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专题02 直线方程五种形式
常考题型·精准突破
题型1 直线的点斜式方程
题型2 直线的斜截式方程
题型3 直线的两点式方程
题型4 直线的截距式方程
题型5 直线的一般式方程
题型6 直线过定点问题
题型7 两条直线平行的判定
题型8 两条直线垂直的判定
题型9 由直线平行求参
题型10 由直线垂直求参
题型11 由平行、垂直求直线方程
题型12 直线方程的综合应用
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直线的点斜式方程
(
解题贴士
：
求直线的点斜式方程的方法步骤
（
1
）
求直线的点斜式方程的步骤
：
定点
（
x
0
，
y
0
）
→
定斜率
k
→
写出方程
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
）；
（
2
）
点斜式方程
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
）
可表示过点
P
（
x
0
，
y
0
）（
除
x
＝
x
0
）
的所有直线
.
)
【例1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角
【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出.
【详解】直线的斜率为，
又直线过点，，即.故选：C.
【变式1】（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据直线的方向向量求直线方程
【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.
【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，故直线的倾斜角为，
故直线的斜率为，
又在直线上，故直线过点，
即直线的方程为，化简得.
【变式3】（25-26高二下·安徽·阶段检测）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，
故选：A．
【变式4】（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】求出直线的方程，再逐项判断即可.
【详解】依题意，直线的方程为，即，
对于A，当时，，A不是；
对于B，当时，，B不是；
对于C，当时，，C是；
对于D，当时，，D不是.故选C
【变式5】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】根据点斜式求得直线的方程.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的方程为，即.
◆题型2 直线的斜截式方程
(
解题贴士
：
直线的斜截式方程的求解策略
（
1
）
求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在
y
轴上的截距
，
代入方程即可
；
（
2
）
当斜率和截距未知时
，
可结合已知条件
，
先求出斜率和截距
，
再写出直线的斜截式方程
.
)
【例2】（25-26高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析
【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线过点，所以直线的方程为.故选：D
【变式1】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】先求得直线的方程为，再验证.
【详解】因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的方程为，当时，.故选：D.
【变式2】（25-26高二上·天津·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析
【分析】由倾斜角可得直线的斜率，根据点斜式方程求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：.
【变式3】（25-26高二上·陕西安康·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】由点斜式直接写出直线方程.
【详解】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即．故选：A．
◆题型3 直线的两点式方程
(
解题贴士
：
利用两点式求直线方程的策略
（
1
）
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件
，
若满足即可考虑用两点式求方程
；
（
2
）
在斜率存在的情况下
，
也可以先应用斜率公式求出斜率
，
再用点斜式写方程
.
)
【例3】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】利用直线的两点式方程可得答案.
【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为.故选：D.
【变式1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求.
【详解】根据直线方程的两点式公式可得：，
化简可得： .把代入，得：，即.
所以直线在轴上的截距为.故选：D
【变式2】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（ ）
A．直线经过点 B．直线的斜截式为
C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】点斜式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C.
【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误，
将两点式化为斜截式：，故B错误，
直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C.
【变式3】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．故选：D．
◆题型4 直线的截距式方程
(
解题贴士
：
应用截距式方程的注意事项
（
1
）
如果问题中涉及直线与坐标轴相交
，
则可考虑选用截距式方程
，
用待定系数法确定其系数即可
；
（
2
）
选用截距式方程时
，
必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直
；
（
3
）
要注意截距式方程的逆向应用
.
)
【例4】（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】令即可求解.
【详解】由截距的概念，令，可得，即，
故直线在轴上的截距为，故选：A
【变式1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解.
【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，
所以，设直线的方程为，可得，解得，
所以，即.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】利用截距的概念进行求解即可.
【详解】令，解得，即直线在轴上的截距为.故选：A.
【变式3】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】讨论直线截距是否为0，应用待定系数法或直接法求直线.
【详解】若所求截距不为，设直线为，则，故所求直线为，
若所求直线过原点和，所以直线方程为，故选C
【变式4】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果.
【详解】将直线方程化为截距式方程可得，
所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
因此直线在坐标轴上的截距之和为.故选：D.
【变式5】（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解
【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3，所以直线l过一、三、四象限．故选：D.
◆题型5 直线的一般式方程
(
解题贴士
：
1
.
由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程
（
化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了
）.
2
.
反过来
，
也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程
，
注意斜截式、截距式方程的适用条件
.
)
【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线被两坐标轴截得的线段长为，则实数的值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，然后求解即可.
【详解】令，得；令，得.
依题意得，所以.故选：B
【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出．
【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即；
当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为，
将代入可得，此时直线方程为．
综上，直线的方程为或．故选：C.
【变式2】（25-26高二上·山东滨州·期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.9
【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角为.
【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】令求出的值，即可判断.
【详解】对于直线，令，则，解得，
所以直线在轴上的截距是.故选：D
【变式4】（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线过点
C．直线的一个方向向量为
D．直线的斜率为
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】求直线的方向向量（平面中）、直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【分析】根据给定的直线方程，求出斜率及倾斜角判断AD；验证判断B；求出方向向量判断C.
【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角为，A错误，正确；
对于B，，直线不过点，B错误；
对于C，直线的一个方向向量为，C错误.故选：
【变式5】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线经过点，倾斜角为，则（ ）
A．的一般式方程为 B．的斜截式方程为
C．的点斜式方程为 D．的截距式方程为
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】先根据倾斜角求出直线斜率，从而利用点斜式方程求出直线方程，再利用直线方程互化判断其斜截式方程、一般式方程、截距式方程即可.
【详解】因为倾斜角为，所以斜率.
因为经过点，所以的点斜式方程为，一般式方程为，
斜截式方程为，截距式方程为，故选B
【变式6】（2026·江西·模拟预测）直线的倾斜角为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
而，所以.
【变式7】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知直线的倾斜角为，则实数m的值为______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的一般式方程及辨析、已知斜率求参数
【分析】结合特殊角的正切值，利用斜率的定义列方程求得m的值.
【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.
◆题型6 直线过定点问题
(
解题贴士
：
由含参一般式求参数的值
（
范围
）
的策略
（
1
）
要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件
；
（
2
）
已知直线过
（
不过
）
某个象限
，
求参数值
（
范围
）
时
，
常用直线的斜截式方程进行求解
，
但要注意斜率为
0
或不存在的情况
.
)
【例6】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可.
【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立，
所以点的坐标.故选：A
【变式1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】由题意列方程组计算即可求解.
【详解】由题意，令，解得，
所以直线必经过的点是.
故选：C
【变式2】（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限
C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题
【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D.
【详解】对于A：因为直线：，即，
令，解得，所以直线过定点，故A错误；
对于B：当时直线：，即，
所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确；
对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误；
对于D：若直线在坐标轴上的截距相等，
若截距均为，则，解得；
若截距均不为，显然，对于，令可得，
令，则，所以，解得（舍去）或；
综上可得或，故D错误.
故选：B
【变式3】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）直线，恒过定点，则的值为（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得.
【详解】由整理得：，
由，解得，
即直线恒过点，故，所以.故选：B
【变式4】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题.
【详解】直线的方程可变形为，
由题意可知，解得.故直线恒过定点.
【变式5】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为__________.
【答案】.
【难度】0.94
【知识点】直线过定点问题
【分析】利用参数提取后，再令两个式子同时为0，可求解定点坐标.
【详解】由直线，可得，
则，
所以直线总是经过定点，
◆题型7 两条直线平行的判定
(
解题贴士
：
判断两条不重合直线是否平行的步骤
)
【例7】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】根据直线的斜率来进行判断.
【详解】，
由图可知不共线，所以．
故选：B

【变式1】（25-26高一上·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】由两直线的位置关系进行判断．
【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5，
故两直线平行，
故选：A
【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行，故选B．
【变式3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行
【分析】由两直线的斜率关系判断.
【详解】由题意，
所以，且经过不在的点，所以.
【变式4】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行
【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系.
【详解】由直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为：，
又直线经过，
所以直线的斜率为：，
所以，所以直线与直线平行或重合，故选C.
◆题型8 两条直线垂直的判定
(
解题贴士
：
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下
，
只需看它们的斜率之积是否等于
－
1
即可
，
但应注意有一条直线与
x
轴垂直
，
另一条直线与
x
轴平行或重合时
，
这两条直线也垂直
.
)
【例8】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据两直线的斜率关系判断即可.
【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率，
又直线的斜率，且，
所以与相交但不垂直.
故选：D
【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据判断.
【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直.
故选：D
【变式2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直
【分析】利用两直线的位置关系求解.
【详解】因为直线经过，两点，
所以直线的斜率为，而，所以，所以与垂直，故选：C
【变式3】（25-26高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ,故 因此该三角形为直角三角形.故选：B.
【变式4】（25-26高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】由两直线的斜率关系即可判断.
【详解】直线和直线的斜率分别为，
因为，所以．故选：A．
【变式5】（25-26高二上·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断.
【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根，
利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直.故选：C
◆题型9 由直线平行求参
(
解题贴士
：
平行问题
（
1
）
如果直线的斜率存在
，
可将一般式化成斜截式进行判断
；
（
2
）
如果一般式中
y
的系数含参数
，
需根据系数是否为
0
分类讨论
，
或利用
l
1
∥
l
2

A
1
B
2
－
A
2
B
1
＝
0
，
且
B
1
C
2
－
B
2
C
1
≠
0
（
或
A
1
C
2
－
A
2
C
1
≠
0
）
求解
.
)
【例9】（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（ ）
A．2 B．或2 C． D．或1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【详解】因为直线与直线平行，
根据两直线平行的充要条件可得，解得或，
当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意；
当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意.
所以
【变式1】（25-26高三上·山东聊城·期末）已知直线和直线，若，则（ ）
A．1或 B．1 C． D．不存在
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可.
【详解】因为，所以，解得
时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去.
时，两直线不重合，满足题意.
故选：C
【变式2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）“”是直线与直线平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数
【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】若直线与直线平行，
当时，两直线为和直线，平行，符合；
当时，两直线为和直线，
则，
综上，直线与直线平行的充要条件是.
所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件.
故选：A
【变式3】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．6或
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案.
【详解】若，则，解得或3，
当时，，两直线平行，
当时，，两直线重合，
则时，.故选：A.
◆题型10 由直线垂直求参
(
解题贴士
：
垂直问题
（
1
）
如果直线的斜率存在且不为
0
，
那么
l
1
⊥
l
2

k
1
k
2
＝－
1
；
（
2
）
l
1
⊥
l
2

A
1
A
2
＋
B
1
B
2
＝
0
.
)
【例10】（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】由于直线与垂直，故，解得．
【变式1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
【答案】C
【难度】0.82
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】已知直线：，：，若，
则有，
化简方程得：，解得或，C正确.
【变式2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】因为直线与垂直，
所以，即，解得．
【变式3】（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可.
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
由，得，故.故选：B.
【变式4】（25-26高二下·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】因为，
所以，解得.
◆题型11 由平行、垂直求直线方程
(
解题贴士
：
与已知直线平行
（
垂直
）
的直线方程的求法
（
1
）
由已知直线求出斜率
，
再利用平行
（
垂直
）
的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率
，
由点斜式写出方程
；
（
2
）
可利用待定系数法
：
与直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
（
A
，
B
不同时为
0
）
平行的直线方程可设为
Ax
＋
By
＋
C
1
＝
0
（
C
1
≠
C
）；
与直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
（
A
，
B
不同时为
0
）
垂直的直线方程可设为
Bx
－
Ay
＋
C
2
＝
0
.
)
【例11】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析
【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可.
【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为，
又直线l过点，，即.故选：A.
【变式1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线的一般式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行
【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程.
【详解】与直线平行的直线方程可设为，且，
将代入直线可得.
所以过点且与直线平行的直线方程为，即，故选：A
【变式2】（25-26高二上·四川凉山·期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由一般式方程判断直线的平行
【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案.
【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除；
C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点，
所以C中直线不符合，D中直线符合要求.故选：D
【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、由两条直线垂直求方程
【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解.
【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入，
得，解得，即，故选：C.
【变式4】（25-26高二上·江西南昌·期末）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程
【分析】设所求直线方程为，代入求解即可.
【详解】设所求直线方程为，代入，得，解得，
所以所求直线方程为.
【变式5】（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程
【详解】直线的斜率为，设待求直线斜率为，则由题意，
得，解得.所以待求直线方程为，即.
【变式6】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为_____．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由两条直线平行求方程
【分析】先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程．
【详解】设过点与直线平行的直线方程为，
代入点坐标，得，解得，所求直线方程为．
◆题型12 直线方程的综合应用
(
解题贴士
：
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时
，
一般选择直线方程的截距式
，
若设直线在
x
轴
，
y
轴上的截距分别为
a
，
b
，
则直线与坐标轴所围成的三角形的面积
S
＝
｜
a
｜｜
b
｜，
周长
C
＝｜
a
｜＋｜
b
｜＋
.
)
【例12】（25-26高二上·福建福州·期末）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可.
【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
设直线的方程为，则，即，
直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即，
联立解得直线的方程为，即，
即这样的直线有且只有一条．
【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点
【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可.
【详解】因为关于y轴的对称点，
所以直线
因此入射光线l所在直线的方程为，
故选：C．
【变式2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．40
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解.
【详解】如图：
依题意设直线的方程为（，），则，且，，
所以，即，当且仅当，时，等号成立，
所以的面积，则面积的最小值为20.
故选：B
【变式3】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，如图所示，当的面积取最小值时，求直线的方程．
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析
【分析】设直线的截距式方程，代入点坐标，利用基本不等式研究的面积的最小值，根据等号成立的条件求得直线的方程.
【详解】设，，
则直线的方程为．
因为过点，所以．
因为，整理得，
所以，
当且仅当，即，时取等号．
此时直线的方程是，即.
【变式4】（25-26高二上·浙江温州·期末）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程：
(1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍；
(2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）．
【难度】0.67
【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程.
（2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程.
【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，，
从而所求直线方程为，即．
（2）设直线方程为，，，
代入，得，得，
当且仅当即时等号成立，从而，
此时直线方程为，即．
【变式5】（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线．
(1)讨论直线与直线的位置关系；
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【难度】0.64
【知识点】基本不等式求和的最小值、由斜率判断两条直线平行、直线截距式方程及辨析
【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可；
（2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）直线，即，
直线，即，
当时，直线即为，此时两直线重合；
当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交.
（2）直线：，
当时，直线：，显然不满足题意，所以，
令，得，令，得，即，．
依题意得，解得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，此时直线的方程为．
【变式6】（25-26高二上·山东淄博·期末）设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(3)若不经过第三象限，求实数的取值范围．
【难度】0.76
【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化
【分析】（1）根据直线过，列方程求得.
（2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程.
（3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，
所以，所以，即方程为．
（2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，
所以，所以，方程为；
当直线不过原点时，，由，得，
即方程为，
故所求的方程为或．
（3）将的方程化为，要使不经过第三象限，
当且仅当且，
解得，故所求的取值范围为．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（ ）
A．-11 B．-5 C．5 D．11
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可.
【详解】根据直线的截距式方程可知，直线在轴上的截距为5.故选：C.
2．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程
【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解.
【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点，
所以直线的方程是.故选：D
3．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】根据直线的截距式定义求解.
【详解】根据截距式方程得出过、两点的直线方程是 .故选：A.
4．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.88
【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析
【详解】直线可化为，斜率为.所求直线与已知直线平行，故斜率也为.
又所求直线经过点，由点斜式得，整理得，即.
5．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.88
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析
【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为，
直线：，可变形为，其斜率为，因为，所以，解得．
6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积.
【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为，
令，得，令，得，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为.故选：B
7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】提取得，从而得到方程组，解出即可.
【详解】，即，则，解得.
则过定点.故选：C.
8．（25-26高二上·福建漳州·期中）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题
【分析】先求出定点，再根据直线的垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程．
【详解】可变形为，
令，解得，该直线恒过定点．
直线的斜率为，
过点且与直线垂直的直线的斜率，
所求直线方程为：，即．故选：A．
9．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、已知直线垂直求参数、直线过定点问题
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，则有，．
故当且仅当时取等故选：C.
10．（多选）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线经过第一 二 四象限，则点在第三象限
B．直线过定点
C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题
【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可.
【详解】因为直线经过第一 二 四象限，
所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确；
由，所以直线过定点，B正确；
斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，C不正确；
过点且斜率为的直线的点斜式方程为，D正确，
故选：BD
11．（多选）（25-26高二上·福建福州·期中）对于直线，下列说法错误的是（ ）
A．的斜率一定存在 B．恒过定点
C．时，的倾斜角为 D．时，不经过第二象限
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线过定点问题
【分析】移项即可判断A；令即可判断B；根据斜率为即可判断C；直接代入根据图象特点即可判断D.
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
当时，，所以直线过点，B错误；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线，即，斜率是2，为正，
与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、二、三象限，D错误.
故选：BCD．
12．（多选）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．对于任意的，直线的斜率都存在
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【难度】0.94
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题
【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等.
【详解】对于A，由题意得，即，
若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确；
对于C，因为，所以有，解得或，故C错误；
对于D，因为，所以，解得，故D错误.
故选：AB.
13．（25-26高二上·山东烟台·期末）直线在轴上的截距为_____________.
【答案】
【难度】0.95
【知识点】直线的斜截式方程及辨析
【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为.
14．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过两点的直线方程为______________，若直线的一个方向向量为，则________．
【答案】 2
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求直线的方向向量（平面中）
【分析】根据两点的坐标，结合截距式方程即可求解直线方程，再根据方向向量即可求解．
【详解】经过两点的直线方程为，即，
所以直线的一个方向向量为，故．
15．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与直线平行，则的值为_______________________.
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得.
【详解】由题可知，，解得.
当时，直线的方程为：，即，与直线平行.
故答案为：2.
16．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）求满足下列条件的直线方程；
(1)过点，且与直线平行的直线方程；
(2)过点，且与直线垂直的直线方程.
【难度】0.75
【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程
【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解；
（2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，
由于过点，代入，
解得，可得，
所以所求的直线方程为；
（2）设与直线垂直的直线方程为，
由于过点，代入，解得，
可得，
所以所求的直线方程为.
17．（25-26高二上·江苏连云港·期末）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
(1)的周长为12；
(2)的面积为6．
【难度】0.62
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程.
（2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程.
【详解】（1）存在．设直线方程为，
由题意可知，．①
又因为直线过点，
所以，②
由①②可得，
解得，或
所以所求直线的方程为或，
即或．
（2）存在．设直线方程为，
由题意可知
解得或
所以所求直线的方程为或，
即或．
18．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是.
(1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）；
(2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标.
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析
【分析】（1）根据斜率和经过的点坐标求出直线的方程，进而可求出坐标；然后根据垂直关系求出直线的方程，进而可求出坐标.
（2）先列出三角形面积的表达式，然后根据基本不等式的性质求出最小值即可.
【详解】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是.
所以直线的方程为，即.
令，则，所以.
因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为.
令，则，所以.
（2）由（1）知，，
所以直角三角形的面积为.
由图可知，所以根据基本不等式的性质得，
当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为，
此时点的坐标为.
19．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线均过点．
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程．
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程；
（2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解；
（3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程.
【详解】（1）解：由点和，可得，即
因为，可得，所以直线的方程为，即.
（2）解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数，
当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为，
将点代入直线方程，可得，解得，
所以直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：设直线的方程为，则满足，
由，即，解得，
当且仅当时，即时，取等号，
则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为.
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专题02 直线方程五种形式
常考题型·精准突破
题型1 直线的点斜式方程
题型2 直线的斜截式方程
题型3 直线的两点式方程
题型4 直线的截距式方程
题型5 直线的一般式方程
题型6 直线过定点问题
题型7 两条直线平行的判定
题型8 两条直线垂直的判定
题型9 由直线平行求参
题型10 由直线垂直求参
题型11 由平行、垂直求直线方程
题型12 直线方程的综合应用
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 直线的点斜式方程
(
解题贴士
：
求直线的点斜式方程的方法步骤
（
1
）
求直线的点斜式方程的步骤
：
定点
（
x
0
，
y
0
）
→
定斜率
k
→
写出方程
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
）；
（
2
）
点斜式方程
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
）
可表示过点
P
（
x
0
，
y
0
）（
除
x
＝
x
0
）
的所有直线
.
)
【例1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角
【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出.
【详解】直线的斜率为，
又直线过点，，即.故选：C.
【变式1】（25-26高二下·陕西安康·期中）过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】根据直线的方向向量求直线方程
【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.
【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，故直线的倾斜角为，
故直线的斜率为，
又在直线上，故直线过点，
即直线的方程为，化简得.
【变式3】（25-26高二下·安徽·阶段检测）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即，
故选：A．
【变式4】（25-26高二上·广东汕头·期中）若直线经过点，且斜率为3，则直线一定过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】求出直线的方程，再逐项判断即可.
【详解】依题意，直线的方程为，即，
对于A，当时，，A不是；
对于B，当时，，B不是；
对于C，当时，，C是；
对于D，当时，，D不是.故选C
【变式5】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】根据点斜式求得直线的方程.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的方程为，即.
◆题型2 直线的斜截式方程
(
解题贴士
：
直线的斜截式方程的求解策略
（
1
）
求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在
y
轴上的截距
，
代入方程即可
；
（
2
）
当斜率和截距未知时
，
可结合已知条件
，
先求出斜率和截距
，
再写出直线的斜截式方程
.
)
【例2】（25-26高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析
【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线过点，所以直线的方程为.故选：D
【变式1】（25-26高二上·贵州黔东南·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】先求得直线的方程为，再验证.
【详解】因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的方程为，当时，.故选：D.
【变式2】（25-26高二上·天津·期中）已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析
【分析】由倾斜角可得直线的斜率，根据点斜式方程求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.故选：.
【变式3】（25-26高二上·陕西安康·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】直线的点斜式方程及辨析
【分析】由点斜式直接写出直线方程.
【详解】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即．故选：A．
◆题型3 直线的两点式方程
(
解题贴士
：
利用两点式求直线方程的策略
（
1
）
首先要判断是否满足两点式方程的适用条件
，
若满足即可考虑用两点式求方程
；
（
2
）
在斜率存在的情况下
，
也可以先应用斜率公式求出斜率
，
再用点斜式写方程
.
)
【例3】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】利用直线的两点式方程可得答案.
【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为.故选：D.
【变式1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求.
【详解】根据直线方程的两点式公式可得：，
化简可得： .把代入，得：，即.
所以直线在轴上的截距为.故选：D
【变式2】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（ ）
A．直线经过点 B．直线的斜截式为
C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】点斜式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C.
【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误，
将两点式化为斜截式：，故B错误，
直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确.故选：C.
【变式3】（25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线两点式方程及辨析
【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，
将各个选项中的坐标代入直线方程，
可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．故选：D．
◆题型4 直线的截距式方程
(
解题贴士
：
应用截距式方程的注意事项
（
1
）
如果问题中涉及直线与坐标轴相交
，
则可考虑选用截距式方程
，
用待定系数法确定其系数即可
；
（
2
）
选用截距式方程时
，
必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直
；
（
3
）
要注意截距式方程的逆向应用
.
)
【例4】（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】令即可求解.
【详解】由截距的概念，令，可得，即，
故直线在轴上的截距为，故选：A
【变式1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解.
【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，
所以，设直线的方程为，可得，解得，
所以，即.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系xOy中，直线在y轴上的截距为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】利用截距的概念进行求解即可.
【详解】令，解得，即直线在轴上的截距为.故选：A.
【变式3】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】讨论直线截距是否为0，应用待定系数法或直接法求直线.
【详解】若所求截距不为，设直线为，则，故所求直线为，
若所求直线过原点和，所以直线方程为，故选C
【变式4】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）直线在坐标轴上的截距之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果.
【详解】将直线方程化为截距式方程可得，
所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
因此直线在坐标轴上的截距之和为.故选：D.
【变式5】（25-26高二上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解
【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3，所以直线l过一、三、四象限．故选：D.
◆题型5 直线的一般式方程
(
解题贴士
：
1
.
由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程
（
化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了
）.
2
.
反过来
，
也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程
，
注意斜截式、截距式方程的适用条件
.
)
【例5】（25-26高二上·全国·课后作业）若直线被两坐标轴截得的线段长为，则实数的值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，然后求解即可.
【详解】令，得；令，得.
依题意得，所以.故选：B
【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】当直线经过原点时，直线方程为；当直线不经过原点时，设直线方程为，把点的坐标代入即可得出．
【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为，即；
当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为，
将代入可得，此时直线方程为．
综上，直线的方程为或．故选：C.
【变式2】（25-26高二上·山东滨州·期末）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.9
【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【详解】直线的斜率，所以直线的倾斜角为.
【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】令求出的值，即可判断.
【详解】对于直线，令，则，解得，
所以直线在轴上的截距是.故选：D
【变式4】（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线过点
C．直线的一个方向向量为
D．直线的斜率为
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】求直线的方向向量（平面中）、直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【分析】根据给定的直线方程，求出斜率及倾斜角判断AD；验证判断B；求出方向向量判断C.
【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角为，A错误，正确；
对于B，，直线不过点，B错误；
对于C，直线的一个方向向量为，C错误.故选：
【变式5】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线经过点，倾斜角为，则（ ）
A．的一般式方程为 B．的斜截式方程为
C．的点斜式方程为 D．的截距式方程为
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】先根据倾斜角求出直线斜率，从而利用点斜式方程求出直线方程，再利用直线方程互化判断其斜截式方程、一般式方程、截距式方程即可.
【详解】因为倾斜角为，所以斜率.
因为经过点，所以的点斜式方程为，一般式方程为，
斜截式方程为，截距式方程为，故选B
【变式6】（2026·江西·模拟预测）直线的倾斜角为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线斜率的定义、直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析
【分析】根据给定方程，求出该直线斜率，结合诱导公式求出倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
而，所以.
【变式7】（25-26高二上·吉林长春·期末）已知直线的倾斜角为，则实数m的值为______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的一般式方程及辨析、已知斜率求参数
【分析】结合特殊角的正切值，利用斜率的定义列方程求得m的值.
【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得.
◆题型6 直线过定点问题
(
解题贴士
：
由含参一般式求参数的值
（
范围
）
的策略
（
1
）
要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件
；
（
2
）
已知直线过
（
不过
）
某个象限
，
求参数值
（
范围
）
时
，
常用直线的斜截式方程进行求解
，
但要注意斜率为
0
或不存在的情况
.
)
【例6】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可.
【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立，
所以点的坐标.故选：A
【变式1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】由题意列方程组计算即可求解.
【详解】由题意，令，解得，
所以直线必经过的点是.
故选：C
【变式2】（25-26高二上·北京西城·期中）已知直线：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线不恒过定点 B．当时，直线不过第三象限
C．直线的斜率可能不存在 D．若直线在坐标轴上的截距相等，则
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题
【分析】求出直线过定点坐标，即可判断A；求出直线所过象限，即可判断B；将直线方程化为斜截式，即可判断C；分截距均为、截距均不为两种情况讨论，求出参数的值，即可判断D.
【详解】对于A：因为直线：，即，
令，解得，所以直线过定点，故A错误；
对于B：当时直线：，即，
所以直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故B正确；
对于C：直线：，即，所以直线的斜率为，即直线的斜率一定存在，故C错误；
对于D：若直线在坐标轴上的截距相等，
若截距均为，则，解得；
若截距均不为，显然，对于，令可得，
令，则，所以，解得（舍去）或；
综上可得或，故D错误.
故选：B
【变式3】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）直线，恒过定点，则的值为（ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．3
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得.
【详解】由整理得：，
由，解得，
即直线恒过点，故，所以.故选：B
【变式4】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题.
【详解】直线的方程可变形为，
由题意可知，解得.故直线恒过定点.
【变式5】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为__________.
【答案】.
【难度】0.94
【知识点】直线过定点问题
【分析】利用参数提取后，再令两个式子同时为0，可求解定点坐标.
【详解】由直线，可得，
则，
所以直线总是经过定点，
◆题型7 两条直线平行的判定
(
解题贴士
：
判断两条不重合直线是否平行的步骤
)
【例7】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】根据直线的斜率来进行判断.
【详解】，
由图可知不共线，所以．
故选：B

【变式1】（25-26高一上·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】由两直线的位置关系进行判断．
【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5，
故两直线平行，
故选：A
【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行
【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为，
又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行，故选B．
【变式3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行
【分析】由两直线的斜率关系判断.
【详解】由题意，
所以，且经过不在的点，所以.
【变式4】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行
【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系.
【详解】由直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为：，
又直线经过，
所以直线的斜率为：，
所以，所以直线与直线平行或重合，故选C.
◆题型8 两条直线垂直的判定
(
解题贴士
：
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下
，
只需看它们的斜率之积是否等于
－
1
即可
，
但应注意有一条直线与
x
轴垂直
，
另一条直线与
x
轴平行或重合时
，
这两条直线也垂直
.
)
【例8】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（ ）
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据两直线的斜率关系判断即可.
【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率，
又直线的斜率，且，
所以与相交但不垂直.
故选：D
【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】根据判断.
【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直.
故选：D
【变式2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直
【分析】利用两直线的位置关系求解.
【详解】因为直线经过，两点，
所以直线的斜率为，而，所以，所以与垂直，故选：C
【变式3】（25-26高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果.
【详解】因为 ，
所以 ,故 因此该三角形为直角三角形.故选：B.
【变式4】（25-26高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行
C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】由两直线的斜率关系即可判断.
【详解】直线和直线的斜率分别为，
因为，所以．故选：A．
【变式5】（25-26高二上·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线垂直
【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断.
【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根，
利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直.故选：C
◆题型9 由直线平行求参
(
解题贴士
：
平行问题
（
1
）
如果直线的斜率存在
，
可将一般式化成斜截式进行判断
；
（
2
）
如果一般式中
y
的系数含参数
，
需根据系数是否为
0
分类讨论
，
或利用
l
1
∥
l
2

A
1
B
2
－
A
2
B
1
＝
0
，
且
B
1
C
2
－
B
2
C
1
≠
0
（
或
A
1
C
2
－
A
2
C
1
≠
0
）
求解
.
)
【例9】（2026·山西临汾·一模）已知直线与直线平行，则（ ）
A．2 B．或2 C． D．或1
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【详解】因为直线与直线平行，
根据两直线平行的充要条件可得，解得或，
当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意；
当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意.
所以
【变式1】（25-26高三上·山东聊城·期末）已知直线和直线，若，则（ ）
A．1或 B．1 C． D．不存在
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据可列出关于的方程，求解再舍去不符合题意的项即可.
【详解】因为，所以，解得
时，两直线方程均为，两直线重合，故舍去.
时，两直线不重合，满足题意.
故选：C
【变式2】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）“”是直线与直线平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数
【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】若直线与直线平行，
当时，两直线为和直线，平行，符合；
当时，两直线为和直线，
则，
综上，直线与直线平行的充要条件是.
所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件.
故选：A
【变式3】（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知直线，若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．6或
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案.
【详解】若，则，解得或3，
当时，，两直线平行，
当时，，两直线重合，
则时，.故选：A.
◆题型10 由直线垂直求参
(
解题贴士
：
垂直问题
（
1
）
如果直线的斜率存在且不为
0
，
那么
l
1
⊥
l
2

k
1
k
2
＝－
1
；
（
2
）
l
1
⊥
l
2

A
1
A
2
＋
B
1
B
2
＝
0
.
)
【例10】（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】由于直线与垂直，故，解得．
【变式1】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或2
【答案】C
【难度】0.82
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】已知直线：，：，若，
则有，
化简方程得：，解得或，C正确.
【变式2】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】因为直线与垂直，
所以，即，解得．
【变式3】（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中））
【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可.
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
由，得，故.故选：B.
【变式4】（25-26高二下·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【详解】因为，
所以，解得.
◆题型11 由平行、垂直求直线方程
(
解题贴士
：
与已知直线平行
（
垂直
）
的直线方程的求法
（
1
）
由已知直线求出斜率
，
再利用平行
（
垂直
）
的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率
，
由点斜式写出方程
；
（
2
）
可利用待定系数法
：
与直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
（
A
，
B
不同时为
0
）
平行的直线方程可设为
Ax
＋
By
＋
C
1
＝
0
（
C
1
≠
C
）；
与直线
Ax
＋
By
＋
C
＝
0
（
A
，
B
不同时为
0
）
垂直的直线方程可设为
Bx
－
Ay
＋
C
2
＝
0
.
)
【例11】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析
【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可.
【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为，
又直线l过点，，即.故选：A.
【变式1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线的一般式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行
【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程.
【详解】与直线平行的直线方程可设为，且，
将代入直线可得.
所以过点且与直线平行的直线方程为，即，故选：A
【变式2】（25-26高二上·四川凉山·期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由一般式方程判断直线的平行
【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案.
【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除；
C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点，
所以C中直线不符合，D中直线符合要求.故选：D
【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、由两条直线垂直求方程
【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解.
【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入，
得，解得，即，故选：C.
【变式4】（25-26高二上·江西南昌·期末）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程
【分析】设所求直线方程为，代入求解即可.
【详解】设所求直线方程为，代入，得，解得，
所以所求直线方程为.
【变式5】（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程
【详解】直线的斜率为，设待求直线斜率为，则由题意，
得，解得.所以待求直线方程为，即.
【变式6】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点与直线平行的直线方程为_____．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由两条直线平行求方程
【分析】先根据过定点的平行关系设所求直线方程，再代入点坐标解出变量，从而求出直线方程．
【详解】设过点与直线平行的直线方程为，
代入点坐标，得，解得，所求直线方程为．
◆题型12 直线方程的综合应用
(
解题贴士
：
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时
，
一般选择直线方程的截距式
，
若设直线在
x
轴
，
y
轴上的截距分别为
a
，
b
，
则直线与坐标轴所围成的三角形的面积
S
＝
｜
a
｜｜
b
｜，
周长
C
＝｜
a
｜＋｜
b
｜＋
.
)
【例12】（25-26高二上·福建福州·期末）过点作直线，使直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线一共有（ ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】设直线方程为，根据过点及直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，列出方程组求解即可.
【详解】假设存在过点的直线，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，
设直线的方程为，则，即，
直线与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积，即，
联立解得直线的方程为，即，
即这样的直线有且只有一条．
【变式1】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）入射光线l从出发，经y轴反射后，通过点，则入射光线l所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点
【分析】先求出点的对称点坐标，然后利用两点式直线方程求出结果即可.
【详解】因为关于y轴的对称点，
所以直线
因此入射光线l所在直线的方程为，
故选：C．
【变式2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．40
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解.
【详解】如图：
依题意设直线的方程为（，），则，且，，
所以，即，当且仅当，时，等号成立，
所以的面积，则面积的最小值为20.
故选：B
【变式3】（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，如图所示，当的面积取最小值时，求直线的方程．
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析
【分析】设直线的截距式方程，代入点坐标，利用基本不等式研究的面积的最小值，根据等号成立的条件求得直线的方程.
【详解】设，，
则直线的方程为．
因为过点，所以．
因为，整理得，
所以，
当且仅当，即，时取等号．
此时直线的方程是，即.
【变式4】（25-26高二上·浙江温州·期末）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程：
(1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍；
(2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）．
【难度】0.67
【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的倾斜角、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程.
（2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程.
【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，，
从而所求直线方程为，即．
（2）设直线方程为，，，
代入，得，得，
当且仅当即时等号成立，从而，
此时直线方程为，即．
【变式5】（25-26高一下·上海嘉定·期末）已知直线．
(1)讨论直线与直线的位置关系；
(2)若直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【难度】0.64
【知识点】基本不等式求和的最小值、由斜率判断两条直线平行、直线截距式方程及辨析
【分析】（1）先将两直线方程化为斜截式，再进行判断即可；
（2）由题设易得，，，进而表示出，再根据基本不等式求解即可.
【详解】（1）直线，即，
直线，即，
当时，直线即为，此时两直线重合；
当时，直线与直线斜率不相等，即两直线相交.
（2）直线：，
当时，直线：，显然不满足题意，所以，
令，得，令，得，即，．
依题意得，解得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，此时直线的方程为．
【变式6】（25-26高二上·山东淄博·期末）设直线的方程为．
(1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
(3)若不经过第三象限，求实数的取值范围．
【难度】0.76
【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化
【分析】（1）根据直线过，列方程求得.
（2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程.
（3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，
所以，所以，即方程为．
（2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零，
所以，所以，方程为；
当直线不过原点时，，由，得，
即方程为，
故所求的方程为或．
（3）将的方程化为，要使不经过第三象限，
当且仅当且，
解得，故所求的取值范围为．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（ ）
A．-11 B．-5 C．5 D．11
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可.
【详解】根据直线的截距式方程可知，直线在轴上的截距为5.故选：C.
2．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、根据直线的方向向量求直线方程
【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解.
【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点，
所以直线的方程是.故选：D
3．（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析
【分析】根据直线的截距式定义求解.
【详解】根据截距式方程得出过、两点的直线方程是 .故选：A.
4．（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.88
【知识点】已知直线平行求参数、直线的点斜式方程及辨析
【详解】直线可化为，斜率为.所求直线与已知直线平行，故斜率也为.
又所求直线经过点，由点斜式得，整理得，即.
5．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.88
【知识点】已知直线垂直求参数、直线的斜截式方程及辨析
【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为，
直线：，可变形为，其斜率为，因为，所以，解得．
6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积.
【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为，
令，得，令，得，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为.故选：B
7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）不论取何值，直线都过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】提取得，从而得到方程组，解出即可.
【详解】，即，则，解得.
则过定点.故选：C.
8．（25-26高二上·福建漳州·期中）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由两条直线垂直求方程、直线过定点问题
【分析】先求出定点，再根据直线的垂直关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程．
【详解】可变形为，
令，解得，该直线恒过定点．
直线的斜率为，
过点且与直线垂直的直线的斜率，
所求直线方程为：，即．故选：A．
9．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中），过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、已知直线垂直求参数、直线过定点问题
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，
又是两条直线的交点，则有，．
故当且仅当时取等故选：C.
10．（多选）（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若直线经过第一 二 四象限，则点在第三象限
B．直线过定点
C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题
【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可.
【详解】因为直线经过第一 二 四象限，
所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确；
由，所以直线过定点，B正确；
斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，C不正确；
过点且斜率为的直线的点斜式方程为，D正确，
故选：BD
11．（多选）（25-26高二上·福建福州·期中）对于直线，下列说法错误的是（ ）
A．的斜率一定存在 B．恒过定点
C．时，的倾斜角为 D．时，不经过第二象限
【答案】BCD
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线过定点问题
【分析】移项即可判断A；令即可判断B；根据斜率为即可判断C；直接代入根据图象特点即可判断D.
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
当时，，所以直线过点，B错误；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线，即，斜率是2，为正，
与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、二、三象限，D错误.
故选：BCD．
12．（多选）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．对于任意的，直线的斜率都存在
C．若，则
D．若，则
【答案】AB
【难度】0.94
【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线过定点问题
【分析】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等.
【详解】对于A，由题意得，即，
若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确；
对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确；
对于C，因为，所以有，解得或，故C错误；
对于D，因为，所以，解得，故D错误.
故选：AB.
13．（25-26高二上·山东烟台·期末）直线在轴上的截距为_____________.
【答案】
【难度】0.95
【知识点】直线的斜截式方程及辨析
【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为.
14．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过两点的直线方程为______________，若直线的一个方向向量为，则________．
【答案】 2
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求直线的方向向量（平面中）
【分析】根据两点的坐标，结合截距式方程即可求解直线方程，再根据方向向量即可求解．
【详解】经过两点的直线方程为，即，
所以直线的一个方向向量为，故．
15．（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与直线平行，则的值为_______________________.
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得.
【详解】由题可知，，解得.
当时，直线的方程为：，即，与直线平行.
故答案为：2.
16．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）求满足下列条件的直线方程；
(1)过点，且与直线平行的直线方程；
(2)过点，且与直线垂直的直线方程.
【难度】0.75
【知识点】由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程
【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解；
（2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，
由于过点，代入，
解得，可得，
所以所求的直线方程为；
（2）设与直线垂直的直线方程为，
由于过点，代入，解得，
可得，
所以所求的直线方程为.
17．（25-26高二上·江苏连云港·期末）直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，是否存在这样的直线分别满足下列条件：若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
(1)的周长为12；
(2)的面积为6．
【难度】0.62
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】（1）设所求直线方程为，根据点坐标以及的周长求得，进而求得直线方程.
（2）设所求直线方程为，根据点坐标以及的面积求得，进而求得直线方程.
【详解】（1）存在．设直线方程为，
由题意可知，．①
又因为直线过点，
所以，②
由①②可得，
解得，或
所以所求直线的方程为或，
即或．
（2）存在．设直线方程为，
由题意可知
解得或
所以所求直线的方程为或，
即或．
18．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是.
(1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）；
(2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标.
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析
【分析】（1）根据斜率和经过的点坐标求出直线的方程，进而可求出坐标；然后根据垂直关系求出直线的方程，进而可求出坐标.
（2）先列出三角形面积的表达式，然后根据基本不等式的性质求出最小值即可.
【详解】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是.
所以直线的方程为，即.
令，则，所以.
因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为.
令，则，所以.
（2）由（1）知，，
所以直角三角形的面积为.
由图可知，所以根据基本不等式的性质得，
当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为，
此时点的坐标为.
19．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线均过点．
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程．
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数、直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析
【分析】（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程；
（2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解；
（3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程.
【详解】（1）解：由点和，可得，即
因为，可得，所以直线的方程为，即.
（2）解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数，
当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为，
将点代入直线方程，可得，解得，
所以直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：设直线的方程为，则满足，
由，即，解得，
当且仅当时，即时，取等号，
则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为.
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