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专题05 圆的标准方程与一般方程
常考题型·精准突破
题型1 圆的方程辨析
题型2 求圆的标准方程
题型3 求圆的一般方程求解
题型4 二元二次方程表圆判定
题型5 点与圆位置关系判定
题型6 点到圆的距离最值
题型7 圆的轨迹方程求解
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 圆的方程辨析
【例1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆的标准方程，可知圆心为，故选：B
【变式1】已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由题意得圆的标准方程为，
所以圆的圆心和半径分别是，.故选：B.
【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，因为等价于，表示圆，故A符合题意；
对于B，含项，不表示圆，故B不符合题意；
对于C，，易知时，不表示圆，故C不符合题意；
对于D，，，不表示圆，故D错误，故选A．
【变式3】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，b B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由且化为标准形式，故圆心为，半径为.故选：C
【变式4】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
【解】法一（待定系数法）　设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有解得
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（几何法）　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴得即圆心坐标为（4，－3），半径为r＝＝5.
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
◆题型2 求圆的标准方程
(
解题贴士
：
求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径
，
常用到中点坐标公式、两点间距离公式
，
有时还用到平面几何知识
，
如
“
弦的中垂线必过圆心
”“
两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心
”
等
.
)
【例2】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆心为，根据圆过点且半径为2，
可得，解得，即圆心坐标为.因此所求圆的方程是．
【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆的圆心是，半径是．故圆的方程为．
【变式2】（（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】依题意，可设，
由可得，
解得，故得圆心，半径为，则所求圆的方程为.故选：A.
【变式3】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设圆的标准方程为，
将，，代入圆的方程中可得，解得，
故圆的标准方程为
【变式4】（（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径，
距离为，故半径.由题知圆心为，故圆方程为.故选：A．
◆题型3 求圆的一般方程求解
(
解题贴士
：
求圆的一般方程的步骤
（
1
）
根据题意设所求的圆的一般方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
；
（
2
）
根据已知条件
，
建立关于
D
，
E
，
F
的方程组
；
（
3
）
解此方程组
，
求出
D
，
E
，
F
的值
；
（
4
）
将所得的值代回所设的圆的方程中
，
就得到所求的圆的一般方程
.
)
【例3】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程.
【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有，
当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则.
综上对圆上任意一点，.从而,
即
【变式1】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设圆的一般方程为,
将，，代入方程得，
解得，满足，故圆的方程为，故选：A
【变式2】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设圆的一般方程为，圆心坐标为，
因为圆经过两点，，且圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆的方程为.故选：C.
【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为，
因为圆心和圆心关于直线对称，
所以有，即圆的圆心坐标为，
因为圆和圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，
所以圆的方程为，故选：B
【变式4】（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________．
【答案】
【分析】设圆的方程，代入三点即可求出.
【详解】由题可得，设圆的方程为，
则，解得，
则所求圆的方程为.
◆题型4 二元二次方程表圆判定
(
解题贴士
：
圆的一般方程的辨析
（
1
）
配方法
：
对形如
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
的二元二次方程可以通过配方变形为
“
标准
”
形式后
，
观察是否表示圆
；
（
2
）
运用圆的一般方程的判断方法求解
，
即通过判断
D
2
＋
E
2
－
4
F
与
0
的关系
，
确定它是否表示圆
.
)
【例4】（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为方程表示圆，所以，解得或.
当时，方程化为，此时，方程不表示圆；
当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为.
综上，圆心坐标为.故选：D.
【变式1】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，即，解得.故选：B.
【变式2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方程，即，
因为方程表示圆，
所以，解得，即实数m的取值范围是.故选B.
【变式3】（2026·高二·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，
解得.即m的取值范围是.故选D.
【变式4】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2
【答案】A
【解析】若曲线表示圆，则，解得或.
检验：若，则曲线，整理得，不能表示圆，故舍去；
若，则曲线，整理得，可以表示圆，故保留.故选A.
◆题型5 点与圆位置关系判定
(
解题贴士
：
判断点与圆位置关系的两种方法
（
1
）
几何法
：
主要利用点到圆心的距离与半径比较大小
；
（
2
）
代数法
：
把点的坐标代入圆的标准方程
，
比较式子两边的大小
，
并作出判断
.
)
【例5】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上 B．点P在圆外
C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心
【答案】C
【解析】圆变为标准方程为，
圆心为，半径，
所以点P到圆心的距离，
所以点P在圆内，且不是圆心.
故选：C
【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】将圆的方程化为标准式.
因为圆存在，所以，即.
点在圆外，圆心为，点到圆心的距离的平方为，
半径的平方为，故，解得.
综上，.
故选：A
【变式2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圆的方程可化为， ，又点在圆外，则，，综上.
故选：D.
【变式3】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圆，可得，
可得，解得，
又由点在圆外，则，解得，
综上可得：，所以实数的取值范围是.
故选：D.
【变式4】（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题可得，
所以的取值范围为.
◆题型6 点到圆的距离最值
(
解题贴士
：
求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤
（
1
）
求圆心
O
与定点
M
间的距离
d
MO
；
（
2
）
根据圆的几何性质知
，①
当点
M
在圆外时
，
d
max
＝
d
MO
＋
r
，
d
min
＝
d
MO
－
r
；②
当点
M
在圆内时
，
d
max
＝
d
MO
＋
r
，
d
min
＝
r
－
d
MO
.
)
【例6】（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（ ）
A． B．4 C．8 D．
【答案】A
【解析】圆：的圆心，半径，
所求的最短距离为.故选：A
【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆，得圆心，半径，
又点，则，
又点在圆上，所以，
所以的最大值为．故选：C
【变式2】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【解析】因为，所以点在圆外，又,
故的最大值为.
【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为，
如图，，因为，
当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8.故选：C.
【变式4】（2026·高二·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是______________.
【答案】40
【解析】圆的方程为，其圆心.
根据两点间距离公式，原点到圆心的距离.
因为在圆上运动，圆的半径.
表示点到原点距离的平方.
的最小值为；
的最大值为.
最大值与最小值的差为.
【变式5】（2026·高二·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值______．
【答案】
【解析】把圆的方程化为标准方程得： ，
则圆心 坐标为，圆的半径 ，
设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离；
如图 ， ，
所以 的最小值为 .
◆题型7 圆的轨迹方程求解
(
解题贴士
：
求与圆有关的轨迹方程的
3
种方法
)
【例7】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设点，，因为为的中点，
所以，则，即，
又因为动点在圆上，所以，
则，则点轨迹方程为.故选：C.
【变式1】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图：
圆表示以为圆心，1为半径的圆.
由题意，且，所以.
所以点在以，半径为的圆上，
所以点的轨迹方程是．故选：A
【变式2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：，
设，则，
，整理可得：，
即点的轨迹方程为：.故选：D.
【变式3】（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】设点，由题意，，
由，整理得，
因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去.
即直角顶点的轨迹方程为且故选：D.
【变式4】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设点，由，得为线段中点，则点，
而点在圆上，因此，即，
所以点的轨迹方程为.故选：B
【变式5】（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________.
【答案】
【解析】设动点，则，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
【变式6】（2026·高二·天津·阶段检测）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点，
(1)求圆C的方程；
(2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
【解】（1）设圆心坐标为，
圆的圆心在直线上且与轴切于点，
，解得，
圆心，半径，
故圆的方程为.
（2）设点的坐标为，点的坐标为，
点，又点为的中点，
，，
，即点的坐标为，
在圆上运动，
，
即，
点的轨迹方程为.
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为，
故所求的圆的标准方程为．
2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知圆的圆心为，
因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得.
3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【解析】因为方程表示圆，
则，即得，解得，则整数m的值为.
4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点在圆C外，所以，解得，
所以a的取值范围为．故选：B.
5．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得或；令，得或.
以代替，以代替，方程仍然成立，
所以曲线关于轴，轴，原点对称.所以可先分析的情况.
当时，，即，
所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成.
所以其面积为.
所以曲线围成的图形的面积为.故选：B.
6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设圆的标准方程为，
将，，代入圆的方程中可得，解得，
故圆的标准方程为
7．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则，
所以，解得，
故圆心为，圆的半径为，
故圆的方程为.故选：C.
31．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，，则线段的中点坐标为，
即，所以.
因为点在圆上，所以满足.
化简得.故选：C.
9．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为，所以，令，，，
其中，所以的最大值为
10．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，而，
可得，而，，，
则，得到，
即表示到点的距离，
而由两点间距离公式得点到圆心的距离为，
得到的最大值为，故D正确.
11．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（ ）
A．在圆P上 B．在圆P内
C．在圆P内 D．在圆P外
【答案】AC
【解析】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
易知，，，，
所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内．
故选：AC．
12．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．点到点的距离为定值
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，由得：，
点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确；
对于B，，，的最大值为，B正确；
对于C，的几何意义为点到点的距离，
圆心到点的距离，的最大值为，C错误；
对于D，设，，，，
，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确.
故选：ABD.
13．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ）
A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线的周长为
D．曲线上任意两点间距离的最大值8
【答案】ACD
【解析】当时方程为；当时方程为；
当时方程为；当时方程为，
对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变，
因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确；
对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心，
为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离，
因此曲线在第一象限围成图形面积，
由对称性得总面积为，B错误；
对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确；
对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确.
故选：ACD
14．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________．
【答案】
【解析】圆的方程可化为，
则直径．
15．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________
【答案】
【解析】由，所以，
得圆心为，半径为，
由关于点对称点为，
所以关于对称的圆的标准方程为：，
16．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________．
【答案】（且）
【解析】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且．
又因为，，且，
所以，化简得．
因此，直角顶点的轨迹方程为（且）．
法二：设的中点为，由中点坐标公式得．
由直角三角形的性质知，．
由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，
所以应除去与轴的交点），直角顶点的轨迹方程为（且）．
17．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值．
【解】（1）设点，
因为点C到点A的距离与到点的距离的比为，
则，即，
化简整理可得，，
故点C的轨迹方程为.
（2）由（1）可知，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
又△ABC的边长AB＝4，
故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大，
由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为，
故△ABC面积的最大值为．
18．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、.
(1)求边的高线的直线方程；
(2)求边的垂直平分线的直线方程；
(3)求的外接圆方程.
【解】（1）因为，且，故直线的斜率为，
因为经过，所以直线的方程为，即.
（2）因为线段的中点，且，，
故直线的斜率为，所以直线的方程为，即.
（3）设的外接圆的方程为，
因为，解得，
所以的外接圆方程为.
19．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线.
(1)求过点且和垂直的直线的方程；
(2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.
【解】（1）由题意，直线的斜率，
则所求直线的斜率，
代入点斜式方程得，
∴过点且和垂直的直线的方程为.
（2）设圆心为，半径为
∵圆心在直线上，，则点为，
由题意可得，
则，解得，
∴圆心的坐标为，半径，
圆的标准方程为.
20．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值．
【解】（1）线段的中垂线为，
因为圆心在直线上，所以圆心满足：
，解得，即圆心
又半径，所以圆C的方程为；
（2）方法1：设，则，
又因为，
，所以，
当且仅当三点共线时等号成立
所以，即最大值与最小值分别为49和9．
方法2：设，
则
所以的最大值与最小值分别为49和9．
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专题05 圆的标准方程与一般方程
常考题型·精准突破
题型1 圆的方程辨析
题型2 求圆的标准方程
题型3 求圆的一般方程求解
题型4 二元二次方程表圆判定
题型5 点与圆位置关系判定
题型6 点到圆的距离最值
题型7 圆的轨迹方程求解
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 圆的方程辨析
【例1】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（25-26高二上·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆C的方程（），则圆C的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，b B．，
C．， D．，
【变式4】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
◆题型2 求圆的标准方程
(
解题贴士
：
求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径
，
常用到中点坐标公式、两点间距离公式
，
有时还用到平面几何知识
，
如
“
弦的中垂线必过圆心
”“
两条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心
”
等
.
)
【例2】（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2026·高二·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（（26-27高二上·云南·期末）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
◆题型3 求圆的一般方程求解
(
解题贴士
：
求圆的一般方程的步骤
（
1
）
根据题意设所求的圆的一般方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
；
（
2
）
根据已知条件
，
建立关于
D
，
E
，
F
的方程组
；
（
3
）
解此方程组
，
求出
D
，
E
，
F
的值
；
（
4
）
将所得的值代回所设的圆的方程中
，
就得到所求的圆的一般方程
.
)
【例3】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2026·高二·天津·阶段检测）经过三点，，的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（2026·天津北辰·一模）若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________．
◆题型4 二元二次方程表圆判定
(
解题贴士
：
圆的一般方程的辨析
（
1
）
配方法
：
对形如
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
的二元二次方程可以通过配方变形为
“
标准
”
形式后
，
观察是否表示圆
；
（
2
）
运用圆的一般方程的判断方法求解
，
即通过判断
D
2
＋
E
2
－
4
F
与
0
的关系
，
确定它是否表示圆
.
)
【例4】（2026·高二·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1】（2026·高二·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知方程表示圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2026·高二·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）已知曲线表示圆，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或2 D．-1或-2
◆题型5 点与圆位置关系判定
(
解题贴士
：
判断点与圆位置关系的两种方法
（
1
）
几何法
：
主要利用点到圆心的距离与半径比较大小
；
（
2
）
代数法
：
把点的坐标代入圆的标准方程
，
比较式子两边的大小
，
并作出判断
.
)
【例5】（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（ ）
A．点P在圆上 B．点P在圆外
C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心
【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知在圆：外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知点在圆外，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______．
◆题型6 点到圆的距离最值
(
解题贴士
：
求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤
（
1
）
求圆心
O
与定点
M
间的距离
d
MO
；
（
2
）
根据圆的几何性质知
，①
当点
M
在圆外时
，
d
max
＝
d
MO
＋
r
，
d
min
＝
d
MO
－
r
；②
当点
M
在圆内时
，
d
max
＝
d
MO
＋
r
，
d
min
＝
r
－
d
MO
.
)
【例6】（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（ ）
A． B．4 C．8 D．
【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．9
【变式3】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【变式4】（2026·高二·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是______________.
【变式5】（2026·高二·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值______．
◆题型7 圆的轨迹方程求解
(
解题贴士
：
求与圆有关的轨迹方程的
3
种方法
)
【例7】（25-26高二上·天津静海·期中）点M为圆：上的动点，点，点P是线段的中点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．且
C．且 D．且
【变式4】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（25-26高二上·全国·期中）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________.
【变式6】（2026·高二·天津·阶段检测）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点，
(1)求圆C的方程；
(2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
综合攻坚·知能拔高
1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
4．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
31．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
10．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．
11．（多选）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（ ）
A．在圆P上 B．在圆P内
C．在圆P内 D．在圆P外
12．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．点到点的距离为定值
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
13．（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ）
A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线的周长为
D．曲线上任意两点间距离的最大值8
14．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）圆的直径的最小值为____________．
15．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________
16．（2026高三·全国·专题练习）已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________．
17．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值．
18．（25-26高二上·广东湛江·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、.
(1)求边的高线的直线方程；
(2)求边的垂直平分线的直线方程；
(3)求的外接圆方程.
19．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线.
(1)求过点且和垂直的直线的方程；
(2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程.
20．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值．
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