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专题01 直线倾斜角与斜率问题
常考题型·精准突破
题型1 直线的倾斜角
题型2 直线的斜率
题型3 斜率和倾斜角的关系
题型4 由斜率求参
题型5 三点共线问题
题型6 斜率的范围问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直线的倾斜角
(
解题贴士
：
直线倾斜角的求法及注意点
（
1
）
直线的倾斜角主要根据定义来求
，
其关键是根据题意画出图形
，
找准倾斜角
，
有时要根据情况分类讨论
；（
2
）
注意倾斜角的范围
.
)
【例1】（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　　）
A.30°　　　B.60° C.120°　　　D.150°
【答案】D
【解析】画出示意图如图所示.因为直线l2与l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线l2的倾斜角为150°.
【变式1】下列命题中正确的是（　　）
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.当倾斜角为0°时，直线平行于x轴
D.在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以确定这条直线
【答案】AD
【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，故B错误；当倾斜角为0°时，直线可能与x轴重合，故C错误；D显然正确.故选A、D.
【变式2】若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　　）
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
【答案】D
【解析】如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角
【分析】先根据直线经过求直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角.
【详解】直线PQ的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，所以.故选：B
◆题型2 直线的斜率
(
解题贴士
：
求直线斜率的
3
种方法
（
1
）
已知直线的倾斜角为
α
，
且
α
≠
90
°，
则
k
＝
tan
α
；
（
2
）
已知直线上两点坐标
，
则
k
＝
（
x
1
≠
x
2
）；
（
3
）
已知直线的一个方向向量为
（
x
，
y
），
则
k
＝
（
x
≠
0
）.
)
【例2】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】根据直线方向向量和直线斜率之间的关系，求出结果即可.
【详解】当直线的一个方向向量为，则直线的斜率.故选：B.
【变式1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（ ）
A．不存在 B．0 C．3 D．1
【答案】B
【难度】0.95
【知识点】直线斜率的定义
【详解】的倾斜角为，斜率,故
【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义
【分析】分直线与轴正方向和负方向的夹角为两种情况讨论，从而确定直线的倾斜角，然后确定斜率.
【详解】①当直线与轴正方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为；
②当直线与轴负方向的夹角为时，此时倾斜角为，斜率为.
综上，直线的斜率为或，故选C.
【变式3】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率_________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义
【分析】求出的角度，利用解出答案.
【详解】由图可知,所以直线的斜率 .
【变式4】（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为_________.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率
【分析】利用斜率公式求解即可.
【详解】由题意可知，直线的斜率.
【变式5】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________.
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率
【分析】由斜率公式求解即可.
【详解】已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为.
◆题型3 斜率和倾斜角的关系
【例3】（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系．
【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，．
则，所以
可得．即．故选：．
【变式1】（25-26高二上·江西·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线的倾斜角都存在
B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限
C．两条平行的直线一定有相等的斜率
D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线平行、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确，
由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确；
直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误；
当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误.
故选:AD.
【变式2】（25-26高二上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据题意得到，即可得到答案.
【详解】由题知：，所以.故选：C
【变式3】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案.
【详解】对于A，取，则，则，故A错误；
对于B，若，即，故B正确；
对于C，若，则直线，的斜率存在且不为，
因为，又因为正切函数在，上单调递增，
所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D错误;
故选：AD.
【变式4】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案.
【详解】由图象可知，
所以，，
函数在上单调递增，所以，
综上所述，.故选：AD
【变式5】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角
【分析】由斜率与倾斜角的关系逐项判断即可得.
【详解】对A：若，则，因，故，故A正确；
对B：当时，有，故B错误；
对C：若，则，因，故，故C正确；
对D：若，，则，故D正确.
故选：ACD.
◆题型4 由斜率求参
(
解题贴士
：
)
【例4】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、已知斜率求参数
【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率；
又直线经过、两点，可得，且，
整理得，解得，经检验符合题意.
【变式1】（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数
【详解】因为直线过点，，且斜率为1，所以，解得．
【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.9
【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数
【详解】由点，可得直线的斜率为，
因为直线的斜率为，所以，解得.
【变式3】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.95
【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数
【详解】由题意知，整理得，解得.
【变式4】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数.
【详解】经过两点的直线斜率为，
又因为直线的方向向量为，则直线斜率为，所以，即.故选：C.
【变式5】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（ ）
A．-5 B．-2 C．2 D．5
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数
【分析】根据两点求斜率的公式求得正确答案.
【详解】因为，所以，故选D
【变式6】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.82
【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系
【分析】由斜率计算公式，列出不等式求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为锐角，所以斜率，所以.即的取值范围是.
◆题型5 三点共线问题
(
解题贴士
：
用斜率公式解决三点共线的方法
)
【例5】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【难度】0.92
【知识点】已知两点求斜率
【详解】.
【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】斜率公式的应用
【分析】根据直线的斜率公式进行求解即可.
【详解】由三点共线得，即，解得．故选：A.
【变式2】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】斜率公式的应用
【分析】由三点共线得，利用斜率的坐标公式建立方程求解即可.
【详解】因为三点在同一条直线上，且直线的斜率显然存在，
所以，则，解得．故选：B.
【变式3】（25-26高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用
【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可；
【详解】由题意可得，即，解得.故选：C.
【变式4】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用
【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得.
【详解】由，，三点共线，得，即，解得．故选：B
【变式5】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、斜率公式的应用
【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值.
【详解】由题意，则，即.
【变式6】（25-26高一上·陕西西安·期末）若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用
【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值．
【详解】因为三点、、在同一直线上，
∴的斜率和的斜率相等，即，∴.
◆题型6 斜率的范围问题
(
解题贴士
：
1
.
涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解
.
2
.
代数式
的几何意义是过
P
（
x
，
y
）
与
P'
（
a
，
b
）
两点的直线的斜率
.
)
【例6】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解.
【详解】由，得直线的斜率分别为，，
而过点的直线与线段有交点，如图，
所以直线l斜率的取值范围为.
【变式1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】先找出直线恒过的定点，再分别求出该定点与线段两端点连线的斜率，根据直线与线段相交时斜率介于这两条连线斜率之间得出参数范围.
【详解】直线：经过定点，
因为，，
又直线与线段恒相交，所以．故选：D
【变式2】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率公式结合图形求解作答.
【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
而，
因此，
故选：C
【变式3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围.
【详解】当直线过A时，直线PA的斜率，
当直线过B时，直线PB的斜率，
由图知，直线过点且与线段相交，需使或，
【变式4】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解．
【详解】由题意，，，
则，，
因为直线与线段相交，
则直线的斜率的取值范围是．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.88
【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率
【分析】应用两点求出斜率，再结合倾斜角及斜率关系求解.
【详解】直线经过，两点，直线斜率为，
设直线的倾斜角为，则，得，即直线的倾斜角为.
2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（ ）．
A．0° B．75° C．90° D．不存在
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【分析】利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为.
3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、求直线的方向向量（平面中）
【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率，
则，故.
4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知斜率求参数、直线斜率的定义
【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可.
【详解】由题意可知，直线的斜率为，故.
故选：A.
5．（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　）
A． B．1
C．5 D．3
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、求直线的方向向量（平面中）
【详解】解法一：由题意可知，解得.
解法二：∵，∴，解得.
6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.95
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、已知两点求斜率
【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，其中 .
根据过两点的直线斜率公式，得 ，
由 ，结合 ，可得.
7．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率
【分析】此题利用倾斜角求出斜率，代入两点坐标列方程求解，再检验分母不为零即可得到结果.
【详解】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以．
故选： D．
8．（25-26高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（ ）
A．2 B．3 C．9 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】斜率公式的应用
【分析】根据斜率相等得到方程，解出即可.
【详解】由，解得，
故选：D．
9．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】斜率公式的应用、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案.
【详解】

由，则直线的斜率，
由，则直线的斜率，
由图可知，，解得.
故选：A.
10．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得出答案.
【详解】由，，则.
故选：A
11．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述错误的是（ ）
A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、由斜率判断两条直线平行、直线斜率的定义
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可.
【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，
所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确；
对于B：由于直线倾斜角的取值范围是，
因此不在此范围内时不是直线的倾斜角，
如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误；
对于C，设直线的倾斜角为，
当，斜率，当，斜率，故C错误；
对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误.
故选：BCD.
12．（多选）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、直线斜率的定义
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误；
对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误；
对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确；
对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误.
故选：ABD.
13．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AD
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角
【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可.
【详解】由图可知，，则.
故选：AD.
14．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________.
【答案】
【难度】0.92
【知识点】直线斜率的定义
【分析】根据直线的方向向量写出直线斜率.
【详解】是直线的一个方向向量，则的斜率为
15．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____.
【答案】
【难度】0.95
【知识点】直线的倾斜角
【详解】过、两点的直线的倾斜角为，
说明的横坐标相同，且纵坐标不同，即.
16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______．
【答案】
【难度】0.75
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、用和、差角的正切公式化简、求值
【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线，
所以直线的倾斜角为，则其斜率为.
17．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ．
【答案】
【难度】0.75
【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围
【详解】点，点，可得，，
如下图示，所以.
18．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点．
(1)当直线MN的斜率不存在时，求的值；
(2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围．
【难度】0.65
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线斜率的定义
【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数；
（2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围.
【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等，
即，解得；
（2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，
即，解得；
直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，
即，解得或；
综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；
直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．.
19．（25-26高二上·山东威海期末）已知实数x，y满足，且．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
【难度】0.65
【知识点】求分式型目标函数的最值、直线与线段的相交关系求斜率范围
【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围；
（2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围.
【详解】（1）
如图，由于点满足关系式，且，
所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，．
由于的几何意义是直线的斜率，且，，
所以的取值范围是．
（2）因为的几何意义是过，两点的直线的斜率，
由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，．
则，，所以．
所以的取值范围为．
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专题01 直线倾斜角与斜率问题
常考题型·精准突破
题型1 直线的倾斜角
题型2 直线的斜率
题型3 斜率和倾斜角的关系
题型4 由斜率求参
题型5 三点共线问题
题型6 斜率的范围问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直线的倾斜角
(
解题贴士
：
直线倾斜角的求法及注意点
（
1
）
直线的倾斜角主要根据定义来求
，
其关键是根据题意画出图形
，
找准倾斜角
，
有时要根据情况分类讨论
；（
2
）
注意倾斜角的范围
.
)
【例1】（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　　）
A.30°　　　B.60° C.120°　　　D.150°
【变式1】下列命题中正确的是（　　）
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.当倾斜角为0°时，直线平行于x轴
D.在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以确定这条直线
【变式2】若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜角为（　　）
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
◆题型2 直线的斜率
(
解题贴士
：
求直线斜率的
3
种方法
（
1
）
已知直线的倾斜角为
α
，
且
α
≠
90
°，
则
k
＝
tan
α
；
（
2
）
已知直线上两点坐标
，
则
k
＝
（
x
1
≠
x
2
）；
（
3
）
已知直线的一个方向向量为
（
x
，
y
），
则
k
＝
（
x
≠
0
）.
)
【例2】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【变式1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）直线的斜率为（ ）
A．不存在 B．0 C．3 D．1
【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知直线与轴的夹角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，直线的倾斜角，直线，直线的斜率_________.
【变式4】（25-26高二上·福建龙岩·期中）直线经过两点、，则的斜率为_________.
【变式5】（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率为________.
◆题型3 斜率和倾斜角的关系
【例3】（25-26高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ）

A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·江西·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线的倾斜角都存在
B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限
C．两条平行的直线一定有相等的斜率
D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角
【变式2】（25-26高二上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式4】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
◆题型4 由斜率求参
(
解题贴士
：
)
【例4】（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·河南郑州·期末）若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式5】（25-26高二上·山东·阶段检测）已知点，直线的斜率为，则（ ）
A．-5 B．-2 C．2 D．5
【变式6】（25-26高二·全国·暑假作业）若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
◆题型5 三点共线问题
(
解题贴士
：
用斜率公式解决三点共线的方法
)
【例5】（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2026高三·全国·专题练习）若三点在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式4】（25-26高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________.
【变式6】（25-26高一上·陕西西安·期末）若点、、在同一直线上，则实数k的值为__________．
◆题型6 斜率的范围问题
(
解题贴士
：
1
.
涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解
.
2
.
代数式
的几何意义是过
P
（
x
，
y
）
与
P'
（
a
，
b
）
两点的直线的斜率
.
)
【例6】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知点，．若直线：与线段相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2】（25-26高二上·福建福州·期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________．
【变式4】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高一下·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一下·上海嘉定·期末）直线的倾斜角为（ ）．
A．0° B．75° C．90° D．不存在
3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高三·全国·一轮复习）过，两点的直线的一个方向向量为，则（　　）
A． B．1
C．5 D．3
6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（25-26高二上·江西九江·开学考试）若，，，三点共线，则（ ）
A．2 B．3 C．9 D．
9．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
10．（25-26高二上·四川广安·期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）下列叙述错误的是（ ）
A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行
12．（多选）（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为
13．（多选）（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ）

A． B．
C． D．
14．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知是直线的一个方向向量，则的斜率为_____________.
15．（25-26高二下·上海·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么_____.
16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______．
17．（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ．
18．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点．
(1)当直线MN的斜率不存在时，求的值；
(2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围．
19．（25-26高二上·山东威海期末）已知实数x，y满足，且．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
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