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2026-2027学年高二数学单元自测
第二章 直线和圆的方程·能力提升
建议用时：120分钟，满分：150分
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线倾斜角的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由的斜率为，其范围是，
设倾斜角为，则，解得，
因为倾斜角的范围是，所以.
2．以，，，为顶点的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形
【答案】A
【详解】根据斜率公式 ，代入四个点坐标，，，，
则，
所以，，
两组对边分别平行，该四边形是平行四边形，
又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形，
再根据两点间距离公式可得：
由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形.
3．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，逐项根据截距的正负判断即可．
【详解】由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，，
选项A，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，故正确；
选项B，由的图象可得，即，则，可得直线的截距均为正数，由图象不对应，故错误；
选项C，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错误；
选项D，由的图象可得，即，则，可得直线的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误．
4．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解.
【详解】因为直线的一个方向向量为，
又与直线垂直，所以，
解得，所以直线，
所以到直线的距离为.
5．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程.
【详解】设动点，圆上点，
因为是在轴上的投影，则易得，
，，
因为 ，所以，解得， （*），
因为是圆上，所以，
将（*）代入得，即，
则点的轨迹方程为.
6．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
【答案】C
【分析】点在圆内，可求得最短弦长和最长弦长，即弦长的取值范围，再利用圆的对称性即可.
【详解】由可得，
点在圆内，且点A与圆心间的距离，
则过点A的最短弦长为，最长弦长为，
由此可得过点A的弦长的范围为，在间的整数共有15个，由
圆的对称性可知过点A弦长在间的弦长为整数的直线共有条，
则弦长在间且为整数的直线共有条．
7．已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意是圆的切线，应用向量数量积的运算律及勾股定理，将问题化为，只需求的最小值，利用点线距离公式求出的最小值，即可得.
【详解】圆的圆心为，半径，即，
由，可知是圆的切线，为直角三角形
由，则，
由，求的最小值，即求的最小值，
而在直线上，的最小值为圆心到直线的距离，
的最小值为，即的最小值为.
8．已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对，可化为，圆心，半径
对，可化为，圆心，半径
圆心距的平方
因为两圆有2条公切线，所以得，平方得
左不等式：
，解得或
右不等式：
，解得
综上
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点
C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交
【答案】BCD
【分析】将直线方程整理为过定点形式，依次验证斜率存在性、定点、倾斜角、直线与圆的位置关系.
【详解】直线方程整理为.
对于选项A：直线方程中的系数恒为，直线斜率始终存在，故A错误.
对于选项B：令，可得，因此，直线恒过定点，故B正确.
对于选项C：若倾斜角为，则斜率，由，
得，存在实数解，故C正确.
对于选项D：圆的圆心为，半径，
定点满足，即定点在圆内，
因此，过圆内定点的直线必与圆相交，故D正确.
10．已知点，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．点在圆内部
B．点与圆上的点之间距离的最大值为
C．以为中点的弦所在的直线方程为
D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为
【答案】AC
【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解.
【详解】点代入，，
点在圆内部，选项A正确；
，
点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误；
，以为中点的弦所在的直线的斜率为，
其方程为，即，
以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确；
过点的直线截圆的弦长为，由，
得，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合；
当直线的斜率存在时，设直线为，即，
，解得，直线为，即，
所以直线的方程为或，选项D错误.
11．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（ ）
A．曲线E关于直线对称
B．曲线E围成的图形面积为
C．若点在曲线E上，则
D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，通过推理、计算判断即可．
【详解】1、曲线E上任意点满足：，
该点关于的对称点也满足：，
即由曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，故选项A正确；
2、因为点在曲线E上，点，点也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称，
当时，曲线E的方程为，
曲线E表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），
因此，曲线E是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，

所以曲线E围成的图形的面积是，故选项B正确；
3、若点在曲线E上，则，所以，
所以，故选项C正确；
4、曲线E上的点到原点距离最大值为，
圆能覆盖曲线E，则，故选项D不正确．
故选：ABC．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线与平行，则的值是_____.
【答案】或
【分析】根据两直线平行计算即可，注意排除两直线重合.
【详解】直线与平行，
所以，解得：或,
当时，直线方程为：，
直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件
当时，直线方程为：，
直线方程为：,两条直线平行且不重合，符合条件；
则的值是或.
13．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可.
【详解】线段的中点，直线的斜率为，
则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为，
即，由，解得，
因此圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为.
14．过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________．
【答案】
【分析】由题意可得，再求解与，可得以及即可求解.
【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为，
如下图所示，则，
易知，，
，
即，且.
所以cos ，故 .

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知直线的方程为 ，其中
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值
(2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程．
【解】（1）直线方程为即为，
由，可得，则已知直线恒过定点， ……………………3分
所以到直线的最大距离为. ……………………6分
（2）设直线的斜率为，则其方程为，
可得，，
则. ……………………8分
由，可得，
所以……………………11分
当且仅当，
即时取等号.
所以的面积的最小值是4. ……………………12分
此时直线的方程为 ，即． ……………………13分
16．（本小题满分15分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求该圆弧所在圆的方程.
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
参考数据：
【解】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在的圆的圆心在y轴上，
设圆心为，设该圆的半径为r米，又， ……………………3分
则，∴， ……………………6分
∴，
∴圆弧所在的圆的方程为. ……………………8分
（2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，
∴，∴ ……………………10分
若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为，
故该隧道不能并排通过5辆该种汽车， ……………………12分
若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为………………14分
则该隧道可以并排通过4辆该种汽车，
综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车. ……………………15分
17．（本小题满分15分）已知圆：，为圆上任意一点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
【解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率，
设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，
即， ……………………2分
由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得，
故的最大值为，最小值为． ……………………5分
（2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线，…………6分
故当此直线和圆相切时，取最值．
圆心到直线的距离为半径，
可得， ……………………8分
求得，或，
故的最大值为，的最小值为． ……………………10分
（3）与的距离为， …………………11分
所以的最大值为， ……………………13分
最小值为． ……………………15分
18．（本小题满分17分）已知圆C：和直线l：相切．
(1)求圆C半径；
(2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②证明直线AB恒过定点．
【解】（1）圆心到直线的距离， ……………………2分
所以圆C半径. ……………………3分
（2）①由（1）知，圆C的方程为：，圆心，， ……………4分
由MA、MB是的两条切线，得，， ……………………5分
设，则， ……………………7分
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为. ……………………10分
②由①知，点，，，则四点共圆且以MC为直径，
此圆的方程为，整理得………………13分
而圆C的方程为，，两圆方程相减得， …………………15分
因此直线的方程为，对任意实数，当时，，
所以直线过定点. ……………………17分
19．（本小题满分17分）已知圆：和圆：（）.
(1)若圆与圆相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；
(3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
【解】（1）由圆的方程可得两圆的圆心和半径分别为，
则， ……………………1分
又因为圆与圆相交，所以， ……………………3分
解得，
所以r的取值范围为； ……………………4分
（2）由，消去得，
，解得，
设，则有， ……………………6分
所以，
由， ……………………8分
整理得，
又因，则可得； ……………………10分
（3）设，，因,则，……………………11分
因为，直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
则点到直线的距离与点到直线的距离相等，
即， ……………………13分
依题意，对无穷多的成立，
所以或， ……………………15分
解得或，
即满足条件的点P的坐标有或. ……………………17分
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第二章 直线和圆的方程·能力提升
建议用时：120分钟，满分：150分
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线倾斜角的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．以，，，为顶点的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形
3．两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
7．已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．3
8．已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率有可能不存在 B．直线恒过定点
C．直线的倾斜角有可能是 D．直线与圆相交
10．已知点，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．点在圆内部
B．点与圆上的点之间距离的最大值为
C．以为中点的弦所在的直线方程为
D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为
11．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（ ）
A．曲线E关于直线对称
B．曲线E围成的图形面积为
C．若点在曲线E上，则
D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知直线与平行，则的值是_____.
13．已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________．
14．过点A作圆C：的两条切线，两切点为D，E，则=__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知直线的方程为 ，其中
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值
(2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程．
16．（本小题满分15分）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求该圆弧所在圆的方程.
(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
参考数据：
17．（本小题满分15分）已知圆：，为圆上任意一点．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值．
18．（本小题满分17分）已知圆C：和直线l：相切．
(1)求圆C半径；
(2)若动点M在直线上，过点M引圆C的两条切线MA、MB，切点分别为A、B．
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②证明直线AB恒过定点．
19．（本小题满分17分）已知圆：和圆：（）.
(1)若圆与圆相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；
(3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
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