资源简介

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专题03 直线的交点坐标与距离公式
常考题型·精准突破
题型1 两条直线的交点坐标
题型2 两条直线位置关系的判断
题型3 过定点的直线问题
题型4 过定点的直线系问题
题型5 求两点间的距离
题型6 两点间距离公式的应用
题型7 求点到直线的距离
题型8 点到直线距离公式的简单应用
题型9 点到直线距离的最值问题
题型10 求两条平行直线间的距离
题型11 平行线间距离公式的简单应用
题型12 平行线间距离的最值问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 两条直线的交点坐标
(
解题贴士
：
1
.
求两直线的交点坐标可直接建立方程组
，
利用加减消元法或代入消元法求解即可
.
2
.
当多条直线相交于同一点时
，
先选两直线求交点
，
再利用此点必在其他直线上解决问题
.
)
【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线交点坐标
【分析】联立直线方程求解即可.
【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为．
【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为，
因为两条直线垂直，所以，解得，
联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为.
【变式2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线交点坐标
【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解.
【详解】由，解得，
即两条直线的交点坐标为，所以两条直线的交点所在的象限是第二象限，故选：B
【变式3】（25-26高二上·河北雄安·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线交点坐标
【分析】求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可.
【详解】联立方程,可得点的坐标为,所以直线的方程为.故选B.
◆题型2 两条直线位置关系的判断
(
解题贴士
：
判断两条直线位置关系的方法
（
1
）
判断两条直线的位置关系
，
关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况
；
（
2
）
利用方程系数的关系进行判断
；
（
3
）
利用直线的斜率进行判断
：①
当
k
1
≠
k
2
时
，
l
1
与
l
2
相交
.
当两直线斜率都不存在时
，
两直线平行或重合
.
当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时
，
两直线相交
；②
当
k
1
＝
k
2
时
，
不能判断两直线平行
，
还可能重合
.
)
【例2】（2026高二上·全国·专题练习）下列直线中，与直线相交的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】由斜率判断两条直线平行
【分析】本题考查的是两直线的位置关系，当两直线斜率不相等时，两直线相交，逐个判断选项即可.
【详解】直线的斜率为，只有D选项中的直线的斜率为1，不为所以两直线相交，故选：D．
【变式1】（25-26高二·全国·单元测试）下列与直线相交的直线的方程是
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化
【分析】把直线整理成，它的斜率与直线的斜率不相等，即可判断它们相交．
【详解】由得：，它与直线的斜率不相等，所以相交，故选D．
【变式2】（25-26高三下·上海杨浦·阶段检测）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】由方程组的解的个数判断直线位置关系、由直线交点的个数求参数
【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解.
【详解】若方程组有无穷多组解，
即两条直线重合,即,则
【变式3】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系．
(1)和；
(2)和；
(3)和．
【难度】0.94
【知识点】求直线交点坐标、由方程组的解的个数判断直线位置关系
【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标；
（2）通过方程组的解判断两直线的位置关系；
（3）通过方程组的解判断两直线的位置关系.
【详解】（1）解方程组，得
因此直线和相交，交点坐标为．
（2）方程组有无数个解，这表明直线和重合．
（3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故．
【变式4】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【难度】0.85
【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直、求直线交点坐标
【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解.
【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，．
因为，，，，所以．
（2）因为，，，所以与相交．
，解得，所以交点为.
（3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以．
（4），因为，，所以与重合．
◆题型3 过定点的直线问题
(
解题贴士
：
解直线恒过定点问题的策略
（
1
）
将方程化为点斜式
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
），
其中
k
为参数
，
求得直线恒过定点
（
x
0
，
y
0
）；
（
2
）
赋值法
：
因为参数可取任意实数
，
所以给参数任取两次值
，
得到关于
x
，
y
的二元一次方程组
，
解方程组可得
x
，
y
的值
，
即为直线过的定点
；
（
3
）
分离参数法
：
将方程变形
，
把
x
，
y
作为参数的系数
，
即有参数的放在一起
，
没参数的放在一起
，
因为此式子对任意参数的值都成立
，
所以需系数为零
，
解方程组可得
x
，
y
的值
，
即为直线过的定点
.
)
【例3】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可.
【详解】由，化简得，
所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得，
即直线的定点为.故答案为：B
【变式1】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】把直线方程整理为，根据题意，列出方程组，求解即可.
【详解】根据题意，把直线方程整理，得，
令，解得，所以当变动时，所有直线恒过定点.故选：C
【变式2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】分离参数，直线方程即，由求定点的坐标．
【详解】化简得，即，
由，所以直线过定点.故选：B
【变式3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线经过定点P，则P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】将直线化为，即可得定点坐标.
【详解】由，化为，
联立，可得，即原直线过定点，故选D
【变式4】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的斜截式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析、直线过定点问题
【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解.
【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为，
当时，直线的方程为，满足题意；
当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上，
且斜率，即，解得．
综上可得，的取值范围为．故选：C
法二：方程化为点斜式为，
所以不论为何值，直线都过定点，
作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示，
因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即，
所以的取值范围为．故选：C
【变式5】（25-26高二上·四川达州·阶段检测）无论为何值，直线过定点______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题
【分析】把直线方程整理成关于参数的恒等式，再由恒等式知识求解．
【详解】直线方程可化为，
由得，所以直线过定点，
◆题型4 过定点的直线系问题
(
解题贴士
：
过两条直线交点的直线方程的求法
（
1
）
常规解法
（
方程组法
）：
一般是先解方程组求出交点坐标
，
再结合其他条件写出直线方程
；
（
2
）
特殊解法
（
直线系法
）：
先设出过两条直线交点的直线系方程
，
再结合其他条件用待定系数法求出参数
，
最后确定直线方程
.
)
【例4】（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0
C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线交点系方程及应用
【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.
【详解】设过两直线交点的直线系方程为，
代入原点坐标，得，解得，
故所求直线方程为，即.故选：D.
【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线交点系方程及应用
【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果.
【详解】解：设直线方程为，
即
令，得，令，得.
由，得或.
所以直线方程为或.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·安徽铜陵·开学考试）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】两条直线的平行与垂直、求直线交点坐标、直线交点系方程及应用
【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程.
【详解】解得
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直线方程：4x－3y＋9＝0故选A
【变式3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线交点系方程及应用
【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程.
【详解】令所求直线为，
又直线过原点，则，
所以所求直线为.
【变式4】（25-26高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用、直线交点系方程及应用
【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程.
【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①．
又直线l的斜率为，则，解得．
将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．
【变式5】（25-26高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线交点系方程及应用
【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.
【详解】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为.
◆题型5 求两点间的距离
(
解题贴士
：
求两点间距离的方法
首先根据题目条件确定点的坐标
，
再代入到两点间的距离公式求值
，
代入时注意点的坐标的对应位置要准确
.
)
【例5】（25-26高二上·天津河西·期中）若是直线上的两点，那么间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】由两点间距离公式计算后结合点在直线进行化简．
【详解】由题意，
，故选：A．
【变式1】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（ ）
A．26 B．18 C． D．6
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】由两点间距离公式即可求解.
【详解】由两点间距离公式可得.故选：C
【变式2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解.
【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为，
则边上的中线长即为CD长度，
根据两点间距离公式可知：，故边上的中线长为.故选：C.
【变式3】（25-26高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】已知两点求斜率、求平面两点间的距离
【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得.
【详解】依题意，，解得，
所以，所以.故选：B
【变式4】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】由两点的距离公式，即可解出答案.
【详解】设，则，
，
【变式5】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，则的周长为______．
【答案】/
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】利用两点间距离公式求出各边长，求和即可得到结果.
【详解】，
，
，
的周长为.
◆题型6 两点间距离公式的应用
(
解题贴士
：
关于两点间距离公式的应用
（
1
）
已知距离求参数
，
一般通过两点间的距离公式建立方程求解
，
但是求出的值需要检验
；
（
2
）
判断三角形的形状
，
先根据两点间的距离公式分别求出三边的长
，
再结合三角形的性质判断
.
)
【例6】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．无解
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】利用两点间的距离公式求解即可.
【详解】因为点到点的距离为5，所以，
所以，所以，解得或.故选：C.
【变式1】（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知三点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案.
【详解】，则，解得.故选：D.
【变式2】（25-26高二·全国·课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或 D．1或
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离
【分析】根据平面上两点间的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】因为点与点之间的距离为5，
可得，
整理得，即，解得或．故选：C.
【变式3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知是直线上的两点，若，且，则_______.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、求平面两点间的距离
【分析】根据两点间的距离公式，求出纵坐标的差的绝对值，再根据斜率的坐标公式，分类讨论符合条件的情况，求出结果即可.
【详解】由题意可知，代入得，解得.
可得，，所以.
◆题型7 求点到直线的距离
(
解题贴士
：
点到直线距离的求法
（
1
）
求点到直线的距离时
，
只需把直线方程化为一般式方程
，
直接应用点到直线的距离公式求解即可
；
（
2
）
对于与坐标轴平行
（
或重合
）
的直线
x
＝
a
或
y
＝
b
，
求点到它们的距离时
，
既可以用点到直线的距离公式
，
也可以直接写成
d
＝｜
x
0
－
a
｜
或
d
＝｜
y
0
－
b
｜.
)
【例7】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求点到直线的距离
【分析】利用点到直线的距离公式计算即得.
【详解】点到直线的距离为.故选B.
【变式1】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离
【分析】根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由点到直线的距离公式可知，点到直线的距离为.故选：C.
【变式2】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知点，点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离
【详解】由，，
而，则，即，
在中，原点到直线的距离为.
【变式3】（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为_________；点到直线的距离为___________.
【答案】 2 /
【难度】0.85
【知识点】直线截距式方程及辨析、求点到直线的距离
【分析】令，可得直线在轴上的截距；利用点到直线的距离公式直接可得结论.
【详解】令，可得，
所以直线在轴上的截距为.
点到直线的距离为.
【变式4】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知的三个顶点、、，则的边上的高的长度为____________．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离
【分析】求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由题意可得，故直线的方程为，即，
故的边上的高即为点到直线的距离.
◆题型8 点到直线距离公式的简单应用
(
解题贴士
：
1
.
若已知点到直线的距离求参数时
，
只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可
.
2
.
根据距离求方程时先设出方程
，
然后由题意列方程求参数
，
也可以综合应用直线的有关知识
，
充分发挥几何图形的直观性
，
判断直线
l
的特征
，
然后由已知条件写出
l
的方程
.
)
【例8】（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离
【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解.
【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即.
所以 到直线 的距离，，
所以，代入得：.化简得：，解得 或 .故选：C
【变式1】（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．或2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数
【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案.
【详解】点到直线的距离为，
点到直线的距离为，由题意得，解得或.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知点到直线距离求参数
【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可．
【详解】设点的坐标为，
则点到直线的距离为，
解得或，所以点的坐标为或．故选：D．
【变式3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知点到直线距离求参数
【分析】由点到直线的距离公式，即得解
【详解】由点到直线的距离公式得，即，又，所以．故选：B.
【变式4】（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（ ）
A．1 B． C．或9 D．1或
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知点到直线距离求参数
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式计算即可.
【详解】由点到直线：的距离为，得，所以或.故选：D
【变式5】（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________.
【答案】或
【难度】0.85
【知识点】已知点到直线距离求参数
【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】因为点到直线的距离为1，所以，解得或.
◆题型9 点到直线距离的最值问题
(
解题贴士
：
1
.
点在直线上运动时
，
与直线外一点最小距离为垂线段长度
；
直线围绕点转动时
，
与直线外一点最大距离为两定点距离
.
2
.
注意画图
，
数形结合在此类问题求解中至关重要
.
)
【例9】（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、求点到直线的距离
【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得.
【详解】把直线的方程重新整理得：，
因为该等式对任意都成立，所以，解得，
即直线恒过定点.
当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化，
而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离，
此时.
【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．5 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离
【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离.
【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，
而点满足直线方程，
而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离，
因此， 的最小值为.故选：D
【变式2】（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离
【分析】由数形结合思想可得题目所求最小值即为点到直线的距离.
【详解】直线上的点到点的距离的最小值为点到直线的距离．故选：D
【变式3】（25-26高二上·山东·阶段检测）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A． B．4 C．5 D．25
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案.
【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ，
点 与点 的距离为：.
当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 .
此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 .
故选：C
【变式4】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】先求出直线恒过定点，则该定点到点A的距离即为点A到直线的距离的最大值.
【详解】由，得.
当时，，所以直线恒过定点.
所以.
由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值
即为点到定点的距离，等于.

【变式5】（25-26高二上·江西赣州·期中）点到直线的最大距离是______．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离.
【详解】由，得，对任意，
当时，恒成立，即直线恒过定点.
设点到直线的距离，满足：，
当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为.
，
因此点到直线的最大距离为.
◆题型10 求两条平行直线间的距离
(
解题贴士
：
求两条平行直线间的距离的方法
（
1
）
转化法
：
将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离
.
因为结果与点的选择无关
，
所以选点时
，
常选取一个特殊点
，
如直线与坐标轴的交点等
，
以便于运算
；
（
2
）
公式法
：
直接利用公式计算
，
但要注意两直线方程中
x
，
y
的系数对应相等
.
)
【例10】（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离
【详解】直线，直线，即，
故两直线平行，则根据平行直线的距离公式.
【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离
【详解】直线，即，
所以直线与直线之间的距离.
【变式2】（25-26高二上·吉林·阶段检测）若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先由两条直线平行求得直线的方程，再由平行线的距离公式可得.
【详解】由两条直线与平行，
所以，即，解得.
所以直线，即.
再由两条平行直线的距离公式得：.故选：D.
【变式3】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】
先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果．
【详解】因为直线与互相平行，所以，解得，
所以直线为，即，
所以它们之间的距离为．
【变式4】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与平行，且过点，则与间的距离为____________.
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、由两条直线平行求方程、求平行线间的距离
【分析】由直线列方程，可求，再结合直线过点列方程求，再结合平行直线距离公式求结论.
【详解】因为直线：与：平行，
所以，所以，，
因为过点，所以，所以，
所以直线的方程为，即，
所以与间的距离.
◆题型11 平行线间距离公式的简单应用
(
解题贴士
：
1
.
注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及绝对值方程的求解
.
2
.
巧用平行直线系设方程
，
利用平行直线之间的距离公式求参数
.
)
【例11】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（ ）
A．1 B．7 C．1或 D．或7
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】根据两平行线直线之间的距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以两直线间的距离为，解得或.故选：C
【变式1】（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先根据直线平行计算求参，再应用平行线间距离公式计算求解.
【详解】因为直线与直线平行，所以，且，所以，
所以直线与直线平行，
两直线间的距离为，且，所以，所以.故选：C.
【变式2】（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出．
【详解】因为直线互相平行，
所以，解得：，
所以直线，
由两直线之间的距离为，可得，解得：或，
当时，直线，满足条件；
当时，直线，满足条件；
故选：C
【变式3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则__________.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离
【分析】根据两条平行直线的距离公式计算.
【详解】由题意得，，得.
【变式4】（25-26高二上·山东济南·期中）若直线与之间的距离为，则实数__________.
【答案】4或/或4
【难度】0.94
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】根据两平行线之间的距离公式计算即可求解.
【详解】由题意知，直线，可变形为，
所以两平行线与之间的距离为，解得或4.
【变式5】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______．
【答案】或23
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式求解.
【详解】直线与平行，所以，解得，
所以直线的方程为，即为．
因为直线与间的距离是，即，
所以，解得或，
所以或．
故答案为：或23
◆题型12 平行线间距离的最值问题
(
解题贴士
：
求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法
（
1
）
重要结论
：
平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值
；
（
2
）
数形结合
：
解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题
，
通常利用图形帮助解决问题
.
)
【例12】（25-26高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离
【分析】先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得.
【详解】因直线与直线互相平行，、是两直线上的点，
故当且仅当为两直线的公垂线段时，取得最小值，
即的最小值为两直线之间的距离，为.故选：B.
【变式1】（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求平行线间的距离
【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离.
【详解】直线
，
，即的最小值为这两条平行线间的距离，
设为之间的距离，则.故选：C
【变式2】（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求平行线间的距离
【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解．
【详解】直线和直线满足，
两条直线互相平行，
又、分别为与上任一点，
的最小值就是平行线（即）与之间的距离，
.故选：C
【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求平行线间的距离
【分析】求出两直线所过定点，再分析出，之间的距离最大时的垂直情况，最后利用直线垂直于斜率的关系即可得到答案.
【详解】整理得，
令，解得，则直线过定点，
整理得，
令，解得，则直线过定点，
则当直线与均垂直时，，之间的距离最大，
而直线的斜率,
则直线的斜率为1，显然，则，解得.
故选：D.
【变式4】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求平行线间的距离
【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果.
【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方，
直线与直线平行，
，的最小值为.
故选：D.
【变式5】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求平行线间的距离
【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解.
【详解】因为两条直线和都经过点，
所以，，
所以，分别在直线上，
所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即，
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线交点坐标
【分析】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标.
【详解】由，得.
所以直线与直线的交点坐标为.故选：B.
2．（25-26高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】求点到直线的距离
【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解.
【详解】由题意有：点到直线的距离为.故选：D.
3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数
【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在，
则其斜率为，由题意得，，解得，
由解得，所以这两条直线的交点坐标为.
4．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用两点间的距离公式求函数最值、求二次函数的值域或最值
【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值.
【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得：
，
故当时，.故选：A
5．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）若直线与直线：之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离、已知点到直线距离求参数
【详解】∵直线与直线之间的距离为，
，，或（负值舍去）．．
6．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】线段的定比分点、求平面两点间的距离
【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长.
【详解】设边的中点，则.
所以，所以.
所以过点的中线长为.
7．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离
【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值.
【详解】表示点到点和到点距离的和.
设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：,
如图：

由对称的性质可得:,所以的最小值就是.
所以.
故选：C
8．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】已知直线垂直求参数、求平面两点间的距离
【分析】设，由题意列方程组即可求得.
【详解】设，
由题意可得，
解得或 .
所以点的坐标为或.
故选：C
9．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【难度】0.62
【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求平面两点间的距离
【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
所以光线所经过的路程为.
10．（多选）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线l在x轴上的截距为1，且点到l的距离相等，则l的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、已知直线平行求参数
【分析】根据给定条件，确定直线的特征，再按是否垂直于轴分类求解.
【详解】由直线在x轴上的截距为1，得直线过点，
由点到的距离相等，得直线过中点或，
直线过点，则l的方程可以为；
当直线时，由直线的斜率为1，得的方程为，即，
所以直线的方程为或.
故选：BC
11．（多选）（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．点在直线上 B．在轴上的截距为
C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为
【答案】AC
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离、直线围成图形的面积问题、直线截距式方程及辨析
【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；利用截距的定义可判断B选项；求出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为直线的方程为，且，
故点在直线上 ，A对；
对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以在轴上的截距为，B错；
对于C选项，在直线的方程中，令，可得，
故直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C对；
对于D选项，直线的方程可化为，则直线与直线平行，
所以，直线到的距离为，D错.
故选：AC.
12．（多选）（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【难度】0.94
【知识点】求点到直线的距离
【分析】本题是新定义题，根据题意判断选项中的直线上是否存在符合题意的点，实际上可通过判断点到直线的距离是否不大于作出判断.
【详解】点到直线的距离，故A不符合题意；
点到直线的距离，故B符合题意；
点到直线的距离，C符合题意；
点到直线的距离，故D不符合题意．故选：BC．
13．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________．
【答案】
【难度】0.92
【知识点】求点到直线的距离
【详解】点到直线的距离是.
14．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数
【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解；
题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值.
【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，，
平行满足，且不重合，代入得：，
解得，验证，两直线不重合，故.
题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离.
先将直线化为同系数形式：，
根据平行线距离公式可得：，
即的最小值为.
15．（25-26高一下·山东菏泽·期中）新高二数学苏教版）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________.
【答案】且
【难度】0.62
【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、直线截距式方程及辨析、由直线的交点坐标求参数
【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解.
【详解】由得：，
联立，得，
所以直线过定点，
，不在直线上，
直线与轴相交于原点，
直线的斜率为，直线的斜率为.
两直线与轴相交且能构成三角形，
直线不能经过原点，；
直线与轴不能平行，，即；
直线与直线不能平行，，即，
综上得满足的条件是：且.
16．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求A的坐标；
(2)求点A到直线的距离．
【难度】0.74
【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离
【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标；
（2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果.
【详解】（1），，
由得直线：
又在中线：上，
联立，解得
（2）在直线：上，设
是中点，，
在直线：上，
，解得
由、，得直线：
点到直线的距离：.
17．（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数.
(1)当，求实数m的值.
(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
【难度】0.65
【知识点】求直线交点坐标、由两条直线垂直求方程、已知直线平行求参数
【分析】（1）根据两直线平行，列出关于的方程，即可求得答案；
（2）解方程组求出直线，的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案.
【详解】（1）∵，
，
解得 ;
（2）当时，直线的方程为：，
∴，解得，
∴两条直线的交点，
又因为所求直线垂直于，设所求直线的方程为，
将代入可得，解得，
∴直线方程.
18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线.
(1)求直线过定点的坐标；
(2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值.
【难度】0.65
【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数、直线过定点问题
【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解；
（2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解.
【详解】（1）解：由直线，可化为，
联立方程组，解得，
所以直线恒过定点.
（2）解：设直线分别与直线交于两点，
由，解得，即，
又由，解得，即，
所以的中点的坐标为，
不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以，
所以为的中点，将点代入直线的方程，
可得，解得.
19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【难度】0.76
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数
【分析】（1）根据条件设出方程，再根据点到直线的距离公式，求出参数．
（2）过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，由此求出直线斜率和方程，再由点到直线的距离公式求出最大距离；
（3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，由此可得出结论.
【详解】（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为，显然，过点且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为．
若斜率存在，设l的方程为，
即．由已知得，解得．
此时l的方程为．
综上，可得直线l的方程为或．
（2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由，得，所以．
由直线方程的点斜式得，即．
所以直线是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为．
（3）由（2）可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，
因此不存在过点P且到原点的距离为3的直线．
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专题03 直线的交点坐标与距离公式
常考题型·精准突破
题型1 两条直线的交点坐标
题型2 两条直线位置关系的判断
题型3 过定点的直线问题
题型4 过定点的直线系问题
题型5 求两点间的距离
题型6 两点间距离公式的应用
题型7 求点到直线的距离
题型8 点到直线距离公式的简单应用
题型9 点到直线距离的最值问题
题型10 求两条平行直线间的距离
题型11 平行线间距离公式的简单应用
题型12 平行线间距离的最值问题
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 两条直线的交点坐标
(
解题贴士
：
1
.
求两直线的交点坐标可直接建立方程组
，
利用加减消元法或代入消元法求解即可
.
2
.
当多条直线相交于同一点时
，
先选两直线求交点
，
再利用此点必在其他直线上解决问题
.
)
【例1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式3】（25-26高二上·河北雄安·期中）点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
◆题型2 两条直线位置关系的判断
(
解题贴士
：
判断两条直线位置关系的方法
（
1
）
判断两条直线的位置关系
，
关键是看两条直线的方程组成的方程组的解的情况
；
（
2
）
利用方程系数的关系进行判断
；
（
3
）
利用直线的斜率进行判断
：①
当
k
1
≠
k
2
时
，
l
1
与
l
2
相交
.
当两直线斜率都不存在时
，
两直线平行或重合
.
当一条直线斜率存在而另一条直线斜率不存在时
，
两直线相交
；②
当
k
1
＝
k
2
时
，
不能判断两直线平行
，
还可能重合
.
)
【例2】（2026高二上·全国·专题练习）下列直线中，与直线相交的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二·全国·单元测试）下列与直线相交的直线的方程是
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高三下·上海杨浦·阶段检测）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______
【变式3】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系．
(1)和；
(2)和；
(3)和．
【变式4】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
◆题型3 过定点的直线问题
(
解题贴士
：
解直线恒过定点问题的策略
（
1
）
将方程化为点斜式
y
－
y
0
＝
k
（
x
－
x
0
），
其中
k
为参数
，
求得直线恒过定点
（
x
0
，
y
0
）；
（
2
）
赋值法
：
因为参数可取任意实数
，
所以给参数任取两次值
，
得到关于
x
，
y
的二元一次方程组
，
解方程组可得
x
，
y
的值
，
即为直线过的定点
；
（
3
）
分离参数法
：
将方程变形
，
把
x
，
y
作为参数的系数
，
即有参数的放在一起
，
没参数的放在一起
，
因为此式子对任意参数的值都成立
，
所以需系数为零
，
解方程组可得
x
，
y
的值
，
即为直线过的定点
.
)
【例3】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·天津东丽·阶段检测）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）无论取任何实数，直线必经过一个定点，则定点的坐标是 （ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线经过定点P，则P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（25-26高二上·四川达州·阶段检测）无论为何值，直线过定点______.
◆题型4 过定点的直线系问题
(
解题贴士
：
过两条直线交点的直线方程的求法
（
1
）
常规解法
（
方程组法
）：
一般是先解方程组求出交点坐标
，
再结合其他条件写出直线方程
；
（
2
）
特殊解法
（
直线系法
）：
先设出过两条直线交点的直线系方程
，
再结合其他条件用待定系数法求出参数
，
最后确定直线方程
.
)
【例4】（25-26高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　）
A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0
【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式2】（25-26高二上·安徽铜陵·开学考试）经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为(　　)
A．4x－3y＋9＝0 B．4x＋3y＋9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．3x＋4y＋9＝0
【变式3】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）过两直线和的交点且过原点的直线方程为________．
【变式4】（25-26高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______．
【变式5】（25-26高二上·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ .
◆题型5 求两点间的距离
(
解题贴士
：
求两点间距离的方法
首先根据题目条件确定点的坐标
，
再代入到两点间的距离公式求值
，
代入时注意点的坐标的对应位置要准确
.
)
【例5】（25-26高二上·天津河西·期中）若是直线上的两点，那么间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（ ）
A．26 B．18 C． D．6
【变式2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．6
【变式3】（25-26高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________.
【变式5】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，则的周长为______．
◆题型6 两点间距离公式的应用
(
解题贴士
：
关于两点间距离公式的应用
（
1
）
已知距离求参数
，
一般通过两点间的距离公式建立方程求解
，
但是求出的值需要检验
；
（
2
）
判断三角形的形状
，
先根据两点间的距离公式分别求出三边的长
，
再结合三角形的性质判断
.
)
【例6】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．无解
【变式1】（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知三点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二·全国·课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或 D．1或
【变式3】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知是直线上的两点，若，且，则_______.
◆题型7 求点到直线的距离
(
解题贴士
：
点到直线距离的求法
（
1
）
求点到直线的距离时
，
只需把直线方程化为一般式方程
，
直接应用点到直线的距离公式求解即可
；
（
2
）
对于与坐标轴平行
（
或重合
）
的直线
x
＝
a
或
y
＝
b
，
求点到它们的距离时
，
既可以用点到直线的距离公式
，
也可以直接写成
d
＝｜
x
0
－
a
｜
或
d
＝｜
y
0
－
b
｜.
)
【例7】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知点，点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式3】（25-26高二上·北京通州·期中）已知直线，则直线在轴上的截距为_________；点到直线的距离为___________.
【变式4】（25-26高二上·北京延庆·期中）已知的三个顶点、、，则的边上的高的长度为____________．
◆题型8 点到直线距离公式的简单应用
(
解题贴士
：
1
.
若已知点到直线的距离求参数时
，
只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可
.
2
.
根据距离求方程时先设出方程
，
然后由题意列方程求参数
，
也可以综合应用直线的有关知识
，
充分发挥几何图形的直观性
，
判断直线
l
的特征
，
然后由已知条件写出
l
的方程
.
)
【例8】（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【变式1】（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（ ）
A．0 B．2 C．0或2 D．或2
【变式2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．
【变式4】（25-26高二上·广东汕头·期中）若点到直线：的距离为，则（ ）
A．1 B． C．或9 D．1或
【变式5】（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________.
◆题型9 点到直线距离的最值问题
(
解题贴士
：
1
.
点在直线上运动时
，
与直线外一点最小距离为垂线段长度
；
直线围绕点转动时
，
与直线外一点最大距离为两定点距离
.
2
.
注意画图
，
数形结合在此类问题求解中至关重要
.
)
【例9】（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【变式1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．5 D．
【变式2】（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式3】（25-26高二上·山东·阶段检测）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A． B．4 C．5 D．25
【变式4】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______.
【变式5】（25-26高二上·江西赣州·期中）点到直线的最大距离是______．
◆题型10 求两条平行直线间的距离
(
解题贴士
：
求两条平行直线间的距离的方法
（
1
）
转化法
：
将两条平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离
.
因为结果与点的选择无关
，
所以选点时
，
常选取一个特殊点
，
如直线与坐标轴的交点等
，
以便于运算
；
（
2
）
公式法
：
直接利用公式计算
，
但要注意两直线方程中
x
，
y
的系数对应相等
.
)
【例10】（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·吉林·阶段检测）若直线与平行，则与之间的距离是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二下·上海·阶段检测）已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____．
【变式4】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与平行，且过点，则与间的距离为____________.
◆题型11 平行线间距离公式的简单应用
(
解题贴士
：
1
.
注意两条平行直线之间的距离公式的使用条件及绝对值方程的求解
.
2
.
巧用平行直线系设方程
，
利用平行直线之间的距离公式求参数
.
)
【例11】（25-26高二上·新疆喀什·期中）若两直线与间的距离为，则（ ）
A．1 B．7 C．1或 D．或7
【变式1】（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则__________.
【变式4】（25-26高二上·山东济南·期中）若直线与之间的距离为，则实数__________.
【变式5】（25-26高二上·甘肃张掖·期末）已知直线与平行，且与间的距离是，则______．
◆题型12 平行线间距离的最值问题
(
解题贴士
：
求平行线间距离有关的最值问题的结论与方法
（
1
）
重要结论
：
平行线间的距离是分别在两条直线上的两个动点之间距离的最小值
；
（
2
）
数形结合
：
解决与平行线距离有关的最值或取值范围问题
，
通常利用图形帮助解决问题
.
)
【例12】（25-26高二上·湖南长沙·期中）、分别为与上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【变式1】（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（ ）
A． B． C． D．3
【变式4】（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．（25-26高二下·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）若直线与直线：之间的距离是，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
8．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
10．（多选）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线l在x轴上的截距为1，且点到l的距离相等，则l的方程是（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）（25-26高二上·重庆·期中）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．点在直线上 B．在轴上的截距为
C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为
12．（多选）（25-26高一下·浙江温州·期中）已知平面上一点，若直线上存在点P使得，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
13．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________．
14．（25-26高二上·广东潮州·期末）若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______．
15．（25-26高一下·山东菏泽·期中）新高二数学苏教版）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________.
16．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求A的坐标；
(2)求点A到直线的距离．
17．（25-26高二上·广西百色·期末）已知直线：，：，其中m为实数.
(1)当，求实数m的值.
(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线.
(1)求直线过定点的坐标；
(2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值.
19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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