，对，与的交点在一个定圆上. , ……………………7分
（2）由（1）得，，设定圆圆心为，
因为，所以当时，的面积取得最大值，
为. ……………………9分
又，则，
所以直线：，即． ……………………11分
与定圆方程联立整理得，解得或，
即或， ……………………13分
所以直线为或，即或． , ……………………15分
17．（本小题满分15分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区．
(1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程．
【解】（1）因为，所以直线AN的方程是，
设点，且点P到直线AM的距离为3，故． ……………………2分
由点P到直线AN的距离为，可得， ……………………4分
解得或（舍去），所以点． …………………6分
（2）显然，直线BC的斜率存在．
设直线BC的方程为， ……………………8分
令，得．由，解得， ……………………11分
故，解得， ……………………14分
故公路BC所在直线的方程为. ……………………15分
18．（本小题满分17分）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求：
(1)点对应的区域的面积；
(2)的取值范围；
(3)的值域．
【解】（1）方程的两根在区间和上的几何意义分别是：
函数与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，
由此可得不等式组． ……………………5分
由，解得．
由，解得．
由，解得． ……………………8分
∴如图所示的坐标平面内，满足约束条件的点对应的平面区域为（不包括边界）．

设为到轴的距离，则． ……………………10分
（2）的几何意义是点和连线的斜率．
，，
由图可知，
，即． ……………………15分
（3）表示区域内的点与定点之间距离的平方，
又，，，
． ……………………17分
19．（本小题满分17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：为定值；
(3)若O为坐标原点，且，求k的值．
【解】（1）∵直线l过点且方向向量，
∴直线l的方程为，则， ……………………3分
整理得，
即，得． ……………………6分
（2）证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点，
则． ……………………8分
，
为定值． ……………………10分
（3）设，，
将代入方程
得，
， ……………………12分
． ……………………15分
，解得． ……………………16分
又当时，，． ……………………17分
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第二章　直线和圆的方程·基础通关卷
（考试时间：120分钟，分值：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．0
2．若直线与互相垂直，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．
3．已知线段中点为，且，则线段的垂直平分线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．12 B． C． D．6
5．已知a是实数，则“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知圆截轴所得的弦长为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果实数满足等式，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，为两不同的动点，以为直径的圆与直线相切，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线经过第一、二、三象限
C．直线与直线之间的距离是
D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
10．已知点和圆，则下列说法正确的有（ ）
A．圆心，半径为
B．点在圆外
C．圆关于直线对称
D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8
11．（多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆内，则直线与圆相离
C．若点在圆外，则直线与圆相离
D．若点在直线上，则直线与圆相切
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ .
13．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．
14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知 顶点、、.
(1)边上的中线所在直线方程及中线的长度；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
16．（本小题满分15分）已知直线：，：．
(1)求证：对，与的交点在一个定圆上；
(2)若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当在实数范围内取值时，面积的最大值及对应的．
17．（本小题满分15分）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区．
(1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程．
18．（本小题满分17分）一元二次方程有两个根，一个根在区间内，另一个根在区间内，求：
(1)点对应的区域的面积；
(2)的取值范围；
(3)的值域．
19．（本小题满分17分）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：为定值；
(3)若O为坐标原点，且，求k的值．
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